مقالات

6.2: أكبر عامل وعامل مشترك بالتجميع - الرياضيات


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • أوجد العامل المشترك الأكبر لمقدارين أو أكثر
  • حلل العامل المشترك الأكبر من كثير الحدود إلى عوامل
  • عامل بالتجميع

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. حلل العامل 56 في الأعداد الأولية.
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  2. أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 18 و 24.
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  3. اضرب: (- 3a (7a + 8b) ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].

أوجد العامل المشترك الأكبر لاثنين أو أكثر من التعبيرات

في وقت سابق قمنا بضرب العوامل معًا للحصول على منتج. الآن ، سنعكس هذه العملية ؛ سنبدأ بمنتج ثم نقسمه إلى عوامله. يسمى تقسيم المنتج إلى عوامل التخصيم.

لقد تعلمنا كيفية تحليل الأرقام لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لرقمين أو أكثر. الآن سنحلل المقادير ونوجد العامل المشترك الاكبر من تعبيرين أو أكثر. الطريقة التي نستخدمها تشبه ما استخدمناه لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر.

العامل المشترك الاكبر

ال العامل المشترك الاكبر (GCF) لتعبيرات أو أكثر هو أكبر تعبير يمثل عاملاً لجميع التعبيرات.

نلخص الخطوات التي نستخدمها لإيجاد العامل المشترك الأكبر.

ابحث عن العامل المشترك الأكبر (GCF) لتعبيرين.

  1. حلل كل معامل إلى أعداد أولية. اكتب كل المتغيرات مع الأس في شكل موسع.
  2. قائمة بجميع العوامل — مطابقة العوامل المشتركة في عمود. في كل عمود ، ضع دائرة حول العوامل المشتركة.
  3. نكتب العوامل المشتركة التي تشترك فيها كل التعبيرات.
  4. اضرب العوامل.

سيوضح لنا المثال التالي الخطوات لإيجاد العامل المشترك الأكبر لثلاثة تعبيرات.

مثال ( PageIndex {1} )

أوجد العامل المشترك الأكبر لـ (21x ^ 3، space 9x ^ 2، space 15x ).

إجابه
حلل كل معامل إلى أعداد أولية واكتب
المتغيرات مع الأس في شكل موسع.
ضع دائرة حول العوامل المشتركة في كل عمود.
نذكر العوامل المشتركة.
اضرب العوامل.
العامل المشترك الأكبر لـ (21x ^ 3 ) و (9x ^ 2 ) و (15x ) هو (3x ).

مثال ( PageIndex {2} )

أوجد العامل المشترك الأكبر: (25m ^ 4، space 35m ^ 3، space 20m ^ 2. )

إجابه

(5 م ^ 2 )

مثال ( PageIndex {3} )

أوجد العامل المشترك الأكبر: (14x ^ 3، space 70x ^ 2، space 105x ).

إجابه

(7x )

حلل العامل المشترك الأكبر من كثير الحدود

من المفيد أحيانًا تمثيل رقم باعتباره منتجًا لعوامل ، على سبيل المثال ، 12 كـ (2 · 6 ) أو (3 · 4 ). في الجبر ، قد يكون من المفيد أيضًا تمثيل كثير الحدود في شكل عامل. سنبدأ بمنتج مثل (3x ^ 2 + 15x ) ، وننتهي بعوامله ، (3x (x + 5) ). للقيام بذلك ، نقوم بتطبيق خاصية التوزيع "في الاتجاه المعاكس".

نذكر هنا الملكية التوزيعية تمامًا كما رأيتها في الفصول السابقة و "بالعكس".

الملكية التوزيعية

لو أ, ب، و ج هي أرقام حقيقية ، إذن

[a (b + c) = ab + ac quad text {and} quad ab + ac = a (b + c) nonumber ]

النموذج الموجود على اليسار يستخدم للضرب. يستخدم النموذج الموجود على اليمين في التحليل.

فكيف تستخدم خاصية التوزيع لعامل أ متعدد الحدود؟ يمكنك فقط العثور على العامل المشترك الأكبر لجميع المصطلحات وكتابة كثير الحدود كمنتج!

مثال ( PageIndex {4} ): كيفية استخدام الخاصية التوزيعية لتحليل كثير الحدود إلى عوامل

العامل: (8m ^ 3−12m ^ 2n + 20mn ^ 2 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {5} )

العامل: (9xy ^ 2 + 6x ^ 2y ^ 2 + 21y ^ 3 ).

إجابه

(3y ^ 2 (3x + 2x ^ 2 + 7y) )

مثال ( PageIndex {6} )

العامل: (3p ^ 3−6p ^ 2q + 9pq ^ 3 ).

إجابه

(3 ع (ص ^ 2−2pq + 3q ^ 2) )

عامل أعظم عامل مشترك من متعدد الحدود.

  1. أوجد العامل المشترك الأكبر لجميع حدود كثير الحدود.
  2. أعد كتابة كل مصطلح كمنتج باستخدام العامل المشترك الأكبر.
  3. استخدم خاصية التوزيع "العكسي" لتحليل التعبير.
  4. تحقق بضرب العوامل.

العامل كاسم وفعل

نستخدم "factor" كاسم وفعل:

[ start {array} {ll} text {Noun:} & hspace {50mm} 7 ​​text {هو عامل} 14 text {Verb:} & hspace {50mm} text {factor } 3 text {from} 3a + 3 end {array} nonumber ]

مثال ( PageIndex {7} )

العامل: (5x ^ 3−25x ^ 2 ).

إجابه
أوجد العامل المشترك الأكبر لـ (5x ^ 3 ) و (25x ^ 2 ).
أعد كتابة كل مصطلح.
حلل العامل المشترك الأكبر.

التحقق من:

[5x ^ 2 (x − 5) nonumber ]

[5x ^ 2 · x − 5x ^ 2 · 5 nonumber ]

[5x ^ 3−25x ^ 2 checkmark nonumber ]

مثال ( PageIndex {8} )

العامل: (2x ^ 3 + 12x ^ 2 ).

إجابه

(2 س ^ 2 (س + 6) )

مثال ( PageIndex {9} )

العامل: (6y ^ 3−15y ^ 2 ).

إجابه

(3y ^ 2 (2y − 5) )

مثال ( PageIndex {10} )

العامل: (8x ^ 3y − 10x ^ 2y ^ 2 + 12xy ^ 3 ).

إجابه
العامل المشترك الأكبر لـ (8x ^ 3y، space −10x ^ 2y ^ 2، ) و (12xy ^ 3 )
هو (2xy ).
أعد كتابة كل مصطلح باستخدام العامل المشترك الأكبر ، (2xy ).
حلل العامل المشترك الأكبر.

التحقق من:

[2xy (4x ^ 2−5xy + 6y ^ 2) nonumber ]

[2xy · 4x ^ 2−2xy · 5xy + 2xy · 6y ^ 2 nonumber ]

[8x ^ 3y − 10x ^ 2y ^ 2 + 12xy ^ 3 checkmark nonumber ]

مثال ( PageIndex {11} )

العامل: (15x ^ 3y − 3x ^ 2y ^ 2 + 6xy ^ 3 ).

إجابه

(3xy (5x ^ 2 − xy + 2y ^ 2) )

مثال ( PageIndex {12} )

العامل: (8a ^ 3b + 2a ^ 2b ^ 2−6ab ^ 3 ).

إجابه

(2ab (4a ^ 2 + ab − 3b ^ 2) )

عندما يكون المعامل الرئيسي سالبًا ، فإننا نخرج السالب كجزء من العامل المشترك الأكبر.

مثال ( PageIndex {13} )

العامل: (- 4a ^ 3 + 36a ^ 2−8a ).

إجابه

المعامل الرئيسي سالب ، لذا فإن العامل المشترك الأكبر سيكون سالبًا.

أعد كتابة كل حد باستخدام العامل المشترك الأكبر ، (- 4 أ ).
حلل العامل المشترك الأكبر.

التحقق من:

[- 4a (a ^ 2−9a + 2) nonumber ]

[- 4a · a ^ 2 - (- 4a) · 9a + (- 4a) · 2 nonumber ]

[- 4a ^ 3 + 36a ^ 2−8a checkmark nonumber ]

مثال ( PageIndex {14} )

العامل: (- 4b ^ 3 + 16b ^ 2−8b ).

إجابه

(- 4 ب (ب ^ 2−4 ب + 2) )

مثال ( PageIndex {15} )

العامل: (- 7a ^ 3 + 21a ^ 2−14a ).

إجابه

(- 7 أ (أ ^ 2−3a + 2) )

حتى الآن كانت أكبر العوامل المشتركة بيننا هي المونومرات. في المثال التالي ، العامل المشترك الأكبر هو ذو الحدين.

مثال ( PageIndex {16} )

العامل: (3y (y + 7) −4 (y + 7) ).

إجابه

العامل المشترك الأكبر هو ذو الحدين (y + 7 ).

حلل العامل المشترك الأكبر إلى عوامل ، ((y + 7) ).
تحقق بنفسك عن طريق الضرب.

مثال ( PageIndex {17} )

العامل: (4m (m + 3) −7 (m + 3) ).

إجابه

((م + 3) (4 م − 7) )

مثال ( PageIndex {18} )

العامل: (8n (n − 4) +5 (n − 4) ).

إجابه

((ن − 4) (8 ن + 5) )

عامل بالتجميع

في بعض الأحيان لا يوجد عامل مشترك لجميع مصطلحات كثيرة الحدود. عندما يكون هناك أربعة حدود ، فإننا نفصل كثيرة الحدود إلى جزأين مع حدين في كل جزء. ثم ابحث عن ملف GCF في كل جزء. إذا أمكن تحليل كثير الحدود إلى عوامل ، فستجد عاملًا مشتركًا ينشأ من كلا الجزأين. لا يمكن تحليل كل كثيرات الحدود إلى عوامل. تمامًا مثل بعض الأرقام رئيس، بعض كثيرات الحدود أولية.

مثال ( PageIndex {19} ): كيفية تحليل كثير الحدود بالتجميع

عامل بالتجميع: (xy + 3y + 2x + 6 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {20} )

حلل إلى عوامل التجميع: (xy + 8y + 3x + 24 ).

إجابه

((س + 8) (ص + 3) )

مثال ( PageIndex {21} )

عامل بالتجميع: (ab + 7b + 8a + 56 ).

إجابه

((أ + 7) (ب + 8) )

عامل التجميع.

  1. شروط المجموعة مع العوامل المشتركة.
  2. أخرج العامل المشترك في كل مجموعة.
  3. حلل العامل المشترك من التعبير.
  4. تحقق بضرب العوامل.

مثال ( PageIndex {22} )

عامل بالتجميع: ⓐ (x ^ 2 + 3x − 2x − 6 ) ⓑ (6x ^ 2−3x − 4x + 2 ).

إجابه


( start {array} {ll} text {لا يوجد GCF في جميع المصطلحات الأربعة.} & x ^ 2 + 3x − 2x − 6 text {منفصل إلى جزأين.} & x ^ 2 + 3x quad −2x − 6 start {array} {l} text {حلل العامل المشترك الأكبر من كلا الجزأين. كن حذرًا} text {بالعلامات عند تحليل العامل المشترك الأكبر من} text {آخر مصطلحين .} end {array} & x (x + 3) −2 (x + 3) text {أخرج العامل المشترك.} & (x + 3) (x − 2) text {تحقق من الخاص بك بضرب.} & end {array} )


( start {array} {ll} text {لا يوجد GCF في جميع المصطلحات الأربعة.} & 6x ^ 2−3x − 4x + 2 text {منفصل إلى جزأين.} & 6x ^ 2−3x quad −4x + 2 text {حلل العامل المشترك الأكبر من كلا الجزأين.} & 3x (2x − 1) −2 (2x − 1) text {أخرج العامل المشترك.} & (2x − 1) (3x −2) text {تحقق بنفسك بضرب.} & end {array} )

مثال ( PageIndex {23} )

عامل بالتجميع: ⓐ (x ^ 2 + 2x − 5x − 10 ) ⓑ (20x ^ 2−16x − 15x + 12 ).

إجابه

ⓐ ((س − 5) (س + 2) )
ⓑ ((5x − 4) (4x − 3) )

مثال ( PageIndex {24} )

عامل بالتجميع: ⓐ (y ^ 2 + 4y − 7y − 28 ) ⓑ (42m ^ 2−18m − 35m + 15 ).

إجابه

ⓐ ((ص + 4) (ص 7) )
ⓑ ((7 م − 3) (6 م − 5) )

المفاهيم الرئيسية

  • كيفية إيجاد العامل المشترك الأكبر (GCF) لتعبيران.
    1. حلل كل معامل إلى أعداد أولية. في كل عمود ، ضع دائرة حول العوامل المشتركة.
    2. نكتب العوامل المشتركة التي تشترك فيها كل التعبيرات.
    3. اضرب العوامل.
  • خاصية التوزيع: إذا كانت (a ) و (b ) و (c ) أرقامًا حقيقية ، إذن

    [a (b + c) = ab + ac quad text {and} quad ab + ac = a (b + c) nonumber ]


    النموذج الموجود على اليسار يستخدم للضرب. يستخدم النموذج الموجود على اليمين في التحليل.
  • كيفية تحليل العامل المشترك الأكبر من كثير الحدود.
    1. أوجد العامل المشترك الأكبر لجميع حدود كثير الحدود.
    2. أعد كتابة كل مصطلح كمنتج باستخدام العامل المشترك الأكبر.
    3. استخدم خاصية التوزيع "العكسي" لتحليل التعبير.
    4. تحقق بضرب العوامل.
  • عامل كاسم وفعل: نستخدم "عامل" كاسم وفعل.

    [ start {array} {ll} text {Noun:} & quad 7 text {هو عامل} 14 text {Verb:} & quad text {factor} 3 text {from } 3a + 3 end {array} nonumber ]

  • كيفية التحليل بالتجميع.
    1. شروط المجموعة مع العوامل المشتركة.
    2. أخرج العامل المشترك في كل مجموعة.
    3. حلل العامل المشترك من التعبير.
    4. تحقق بضرب العوامل.

قائمة المصطلحات

التخصيم
يسمى تقسيم المنتج إلى عوامل التخصيم.
العامل المشترك الاكبر
العامل المشترك الأكبر (GCF) لتعبيران أو أكثر هو أكبر تعبير يمثل عاملًا لكل التعبيرات.

التخصيم

1. العامل المشترك الأكبر. تحقق دائمًا لمعرفة ما إذا كان بإمكانك تحديد العامل المشترك الأكبر (GCF).
العامل المشترك الأكبر هو أكبر عامل تشترك فيه كل الحدود في التعبير المعطى. ال
قد يتضمن GCF متغيرات. أيضًا ، يحتوي إطار التعاون العالمي أحيانًا على أكثر من مصطلح واحد.

العامل المشترك الأكبر هو 5 × 2.
العامل المشترك الأكبر هو (x & # 8211 y).

بعد تحديد GCF ، يمكنك استخدام خاصية التوزيع لإعادة كتابة التعبير باستخدام GCF
تم أخذها في الاعتبار.

تعرف على 4w على أنها GCF.
استخدم خاصية التوزيع للكتابة في شكل عامل.

الآن سننظر في ثلاثة أنواع من كثيرات الحدود: التعبيرات ذات الحدين (المصطلحين) ، التعبيرات ثلاثية الحدود
(ثلاثة مصطلحات) ، تعبيرات بأربعة حدود. ستكون الخطوة الأولى لجميع هذه الحالات هي استبعاد إطار التعاون العالمي.

II. ذات الحدين. هناك ثلاث حالات خاصة تندرج تحت فئة الفترتين.

أ. اختلاف المربعات. أ 2 & # 8211 ب 2 = (أ + ب) (أ & # 8211 ب)
يمكن التحقق من ذلك عن طريق الضرب
على الجانب الأيمن.

قد تساعدك هذه الخطوة في معرفة ما هي القواعد
استخدم الصيغة لإعادة الكتابة بالصيغة المحللة إلى عوامل.

ب. فرق المكعبات. أ 3 & # 8211 ب 3 = (أ & # 8211 ب) (أ 2 + أب + ب 2)
مرة أخرى ، قد يتم التحقق من هذا بواسطة
ضرب الجانب الأيمن.

أخرج العامل المشترك الأكبر أولًا.
يتعرف على فرق المكعبات.
اكتب بصيغة التحليل باستخدام صيغة فرق المكعبات.

ج. مجموع المكعبات. أ 3 + ب 3 = (أ + ب) (أ 2 & # 8211 أب + ب 2)

تعرف على مجموع المكعبات.
اكتب في صورة التحليل باستخدام صيغة مجموع المكعبات.

ملاحظة: لا يوجد عامل لمجموع المربعات. على سبيل المثال ، لا يمكن تحليل 9p 2 + 4q 2. أنه
رئيس.

ثالثا. ثلاثيات. سنناقش طريقتين مختلفتين لتحليل ثلاثي الحدود بالصيغة ax 2 + bx + c.

أ طريقة التيار المتردد أو طريقة التجميع.
1. يسمى هذا أحيانًا طريقة التيار المتردد لأنه مع ثلاثي الحدود بالصيغة ax 2 + bx + c (حيث a ،
ب ، ج ثوابت) ستكون الخطوة الأولى هي ضرب a و c.
2. بعد ذلك ، سوف تبحث عن عاملين للمنتج & # 8220ac & # 8221 يضيفان إلى الحد الأوسط & # 8217s
المعامل & # 8220b & # 8221 من ثلاثي الحدود الأصلي.
3. ثم تعيد كتابة الحد الأوسط كمجموع هذين العاملين اللذين اكتشفتهما في الخطوة 2. دون & # 8217t
ننسى تضمين المتغير (فهي مثل المصطلحات ويجب أن تكون مثل الحد الأوسط الأصلي).
4. الآن لديك كثيرة حدود ذات أربعة حدود. جمِّع التعبير في مجموعتين من فترتين لكل منهما
وعامل خارج إطار التعاون العالمي لكل مجموعة مكونة من فترتين. (خطوة التجميع هذه هي السبب في أننا
يطلق على هذا أحيانًا طريقة التجميع.)
5. يجب أن تتعرف الآن على عامل مشترك ذي حدين. حلل هذه ذات الحدين إلى الخارج واكتب
التعبير في شكل عامل باستخدام خاصية التوزيع.

العامل الأول خارج الصندوق الأخضر للمناخ. ثم اضرب & # 8220a & # 8221 و & # 8220c. & # 8221
(4) (- 3) = -12 عاملين من -12 يضيفان إلى الشكل 4 هما -2 و 6.
أعد كتابة الحد الأوسط كمجموع & # 8220 & # 82112x & # 8221 و & # 82206x. & # 8221
جمِّع المصطلحات الأربعة في مجموعتين من مجموعتين.
أخرج العامل المشترك الأكبر لكل مجموعة وتعرف على (2x & # 8211 1) هو
العامل المشترك ذو الحدين.
استخدم خاصية التوزيع للكتابة في صورة محللة إلى عوامل.

باء- طريقة التجربة والخطأ. تتضمن هذه الطريقة إيجاد عوامل المصطلح الرئيسي (& # 8220a & # 8221) والأخير
المصطلح (& # 8220c & # 8221) وتجربتها في منتج ذي حدين. استخدم FOIL للضرب ومعرفة ما إذا كان
العوامل في تجربتك تنتج ثلاثي الحدود الأصلي.

عوامل 2 هي 1 و amp2.
عوامل -12 هي 1 و amp-12 و -1 و amp12 و 2 و amp-6 و -2 و amp6 و 3 و amp-4 و -3 و amp4.
جرب 1 و 12 أمبير.
يظهر FOIL أن هذه التجربة لا تعمل & # 8217t
جرب 4 & amp-3.
يظهر FOIL أن هذا لا يعمل & # 8217t.
جرب -3 & amp4.
يظهر FOIL أن هذا لا يعمل & # 8217t (لكننا قريبون ، دعونا & # 8217s نحاول 3 & amp-4).
جرب 3 و 4 أمبير.
هذا واحد يعمل.
إجابه.

ملحوظة: قد تبدو طريقة التجربة والخطأ مهمة شاقة ، ولكن كلما مارست أكثر كلما كانت أسرع
ستحصل عليه & # 8217 (تقوم في النهاية بجزء FOIL في رأسك).
لاحظ أيضًا: طريقة التجربة والخطأ هي عادةً أفضل الطريقتين لاستخدامهما في حالة البادئة
معامل ثلاثي الحدود هو واحد.

رابعا. التعبيرات ذات أربعة حدود.

أ. جمِّع التعبيرات في مجموعتين من مصطلحين لكل منهما.
ب. أخرج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.
ج- التعرف على العامل المشترك واستخدام خاصية التوزيع.

جمّع الشروط. & # 8217 سنحاول تجميع أول اثنين وآخر اثنين.
لاحظ أنه عندما قمنا بتجميع الحدين الآخرين ، حرصنا على وضعها
السالب أمام الحد & # 82206uz & # 8221 داخل الأقواس الثانية
ووضع علامة الجمع بين مجموعتي الأقواس. إذا تجمعنا
مثل هذا: (15z 2 + 5z) & # 8211 (6uz & # 8211 2u) قمنا بتغيير الأصل
التعبير!
حلل عوامل GCFs لكل مجموعة. لاحظ أننا يمكن أن نحلل أ
موجب أو سالب & # 82202u & # 8221 من المجموعة الثانية. أخذنا في الاعتبار أ
سالبة ، بحيث تكون إشارات الجزء ذي الحدين بين قوسين
مباراة.
التعرف على (3z + 1) هو عامل مشترك واستخدام التوزيع
خاصية الكتابة في شكل عامل.


ملاحظة: إذا حاولت تجميع المصطلحين الأولين وآخر فصلين ولم يعمل الأمر & # 8217t ، فإن التبديل
تسمح لنا خاصية الجمع بتجربة مجموعة مختلفة (مثل المجموعة الأولى والثالثة في مجموعة واحدة و
الثاني والرابع في الآخر). للتعبير الذي يحتوي على أربعة حدود ، هناك ثلاثة أنواع مختلفة
التجمعات الممكنة.

لاحظ أيضًا: قد تتمكن من استخدام طريقة التجميع المكونة من أربعة مصطلحات للتعبيرات التي تحتوي على أكثر من أربعة
مصطلحات. على سبيل المثال ، يمكنك محاولة تجميع تعبير مكون من خمسة حدود في فرق المربعات
وثلاثية الحدود. ثم قم بتطبيق التقنيات التي تمت مناقشتها أعلاه لكل من هذه المجموعات و
ابحث عن عامل مشترك.

ملاحظة أيضًا: تذكر أن تحل محل المشكلة تمامًا. على سبيل المثال ، قد تضطر إلى استخدام فرق المربعات
أكثر من مرة للحصول على نموذج تم تحليله إلى عوامل بالكامل.

ملاحظة بالإضافة إلى ذلك: يمكن استخدام التحليل لحل المعادلات التربيعية بالصيغة أس 2 + ب س + ج = 0 (هذا ال
النموذج القياسي لمعادلة تربيعية). ستكون العملية لتعيين المعادلة التربيعية
يساوي الصفر (ضعها في الشكل القياسي) ثم حللها. ثم ستستخدم الصفر-
خاصية المنتج ، والتي تنص على:
إذا كان AB = 0 ، فإن A = 0 أو B = 0 (أو كلاهما يساوي الصفر).


العامل المشترك الأكبر - PowerPoint PPT Presentation

يعد موقع PowerShow.com موقعًا رائدًا لمشاركة العروض التقديمية / عرض الشرائح. سواء كان تطبيقك يتعلق بالعمل ، أو الكيفية ، أو التعليم ، أو الطب ، أو المدرسة ، أو الكنيسة ، أو المبيعات ، أو التسويق ، أو التدريب عبر الإنترنت أو لمجرد التسلية ، فإن موقع PowerShow.com يعد مصدرًا رائعًا. والأفضل من ذلك كله ، أن معظم ميزاته الرائعة مجانية وسهلة الاستخدام.

يمكنك استخدام PowerShow.com للعثور على أمثلة لعروض PowerPoint التقديمية عبر الإنترنت وتنزيلها حول أي موضوع يمكنك تخيله حتى تتمكن من تعلم كيفية تحسين الشرائح والعروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمها لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات الموسيقى التي يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!

مقابل رسوم رمزية ، يمكنك الحصول على أفضل خصوصية على الإنترنت في المجال أو الترويج للعروض التقديمية وعروض الشرائح مع أعلى التصنيفات. لكن بصرف النظر عن ذلك فهو مجاني. سنقوم بتحويل العروض التقديمية وعروض الشرائح إلى تنسيق الفلاش العالمي بكل مجدها الأصلي للوسائط المتعددة ، بما في ذلك الرسوم المتحركة ، وتأثيرات الانتقال ثنائية وثلاثية الأبعاد ، والموسيقى المضمنة أو أي صوت آخر ، أو حتى الفيديو المضمّن في الشرائح. كل هذا مجانا. يمكن مشاهدة معظم العروض التقديمية وعروض الشرائح على PowerShow.com مجانًا ، بل إن الكثير منها مجاني للتنزيل. (يمكنك اختيار ما إذا كنت ستسمح للأشخاص بتنزيل عروض PowerPoint التقديمية الأصلية وعروض شرائح الصور الخاصة بك مقابل رسوم أو مجانًا أم لا على الإطلاق.) تحقق من PowerShow.com اليوم - مجانًا. حقا هناك شيء للجميع!

العروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمها لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات الموسيقى التي يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!


أمثلة على المشاكل

حلل إلى عوامل 1 2 p 7 - 1 8 p 2 - 3 0 12p ^ <7> - 18p ^ <2> - 30 1 2 p 7-1 8 p 2-3 0

ابحث عن العامل المشترك الأكبر في كثير الحدود باستخدام القسمة المطولة. يمكنك القيام بكل من المصطلحات بشكل منفصل أو يمكنك القيام بها تمامًا كما فعلنا هنا:

العامل المشترك الأكبر لأرقام متعددة

يمكن إيجاد العامل المشترك الأكبر لكثير الحدود من خلال ضرب العوامل المشتركة من الأعداد الثلاثة معًا. هذا يعني أنك ستحصل على:

ثم نأخذ 6 من كل حد في كثير الحدود ، ونحصل على الإجابة النهائية:

حلل 1 0 z (x + 2 y) - 6 (x + 2 y) 10z (x + 2y) - 6 (x + 2y) 1 0 z (x + 2 y) - 6 (x + 2 y)

أولاً ، دعونا نبحث عن العوامل المشتركة لكثيرات الحدود. عندما تنظر إلى الأرقام لأول مرة ، من المحتمل أن تكتشف أن العامل المشترك بين 10 و 6 هو 2.

العامل المشترك الآخر هو (x + 2y). لذا ، فإننا نحلل كلا الأمرين معًا ، وسوف نحصل على الإجابة النهائية:

إذا احتجت في أي وقت إلى التحقق من إجابتك مرة أخرى عند محاولة إيجاد العوامل المشتركة لكثيرات الحدود ، فجرب حاسبة GCF عبر الإنترنت. سيساعدك هذا على التأكد من إجاباتك عندما تحلل كثيرات حدود أكثر تعقيدًا. كما هو الحال دائمًا ، تذكر أنه يجب استخدام الآلة الحاسبة فقط للتحقق من إجاباتك بدلاً من حل الأسئلة نيابةً عنك!

على استعداد للتحرك في؟ تعرف على كيفية إكمال المربع في الدوال التربيعية ، وتحويل الدوال التربيعية من الشكل العام إلى الشكل الرأسي ، وحل المعادلات التربيعية بالتحليل أو بإكمال المربع.


العوملة - ملاحظات الرياضيات

التخصيم المشترك: اكتشف العامل المشترك الأكبر لكل مصطلح وعامله. باستخدام التجميع:
في بعض الأحيان ، لن يكون لكثير الحدود عامل مشترك لجميع المصطلحات. بدلاً من ذلك ، يمكننا تجميع الحدود التي لها عامل مشترك معًا. عند استخدام طريقة التجميع:
* عندما لا يكون هناك عامل مشترك بين جميع المصطلحات
* عندما يكون هناك عدد زوجي من المصطلحات.
مثال:

كثير الحدود x3 + 3x2−6x − 18 ليس له عامل واحد مشترك لكل حد. ومع ذلك ، نلاحظ أنه إذا قمنا بتجميع الحدين الأولين والثاني حدين معًا ، فسنجد أن كل ذي حدين ناتج له عامل خاص مشترك بين كلا الحدين.

أخرج العامل x2 من الحدين الأولين وعامل −6 من الحدين الآخرين. x2 (x + 3) −6 (x + 3)
انظر الآن عن كثب إلى هذه ذات الحدين. يحتوي كل من المصطلحين على العامل (x + 3). أخرج العامل (x + 3).
(x + 3) (x2−6) هو العامل النهائي.
x3 + 3x2−6x − 18 = (x + 3) (x2−6)

لاحظ أن المصطلح الأول في ثلاثي الحدود الناتج يأتي من حاصل ضرب الحدود الأولى في ذات الحدين: x⋅x = x2. يأتي الحد الأخير في ثلاثي الحدود من حاصل ضرب آخر حد في ذات الحدين: 4⋅7 = 28. يأتي الحد الأوسط من إضافة النواتج الخارجية والداخلية: 7x + 4x = 11x. لاحظ أيضًا أن معامل الحد الأوسط هو بالضبط مجموع الحدود الأخيرة في ذات الحدين: 4 + 7 = 11.

طريقة التخصيم
1. اكتب مجموعتين من الأقواس: () ().
2. ضع قيمة ذات الحدين في كل مجموعة من الأقواس. المصطلح الأول لكل ذات الحدين هو عامل من عوامل المصطلح الأول من ثلاثي الحدود. 3. حدد المصطلحات الثانية من ذات الحدين بتحديد عوامل الحد الثالث التي عند جمعها معًا ينتج عنها معامل الحد الأوسط.


مقدمة في تحليل كثيرات الحدود

استدعاء: عوامل الرقم هي الأرقام التي تقسم الرقم الأصلي بالتساوي.

يُطلق على كتابة رقم كمنتج للعوامل تحليل الرقم إلى عوامل.

التحليل الأولي للرقم هو تحليل هذا العدد المكتوب كمنتج للأعداد الأولية.

العوامل المشتركة هي العوامل التي يشترك فيها رقمان أو أكثر.

العامل المشترك الأكبر (GCF) هو العامل المشترك الأكبر.

العامل المشترك الأكبر لشروط كثيرة الحدود هو أكبر عامل تشترك فيه المصطلحات الأصلية

تشترك الشروط في عامل x

تشترك المصطلحات في عاملين من أ

ملاحظة: أس المتغير في العامل المشترك الأكبر هو الأس الأصغر لهذا المتغير المصطلحات

لتحليل تعبير ما يعني كتابة تعبير مكافئ يكون منتجًا

لتحليل كثير الحدود يعني كتابة كثير الحدود كمنتج من كثيرات الحدود الأخرى

يُقال إن العامل الذي لا يمكن تحليله إلى عوامل أخرى هو عامل أولي (متعدد الحدود الأولي)

يتم تحليل كثير الحدود بالكامل إذا تمت كتابته كمنتج لكثيرات الحدود الأولية


مقدمة في العوملة

أمثلة:
1. أوجد العامل المشترك الأكبر للعددين 12 و 20.
2. أوجد العامل المشترك الأكبر للأعداد 48 و 120 و 156.

3. أوجد العامل المشترك الأكبر 12x ^ 5 و 28 x ^ 3.

4. ابحث عن الصندوق الأخضر للمناخ لـ

الواجب المنزلي: ص. 362 # 5،9،13،17،19،21،25،27،31،37،39،41،43،45،51،53،59

4. 5x ^ 2 + 40x + 60 (ابحث عن GCF)

8. & # 8211x ^ 2 + 14x & # 8211 48 (ابحث عن GCF)

الواجب المنزلي: ص. 369 # 5-53 (5،9،13، & # 8230)

العوملة ثلاثية الحدود للنموذج

الواجب المنزلي: ص. 377 # 3-29 (فردي) ، 31-65 (كل فردي آخر)

العوملة ذات الحدين الخاصة

فرق المكعبات: أ ^ 3 - ب ^ 3 = (أ & # 8211 ب) (أ ^ 2 + أب + ب ^ 2)
مجموع المكعبات: أ ^ 3 + ب ^ 3 = (أ + ب) (أ ^ 2 - أب + ب ^ 2)

الواجب المنزلي: ص. 384 # 7-51 (كل فردي) ، 53-87 (فردي)

2. أوجد عدد الحدود في كثير الحدود.
أ. إذا كان هناك مصطلحان فقط ، فتحقق لمعرفة ما إذا كانت ذات الحدين هي إحدى القيم ذات الحدين الخاصة التي تمت مناقشتها في القسم 6.4.
& # 8226 فرق المربعات: a ^ 2 & # 8211 b ^ 2 = (a + b) (a-b)
& # 8226 مجموع المربعات: a ^ 2 + b ^ 2 غير قابل للتحليل
& # 8226 فرق المكعبات: a ^ 3 & # 8211 b ^ 3 = (a-b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)
& # 8226 مجموع المكعبات: a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2)

ب. اذا كان هناك ثلاثة المصطلحات ، حاول تحليل ثلاثي الحدود باستخدام تقنيات القسمين 6.2 و 6.3.
& # 8226 x ^ 2 + bx + c = (x + m) (x + n): أوجد عددين صحيحين m و n حاصل ضربهما c ومجموعهما b.
& # 8226 ax ^ 2 + bx + c (a & # 88001): عامل باستخدام التجميع ، راجع العنصر 1 في القسم 6.3

ج. إذا كانت هناك أربعة مصطلحات ، فحاول التحليل بالتجميع ، الذي تمت مناقشته في القسم 6.1.

3. بعد تحليل كثير الحدود إلى عوامل ، تأكد من أن أي عامل له حدان أو أكثر لا يحتوي على أي عوامل مشتركة بخلاف 1. إذا كانت هناك عوامل مشتركة ، فاستخرجها.

الواجب المنزلي: ص. 390 # 7-61 (كل غريب آخر)

إذا كان a * b = 0 ، فإما أن a = 0 أو b = 0.

9. أوجد معادلة تربيعية لها الحلين -2 و -5.

أمثلة:
1. من أجل f (x) = x ^ 2 & # 8211 9x + 12 ، أوجد f (-6).

2. دع f (x) = x ^ 2 & # 8211 17x + 72. أوجد جميع قيم x بحيث تكون f (x) = 0.

3. دع f (x) = x ^ 2 & # 8211 6x + 20. أوجد جميع قيم x بحيث تكون f (x) = 92.

الواجب المنزلي: ص. 404 # 3،5،7،9،21،23،25،27

تطبيقات المعادلات التربيعية والدوال التربيعية

1. حاصل ضرب عددين موجبين متتاليين في 132. أوجد العددين الصحيحين

2. حاصل ضرب عددين صحيحين متتاليين حتى سالبين هو 80. أوجد العددين الصحيحين.

3. رقم موجب واحد هو 9 أكثر من الرقم الثاني ، وحاصل ضربهم هو 112. أوجد العددين.

4. رقم موجب واحد هو أكثر من ضعف العدد الثاني بمقدار 3 ، وحاصل ضربهم هو 189. أوجد العددين.

5. مساحة المستطيل 105 قدم مربع. إذا كان طول المستطيل أكبر من عرضه بمقدار 8 أقدام ، فأوجد أبعاد المستطيل.

6. قام صاحب المنزل بصب بلاطة خرسانية مستطيلة الشكل في فناء منزلها الخلفي لاستخدامها كمنطقة شواء. الطول 3 أقدام أكثر من عرضه. يوجد سرير زهور بعرض قدمين حول منطقة الشواء. إذا كانت المساحة المغطاة بمنطقة الشواء وسرير الزهرة 270 قدمًا مربعًا ، فابحث عن أبعاد منطقة الشواء.
دولي


الممارسة المختلطة

في التدريبات التالية ، عامل.

53. 54.
55. 56.
57. 58.


MathHelp.com

في السابق ، قمنا بتبسيط التعبيرات عن طريق التوزيع بين الأقواس ، مثل:

التحليل البسيط للعوامل في سياق التعبيرات متعددة الحدود هو أمر عكسي عن التوزيع. أي ، بدلاً من ضرب شيء ما في قوس وتبسيطه للحصول على تعبير متعدد الحدود ، سنرى ما يمكننا استعادته ووضعه أمام مجموعة من الأقواس ، مثل التراجع عن عملية الضرب التي قمنا بها أعلاه :

الحيلة في التحليل البسيط متعدد الحدود هو معرفة ما يمكن أخذه كعامل من كل حد في التعبير.

تحذير: لا تخطئ في التفكير بأن & quotfactoring & quot يعني & quot؛ تقسيم شيء ما وجعله يختفي & quot بطريقة سحرية. تذكر أن & quotfactoring & quot يعني & quot؛ القسمة على كل مصطلح وتحريكه ليكون أمام الأقواس & quot. لا شيء & quot؛ يختفي & quot عندما نأخذ في الحسبان الأشياء بمجرد إعادة ترتيبها.

العامل 3x & ndash 12.

المصطلح الأول ، 3x ، يمكن تحليلها كعامل (3) (x) يمكن تحليل الحد الثاني ، وهو 12 ، على أنه (3) (4). العامل الوحيد المشترك بين المصطلحين (أي الشيء الوحيد الذي يمكن تقسيمه من كل حد ثم تحريكه لأعلى أمام مجموعة من الأقواس) هو الرقم 3.

سوف أنقل هذا العامل المشترك إلى الأمام. أولاً ، سأكتب العامل المشترك ، ثم أرسم قوسًا مفتوحًا:

عندما قسمت الـ 3 من الـ 3x ، بقيت مع x متبقي. سأضع ذلك x كأول مصطلح لي داخل الأقواس:

عندما قسمت 3 من & ndash12 ، تركت & ndash4 خلفي ، لذا سأضع ذلك بين الأقواس أيضًا ، متبوعًا بقوس نهاية:

هذا النموذج المعامل هو إجابتي النهائية:

احرص على عدم إسقاط علامات & quotminus & quot عند التحليل.

تقوم بعض الكتب بتدريس هذا الموضوع باستخدام مفهوم العامل المشترك الأكبر أو GCF. في هذه الحالة ، ستجد بشكل منهجي العامل المشترك الأكبر لجميع المصطلحات في التعبير ، وتضعه أمام الأقواس ، ثم تقسم كل حد على العامل المشترك الأكبر وتضع التعبير الناتج داخل الأقواس. ستكون النتيجة مماثلة لما فعلته أعلاه ، وستبدو كالتالي:

أقسم إطار التعاون العالمي على كل من المصطلحين:

ثم أعدت كتابة التعبير في شكل عامل ، واضعًا العامل المشترك الأكبر في المقدمة ، مع قيم ما بعد القسمة داخل الوصلة:

لكن العملية المذكورة أعلاه عادةً ما تبدو مثل الكثير من العمل المروع بالنسبة لي ، لذلك عادةً ما أذهب مباشرة إلى العوملة.

العامل 7x & ndash 7.

بالنظر إلى التعبير الذي قدموه لي ، أرى أنه يمكنني تحليل المصطلحين بشكل مفيد كـ (7) (x) و (7) (& ndash1). على وجه الخصوص ، يخبرني هذا أنه يمكنني تحليل 7 من كل حد. سأعالج هذا الرقم 7 في المقدمة ، وأبدأ بالوالدين:

قسمة 7 على 7x يترك فقط x ، والتي سأضعها في بداية علم الوراثة الخاص بي:

ما الذي يتبقى لي عندما أقسم 7 على الحد الثاني؟ انا ليس تركت مع & quotnothing & quot! في الواقع ، قسمة & ndash7 على 7 تترك لي & ndash1 (كما أوضحت في التحليل الخاص بي أعلاه). هذا يسمح لي بإكمال أبويتي:

انتبه جيدًا: عندما تعتقد أن & quotnothing & quot متبقيًا بعد العوملة ، فعادة ما يتم ترك & quot 1 & quot من نوع ما لتنتقل داخل الأقواس.

العامل 12ذ 2 و - 5ذ .

في التعبير الذي قدموه لي ، لا يوجد رقم عامل مشترك بين المصطلحين ، أي أن ثوابت الحدين ، 12 و 5 ، لا تشترك في أي عوامل عددية مشتركة. لكن هذا لا يعني أنه لا يمكنني تحليل أي شيء على الإطلاق. لا يزال بإمكاني إيجاد عامل مشترك عامل.

في هذه الحالة ، يمكنني سحب عامل ذ من كل من المصطلحين ، باستخدام حقيقة أن 12ذ يمكن إعادة صياغة 2 كـ (12ذ)(ذ) و & ndash5ذ يمكن إعادة صياغته كـ (& ndash5) (ذ) .

بوضع العامل المشترك (المتغير) أمام قوس مفتوح ، لدي:

في الفصل الأول من التعبير الأصلي ، بعد قسمة نسخة واحدة من ذ ، لدي 12ذ خلفها. هذا يذهب في بداية أبويتي:

(هذا هو ما تبقى ليتم إدخاله داخل الأبوية لأن 12ذ 2 تعني 12 مرةذ& مراتذ ، لذلك أخذ 12 وواحد من ذ في الأمام يترك الثانية ذ وراء.)

بالنظر إلى الحد الثاني من التعبير الأصلي ، بعد أن أقوم بإخراج عامل ذ ، لقد تركت & ndash5. ينتهي هذا من أبويتي ، وإجابتي هي:

لا تنسَ علامة & quotminus & quot في المنتصف!

عامل x 2 ذ 3 + س ص

في هذا التعبير ، ليس لدي ثوابت عددية ، كل مصطلح يتكون بالكامل من المتغيرات وأسسها. لكن لا يزال بإمكاني العثور على العامل المشترك الأكبر ثم العامل.

بالنظر إلى المصطلحين ، لاحظت أنه يمكنني تحليل x وكذلك أ ذ من كل من المصطلحين:

بتطبيق هذه العوامل على التعبير الأصلي بأكمله ، أحصل على:

تذكر: عند ترك & quotnothing & quot بعد التحليل ، يتم ترك & quot 1 & quot بين الأقواس.


شاهد الفيديو: 5 خدع رياضيات رائعة تبهر بها اصدقائك. (كانون الثاني 2022).