مقالات

5.4: نظرية نظم المعادلات التفاضلية - الرياضيات


اتضح أن نظرية أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية تشبه نظرية المعادلات التفاضلية ذات الرتبة الأعلى. ستعتمد هذه المناقشة الترميز التالي. ضع في اعتبارك نظام المعادلات التفاضلية

[ start {align *} & x_1 '= p_ {11} (t) x_1 + dots + p_ {1n} (t) + g_1 (t) & vdots qquad vdots qquad qquad qquad ؛ ؛ ؛ vdots qquad رباعي ؛ ؛ vdots & x_n '= p_ {n1} (t) x_1 + dots + p_ {nn} (t) + g_n (t). النهاية {محاذاة *} ]

نكتب هذا النظام باسم

[ textbf {x} '= textbf {P} (t) textbf {x} + textbf {g} (t). ]

المتجه ( textbf {x} = textbf {f} (t) ) هو حل لنظام المعادلة التفاضلية إذا

[ textbf (f) '= textbf {P} (t) textbf {f} + textbf {g} (t). ]

إذا كان ( textbf {g} (t) = 0 ) يسمى نظام المعادلات التفاضلية متجانس. خلاف ذلك ، يطلق عليه غير متجانسة.

نظرية: مساحة الحل هي فضاء متجه

افترض أن ( textbf {x} ^ {(1)} ) ، ( textbf {x} ^ {(2)} ) ، ... ، ( textbf {x} ^ {(k) } ) هي حلول للنظام المتجانس من المعادلات التفاضلية

[ textbf {x} '= textbf {P} (t) textbf {x} ]

من ثم

[c_1 textbf {x} ^ {(1)} + c_2 textbf {x} ^ {(2)} + ، ... ، + c_k textbf {x} ^ {(k)} ]

هو أيضًا حل لأي ثوابت (c_1 ) ، (c_2 ) ، ... ، (c_k ).

تمامًا كما كان لدينا Wronskian للمعادلات التفاضلية الخطية ذات الترتيب الأعلى ، يمكننا تحديد وحش مماثل لأنظمة المعادلات التفاضلية الخطية.

لو

[ textbf {x} ^ {(1)} ، textbf {x} ^ {(2)} ، dots ، textbf {x} ^ {(n)} ]

هي (n ) حلول لنظام (n times n ) ، ثم ملف Wronskian من هذه المجموعة محدد المصفوفة التي يكون عمودها (i ^ {th} ) ( textbf {x} ^ {(i)} ).

مثال ( PageIndex {1} )

يترك

[ textbf {x} ^ {(1)} = begin {pmatrix} e ^ t e ^ {- t} end {pmatrix}، ؛ ؛ ؛ x ^ {(2)} = begin {pmatrix} 2e ^ {(t)} 3e ^ {(- t)} end {pmatrix}. لا يوجد رقم]

ثم

[W (t) = begin {vmatrix} e ^ t & 2e ^ t e ^ {- t} & 3e ^ {- t} end {vmatrix} = 3-2 = 1. لا يوجد رقم]

إنها نتيجة مباشرة من الجبر الخطي أن الحلول مستقلة خطيًا إذا وفقط إذا كان Wronskian غير صفري. في الواقع ، المزيد هو الصحيح. هناك تعميمات لنظرية أبيل لأنظمة المعادلات التفاضلية الخطية.

[ dfrac {W} {dt} = (p_ {11} + p_ {22} + ... p_ {nn}) W ]

النظرية الرئيسية حول التفرد ووجود حلول لأنظمة المعادلات التفاضلية صحيحة أيضًا. نذكرها أدناه.

النظرية: الوجود والتفرد للأنظمة

يترك

[ textbf {x} '= textbf {P} (t) textbf {x} ]

تكون معادلة تفاضلية مع (p_ {ij} ) مستمر لكل (i ) و (j ) على الفاصل (a

[ textbf {x} (0) = textbf {x} _0 ]

، ثم يوجد حل فريد في الفاصل ((أ ، ب) ).

على وجه الخصوص ، إذا

[ textbf {x} ^ {(1)} ، textbf {x} ^ {(2)} ، dots ، textbf {x} ^ {(n)} ]

هي حلول للنظام المتجانس ، وإذا كان Wronskian غير صفري ، إذن

[ textbf {y} = c_1 textbf {x} ^ {(1)} + c_2 textbf {x} ^ {(2)} + dots + c_k textbf {x} ^ {(k)} ]

هو الحل العام للنظام. نسمي ( textbf {x} ^ {(1)} ، textbf {x} ^ {(2)} ، dots ، textbf {x} ^ {(n)} ) أ مجموعة أساسية من حلول نظام المعادلات التفاضلية.

على وجه الخصوص ، إذا كانت مصفوفة Wronskian في (t_0 ) هي مصفوفة الهوية ( (W (t_0) = I )) فإن محددها هو واحد ، وبالتالي ليس صفرًا. هذا يعطينا النظرية التالية.

نظرية

يترك

[e ^ {(1)} = begin {pmatrix} 1 0 0 vdots 0 end {pmatrix}، e ^ {(2)} = begin {pmatrix} 0 1 0 vdots 0 end {pmatrix} ، dots ، e ^ {(n)} = start {pmatrix} 0 0 0 vdots 1 end {pmatrix}. ]

إذا كانت ( textbf {x} ^ {(1)}، textbf {x} ^ {(2)}، dots، textbf {x} ^ {(n)} ) حلولاً للنظام المتجانس لـ معادلات تفاضلية تحقق الشروط

[ textbf {x} ^ {(1)} (t_0) = e ^ {(1)}، textbf {x} ^ {(2)} (t_0) = e ^ {(2)}، dots ، textbf {x} ^ {(n)} (t_0) = e ^ (n) ]

ثم يشكلون مجموعة أساسية من الحلول.


5.4: نظرية نظم المعادلات التفاضلية - الرياضيات

أنت على وشك امسح عملك في هذا النشاط. هل انت متأكد من أنك تريد أن تفعل هذا؟

نسخة محدثة متوفرة

هناك نسخة محدثة من هذا النشاط. إذا قمت بالتحديث إلى أحدث إصدار من هذا النشاط ، فسيتم مسح تقدمك الحالي في هذا النشاط. بغض النظر ، سيبقى سجل الإنجاز الخاص بك. كيف تريد المتابعة؟

محرر التعبير الرياضي

نوضح كيف يمكن كتابة الأنظمة الخطية في شكل مصفوفة ، ونجري العديد من المقارنات مع الموضوعات التي درسناها سابقًا.

الأنظمة الخطية للمعادلات التفاضلية

نظام المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى التي يمكن كتابتها بالصيغة

يسمى أ نظام خطي.

يمكن كتابة النظام الخطي (مكافئ: 10.2.1) في شكل مصفوفة

حيث نسمي معامل المصفوفة من (مكافئ: 10.2.2) و وظيفة الإجبار. سنقول ذلك و نحن مستمر إذا كانت إدخالاتهم مستمرة. إذا ، إذن (مكافئ: 10.2.2) هو متجانس خلاف ذلك ، (مكافئ: 10.2.2) هو غير متجانسة.

تتكون مشكلة القيمة الأولية لـ (eq: 10.2.2) من إيجاد حل (eq: 10.2.2) يساوي متجهًا ثابتًا معينًا عند نقطة أولية. نكتب مشكلة القيمة الأولية هذه

تعطي النظرية التالية شروطًا كافية لوجود حلول لمشاكل القيمة الأولية لـ (مكافئ: 10.2.2). نحذف الدليل.

البند: 10.2.1c يجب أن نختار وفي (eq: 10.2.4) بحيث يكون ما يعادل حل هذا النظام ، وكذلك حل (eq: 10.2.5).

مصدر النص

ترينش ، ويليام ف. ، "المعادلات التفاضلية الأولية" (2013). مؤلف ومحرّر للكتب والأقراص المدمجة. 8. (CC-BY-NC-SA)


5.4: نظرية نظم المعادلات التفاضلية - الرياضيات

оличество зарегистрированных учащихся: 43 тыс.

تتناول هذه الدورة المعادلات التفاضلية وتغطي المواد التي يجب على جميع المهندسين معرفتها. يتم تدريس كل من النظرية والتطبيقات الأساسية. في الأسابيع الخمسة الأولى سنتعرف على المعادلات التفاضلية العادية ، وفي الأسبوع الأخير ، سنتعرف على المعادلات التفاضلية الجزئية. تتكون الدورة من 56 مقطع فيديو محاضرة قصيرة ، مع بعض المشاكل البسيطة لحلها بعد كل محاضرة. وبعد كل موضوع جوهري ، هناك اختبار تمرين قصير. يمكن العثور على حلول للمشكلات واختبارات الممارسة في ملاحظات المحاضرات التي يقدمها المعلم. هناك إجمالي ستة أسابيع في الدورة التدريبية ، وفي نهاية كل أسبوع يوجد اختبار تم تقييمه. قم بتنزيل ملاحظات المحاضرة: http://www.math.ust.hk/

machas / differential-equations-for-engineering.pdf شاهد الفيديو الترويجي: https://youtu.be/eSty7oo09ZI

Получаемые навыки

معادلة تفاضلية عادية ، معادلة تفاضلية جزئية (PDE) ، رياضيات هندسية

Рецензии

أفضل مسار. شرح الجوانب النظرية والعملية للمعادلات التفاضلية وفي نفس الوقت قام بتغطية جزء كبير من الموضوع بطريقة سهلة وتعليمية للغاية.

أعتقد أن هذه الدورة مناسبة جدًا لأي عقل فضولي. يمكنك تعلم مفاهيم مهمة وضرورية للغاية من خلال هذه الدورة. n n الدورات التي يدرسها الأستاذ الدكتور شاسنوف ممتازة.

نظم المعادلات التفاضلية

نتعلم كيفية حل نظام مقترن من المعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الأولى ذات المعاملات الثابتة. يمكن كتابة هذا النظام من القصائد في شكل مصفوفة ، ونتعلم كيفية تحويل هذه المعادلات إلى مشكلة جبر ذات مصفوفة قياسية. يتم تصور الحلول ثنائية الأبعاد باستخدام صور الطور. ثم نتعرف بعد ذلك على التطبيق المهم لمذبذبات التوافقي المقترن وحساب الأوضاع العادية. الأنماط العادية هي تلك الحركات التي تتأرجح فيها الكتل الفردية التي يتكون منها النظام بنفس التردد.

Реподаватели

جيفري ر.شاسنوف

Екст видео

في هذا الفيديو ، أريد أن أتحدث عما أعتقد أنه مشكلة مثيرة للغاية. هذا هو الحال عندما يكون لديك كتلتان متصلتان بنابض ثم يتم توصيلهما بواسطة نوابض أخرى بالحائط. نريد أن نفهم إذا قمت بإزاحة هذه الكتل وتركها تتأرجح ، كيف نفهم تذبذب هذه الكتل؟ سيستفيد حل هذه المشكلة من نظام المعادلات الذي درسناه للتو والقيم الذاتية والمتجهات الذاتية. لذا ، دع & # x27s نبدأ من خلال النظر في محاكاة لهذه المشكلة التي قمت بها على MathLab. حسنًا ، نحن ننظر إلى تذبذب كتلتين بشروط ابتدائية عشوائية. ترى أن الجماهير تتحرك ذهابًا وإيابًا. تبدو الحركة عشوائية ولكن في الحقيقة هذه الحركة ليست عشوائية. هذه الحركة في الواقع بسيطة للغاية ، لكنك لن تتمكن من رؤية ذلك ما لم تحل الرياضيات. هذا هو ما أريد أن أفعله. حسنًا ، لدينا وضعنا هنا. يتم قياس x واحد و x اثنان من مواضع التوازن لهذه الكتل. لدينا ثلاثة ينابيع. العددين في النهاية لهما ثابت زنبركي صغير k الواحد في المنتصف له ثابت زنبركي كبير K. كلا الكتلتين متماثلتان. & # x27ve قمت ببناء هذا الموقف حتى يكون لدينا تناسق رائع هنا. سواء نظرت إلى هذا الموقف من الأعلى أو الأسفل ، فإنه يبدو متشابهًا تمامًا. هذا يعني أن الحل سيكون له بعض التماثل اللطيف. نحن نفترض أيضًا أنه لا يوجد احتكاك هنا. لنفترض أن هذا منظر علوي وأن الجماهير تنزلق على الجليد ، لذلك هناك القليل من الاحتكاك. هناك قانونان فيزيائيان نحتاج إلى كتابة المعادلة الحاكمة لهما. الأول هو قانون نيوتن & # x27s الذي يعرفه الجميع ، والذي هو مجرد قوة تساوي الكتلة مضروبة في التسارع. التسارع هو بالطبع المشتق الثاني للموضع فيما يتعلق بالوقت. يسمى القانون الثاني قانون Hooke & # x27s ، وهو قانون يستخدم لفهم الحركة تحت قوى الزنبرك. تتم كتابة هذا على النحو التالي: F يساوي ناقص kx ، حيث x هو إزاحة الكتلة من موضع توازنها و k يسمى ثابت الزنبرك. هنا ، قمنا بتدوين ما يجب أن تكون عليه ثوابت الربيع. تمام. إذن ، كيف نكتب المعادلات الحاكمة؟ علينا أن نأخذ في الاعتبار القوى الموجودة على كل كتلة على حدة. لذا ، دعونا لا نأخذ في الاعتبار القوة المؤثرة على الكتلة الأولى أولاً. إذن ، لدينا تسارع الكتلة مضروبة في ذلك. إذن ، ستكون الكتلة مضروبة في تسارع الكتلة الأولى ، وهي المشتقة الثانية للموضع x واحد ، أو d تربيع x واحد d t تربيع ، أو x نقطة مزدوجة واحدة. من المفترض أن يكون هذا مساويًا للقوى الموجودة عليه. القوى في الكتلة الأولى ترجع فقط إلى الينابيع. لذا ، فإن القوة الناتجة عن الربيع الأول هي مجرد قانون Hooke & # x27s ناقص kx واحد. القوة الناتجة عن الربيع الثاني هي أيضًا قانون Hooke & # x27s ناقصًا رأس المال Kx واحد ، باستثناء التعقيد هو أن هذا الربيع متصل أيضًا بالكتلة الثانية. لذا ، إذا تساوت x واحد و x اثنان ، فإن هاتين الكتلتين تتحركان بنفس المقدار إلى اليمين ، فلن يغير الزنبرك الأوسط طوله & # x27s. ستظل القوة الكلية الناتجة عن امتداد أو ضغط الزنبرك على تلك الكتلة صفراً. هذا يعني أننا يجب أن نأخذ في الحسبان ناقص x اثنين هنا. حسنًا ، إذن ، القوة الناتجة عن الربيع الأوسط هي ناقص K x واحد ناقص x اثنين ، مع الأخذ في الاعتبار أن الزنبرك الأوسط متصل بالكتلة الأولى والكتلة الثانية. مرة أخرى ، نقوم بعمل نفس المعادلة للكتلة الثانية م × اثنان نقطتان. لدينا الربيع على طول الطريق على اليمين هو مجرد قانون Hooke & # x27s ناقص k x two. الزنبرك الموجود على اليسار سيكون ناقص K x اثنين. لكن علينا أن نأخذ في الاعتبار أن ذلك الربيع الأوسط متصل أيضًا بالكتلة الأولى. إذن ، ناقص x واحد. حسنًا ، هذا هو نظام المعادلات التفاضلية. إنهم & # x27re ترتيبًا ثانيًا بدلاً من الترتيب الأول ، لكنهم & # x27re أيضًا خطيون ومتجانسون ، مثل الموقف الذي قمنا بحله سابقًا. يمكننا وضع هذه المعادلة في صورة مصفوفة. كيف ستبدو؟ سيكون لدينا الكتلة مضروبة في المشتقة الثانية بالنسبة إلى وقت متجه الموقع x واحد ، x اثنان يساوي مصفوفة. إذن ، من المعادلة الأولى هي معادلة x نقطة مزدوجة ، لذا نحتاج إلى الحدود المتناسبة مع x واحد. سيكون هذا ناقص k صغير ناقص كبير K. لذا ، لدينا سالب صغير k زائد K كبير في العنصر الأول. إذن ، المصطلح المتناسب مع x اثنين ، سيكون زائد كبير K x اثنين. إذن ، لدينا K كبير هنا. في المعادلة الثانية ، سيكون هذا كله هو ضرب x واحد ، x اثنين. إذن ، هذه هي المعادلة الأولى. إذن ، المعادلة الثانية بها زائد كبير K x واحد. لها ناقص k x اثنين ناقص كبير K x اثنان. إذن ، لديها ناقص k صغير زائد كبير K. حسنًا ، ترون كم تبدو هذه المصفوفة جميلة. لها نفس العنصر على الأقطار وهي & # x27s مصفوفة متماثلة. حسنًا ، يمكننا تبسيط المدونة. يمكننا كتابة هذا ببساطة على النحو التالي ، دعني أضعه هنا ، مثل m ثم ، إذا حددنا x على أنه متجه العمود هذا ، فسيكون mx نقطة مزدوجة وأن & # x27s يساوي هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين a مرات x. ستكون هذه هي المعادلة التي & # x27 سنحتاج إلى حلها حيث يتم إعطاء المصفوفة أ من خلال مصفوفة اثنين في اثنين. سأفعل ذلك في الفيديو التالي. والآن ، دعني ألخص ما نقوم به. نحن ندرس مثالًا نموذجيًا سيُظهر قوة تحليل نظام المعادلات باستخدام القيم الذاتية والمتجهات الذاتية. وهذا ما يسمى مشكلة الوضع العادي. هنا ، على سبيل المثال ، أقوم بعمل حالة متماثلة للغاية ، حيث لدينا ثلاثة ينابيع ويكون الربيع الأوسط مختلفًا عن الاثنين على الجانبين وكتلتين متساويتين. يمكننا استخدام القوانين الفيزيائية لكتابة المعادلة الحاكمة ، قانون نيوتن وقانون الظواهر ، حول السلوك الربيعي الذي يسمى قانون هوك. بعد ذلك ، إذا فكرت جيدًا في موضع هذه الكتل ، يمكنك كتابة معادلتين تفاضليتين من الدرجة الثانية ووضعهما في شكل مصفوفة. & # x27ll نتناول حل هذه المعادلة في الفيديو التالي. أنا & # x27m جيف تشاسنوف. شكرا للمشاهدة. & # x27ll أراك في المرة القادمة.


5.4: نظرية نظم المعادلات التفاضلية - الرياضيات

оличество зарегистрированных учащихся: 43 тыс.

تتناول هذه الدورة المعادلات التفاضلية وتغطي المواد التي يجب على جميع المهندسين معرفتها. يتم تدريس كل من النظرية والتطبيقات الأساسية. في الأسابيع الخمسة الأولى سنتعرف على المعادلات التفاضلية العادية ، وفي الأسبوع الأخير ، سنتعرف على المعادلات التفاضلية الجزئية. تتكون الدورة من 56 مقطع فيديو محاضرة قصيرة ، مع بعض المشاكل البسيطة لحلها بعد كل محاضرة. وبعد كل موضوع جوهري ، هناك اختبار تدريب قصير. يمكن العثور على حلول للمشكلات واختبارات الممارسة في ملاحظات المحاضرات التي يقدمها المعلم. هناك إجمالي ستة أسابيع في الدورة التدريبية ، وفي نهاية كل أسبوع يوجد اختبار تم تقييمه. قم بتنزيل ملاحظات المحاضرة: http://www.math.ust.hk/

machas / differential-equations-for-engineering.pdf شاهد الفيديو الترويجي: https://youtu.be/eSty7oo09ZI

Получаемые навыки

معادلة تفاضلية عادية ، معادلة تفاضلية جزئية (PDE) ، رياضيات هندسية

Рецензии

أفضل مسار. شرح الجوانب النظرية والعملية للمعادلات التفاضلية وفي نفس الوقت قام بتغطية جزء كبير من الموضوع بطريقة سهلة وتعليمية للغاية.

أعتقد أن هذه الدورة مناسبة جدًا لأي عقل فضولي. يمكنك تعلم مفاهيم مهمة وضرورية للغاية من خلال هذه الدورة. n n الدورات التي يدرسها الأستاذ الدكتور شاسنوف ممتازة.

نظم المعادلات التفاضلية

نتعلم كيفية حل نظام مقترن من المعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الأولى ذات المعاملات الثابتة. يمكن كتابة هذا النظام من القصائد في شكل مصفوفة ، ونتعلم كيفية تحويل هذه المعادلات إلى مشكلة جبر ذات مصفوفة قياسية. يتم تصور الحلول ثنائية الأبعاد باستخدام صور الطور. ثم نتعرف بعد ذلك على التطبيق المهم لمذبذبات التوافقي المقترن وحساب الأوضاع العادية. الأنماط العادية هي تلك الحركات التي تتأرجح فيها الكتل الفردية التي يتكون منها النظام بنفس التردد.

Реподаватели

جيفري ر.شاسنوف

Екст видео

لذا دع & # x27s ننظر إلى النوع الأخير من صورة الطور. واحد للنقاط اللولبية ، هنا المعادلة التفاضلية هي x_1 نقطة تساوي ناقص نصف نصف x_1 زائد x_2 ، x_2 نقطة تساوي ناقص x_1 ناقص نصف نصف x_2. المصفوفة ناقص نصف 1 ناقص 1 ناقص نصف. إذا قمت بإجراء تحليل eigenvalue و eigenvector على تلك المصفوفة ، فستحصل على قيم eigenvalues ​​المعقدة. إذن ، إحدى قيم eigenvalues ​​هي ناقص نصف زائد i ، ومتجه eigenvector المرتبط بها هو واحد i ، ومن ثم يكون لديك الزوج المترافق المركب. إذا كتبنا الحل بتكوين حلين حقيقيين ، فسننتهي بـ & # x27ll إلى x يساوي هذا الانحطاط الأسي مضروبًا في هذا التمام t ناقص جيب t زائد b مضروبًا في جيب التمام t. هذا النوع من الحلول دائري وبعد ذلك يكون له انحلال أسي ، ولهذا السبب تحصل على حلزوني. لذا اسمحوا لي أن أريكم كيف قد يبدو الحل. لذا فإن الأصل هو النقطة الثابتة ويتلاشى بشكل كبير ، وبالتالي فإن النقطة الثابتة مستقرة والحل يتصاعد في الأصل. لذلك يمكن أن يبدو شيئًا كهذا ، ثم تصعد إلى الأصل ، ولأنها مستقرة & # x27s تدخل. لكننا لسنا متأكدين حقًا من أن هذا هو شكلها لأن هناك طريقتان للدخول في الأصل. هذه إحدى الطرق ، هنا ترى أن الحركة إذا بدت مثل ساعة ، فهذا في اتجاه عقارب الساعة ، لذلك هذا حلزوني في اتجاه عقارب الساعة. من ناحية أخرى ، إذا كان لدينا حلزوني عكس اتجاه عقارب الساعة ، فتذكر أن هذا هو x_1 و x_2 و x_1 و x_2 ، فإن الحلزوني عكس اتجاه عقارب الساعة سينتقل لولبًا في الأصل ، ولكن في الاتجاه الآخر ، هكذا. لذلك يمكن أن يبدو الحل كواحد من هؤلاء ، إنه حلزوني في الأصل ، ولكن يمكن أن يكون في اتجاه عقارب الساعة أو في هذه الحالة ، يكون عكس اتجاه عقارب الساعة. إذن كيف يمكنك تحديد أي واحد هو؟ إن أبسط طريقة هي النظر إلى النقطة الواقعة على المحور x_2. إذن لدينا هنا x_1 يساوي 0 ، عند هذه النقطة ، وهنا أيضًا. إذا نظرنا إلى x_1 يساوي 0 ، فسنحصل على x_1 نقطة تساوي x_2. لذا فإن x_1 نقطة تساوي x_2 مما يعني أنك & # x27re تتحرك إلى اليمين. إذن في الرسم البياني العلوي ، يتحرك المسار نحو اليمين ، والرسم البياني السفلي يتحرك المسار إلى اليسار. لذا نعوض بـ x_1 يساوي 0 ، x_2 موجبة ، ثم x_1 نقطة موجبة هنا ، وهذا صحيح & # x27s. لكن هنا x_1 نقطة سالبة ، لذلك هذا غير صحيح ، وهذا صحيح. تمام. دع & # x27s ننظر إلى صورة طور تم إنشاؤها بواسطة الكمبيوتر باستخدام MATLAB. لذا هنا ترى كيف تتصاعد جميع المسارات بشكل حلزوني في الأصل. تمام. لذا اسمحوا لي أن أراجع ، في هذه الحالة الأخيرة والأخيرة ، نظرنا في النقاط الحلزونية. هنا قيم eigenvalues ​​معقدة ، فهي تظهر كأزواج مترافقة معقدة. المفتاح هنا هو الجزء الحقيقي من قيمة eigenvalue. لذلك إذا كان الجزء الحقيقي سالبًا ، فهذا حلزوني ثابت ، كل الحلول تدور في الأصل ، إذا كان الجزء الحقيقي موجبًا ، فهذا حلزوني غير مستقر ، كل الحلول تخرج من الأصل. ثم لديك خياران سواء كان حلزونيًا في اتجاه عقارب الساعة أو حلزونيًا عكس اتجاه عقارب الساعة ، يمكنك تحديد أيهما عن طريق فحص المعادلة التفاضلية. أنا & # x27m جيف جاسانوف ، شكرًا على المشاهدة. & # x27ll أراك في الفيديو التالي.


النظرية النوعية للأنظمة التفاضلية المستوية

المؤلفون: دومورتييهفريدي ليبرجاومي ، أرتيس، جوان سي.

شراء هذا الكتاب

  • ردمك 978-3-540-32902-2
  • علامة مائية رقمية وخالية من إدارة الحقوق الرقمية
  • التنسيق المضمن: PDF
  • يمكن استخدام الكتب الإلكترونية على جميع أجهزة القراءة
  • تنزيل فوري للكتب الإلكترونية بعد الشراء
  • ردمك 978-3-540-32893-3
  • شحن مجاني للأفراد في جميع أنحاء العالم
  • يجب على العملاء المؤسسيين التواصل مع مدير حساباتهم
  • عادة ما تكون جاهزة للإرسال في غضون 3 إلى 5 أيام عمل ، إذا كانت متوفرة

يتعامل الكتاب بشكل أساسي مع أنظمة المعادلات التفاضلية العادية متعددة الحدود المستقلة في متغيرين حقيقيين. يكون التركيز نوعيًا بشكل أساسي ، على الرغم من الاهتمام أيضًا بالجوانب الأكثر جبرية كدراسة شاملة لمشكلة المركز / التركيز والنتائج الحديثة حول التكامل. في الفصلين الأخيرين ، تم تقديم أداة البرمجيات عالية الأداء P4: بناءً على كل من المعالجة الجبرية والحساب العددي ، تم تصميم هذا لغرض رسم "صور المرحلة متعددة الحدود" على جزء من المستوى ، أو على دمج Poincaré ، أو حتى على ضغط بوانكاريه-ليابونوف للطائرة.

منذ البداية ، يتم تمثيل الأنظمة التفاضلية بواسطة الحقول المتجهة التي تتيح ، بكامل قوتها ، نهج الأنظمة الديناميكية. يتم تقديم جميع المفاهيم الأساسية ، بما في ذلك المشعبات الثابتة ، والأشكال العادية ، وإزالة التفردات ، ونظرية الفهرس ودورات الحد ، وتم إثبات النتائج الرئيسية للأنظمة السلسة ذات المواصفات الضرورية للأنظمة التحليلية ومتعددة الحدود.

الكتاب مناسب جدًا للدورة الأولى في الأنظمة الديناميكية ، حيث يقدم المفاهيم الأساسية في دراسة الأنظمة الفردية ثنائية الأبعاد. فهو لا يوفر أدلة بسيطة ومناسبة فحسب ، بل إنه يحتوي أيضًا على الكثير من التمارين ويقدم مسحًا للنتائج المثيرة للاهتمام مع المراجع الضرورية للأدب.

فريدي دومورتييه أستاذ في جامعة هاسيلت (بلجيكا) ، وعضو في الأكاديمية الملكية الفلمنكية في بلجيكا للعلوم والفنون. كان زائرًا لفترة طويلة في مختلف الجامعات والمعاهد البحثية المهمة. وهو مؤلف للعديد من الأوراق البحثية ، وتتناول نتائجه الرئيسية التفردات واضطراباتها المنفردة التي تتكشف ومعادلات لينارد ومسألة هيلبرت السادسة عشر.

JAUME LLIBRE أستاذ في جامعة برشلونة المستقلة (إسبانيا) ، وهو عضو في الأكاديمية الملكية للعلوم والفنون في برشلونة. كان زائرًا لفترة طويلة في مختلف الجامعات والمعاهد البحثية المهمة. وهو مؤلف للعديد من الأوراق ولديه عدد كبير من طلاب الدكتوراه. تتعامل نتائجه الرئيسية مع المدارات الدورية ، والنتروبولوجيا الطوبولوجية ، وحقول المتجهات متعددة الحدود ، وأنظمة هاملتونيان والميكانيكا السماوية.

جوان سي آرتيس أستاذ في جامعة برشلونة المستقلة (إسبانيا). نتائجه الرئيسية تتعامل مع حقول المتجهات متعددة الحدود ، وبشكل أكثر واقعية المجالات التربيعية. لقد برمج ، منذ حوالي 20 عامًا ، الإصدار الأول من P4 (للأنظمة التربيعية فقط) والذي تم من خلاله تطوير البرنامج P4 بمساعدة كريس هرسنس وبيتر دي ميسشالك.

"النظرية النوعية للأنظمة التفاضلية المستوية هي مقدمة على مستوى الدراسات العليا لأنظمة المعادلات التفاضلية المستقلة متعددة الحدود في متغيرين حقيقيين. ... يعالج هذا النص النتائج الأساسية للنظرية النوعية بكفاءة ووضوح. ... مادة النص جيدة- متكاملة ويمكن الوصول إليها بسهولة من قبل طلاب الدراسات العليا أو الطلاب الجامعيين المتقدمين بشكل خاص. " (William J. Satzer، MathDL، كانون الأول (ديسمبر) 2006)

"هذا الكتاب المدرسي ، الذي كتبه علماء مشهورون في مجال النظرية النوعية للمعادلات التفاضلية العادية ، يقدم مقدمة شاملة للموضوعات الأساسية والأساسية للأنظمة المستقلة التفاضلية المستوية الحقيقية. ... التركيز بشكل أساسي نوعي ، على الرغم من الاهتمام أيضًا لمزيد من الجوانب الجبرية. هناك قائمة واسعة من المراجع. الدراسة مكتوبة بشكل جيد وتحتوي على الكثير من الرسوم التوضيحية والأمثلة. وستكون مفيدة للطلاب والمعلمين والباحثين. " (الكسندر جرين ، Zentralblatt MATH ، المجلد. 1110 (12) ، 2007)

"النظم التفاضلية المستوية التي هي موضوع هذا الكتاب هي أنظمة المعادلات التفاضلية المستقلة .... يحتوي هذا الكتاب على ثروة من المعلومات والتقنيات ، بعضها غير متوفر خارج الأدبيات البحثية. ... علاوة على ذلك العرض دقيق وواضح وجيد - الدافع ... يمكن أن يكون هذا العمل بمثابة كتاب مدرسي لدورة تدريبية في الأنظمة الديناميكية السلسة في المناطق المستوية ، وكمرجع يتم فيه شرح الأدوات المهمة للبحث الحالي بدقة وتوضيح استخدامها ". (دوغلاس س. شيفر ، مراجعات رياضية ، العدد 2007 و)


5.4: نظرية نظم المعادلات التفاضلية - الرياضيات

ساعات العمل: M-F 10: 05-10: 50 صباحًا ، M-F 4-4: 30 مساءً ، عندما أكون في مكتبي (انقر هنا للحصول على الجدول الزمني الخاص بي)

جلسات مراجعة TA: الأحد 9-11 مساءً في CLARK 204 والإثنين 9-11 مساءً في BRONFMAN 106

النهائي يوم السبت ، 23 مايو الساعة 1:30 ظهرًا في برونفمان 105

جلسات المراجعة: الخميس 14 مايو من 1:30 - 3:30 في Bronfman 107

الخميس 21 مايو من 2 - 4 مساءً ، الجمعة 22 مايو من 10-11 صباحًا ومن 1: 30-2: 30 مساءً (الكل في برونفمان 104)

وصف الدورة التدريبية: تاريخيا ، نشأت الكثير من الرياضيات الجميلة من محاولات تفسير تدفق الحرارة ، والتفاعلات الكيميائية ، والعمليات البيولوجية ، أو المجالات المغناطيسية. بعض التقنيات البارعة تحل جزءًا كبيرًا بشكل مدهش من المعادلات التفاضلية العادية والجزئية المرتبطة بها. سنبدأ مع معادلات الفرق. هذه هي النظائر المنفصلة للمعادلات التفاضلية ، ولديها العديد من التطبيقات في كل من الرياضيات البحتة والتطبيقية (على سبيل المثال ، يشرح تعميم أرقام فيبوناتشي سبب إفلاسك مضاعفة زائد واحد تقريبًا إذا لعبت لعبة الروليت في لاس فيجاس!) . بعد دراسة هذه المعادلات ، سننتقل إلى المعادلات التفاضلية ، التي تصف كل من نظريات الوجود العام والتفرد بالإضافة إلى تقنيات حل الأنظمة (التي تتراوح من الحلول الكاملة إلى التقريبات العددية). سيتم استخلاص الأمثلة من الرياضيات البحتة والفيزياء وعلم الأحياء ، وكذلك من طلبات الفصل. كلما سمح الوقت ، سنصف الوظائف الخاصة والموضوعات المتقدمة (تشمل الاحتمالات نظرية المصفوفة العشوائية وحساب الاختلافات). الشكل: محاضرة / مناقشة. سيعتمد التقييم على مجموعات المشكلات واختبارات الساعات والامتحان النهائي. المتطلبات الأساسية: رياضيات 102 (أو أثبتت إتقانها في اختبار تشخيصي ، انظر الرياضيات 101). لا يوجد حد للتسجيل (المتوقع: 30).

العمل المنزلي / الامتحانات / الدرجات: أنا أشجعك على العمل في مجموعات ، ولكن يجب على الجميع تقديم مهمة HW الخاصة بهم. يجب تسليم المخلفات الخطرة في الوقت المحدد ، وتدبيسها وأنيقها - لن يتم تصنيف المخلفات الخطرة المتأخرة أو غير المتقنة أو غير المدبسة. يرجى إظهار عملك على HW والامتحانات (وإلا فإنك تخاطر بعدم الحصول على ائتمان). سيكون التقدير: 20٪ واجب منزلي ، 40٪ نصفي (سيكون هناك اثنان) ، 40٪ نهائي. يمكنك أيضًا تنفيذ مشروع يتضمن معادلات تفاضلية ، والتي ستُحتسب بنسبة 10٪ من درجتك (وسيتم تخفيض الفئات الأخرى بنسبة 10٪ لكل منها). جميع الاختبارات تراكمية. انقر هنا للحصول على مثال حول كيفية كتابة واجب منزلي (هذا هو حل أول مسألتين من معادلات الفرق).

SYLLABUS / عام: سيكون الكتاب المدرسي هو الإصدار التاسع من كتاب بويس وديبريما `` المعادلات التفاضلية الأولية ومشكلات القيمة الحدودية '' (يجوز لك استخدام الإصدار الثامن لهذه الفئة - إذا اختلفت مشكلات HW ، فسأقوم بنشر المشكلة من الإصدار التاسع.). سوف نتابع الكتاب عن كثب ، ونغطي الكثير من الفصول الثمانية الأولى ، مع استكماله أحيانًا بمواد إضافية من مصادر أخرى. تتوفر ملاحظات محاضراتي أيضًا عبر الإنترنت هنا (انقر هنا للحصول على تعليقات إضافية على كل محاضرة) ملاحظة ، بالطبع ، أن هذه ملاحظات تقريبية لمساعدتي في تقديم كل محاضرة وبالتالي لن تتضمن كل ما هو مذكور في الفصل. أيضًا ، لا تتردد في مراجعة مكتبي أو ذكر أي أسئلة أو مخاوف لديك حول الدورة التدريبية قبل أو في أو بعد الفصل الدراسي. إذا كان لديك أي اقتراحات للتحسينات ، بدءًا من طريقة العرض إلى اختيار الأمثلة ، فما عليك سوى إعلامي. إذا كنت تفضل تقديم هذه الاقتراحات دون الكشف عن هويتك ، فيمكنك إرسال بريد إلكتروني من [email protected] (كلمة المرور هي أول سبعة أرقام فيبوناتشي ، 11235813).

الأهداف: هناك هدفان رئيسيان لهذه الدورة: تعلم كيفية حل معادلات الفروق والتفاضل ، وتعلم كيفية صياغة مشاكل العالم الحقيقي وكيفية مهاجمة حلها. سنؤكد باستمرار على التقنيات التي نستخدمها لحل المشكلات ، حيث إن هذه التقنيات قابلة للتطبيق على مجموعة واسعة من المشكلات في العلوم.

العمل المنزلي والقراءة: سنغطي الأقسام التالية (بالإضافة إلى الأقسام الأخرى حسب ما يسمح به الوقت):

الفصل 1: مقدمة: 1.1، 1.2، 1.3.

الفصل 2: ​​المعادلات الخطية من الدرجة الأولى: سنبدأ بمعادلات الفرق (انظر أيضًا القسم 2.9) ، 2.2 ، 2.5 (انظر أيضًا Tim Penning's Do Dogs Know Bifurcations) ، 2.6 ، 2.7 ، 2.8.

الفصل 3: المعادلات الخطية من الدرجة الثانية: 3.1، 3.2، 3.3، 3.4، 3.5، 3.6، 3.7.


نظرية المعادلات التفاضلية: كلاسيكية ونوعية

تقترح لجنة قائمة المكتبات الأساسية أن تأخذ مكتبات الرياضيات الجامعية في الاعتبار هذا الكتاب للاقتناء.

هذا كتاب جيد جدا عن المعادلات التفاضلية. إنه نوع الكتاب الذي سأستخدمه في الفصل الدراسي وكذلك أوصي به للطالب للدراسة المستقلة. أستطيع أن أرى أنه يستخدم ككتاب دراسي لدورة في المعادلات التفاضلية ، لمدة عام إذا احتاج حساب التفاضل والتكامل وخلفية الجبر الخطي إلى التعزيز ، أو في دورة فصل دراسي واحد لتخصصات الرياضيات.

لا يحتوي الكتاب على حلول متسلسلة أو تحويل لابلاس أو الطرق العددية ، لذلك قد لا يكون مفيدًا على الفور للتخصصات الهندسية. من ناحية أخرى ، فهي تبني نظرية المعادلات التفاضلية ، وهي تعمل بشكل جيد. توجد نظرية فلوكيت في الفصل 2 ، وتناقش الأنظمة المستقلة في الفصل 3 ، ويحتوي الفصل 4 على طرق الاضطراب. قد يبدو أن هذه الموضوعات ليست في مكانها الصحيح في كتاب مدرسي للصف الأول في المعادلات التفاضلية ، ولكن من خلال اختيارهم للأمثلة والتمارين ، يجعل المؤلفون الموضوعات تتدفق بوتيرة طبيعية.

هناك موضوعات جانبية صغيرة لطيفة ، مثل بناء دوال الجيب وجيب التمام وإثبات الهويات المثلثية الأساسية التي تعتمد فقط على نظرية الوجود والتفرد ، بالإضافة إلى موضوعات أقل شيوعًا ، مثل نظريات العوامل.

تأخذ الفصول من 5 إلى 8 القارئ من خلال مسائل Sturm-Liouville ، وحساب الاختلافات ، وأنظمة الترتيب الأعلى ، و ODE & # 8217s غير الخطية ، ونظريات الوجود والتفرد الكلاسيكي. هذه الموضوعات غنية بما يكفي ليكون كل منها موضوعًا لكتاب منفصل. يتعامل النص الحالي معهم إلى الحد الذي يمكن فيه مناقشة النظريات الجوهرية ، وفي نفس الوقت يترك القارئ راغبًا في معرفة ما يمكن قوله أكثر. المراجع مناسبة وتشير إلى صفحات محددة في النصوص الكلاسيكية (كودينجتون وليفينسون وهارتمان ، إلخ).

أعتقد أن المدرسين سيستمتعون بالتدريس من هذا الكتاب ، وأن الطلاب سيكونون قادرين على الدراسة منه (إما من خلال فصل دراسي أو بشكل مستقل) بوتيرة جيدة. وسيتعلمون الكثير عن المعادلات التفاضلية.

فلورين كاترينا أستاذ مساعد في الرياضيات بجامعة سانت جون في كوينز بنيويورك.

الفصل 1 المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى
1.1 النتائج الأساسية
1.2 المعادلات الخطية من الدرجة الأولى
1.3 المعادلات المستقلة
1.4 معادلة لوجستية معممة
1.5 تشعب
1.6 تمارين

الفصل 2 الأنظمة الخطية
2.1 مقدمة
2.2 معادلة المتجه x '= A (t) x
2.3 الدالة الأسية للمصفوفة
2.4 المصفوفة المستحثة
2.5 نظرية فلوكيت
2.6 تمارين

الفصل 3 الأنظمة المستقلة
3.1 مقدمة
3.2 مخططات مستوى المرحلة
3.3 مخططات الطور للأنظمة الخطية
3.4 استقرار الأنظمة غير الخطية
3.5 الخطية للأنظمة غير الخطية
3.6 وجود وعدم وجود حلول دورية
3.7 الأنظمة ثلاثية الأبعاد
3.8 المعادلات التفاضلية والرياضيات (أ)
3.9 تمارين

الفصل 4 طرق القلق
4.1 مقدمة
4.2 الحلول الدورية
4.3 اضطرابات فردية
4.4 تمارين

الفصل 5 المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية
5.1 التعريفات الأساسية
5.2 مثال مثير للاهتمام
5.3 دالة كوشي وتنوع صيغة الثوابت
5.4 مشاكل Sturm-Liouville
5.5 أصفار الحلول والانفصال
5.6 تحليل العوامل والحلول المتنحية والمهيمنة
5.7 معادلة ريكاتي
5.8 حساب الاختلافات
5.9 وظائف Green & # 8217s
5.10 تمارين

الفصل 6 المعادلات التفاضلية الخطية من الترتيب ن
6.1 النتائج الأساسية
6.2 تباين صيغة الثوابت
6.3 وظائف Green & # 8217s
6.4 العوامل والحلول الرئيسية
6.5 المعادلة المرافقة
6.6 تمارين

الفصل 7 BVPs لـ DEs من الدرجة الثانية غير الخطية
7.1 نظرية رسم الخرائط الانكماشية (CMT)
7.2 تطبيق CMT على معادلة قسرية
7.3 تطبيقات CMT على BVPs
7.4 الحلول الدنيا والعليا
7.5 حالة Nagumo
7.6 تمارين

الفصل 8 الوجود والنظريات الفريدة
8.1 النتائج الأساسية
8.2 حالة Lipschitz و Picard-Lindelof Theorem
8.3 الاستمرارية ونظرية أسكولي-أرزيلا
8.4 نظرية كوشي-بينو
8.5 قابلية توسيع الحلول
8.6 نظرية التقارب الأساسية
8.7 Continuity of Solutions with Respect to ICs
8.8 Kneser’s Theorem
8.9 Differentiating Solutions with Respect to ICs
8.10 Maximum and Minimum Solutions
8.11 Exercises


Differential Equations: Theory and Applications

The book provides a comprehensive introduction to the theory of ordinary differential equations at the graduate level and includes applications to Newtonian and Hamiltonian mechanics. It not only has a large number of examples and computer graphics, but also has a complete collection of proofs for the major theorems, ranging from the usual existence and uniqueness results to the Hartman-Grobman linearization theorem and the Jordan canonical form theorem.

The book can be used almost exclusively in the traditional way for graduate math courses, or it can be used in an applied way for interdisciplinary courses involving physics, engineering, and other science majors. For this reason an extensive computer component using Maple is provided on Springer’s website.

This new edition has been extensively revised throughout, particularly the chapters on linear systems, stability theory and Hamiltonian systems.

The computer component is an in-depth supplement and complement to the material in the text and contains an introduction to discrete dynamical systems and iterated maps, special-purpose Maple code for animating phase portraits, stair diagrams, N-body motions, and rigid-body motions, and numerous tutorial Maple worksheets pertaining to all aspects of using Maple to study the topics in the text.

Review from first edition:

"This book is intended for first- and second- year graduate students in mathematics and also organized to be used for interdisciplinary courses in applied mathematics, physics, and engineering. . The book is well written and provides many interesting examples. The author gives a comprehensive introduction to the theory on ordinary differential equations with a focus on mechanics and dynamical systems. The exposition is clear and easily understood. " (Yuan Rong, Zentralblatt MATH, Vol. 993 (18), 2002)

"This book is a comprehensive reader-friendly introduction to differential equations. … The theory is illustrated by a great number of nice examples, applications, figures. … I can warmly recommend the book for graduate mathematics, physic students and also students in applied sciences. Finally, I would like to encourage students, their professors and researchers to do computer experiments … for improving their study, teaching and scientific work." (János Karsai, Acta Scientiarum Mathematica, Vol. 70, 2004)

"The book under review is intended for a one or two semester graduate course in ordinary differential equations. A novel feature of the book is the incorporation of Maple into the presentation … . This well written book offers an application-minded instructor great flexibility in designing a course. All the necessary theory is included, as well as wide range of examples from physics and engineering … ." (J. E. Paullet, Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, Vol. 84 (6), 2004)

"This book is one of the few graduate differential equations texts that use the computer to enhance the concepts and theory normally taught to first- and second-year graduate students in mathematics. The author gives a comprehensive introduction to the theory of ordinary differential equations with a focus on mechanics and dynamical systems … ." (Wei Nian Zhang, Mathematical Reviews, 2002 b)

"This book is intended to serve as a comprehensive introduction to the theory of ordinary differential equations … . the material is organized so that it can be also used in a wider setting within today’s modern university and society. … The book makes every attempt to blend together the traditional theoretical material on differential equations and the new techniques afforded by computer algebra systems … ." (International Aerospace Abstracts, Vol. 42 (5), 2002)

"This book is intended for first- and second-year graduate students in mathematics and also organized to be used for interdisciplinary courses in applied mathematics, physics, and engineering. … The book is well written and provides many interesting examples. The author gives a comprehensive introduction to the theory on ordinary differential equations with a focus on mechanics and dynamical systems. The exposition is clear and easily understood." (Yuan Rong, Zentralblatt MATH, Vol. 993 (18), 2002)

From the reviews of the second edition:

“This textbook is intended as a comprehensive introduction to ordinary differential equations for graduate students. … This is a very readable text that is enhanced with good supporting figures. Especially striking are hand-drawn figures reproduced to look like blackboard sketches. The proofs throughout the book are particularly … detailed. There are also well-designed exercises for every section in the text. This is one graduate-level graduate differential equations text that really would support self-study.” (William J. Satzer, The Mathematical Association of America, February, 2010)

“The book is an introduction to the theory of ordinary differential equations and intended for first- or second-year graduate students. … The main feature of this book is its comprehensive structure, many examples and illustrations, and complementary electronic material. The electronic material is now provided on the Springer’ website and consists of about 40 Maple-worksheets.” (Sergiy Yanchuk, Zentralblatt MATH, Vol. 1192, 2010)

“This is the updated edition of a comprehensive introduction to ordinary differential equations from the view point of dynamical systems. … The book is written in a concise style suitable for advanced undergraduate and beginning graduate students. … all chapters including the online materials have been revised and enhanced. Moreover, many new examples and exercises have been added.” (G. Teschl, Monatshefte für Mathematik, Vol. 162 (3), March, 2011)

“This is quite a good … intermediate level textbook on ordinary differential equations. It emphasizes dynamical systems and mechanics, nicely illustrating geometric ideas with good graphics … . this textbook has lots to recommend it.” (Robert E. O’Malley, Jr., SIAM Review, Vol. 52 (2), 2010)


Calculus Early Transcendentals: Integral & Multi-Variable Calculus for Social Sciences

Many physical phenomena can be modeled using the language of calculus. For example, observational evidence suggests that the temperature of a cup of tea (or some other liquid) in a room of constant temperature will cool over time at a rate proportional to the difference between the room temperature and the temperature of the tea.

In symbols, if (t) is the time, (M) is the room temperature, and (f(t)) is the temperature of the tea at time (t) then (f'(t) = k(M-f(t))) where (k>0) is a constant which will depend on the kind of tea (or more generally the kind of liquid) but not on the room temperature or the temperature of the tea. This is and the equation that we just wrote down is an example of a . Ideally we would like to solve this equation, namely, find the function (f(t)) that describes the temperature over time, though this often turns out to be impossible, in which case various approximation techniques must be used. The use and solution of differential equations is an important field of mathematics, because differential equations help us to predict future behaviour based on how current values are related and how they change with respect to each other (perhaps over time). Here we see how to solve some simple but useful types of differential equation.

Informally, a differential equation is an equation in which one or more of the derivatives of some function appears. Typically, a scientific theory will produce a differential equation (or a system of differential equations) that describes or governs some physical process, but the theory will not produce the desired function or functions directly.

Definition 5.1 .

A is a mathematical equation for an unknown function of one (or several) variables that relates the function to its derivatives.

A to a differential equation is a function that satisfies the differential equation.

ملحوظة: على المدى Differential Equation is often abbreviated with , and so DEs stands for differential equations.

The following are examples of differential equations:

Clearly, there are many different characteristics of a differential equation. The characteristics that are used throughout the notes are introduced below. However, there are additional ways to classify differential equations, which we leave to the interested reader, who pursues this field of study.


5.4: Theory of Systems of Differential Equations - Mathematics

Acrobat Distiller 4.05 for Windows modified using iText 4.2.0 by 1T3XT

endstream endobj 14 0 obj >stream x + | endstream endobj 15 0 obj >stream x S * *T0T0 BC S c3 LK | @ @. endstream endobj 16 0 obj >stream x + | endstream endobj 17 0 obj >stream x S * *T0T0 BC S c3 L | @ @. endstream endobj 18 0 obj >stream x + | endstream endobj 19 0 obj >stream x S * *T0T0 BC S c3 LS | @ @. endstream endobj 20 0 obj >stream x + | endstream endobj 21 0 obj >stream x S * *T0T0 BC S c3 Lc | @ @. endstream endobj 22 0 obj >stream x + | endstream endobj 23 0 obj >stream x S * *T0T0 BC S c3 L | @ @. endstream endobj 24 0 obj >stream x + | endstream endobj 25 0 obj >stream x S * *T0T0 BC S c3 L# | @ @. endstream endobj 26 0 obj >stream x + | endstream endobj 27 0 obj >stream x S * *T0T0 BC S c3 Ls | @ @. endstream endobj 28 0 obj >stream x + | endstream endobj 29 0 obj >stream x S * *T0T0 BC S c3 L | @ @. endstream endobj 30 0 obj >stream x + | endstream endobj 31 0 obj >stream x S * *T0T0 BC S c3 LC | @ @. endstream endobj 32 0 obj >stream x + | endstream endobj 33 0 obj >stream x S * *T0T0 BC S c3 L3 | @ @. endstream endobj 35 0 obj >stream H W]s۶ > L % Q -) ) 7 s h D i w R w I x awϞsv ] 6 | -R EOW V D O ) : Qt N [? C 7_ >w k ^ ! pΏs )) ' O eUП3T t u[ E


شاهد الفيديو: ما هي المعادلة التفاضلية وكيف يتم حل هذه المعادلة وذلك بفصل المتغيرات (كانون الثاني 2022).