مقالات

1.1: مقدمة لمفهوم الحد


أهداف التعلم

  • باستخدام الترميز الصحيح ، صِف حد الدالة.
  • استخدم جدول القيم لتقدير حد دالة أو لتحديد متى لا يوجد الحد.
  • استخدم رسمًا بيانيًا لتقدير حد دالة أو لتحديد متى لا يكون الحد موجودًا.
  • حدد الحدود من جانب واحد وقدم أمثلة.
  • اشرح العلاقة بين الحدود من جانب واحد والحد من جانبين.
  • باستخدام الترميز الصحيح ، قم بوصف حد لانهائي.
  • تحديد خط مقارب عمودي.

حدود

أدت مشكلتان رئيسيتان إلى الصياغة الأولية لحساب التفاضل والتكامل:

(1) مشكلة الظل ، أو كيفية تحديد ميل خط مماس لمنحنى عند نقطة ما ؛

و (2) مشكلة المنطقة ، أو كيفية تحديد المنطقة الواقعة تحت المنحنى.

كان مفهوم عملية التحديد أو التحديد ، الضروري لفهم التفاضل والتكامل ، موجودًا منذ آلاف السنين. في الواقع ، استخدم علماء الرياضيات الأوائل عملية تقييد للحصول على تقديرات تقريبية أفضل وأفضل لمناطق الدوائر. ومع ذلك ، فإن التعريف الرسمي للحد - كما نعرفه ونفهمه اليوم - لم يظهر حتى أواخر القرن التاسع عشر. لذلك ، نبدأ سعينا لفهم الحدود ، كما فعل أسلافنا الرياضيون ، باستخدام نهج حدسي.

نبدأ استكشاف النهايات بإلقاء نظرة على الرسوم البيانية للدوال

  • (f (x) = dfrac {x ^ 2−4} {x − 2} ) ،
  • (g (x) = dfrac {| x − 2 |} {x − 2} ) ، و
  • (h (x) = dfrac {1} {(x − 2) ^ 2} ) ،

والتي تظهر في الشكل ( PageIndex {1} ). على وجه الخصوص ، دعنا نركز انتباهنا على سلوك كل رسم بياني عند وحول (س = 2 ).

كل وظيفة من الوظائف الثلاث غير محددة في (x = 2 ) ، ولكن إذا قدمنا ​​هذه العبارة وليس غيرها ، فإننا نعطي صورة غير كاملة عن كيفية تصرف كل وظيفة بالقرب من (x = 2 ). للتعبير عن سلوك كل رسم بياني بالقرب من (2 ) بشكل كامل ، نحتاج إلى تقديم مفهوم النهاية.

تعريف حدسي للحد

دعنا أولاً نلقي نظرة فاحصة على كيفية تصرف الدالة (f (x) = (x ^ 2−4) / (x − 2) ) حول (x = 2 ) في الشكل ( PageIndex {1} ). نظرًا لأن قيم (x ) تقترب من (2 ) من جانبي (2 ) ، فإن قيم (y = f (x) ) تقترب من (4 ). رياضياً ، نقول أن حد (f (x) ) عندما يقترب (x ) من (2 ) هو (4 ). رمزيا ، نعبر عن هذه النهاية كـ

(displaystyle lim_ {x to 2} f (x) = 4).

من هذه النظرة غير الرسمية الموجزة للغاية على حد واحد ، فلنبدأ في تطوير تعريف حدسي للحد. يمكننا أن نفكر في حد الدالة عند رقم a على أنه الرقم الحقيقي الوحيد (L ) الذي تقترب منه القيم الوظيفية مثل (x ) - القيم تقترب من a ، بشرط مثل هذا الرقم الحقيقي (L ) ) موجود. بمزيد من الدقة ، لدينا التعريف التالي:

التعريف (حدسي): محدد

لنفترض أن (f (x) ) دالة محددة في جميع القيم في فاصل زمني مفتوح يحتوي على (a ) ، مع استثناء محتمل لنفسه ، ولجعل (L ) رقمًا حقيقيًا. إذا اقتربت جميع قيم الوظيفة (f (x) ) من الرقم الحقيقي (L ) حيث تقترب قيم (x (≠ a) ) من الرقم a ، فإننا نقول إن حد ( f (x) ) عندما تقترب (x ) من (a ) هي (L ). (أكثر إيجازًا ، حيث إن (س ) يقترب من (أ ) ، (و (س) ) يقترب ويظل قريبًا من (ل ).) من الناحية الرمزية ، نعبر عن هذه الفكرة على أنها

[ lim_ {x to a} f (x) = L. ]

يمكننا تقدير الحدود بإنشاء جداول للقيم الوظيفية وبالنظر إلى الرسوم البيانية الخاصة بهم. تم وصف هذه العملية في إستراتيجية حل المشكلات التالية.

إستراتيجية حل المشكلات: تقييم حد باستخدام جدول القيم الوظيفية

1. لتقييم ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) ) ، نبدأ بإكمال جدول القيم الوظيفية. يجب أن نختار مجموعتين من (x ) - القيم- مجموعة واحدة من القيم تقترب من (أ ) وأقل من (أ ) ، ومجموعة أخرى من القيم تقترب من (أ ) وأكبر من (أ) ). يوضح الجدول ( PageIndex {1} ) الشكل الذي قد تبدو عليه جداولك.

جدول ( PageIndex {1} )
(س ) (و (س) ) (س ) (و (س) )
(أ-0.1 ) (و (أ-0.1) ) (أ + 0.1 ) (و (أ + 0.1) )
(أ-0.01 ) (و (أ-0.01) ) (أ + 0.001 ) (و (أ + 0.001) )
(أ-0.001 ) (و (أ -0.001) ) (أ + 0.0001 ) (و (أ + 0.001) )
(أ-0.0001 ) (و (أ-0.0001) ) (أ + 0.00001 ) (و (أ + 0.0001) )
استخدم القيم الإضافية حسب الضرورة.استخدم القيم الإضافية حسب الضرورة.

2. بعد ذلك ، دعنا نلقي نظرة على القيم الموجودة في كل عمود (f (x) ) وتحديد ما إذا كانت القيم تبدو وكأنها تقترب من قيمة واحدة بينما نتحرك لأسفل في كل عمود. في أعمدتنا ، ننظر إلى التسلسل (f (a − 0.1) ) ، (f (a − 0.01) ) ، (f (a − 0.001) ) ، (f (a − 0.0001) ) وما إلى ذلك ، و (f (a + 0.1) ، ؛ f (a + 0.01) ، ؛ f (a + 0.001) ، ؛ f (a + 0.0001) ) ، وهكذا. (ملاحظة: على الرغم من أننا اخترنا (x ) - القيم (a ± 0.1، ؛ a ± 0.01، ؛ a ± 0.001، ؛ a ± 0.0001 ) وما إلى ذلك ، ومن المحتمل أن تكون هذه القيم العمل تقريبًا في كل مرة ، في مناسبات نادرة جدًا ، قد نحتاج إلى تعديل خياراتنا.)

3. إذا اقترب كلا العمودين من (y ) - القيمة (L ) ، فإننا نذكر ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = L ). يمكننا استخدام الاستراتيجية التالية لتأكيد النتيجة التي تم الحصول عليها من الجدول أو كطريقة بديلة لتقدير الحد.

4. باستخدام آلة حاسبة بيانية أو برنامج كمبيوتر يتيح لنا وظائف الرسم البياني ، يمكننا رسم الوظيفة (f (x) ) ، مع التأكد من القيم الوظيفية لـ (f (x) ) لـ (x ) - القيم بالقرب من a موجودة في نافذتنا. يمكننا استخدام ميزة التتبع للتحرك على طول الرسم البياني للوظيفة ومشاهدة قراءات (y ) - القيمة حيث تقترب القيم (x ) - أ. إذا كانت (y ) - القيم تقترب (L ) مثل (x ) - تقترب القيم (a ) من كلا الاتجاهين ، إذن ( displaystyle lim_ {x to a} f (x ) = L ). قد نحتاج إلى تكبير الرسم البياني وتكرار هذه العملية عدة مرات.

نحن نطبق إستراتيجية حل المشكلات هذه لحساب حد في الأمثلة ( PageIndex {1A} ) و ( PageIndex {1B} ).

مثال ( PageIndex {1A} ): تقييم حد باستخدام جدول القيم الوظيفية

أوجد قيمة ( displaystyle lim_ {x to 0} frac { sin x} {x} ) باستخدام جدول القيم الوظيفية.

المحلول

لقد حسبنا قيم (f (x) = dfrac { sin x} {x} ) لقيم (x ) المدرجة في Table ( PageIndex {2} ).

جدول ( PageIndex {2} )
(س ) ( frac { sin x} {x} ) (س ) ( frac { sin x} {x} )
-0.10.9983341664680.10.998334166468
-0.010.9999833334170.010.999983333417
-0.0010.9999998333330.0010.999999833333
-0.00010.9999999983330.00010.999999998333

ملاحظة: تم الحصول على القيم الواردة في هذا الجدول باستخدام الآلة الحاسبة وباستخدام جميع الأماكن الواردة في ناتج الآلة الحاسبة.

أثناء قراءة كل عمود ( dfrac { sin x} {x} ) ، نرى أن القيم في كل عمود تقترب من أحدها. وبالتالي ، فمن المعقول أن نستنتج أن ( displaystyle lim_ {x to0} frac { sin x} {x} = 1 ). سيكون الرسم البياني الذي تم إنشاؤه بواسطة الآلة الحاسبة أو الكمبيوتر لـ (f (x) = dfrac { sin x} {x} ) مشابهًا لما هو موضح في الشكل ( PageIndex {2} ) ، وهو يؤكد تقدير.

مثال ( PageIndex {1B} ): تقييم حد باستخدام جدول القيم الوظيفية

أوجد قيمة ( displaystyle lim_ {x to4} frac { sqrt {x} −2} {x − 4} ) باستخدام جدول القيم الوظيفية.

المحلول

كما في السابق ، نستخدم جدولاً - في هذه الحالة ، Table ( PageIndex {3} ) - لسرد قيم الدالة للقيم المعطاة لـ (x ).

جدول ( PageIndex {3} )
(س ) ( frac { sqrt {x} −2} {x − 4} ) (س ) ( frac { sqrt {x} −2} {x − 4} )
3.90.2515823418694.10.248456731317
3.990.250156445624.010.24984394501
3.9990.2500156274.0010.249984377
3.99990.2500015634.00010.249998438
3.999990.250000164.000010.24999984

بعد فحص هذا الجدول ، نرى أن القيم الوظيفية الأقل من 4 يبدو أنها تتناقص نحو 0.25 بينما يبدو أن القيم الوظيفية الأكبر من 4 تزداد نحو 0.25. نستنتج أن ( displaystyle lim_ {x to4} frac { sqrt {x} −2} {x − 4} = 0.25 ). نؤكد هذا التقدير باستخدام الرسم البياني (f (x) = dfrac { sqrt {x} −2} {x − 4} ) الموضح في الشكل ( PageIndex {3} ).

تمرين ( PageIndex {1} )

قدر ( displaystyle lim_ {x to 1} frac { frac {1} {x} −1} {x − 1} ) باستخدام جدول القيم الوظيفية. استخدم الرسم البياني لتأكيد تقديرك.

تلميح

استخدم 0.9 و 0.99 و 0.999 و 0.9999 و 0.99999 و 1.1 و 1.01 و 1.001 و 1.0001 و 1.00001 كقيم لجدولك.

إجابه

[ lim_ {x to1} frac { frac {1} {x} −1} {x − 1} = - 1 nonumber ]

في هذه المرحلة ، نرى من الأمثلة ( PageIndex {1A} ) و ( PageIndex {1b} ) أنه قد يكون بنفس السهولة ، إن لم يكن أسهل ، تقدير حد دالة عن طريق فحص الرسم البياني الخاص بها كما هو الحال في تقدير الحد باستخدام جدول القيم الوظيفية. في المثال ( PageIndex {2} ) ، نقوم بتقييم الحد بشكل حصري من خلال النظر إلى الرسم البياني بدلاً من استخدام جدول القيم الوظيفية.

مثال ( PageIndex {2} ): تقييم حد باستخدام رسم بياني

بالنسبة إلى (g (x) ) الموضحة في الشكل ( PageIndex {4} ) ، قم بتقييم ( displaystyle lim_ {x to − 1} g (x) ).

المحلول:

على الرغم من حقيقة أن (g (−1) = 4 ) ، نظرًا لأن (x ) - القيم تقترب (- 1 ) من أي جانب ، فإن (g (x) ) تقترب القيم (3 ). لذلك ، ( displaystyle lim_ {x to − 1} g (x) = 3 ). لاحظ أنه يمكننا تحديد هذه النهاية دون معرفة التعبير الجبري للدالة.

استنادًا إلى المثال ( PageIndex {2} ) ، نجري الملاحظة التالية: من الممكن أن يوجد حد دالة في نقطة ما ، وأن يتم تحديد الوظيفة في هذه المرحلة ، ولكن حد وظيفة وقيمة الوظيفة عند النقطة قد تكون مختلفة.

تمرين ( PageIndex {2} )

استخدم الرسم البياني لـ (h (x) ) في الشكل ( PageIndex {5} ) لتقييم ( displaystyle lim_ {x to 2} h (x) ) إن أمكن.

تلميح

ما (y ) - القيمة التي تقترب بها الدالة مثل (x ) - القيم تقترب (2 )؟

المحلول

(displaystyle lim_ {x to 2} h (x) = - 1.)

إن النظر إلى جدول القيم الوظيفية أو النظر إلى الرسم البياني لوظيفة ما يوفر لنا نظرة ثاقبة مفيدة لقيمة حد الوظيفة عند نقطة معينة. ومع ذلك ، فإن هذه الأساليب تعتمد كثيرًا على التخمين. نحتاج في النهاية إلى تطوير طرق بديلة لتقييم الحدود. هذه الأساليب الجديدة هي أكثر جبرية بطبيعتها وسنستكشفها في القسم التالي ؛ ومع ذلك ، في هذه المرحلة ، نقدم حدين خاصين أساسيين للتقنيات القادمة.

حدان مهمان

لنفترض (أ ) أن يكون عددًا حقيقيًا و (ج ) يكون ثابتًا.

  1. ( displaystyle lim_ {x to a} x = a )
  2. ( displaystyle lim_ {x to a} c = c )

يمكننا تقديم الملاحظات التالية حول هذين الحدين.

  1. بالنسبة للحد الأول ، لاحظ أنه عندما يقترب (x ) من (a ) ، كذلك (f (x) ) ، لأن (f (x) = x ). وبالتالي ، ( displaystyle lim_ {x to a} x = a ).
  2. للحد الثاني ، ضع في الاعتبار Table ( PageIndex {4} ).
جدول ( PageIndex {4} )
(س ) (و (س) = ج ) (س ) (و (س) = ج )
(أ-0.1 ) (ج ) (أ + 0.1 ) (ج )
(أ-0.01 ) (ج ) (أ + 0.01 ) (ج )
(أ-0.001 ) (ج ) (أ + 0.001 ) (ج )
(أ-0.0001 ) (ج ) (أ + 0.0001 ) (ج )

لاحظ أنه بالنسبة لجميع قيم (س ) (بغض النظر عما إذا كانت تقترب من (أ )) ، فإن القيم (و (س) ) تظل ثابتة عند (ج ). ليس لدينا خيار سوى أن نستنتج ( displaystyle lim_ {x to a} c = c ).

وجود حد

عندما ننظر إلى الحد في المثال التالي ، ضع في اعتبارك أنه من أجل وجود حد دالة في نقطة ما ، يجب أن تقترب القيم الوظيفية من قيمة رقم حقيقي واحد في تلك النقطة. إذا كانت القيم الوظيفية لا تقترب من قيمة واحدة ، فإن الحد غير موجود.

مثال ( PageIndex {3} ): تقييم حد لم يوجد

أوجد قيمة ( displaystyle lim_ {x to 0} sin (1 / x) ) باستخدام جدول القيم.

المحلول

يسرد الجدول ( PageIndex {5} ) قيم الوظيفة ( sin (1 / x) ) لقيم (x ) المعطاة.

جدول ( PageIndex {5} )
(س ) ( الخطيئة (1 / س) ) (س ) ( الخطيئة (1 / س) )
-0.10.5440211108890.1−0.544021110889
-0.010.506365641110.01−0.50636564111
-0.001−0.82687954053120.0010.8268795405312
-0.00010.3056143888880.0001−0.305614388888
-0.00001−0.0357487979870.000010.035748797987
-0.0000010.3499935041870.000001−0.349993504187

بعد فحص جدول القيم الوظيفية ، يمكننا أن نرى أن قيم (y ) - لا يبدو أنها تقترب من أي قيمة مفردة. يبدو أن الحد غير موجود. قبل استخلاص هذا الاستنتاج ، دعنا نتبع نهجًا أكثر منهجية. خذ التسلسل التالي من (x ) - القيم التي تقترب من (0 ):

[ frac {2} {π}، ؛ frac {2} {3π}، ؛ frac {2} {5π}، ؛ frac {2} {7π}، ؛ frac {2 } {9π}، ؛ frac {2} {11π}، ؛…. nonumber ]

القيم المقابلة (y ) - هي

[1، ؛ - 1، ؛ 1، ؛ - 1، ؛ 1، ؛ - 1، ؛ .... بلا رقم ]

في هذه المرحلة يمكننا بالفعل أن نستنتج أن ( displaystyle lim_ {x to 0} sin (1 / x) ) غير موجود. (كثيرًا ما يختصر علماء الرياضيات "غير موجود" كـ DNE. وهكذا ، سنكتب ( displaystyle lim_ {x to 0} sin (1 / x) ) DNE.) الرسم البياني لـ (f (x) = sin (1 / x) ) موضح في الشكل ( PageIndex {6} ) ويعطي صورة أوضح لسلوك ( sin (1 / x) ) كـ (x ) يقترب (0 ). يمكنك أن ترى أن ( sin (1 / x) ) يتأرجح أكثر فأكثر بين (- 1 ) و (1 ) عندما يقترب (x ) من (0 ).

تمرين ( PageIndex {3} )

استخدم جدول القيم الوظيفية لتقييم ( displaystyle lim_ {x to 2} frac {∣x ^ 2−4∣} {x − 2} ) ، إن أمكن.

تلميح

استخدم (x ) - القيم 1.9 و 1.99 و 1.999 و 1.9999 و 1.9999 و 2.1 و 2.01 و 2.001 و 2.0001 و 2.00001 في جدولك.

إجابه

( displaystyle lim_ {x to 2} frac {∣x ^ 2−4∣} {x − 2} ) غير موجود.


حد (رياضيات)

في الرياضيات ، أ حد هي القيمة التي تقتربها الوظيفة (أو التسلسل) عندما يقترب المدخل (أو الفهرس) من بعض القيمة. [1] تعتبر الحدود ضرورية لحساب التفاضل والتكامل والتحليل الرياضي ، وتُستخدم لتحديد الاستمرارية والمشتقات والتكاملات.

يتم تعميم مفهوم حد التسلسل بشكل أكبر على مفهوم حد الشبكة الطوبولوجية ، ويرتبط ارتباطًا وثيقًا بالحد والحد المباشر في نظرية الفئة.

في الصيغ ، عادةً ما تتم كتابة حد الدالة كـ

ويقرأ على أنه "حد F من x عندما تقترب x من c يساوي إل "حقيقة أن وظيفة F يقترب من الحد إل عندما تقترب x من c أحيانًا يتم الإشارة إليها بسهم لليمين (→ أو → ) ، كما في


الآن ، ما هي الطريقة الرياضية لقول "قريب". هل يمكننا طرح قيمة من الأخرى؟

مثال 1: 4.01 - 4 = 0.01 (هذا يبدو جيدًا)
مثال 2: 3.8 - 4 = −0.2 (سلبا قريب؟)

فكيف نتعامل مع السلبيات؟ نحن لا نهتم بالإيجابيات أو السلبية ، نريد فقط أن نعرف إلى أي مدى. وهي القيمة المطلقة.

المثال 1: | 4.01−4 | = 0.01
مثال 2: | 3.8−4 | = 0.2

ومتى | a b | صغير نعلم أننا قريبون ، لذلك نكتب:

"| f (x) −L | صغير عندما يكون | x − a | صغيرًا"

وتوضح هذه الرسوم المتحركة ما يحدث مع الوظيفة

و (س) = (× 2 1) (× − 1)

تقترب f (x) من L = 2 عندما تقترب x من a = 1 ،
لذلك | f (x) −2 | يكون صغيرًا عندما يكون | x − 1 | صغير.


1.1: مقدمة لمفهوم الحد

الموضوع الذي سنبحثه في هذا الفصل هو موضوع الحدود. هذا هو الأول من ثلاثة موضوعات رئيسية سنغطيها في هذه الدورة. في حين أننا سنقضي أقل قدر من الوقت على الحدود مقارنة بالموضوعين الآخرين ، فإن الحدود مهمة جدًا في دراسة التفاضل والتكامل. سنرى حدودًا في أماكن متنوعة بمجرد الخروج من هذا الفصل. على وجه الخصوص ، سنرى أن الحدود هي جزء من التعريف الرسمي للموضوعين الرئيسيين الآخرين.

فيما يلي قائمة بالموضوعات الموجودة في هذا الفصل.

خطوط الظل ومعدلات التغيير - في هذا القسم سوف نقدم مشكلتين سنراهما مرارًا وتكرارًا في هذه الدورة: معدل تغيير الوظيفة وخطوط الظل إلى الوظائف. سيتم استخدام هاتين المشكلتين لتقديم مفهوم الحدود ، على الرغم من أننا لن نعطي التعريف أو الترميز رسميًا حتى القسم التالي.

الحد - في هذا القسم سوف نقدم تدوين الحد. سنلقي أيضًا نظرة مفاهيمية على الحدود ونحاول فهم ماهيتها وما يمكن أن تخبرنا به. سنقوم بتقدير قيمة الحدود في هذا القسم لمساعدتنا على فهم ما تخبرنا به. سنبدأ بالفعل في حساب الحدود في قسمين.

الحدود من جانب واحد - في هذا القسم سوف نقدم مفهوم الحدود من جانب واحد. سنناقش الاختلافات بين الحدود والحدود من جانب واحد وكذلك كيفية ارتباطها ببعضها البعض.

خصائص الحدود - في هذا القسم سنناقش خصائص الحدود التي سنحتاج لاستخدامها في حدود الحوسبة (على عكس تقديرها كما فعلنا حتى هذه النقطة). سنقوم أيضًا بحساب اثنين من الحدود الأساسية في هذا القسم.

حدود الحوسبة - في هذا القسم سننظر في عدة أنواع من الحدود التي تتطلب بعض العمل قبل أن نتمكن من استخدام خصائص التحديد لحسابها. سننظر أيضًا في حدود حساب الدوال متعددة التعريف واستخدام نظرية الضغط لحساب بعض الحدود.

الحدود اللانهائية - في هذا القسم سنلقي نظرة على الحدود التي لها قيمة اللانهاية أو اللانهاية السالبة. سنلقي أيضًا نظرة سريعة على الخطوط المقاربة العمودية.

الحدود في Infinity ، الجزء الأول - في هذا القسم سنبدأ في النظر إلى الحدود اللانهائية ، بمعنى آخر. الحدود التي يصبح فيها المتغير كبيرًا جدًا سواء بالمعنى الإيجابي أو السلبي. سوف نركز على كثيرات الحدود والتعبيرات المنطقية في هذا القسم. سنلقي أيضًا نظرة سريعة على الخطوط المقاربة الأفقية.

الحدود في Infinity ، الجزء الثاني - في هذا القسم سنستمر في تغطية الحدود عند اللانهاية. سننظر في الأسي واللوغاريتمات والظلمات المعكوسة في هذا القسم.

الاستمرارية - في هذا القسم سوف نقدم مفهوم الاستمرارية وكيفية ارتباطها بالحدود. سنرى أيضًا نظرية القيمة المتوسطة في هذا القسم وكيف يمكن استخدامها لتحديد ما إذا كانت الدوال لها حلول في فترة زمنية معينة.

تعريف الحد - سنقدم في هذا القسم تعريفًا دقيقًا للعديد من الحدود التي يغطيها هذا القسم. سنعمل على عدة أمثلة أساسية توضح كيفية استخدام هذا التعريف الدقيق لحساب حد. سنقدم أيضًا تعريفًا دقيقًا للاستمرارية.


كيف تحدد حاسبة الحدود الحدود؟

لأي درجة مختارة من القرب و epsilon ، تحدد الآلة الحاسبة للحد متعدد المتغيرات فاصلًا قريبًا من x0(أو يفترض سابقا ب). لأن القيم المعطاة لـ f (x) قد تختلف من L بكمية أقل من & epsilon (على سبيل المثال ، if & epsilon = | x & minus x 0 | & lt & delta ، ثم | f (x) & minus L | & lt & epsilon).

تحدد آلة حاسبة الحد خطوة بخطوة ما إذا كان الرقم المحدد يمثل حدًا أم لا. يتضمن تقدير حاصل القسمة تعديلات على الوظيفة لكتابتها في شكل واضح. بعد التحديد والتقييم ، يستخدم حلال الحلول صيغة الحد لحساب حد دالة عبر الإنترنت.

يمكنك أيضًا تجربة الآلات الحاسبة الأخرى المتعلقة بالرياضيات مثل الآلة الحاسبة للمنتجات المتقاطعة أو منطقة حاسبة القطاع من أجل التعلم والممارسة عبر الإنترنت.


مقدمة في الآليات

يقدم هذا الفصل المبادئ الفيزيائية الأساسية الكامنة وراء الآليات وكذلك المفاهيم الأساسية والمبادئ المطلوبة لهذا المقرر.

نتعامل كل يوم مع قوى من نوع أو آخر. الضغط هو قوة. تمارس الأرض قوة جذب لجميع الأجسام أو الأشياء الموجودة على سطحها. لدراسة القوى المؤثرة على الأشياء ، يجب أن نعرف كيفية تطبيق القوى واتجاه القوى وقيمتها. بيانياً ، غالباً ما يتم تمثيل القوى بواسطة متجه تمثل نهايته نقطة العمل.

الآلية هي المسؤولة عن أي فعل أو رد فعل. تعتمد الآلات على فكرة نقل القوى من خلال سلسلة من الحركات المحددة مسبقًا. هذه المفاهيم ذات الصلة هي أساس الحركة الديناميكية.

العزم: الشيء الذي ينتج أو يميل إلى إنتاج الدوران وتقاس فعاليته بحاصل ضرب القوة والمسافة العمودية من خط عمل القوة إلى محور الدوران.

ضع في اعتبارك الرافعة الموضحة في الشكل 1-1. الرافعة عبارة عن قضيب حر في الدوران حول النقطة الثابتة ، A ، يسمى نقطة الارتكاز ، ويعمل الوزن على جانب واحد من الرافعة ، وتعمل قوة الموازنة على الجانب الآخر من الرافعة.

شكل 1-1 رافعة ذات قوى متوازنة

لتحليل الرافعات ، نحتاج إلى إيجاد عزم دوران القوى المؤثرة على الرافعة. للحصول على عزم دوران القوة W حول النقطة A ، اضرب W في l 1 ، فالمسافة من A. وبالمثل F x l 2 هي عزم الدوران F حول نقطة ارتكاز A.

الحركة: تغيير الموقف أو التوجه.

نبدأ دراستنا للحركة بأبسط حالة ، وهي الحركة في خط مستقيم.

حيث t = t2 - t1 هي الفترة الزمنية التي حدث خلالها الإزاحة. عندما تتغير السرعة ، يمكننا أن نجعل الفاصل الزمني يصبح صغيرًا بشكل متناهي الصغر ، وبالتالي

بشكل عام ، التسارع هو

تصبح الصورة أكثر تعقيدًا عندما لا تكون الحركة على طول خط مستقيم فحسب ، بل تمتد إلى مستوى. هنا يمكننا وصف الحركة بمتجه يتضمن مقدار واتجاه الحركة.

    ناقل الموقف وناقل الإزاحة
    المقطع الموجه الذي يصف موضع كائن بالنسبة إلى الأصل هو متجه الموضع ، مثل d 1 و d 2 في الشكل 1-2

الشكل 1-2 متجه الموقف ومتجه الإزاحة

إذا أردنا وصف حركة من الموضع d 1 إلى الموضع d 2 ، على سبيل المثال ، يمكننا استخدام المتجه d 1 ، يبدأ المتجه من النقطة الموصوفة بواسطة d 1 وينتقل إلى النقطة الموصوفة بواسطة d 2 ، والتي تسمى ناقلات الإزاحة.

من الواضح أن V ave له اتجاه d.

في النهاية عندما تقترب دلتا t من الصفر ، تكون السرعة اللحظية

اتجاه V هو اتجاه d لإزاحة صغيرة جدًا ، وبالتالي يكون على طول المسار أو مماس له.

تناقش الأقسام السابقة حركة الجسيمات. بالنسبة لجسم صلب في مستوى ما ، غالبًا ما تكون حركته أكثر تعقيدًا من الجسيم لأنها تتكون من حركة خطية وحركة دورانية. بشكل عام ، يمكن تقسيم هذا النوع من الحركة إلى حركتين (الشكل 1-3) ، وهما:

  1. الحركة الخطية لمركز كتلة الجسم الصلب. في هذا الجزء من الحركة ، تكون الحركة هي نفسها حركة الجسيم على المستوى.
  2. الحركة الدورانية للجسم الصلب بالنسبة إلى مركز كتلته.

شكل 1-3 حركة جسم صلب في مستو

عندما لا يتم ممارسة أي قوة على الجسم ، فإنه يظل في حالة سكون أو يتحرك في خط مستقيم بسرعة ثابتة. يُعرف مبدأ القصور الذاتي هذا أيضًا باسم قانون نيوتن الأول. من هذا القانون تمكن نيوتن من بناء فهمنا الحالي للديناميكيات.

  1. عندما يتم تطبيق القوة F على جسم ، V ، يزداد تغيير سرعة الجسم مع زيادة طول الوقت الذي تزداد فيه دلتا t
  2. كلما زادت القوة F ، زاد V و
  3. كلما زاد حجم الجسم (الجسم) ، قل تسريع القوى بسهولة.

من الملائم كتابة التناسب بين F t و V بالشكل:

يختلف ثابت التناسب m باختلاف الكائن. يشار إلى هذا الثابت م على أنه كتلة القصور الذاتي للجسم. العلاقة أعلاه تجسد قانون نيوتن للحركة (قانون نيوتن الثاني). كما

حيث a هو تسارع الجسم. لدينا

إذا كانت m = 1 كجم و a = 1m / sec 2 ، فإن F = 1 نيوتن.

القوى والتسارع نواقل ، ويمكن كتابة قانون نيوتن في شكل متجه.

حاول أن تصنع كرة بيسبول وكرة مدفع بنفس السرعة. كما يمكنك أن تتخيل ، من الصعب تشغيل كرة المدفع. إذا قمت بتطبيق قوة ثابتة F لفترة زمنية t ، فإن التغيير في السرعة يتم الحصول عليه من خلال المعادلة 1-9. لذا ، للحصول على نفس v ، يجب أن يكون حاصل الضرب F t أكبر كلما زادت الكتلة m التي تحاول تسريعها.

لرمي كرة مدفع من السكون ومنحها نفس السرعة النهائية مثل لعبة البيسبول (بدءًا أيضًا من السكون) ، يجب علينا الدفع بقوة أكبر أو لفترة أطول. ما يهم هو حاصل الضرب F t. هذا المنتج F t هو المقياس الطبيعي لمدى صعوبة ومدة الضغط لتغيير الحركة. يطلق عليه دافع القوة.

لنفترض أننا طبقنا نفس الدافع على كرة بيسبول وكرة مدفع ، وكلاهما في حالة راحة في البداية. نظرًا لأن القيمة الأولية للكمية m v تساوي صفرًا في كل حالة ، وبما أنه يتم تطبيق نبضات متساوية ، فإن القيم النهائية m v ستكون متساوية للبيسبول وكرة المدفع. ومع ذلك ، نظرًا لأن كتلة كرة المدفع أكبر بكثير من كتلة كرة البيسبول ، فإن سرعة كرة المدفع ستكون أقل بكثير من سرعة كرة البيسبول. إذن ، حاصل ضرب m v هو مقياس للحركة مختلف تمامًا عن v وحده. نسميه الزخم p للجسم ، ونقيسه بالكيلوجرام متر في الثانية.

السرعة والزخم مفهومان مختلفان تمامًا: السرعة هي كمية حركية ، في حين أن الزخم هو عنصر ديناميكي ، مرتبط بأسباب التغيرات في حركة الكتل.

نظرًا لارتباطه بالدافع الذي يحدث بشكل طبيعي في قانون نيوتن (المعادلة 1-9) ، نتوقع أن يتناسب الزخم بشكل طبيعي مع الديناميكيات النيوتونية. لقد عبر نيوتن بالفعل عن قانونه الخاص بالحركة من حيث الزخم ، والذي أسماه كمية الحركة. يمكننا التعبير عن قانون نيوتن من حيث التغيير في الزخم بدلاً من التغيير في السرعة:

حيث v و v 'هما السرعات قبل الدافع وبعده. يمكن كتابة الجانب الأيمن من المعادلة الأخيرة بالشكل

التغيير في الزخم. وبالتالي

أو بعبارة أخرى ، الدافع يساوي التغيير في الزخم.

في الشكل 1-4 ، تصطدم كرة بلياردو متحركة بكرة بلياردو أثناء السكون. تتوقف الكرة الساقطة وتنفجر الكرة التي تصطدم بها بنفس السرعة التي جاءت بها الكرة الساقطة. كلتا كرتا البلياردو لها نفس الكتلة. لذلك ، فإن زخم الكرة الثانية بعد الاصطدام هو نفسه زخم الكرة الساقطة قبل الاصطدام. فقدت الكرة الساقطة زخمها بالكامل ، واكتسبت الكرة التي ضربتها الزخم تمامًا الذي فقدته الكرة الساقطة.

شكل 1-4 تصادم كرات البلياردو

تتوافق هذه الظاهرة مع قانون الحفاظ على الزخم الذي ينص على أن الزخم الكلي ثابت عندما يتفاعل جسمان.

الشغل هو القوة المؤثرة على مسافة. إذا قمت بسحب جسم ما على الأرض ، فإنك بذلك تعمل على التغلب على الاحتكاك بين الجسم والأرض. عندما ترفع شيئًا ما ، فإنك تعمل ضد الجاذبية التي تميل إلى سحب الجسم نحو الأرض. يعمل البخار الموجود في أسطوانة القاطرة عندما يتمدد ويحرك المكبس ضد قوى المقاومة. العمل هو نتاج المقاومة التي تم التغلب عليها والمسافة التي يتم من خلالها التغلب عليها.

القوة هي المعدل الذي يتم به العمل.

في النظام البريطاني ، يتم التعبير عن القوة بالقدم بالجنيه في الثانية. للقياسات الأكبر ، يتم استخدام القدرة الحصانية.

1 حصان = 550 قدم * رطل / ثانية = 33000 قدم * رطل / دقيقة

في وحدات النظام الدولي للوحدات ، تُقاس الطاقة بالجول في الثانية ، وتسمى أيضًا بالواط (W).

كل شيء يمتلك طاقة. يمكن أن يأتي هذا من إنجاز العمل عليها في وقت ما. بشكل عام ، هناك نوعان من الطاقة في الأنظمة الميكانيكية ، الجهد والحركية. ترجع الطاقة الكامنة إلى موضع الجسم وترجع الطاقة الحركية إلى حركته.

على سبيل المثال ، يمكن لجسم ما في حالة حركة أن يتغلب على قدر معين من المقاومة قبل أن يستريح ، ويتم استخدام الطاقة التي يمتلكها الجسم بسبب حركته للتغلب على المقاومة ، مما يجعل الجسم يرتاح. تستقبل العجلات المتطايرة على المحركات الطاقة وتتخلى عنها وبالتالي تتسبب في عودة الطاقة بشكل أكثر سلاسة خلال الشوط.

الأوزان المرتفعة لها القدرة على القيام بالعمل بسبب موقعها المرتفع ، كما هو الحال في أنواع مختلفة من المطارق ، إلخ.


نهج رسومي للحدود

المثال 3:
يوضح الرسم البياني أدناه أنه عندما تقترب x من 1 من اليسار ، فإن y = f (x) تقترب من 2 ويمكن كتابة هذا على النحو التالي
ليمx & # 85941 - و (س) = 2
عندما تقترب x من 1 من اليمين ، فإن y = f (x) تقترب من 4 ويمكن كتابة هذا بالشكل
ليمx & # 85941 + و (س) = 4
لاحظ أن حدي اليد اليمنى واليسرى و f (1) = 3 مختلفتان.

المثال 4:
يوضح هذا الرسم البياني ذلك
ليم x & # 85941 - و (س) = 2
عندما تقترب x من 1 من اليمين ، فإن y = f (x) تقترب من 4 ويمكن كتابة هذا بالشكل
ليمx & # 85941 + و (س) = 4
لاحظ أن حد اليد اليسرى و f (1) = 2 متساويان.

المثال 5:
يوضح هذا الرسم البياني ذلك
ليمx & # 85940 - و (س) = 1
و
ليمx & # 85940 + و (س) = 1
لاحظ أن الحدين الأيمن والأيسر متساويان ونكتب
ليمx & # 85940 و (س) = 1
في هذا المثال ، النهاية عندما تقترب x من 0 تساوي f (0) = 1.

المثال 6:
يوضح هذا الرسم البياني أنه عندما تقترب x من - 2 من اليسار ، تصبح f (x) أصغر وأصغر بلا حدود وليس هناك حد. نحن نكتب
ليمx & # 8594-2 - و (س) = - & # 8734
عندما تقترب x من - 2 من اليمين ، تصبح f (x) أكبر وأكبر بلا حدود ولا يوجد حد. نحن نكتب
ليمx & # 8594-2 + و (س) = + & # 8734
لاحظ أن - & # 8734 و + & # 8734 هي رموز وليست أرقامًا. تستخدم هذه الرموز للإشارة إلى عدم وجود الحد.

المثال 7:
يوضح الرسم البياني أدناه وظيفة دورية يتم تحديد مداها من خلال الفاصل الزمني [-1 ، 1]. إذا سُمح لـ x بالزيادة بلا حدود ، تأخذ f (x) قيمًا ضمن [-1 ، 1] وليس لها حدود. يمكن كتابة هذا
ليمx & # 8594 + & # 8734 f (x) = غير موجود
إذا سُمح لـ x بالانخفاض بلا حدود ، تأخذ f (x) قيمًا ضمن [-1 ، 1] وليس لها حدود مرة أخرى. يمكن كتابة هذا
ليمx & # 8594 - & # 8734 f (x) = غير موجود

المثال 8:
إذا تم السماح لـ x بالزيادة بدون حدود ، فإن f (x) في الرسم البياني أدناه تقترب من 2. ويمكن كتابة هذا
ليم x & # 8594 + & # 8734 و (س) = 2
إذا سُمح لـ x بالانخفاض بدون حدود ، فإن f (x) تقترب من 2. ويمكن كتابة هذا
ليمx & # 8594 - & # 8734 و (س) = 2


محتويات

لطالما كانت تقنية قنوات الوصول المتعددة بتقسيم الكود معروفة. في الاتحاد السوفيتي (اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية) ، نُشر أول عمل مخصص لهذا الموضوع في عام 1935 من قبل ديمتري أجيف. [3] تبين أنه من خلال استخدام الطرق الخطية ، هناك ثلاثة أنواع من فصل الإشارة: التردد والوقت والتعويض. [ التوضيح المطلوب تم استخدام تقنية CDMA في عام 1957 ، عندما صنع مهندس الراديو العسكري الشاب ليونيد كوبريانوفيتش في موسكو نموذجًا تجريبيًا لهاتف محمول آلي يمكن ارتداؤه ، أطلق عليه LK-1 من قبله ، مع محطة أساسية. [4] يبلغ وزن LK-1 3 كجم ، ومسافة التشغيل من 20 إلى 30 كم ، وعمر البطارية من 20 إلى 30 ساعة. [5] [6] المحطة الأساسية ، كما وصفها المؤلف ، يمكن أن تخدم العديد من العملاء. في عام 1958 ، صنع كوبريانوفيتش نموذج "الجيب" التجريبي الجديد للهاتف المحمول. يزن هذا الهاتف 0.5 كجم. لخدمة المزيد من العملاء ، اقترح كوبريانوفيتش الجهاز الذي أسماه "المرتبط". [7] [8] في عام 1958 ، بدأ اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية أيضًا في تطوير خدمة الهاتف المحمول المدنية الوطنية "Altai" للسيارات ، على أساس معيار MRT-1327 السوفيتي. يزن نظام الهاتف 11 كجم (24 رطلاً). تم وضعها في صندوق سيارات كبار المسؤولين واستخدمت سماعة هاتف عادية في مقصورة الركاب. كان المطورون الرئيسيون لنظام Altai هم VNIIS (معهد فورونيج لبحوث العلوم للاتصالات) و GSPI (معهد المشاريع الحكومية المتخصصة). في عام 1963 بدأت هذه الخدمة في موسكو ، وفي عام 1970 تم استخدام خدمة Altai في 30 مدينة من مدن الاتحاد السوفياتي. [9]

  • تم تنفيذ آلية التنمية النظيفة المتزامنة (تعدد الإرسال بتقسيم الشفرة ، جيل مبكر من CDMA) في نظام تحديد المواقع العالمي (GPS). هذا يسبق ويختلف عن استخدامه في الهواتف المحمولة.
  • يتم تسويق معيار Qualcomm IS-95 باسم cdmaOne.
  • يتم استخدام معيار Qualcomm IS-2000 ، المعروف باسم CDMA2000 ، من قبل العديد من شركات الهواتف المحمولة ، بما في ذلك شبكة Globalstar. [ملحوظة 1]
  • معيار الهاتف المحمول UMTS 3G ، والذي يستخدم W-CDMA. [ملحوظة 2]
  • تم استخدام CDMA في ملف أومنيتراكس نظام الأقمار الصناعية للنقل اللوجستي.

يستخدم كل مستخدم في نظام CDMA رمزًا مختلفًا لتعديل إشارتهم. يعد اختيار الرموز المستخدمة لتعديل الإشارة مهمًا جدًا في أداء أنظمة CDMA. يحدث أفضل أداء عندما يكون هناك فصل جيد بين إشارة المستخدم المطلوب وإشارات المستخدمين الآخرين. يتم الفصل بين الإشارات من خلال ربط الإشارة المستقبلة مع الكود المتولد محليًا للمستخدم المطلوب. إذا كانت الإشارة تتطابق مع رمز المستخدم المطلوب ، فستكون وظيفة الارتباط عالية ويمكن للنظام استخراج هذه الإشارة. إذا كان رمز المستخدم المطلوب لا يوجد لديه أي شيء مشترك مع الإشارة ، فيجب أن يكون الارتباط أقرب ما يمكن من الصفر (وبالتالي القضاء على الإشارة) ويشار إلى ذلك باسم الارتباط المتبادل. إذا كان الرمز مرتبطًا بالإشارة في أي وقت إزاحة غير الصفر ، فيجب أن يكون الارتباط أقرب ما يكون إلى الصفر قدر الإمكان. يشار إلى هذا الارتباط التلقائي ويستخدم لرفض التداخل متعدد المسارات. [14] [15]

تشبيهًا بمشكلة الوصول المتعدد هو غرفة (قناة) يرغب فيها الأشخاص في التحدث مع بعضهم البعض في وقت واحد. لتجنب الارتباك ، يمكن للناس أن يتناوبوا في التحدث (تقسيم الوقت) ، أو التحدث في طبقات مختلفة (تقسيم التردد) ، أو التحدث بلغات مختلفة (تقسيم الكود). CDMA is analogous to the last example where people speaking the same language can understand each other, but other languages are perceived as noise and rejected. Similarly, in radio CDMA, each group of users is given a shared code. Many codes occupy the same channel, but only users associated with a particular code can communicate.

In general, CDMA belongs to two basic categories: synchronous (orthogonal codes) and asynchronous (pseudorandom codes).

The digital modulation method is analogous to those used in simple radio transceivers. In the analog case, a low-frequency data signal is time-multiplied with a high-frequency pure sine-wave carrier and transmitted. This is effectively a frequency convolution (Wiener–Khinchin theorem) of the two signals, resulting in a carrier with narrow sidebands. In the digital case, the sinusoidal carrier is replaced by Walsh functions. These are binary square waves that form a complete orthonormal set. The data signal is also binary and the time multiplication is achieved with a simple XOR function. This is usually a Gilbert cell mixer in the circuitry.

Synchronous CDMA exploits mathematical properties of orthogonality between vectors representing the data strings. For example, binary string 1011 is represented by the vector (1, 0, 1, 1). Vectors can be multiplied by taking their dot product, by summing the products of their respective components (for example, if ش = (أ, ب) و الخامس = (ج, د), then their dot product ش·الخامس = أ + bd). If the dot product is zero, the two vectors are said to be orthogonal to each other. Some properties of the dot product aid understanding of how W-CDMA works. If vectors أ و ب are orthogonal, then a ⋅ b = 0 =0> and:

Each user in synchronous CDMA uses a code orthogonal to the others' codes to modulate their signal. An example of 4 mutually orthogonal digital signals is shown in the figure below. Orthogonal codes have a cross-correlation equal to zero in other words, they do not interfere with each other. In the case of IS-95, 64-bit Walsh codes are used to encode the signal to separate different users. Since each of the 64 Walsh codes is orthogonal to all other, the signals are channelized into 64 orthogonal signals. The following example demonstrates how each user's signal can be encoded and decoded.

مثال تحرير

Start with a set of vectors that are mutually orthogonal. (Although mutual orthogonality is the only condition, these vectors are usually constructed for ease of decoding, for example columns or rows from Walsh matrices.) An example of orthogonal functions is shown in the adjacent picture. These vectors will be assigned to individual users and are called the الشفرة, chip code، أو chipping code. In the interest of brevity, the rest of this example uses codes الخامس with only two bits.

Each user is associated with a different code, say الخامس. A 1 bit is represented by transmitting a positive code الخامس, and a 0 bit is represented by a negative code −v. For example, if الخامس = (الخامس0, الخامس1) = (1, −1) and the data that the user wishes to transmit is (1, 0, 1, 1), then the transmitted symbols would be

(الخامس, −v, الخامس, الخامس) = (الخامس0, الخامس1, −الخامس0, −الخامس1, الخامس0, الخامس1, الخامس0, الخامس1) = (1, −1, −1, 1, 1, −1, 1, −1).

For the purposes of this article, we call this constructed vector the transmitted vector.

Each sender has a different, unique vector الخامس chosen from that set, but the construction method of the transmitted vector is identical.

Now, due to physical properties of interference, if two signals at a point are in phase, they add to give twice the amplitude of each signal, but if they are out of phase, they subtract and give a signal that is the difference of the amplitudes. Digitally, this behaviour can be modelled by the addition of the transmission vectors, component by component.

If sender0 has code (1, −1) and data (1, 0, 1, 1), and sender1 has code (1, 1) and data (0, 0, 1, 1), and both senders transmit simultaneously, then this table describes the coding steps:

Step Encode sender0 Encode sender1
0 code0 = (1, −1), data0 = (1, 0, 1, 1) code1 = (1, 1), data1 = (0, 0, 1, 1)
1 encode0 = 2(1, 0, 1, 1) − (1, 1, 1, 1) = (1, −1, 1, 1) encode1 = 2(0, 0, 1, 1) − (1, 1, 1, 1) = (−1, −1, 1, 1)
2 signal0 = encode0 ⊗ code0
= (1, −1, 1, 1) ⊗ (1, −1)
= (1, −1, −1, 1, 1, −1, 1, −1)
signal1 = encode1 ⊗ code1
= (−1, −1, 1, 1) ⊗ (1, 1)
= (−1, −1, −1, −1, 1, 1, 1, 1)

Because signal0 and signal1 are transmitted at the same time into the air, they add to produce the raw signal

(1, −1, −1, 1, 1, −1, 1, −1) + (−1, −1, −1, −1, 1, 1, 1, 1) = (0, −2, −2, 0, 2, 0, 2, 0).

This raw signal is called an interference pattern. The receiver then extracts an intelligible signal for any known sender by combining the sender's code with the interference pattern. The following table explains how this works and shows that the signals do not interfere with one another:

Step Decode sender0 Decode sender1
0 code0 = (1, −1), signal = (0, −2, −2, 0, 2, 0, 2, 0) code1 = (1, 1), signal = (0, −2, −2, 0, 2, 0, 2, 0)
1 decode0 = pattern.vector0 decode1 = pattern.vector1
2 decode0 = ((0, −2), (−2, 0), (2, 0), (2, 0)) · (1, −1) decode1 = ((0, −2), (−2, 0), (2, 0), (2, 0)) · (1, 1)
3 decode0 = ((0 + 2), (−2 + 0), (2 + 0), (2 + 0)) decode1 = ((0 − 2), (−2 + 0), (2 + 0), (2 + 0))
4 data0=(2, −2, 2, 2), meaning (1, 0, 1, 1) data1=(−2, −2, 2, 2), meaning (0, 0, 1, 1)

Further, after decoding, all values greater than 0 are interpreted as 1, while all values less than zero are interpreted as 0. For example, after decoding, data0 is (2, −2, 2, 2), but the receiver interprets this as (1, 0, 1, 1). Values of exactly 0 means that the sender did not transmit any data, as in the following example:

Assume signal0 = (1, −1, −1, 1, 1, −1, 1, −1) is transmitted alone. The following table shows the decode at the receiver:

Step Decode sender0 Decode sender1
0 code0 = (1, −1), signal = (1, −1, −1, 1, 1, −1, 1, −1) code1 = (1, 1), signal = (1, −1, −1, 1, 1, −1, 1, −1)
1 decode0 = pattern.vector0 decode1 = pattern.vector1
2 decode0 = ((1, −1), (−1, 1), (1, −1), (1, −1)) · (1, −1) decode1 = ((1, −1), (−1, 1), (1, −1), (1, −1)) · (1, 1)
3 decode0 = ((1 + 1), (−1 − 1), (1 + 1), (1 + 1)) decode1 = ((1 − 1), (−1 + 1), (1 − 1), (1 − 1))
4 data0 = (2, −2, 2, 2), meaning (1, 0, 1, 1) data1 = (0, 0, 0, 0), meaning no data

When the receiver attempts to decode the signal using sender1's code, the data is all zeros, therefore the cross-correlation is equal to zero and it is clear that sender1 did not transmit any data.

When mobile-to-base links cannot be precisely coordinated, particularly due to the mobility of the handsets, a different approach is required. Since it is not mathematically possible to create signature sequences that are both orthogonal for arbitrarily random starting points and which make full use of the code space, unique "pseudo-random" or "pseudo-noise" sequences called spreading sequences are used in غير متزامن CDMA systems. A spreading sequence is a binary sequence that appears random but can be reproduced in a deterministic manner by intended receivers. These spreading sequences are used to encode and decode a user's signal in asynchronous CDMA in the same manner as the orthogonal codes in synchronous CDMA (shown in the example above). These spreading sequences are statistically uncorrelated, and the sum of a large number of spreading sequences results in multiple access interference (MAI) that is approximated by a Gaussian noise process (following the central limit theorem in statistics). Gold codes are an example of a spreading sequence suitable for this purpose, as there is low correlation between the codes. If all of the users are received with the same power level, then the variance (e.g., the noise power) of the MAI increases in direct proportion to the number of users. In other words, unlike synchronous CDMA, the signals of other users will appear as noise to the signal of interest and interfere slightly with the desired signal in proportion to number of users.

All forms of CDMA use the spread-spectrum spreading factor to allow receivers to partially discriminate against unwanted signals. Signals encoded with the specified spreading sequences are received, while signals with different sequences (or the same sequences but different timing offsets) appear as wideband noise reduced by the spreading factor.

Since each user generates MAI, controlling the signal strength is an important issue with CDMA transmitters. A CDM (synchronous CDMA), TDMA, or FDMA receiver can in theory completely reject arbitrarily strong signals using different codes, time slots or frequency channels due to the orthogonality of these systems. This is not true for asynchronous CDMA rejection of unwanted signals is only partial. If any or all of the unwanted signals are much stronger than the desired signal, they will overwhelm it. This leads to a general requirement in any asynchronous CDMA system to approximately match the various signal power levels as seen at the receiver. In CDMA cellular, the base station uses a fast closed-loop power-control scheme to tightly control each mobile's transmit power.

In 2019, schemes to precisely estimate the required length of the codes in dependence of Doppler and delay characteristics have been developed. Soon after, machine learning based techniques that generate sequences of a desired length and spreading properties have been published as well. These are highly competitive with the classic Gold and Welch sequences. These are not generated by linear-feedback-shift-registers, but have to be stored in lookup tables.

Advantages of asynchronous CDMA over other techniques Edit

Efficient practical utilization of the fixed frequency spectrum Edit

In theory CDMA, TDMA and FDMA have exactly the same spectral efficiency, but, in practice, each has its own challenges – power control in the case of CDMA, timing in the case of TDMA, and frequency generation/filtering in the case of FDMA.

TDMA systems must carefully synchronize the transmission times of all the users to ensure that they are received in the correct time slot and do not cause interference. Since this cannot be perfectly controlled in a mobile environment, each time slot must have a guard time, which reduces the probability that users will interfere, but decreases the spectral efficiency.

Similarly, FDMA systems must use a guard band between adjacent channels, due to the unpredictable Doppler shift of the signal spectrum because of user mobility. The guard bands will reduce the probability that adjacent channels will interfere, but decrease the utilization of the spectrum.

Flexible allocation of resources Edit

Asynchronous CDMA offers a key advantage in the flexible allocation of resources i.e. allocation of spreading sequences to active users. In the case of CDM (synchronous CDMA), TDMA, and FDMA the number of simultaneous orthogonal codes, time slots, and frequency slots respectively are fixed, hence the capacity in terms of the number of simultaneous users is limited. There are a fixed number of orthogonal codes, time slots or frequency bands that can be allocated for CDM, TDMA, and FDMA systems, which remain underutilized due to the bursty nature of telephony and packetized data transmissions. There is no strict limit to the number of users that can be supported in an asynchronous CDMA system, only a practical limit governed by the desired bit error probability since the SIR (signal-to-interference ratio) varies inversely with the number of users. In a bursty traffic environment like mobile telephony, the advantage afforded by asynchronous CDMA is that the performance (bit error rate) is allowed to fluctuate randomly, with an average value determined by the number of users times the percentage of utilization. Suppose there are 2ن users that only talk half of the time, then 2ن users can be accommodated with the same average bit error probability as ن users that talk all of the time. The key difference here is that the bit error probability for ن users talking all of the time is constant, whereas it is a random quantity (with the same mean) for 2ن users talking half of the time.

In other words, asynchronous CDMA is ideally suited to a mobile network where large numbers of transmitters each generate a relatively small amount of traffic at irregular intervals. CDM (synchronous CDMA), TDMA, and FDMA systems cannot recover the underutilized resources inherent to bursty traffic due to the fixed number of orthogonal codes, time slots or frequency channels that can be assigned to individual transmitters. For instance, if there are ن time slots in a TDMA system and 2ن users that talk half of the time, then half of the time there will be more than ن users needing to use more than ن time slots. Furthermore, it would require significant overhead to continually allocate and deallocate the orthogonal-code, time-slot or frequency-channel resources. By comparison, asynchronous CDMA transmitters simply send when they have something to say and go off the air when they do not, keeping the same signature sequence as long as they are connected to the system.

Spread-spectrum characteristics of CDMA Edit

Most modulation schemes try to minimize the bandwidth of this signal since bandwidth is a limited resource. However, spread-spectrum techniques use a transmission bandwidth that is several orders of magnitude greater than the minimum required signal bandwidth. One of the initial reasons for doing this was military applications including guidance and communication systems. These systems were designed using spread spectrum because of its security and resistance to jamming. Asynchronous CDMA has some level of privacy built in because the signal is spread using a pseudo-random code this code makes the spread-spectrum signals appear random or have noise-like properties. A receiver cannot demodulate this transmission without knowledge of the pseudo-random sequence used to encode the data. CDMA is also resistant to jamming. A jamming signal only has a finite amount of power available to jam the signal. The jammer can either spread its energy over the entire bandwidth of the signal or jam only part of the entire signal. [14] [15]

CDMA can also effectively reject narrow-band interference. Since narrow-band interference affects only a small portion of the spread-spectrum signal, it can easily be removed through notch filtering without much loss of information. Convolution encoding and interleaving can be used to assist in recovering this lost data. CDMA signals are also resistant to multipath fading. Since the spread-spectrum signal occupies a large bandwidth, only a small portion of this will undergo fading due to multipath at any given time. Like the narrow-band interference, this will result in only a small loss of data and can be overcome.

Another reason CDMA is resistant to multipath interference is because the delayed versions of the transmitted pseudo-random codes will have poor correlation with the original pseudo-random code, and will thus appear as another user, which is ignored at the receiver. In other words, as long as the multipath channel induces at least one chip of delay, the multipath signals will arrive at the receiver such that they are shifted in time by at least one chip from the intended signal. The correlation properties of the pseudo-random codes are such that this slight delay causes the multipath to appear uncorrelated with the intended signal, and it is thus ignored.

Some CDMA devices use a rake receiver, which exploits multipath delay components to improve the performance of the system. A rake receiver combines the information from several correlators, each one tuned to a different path delay, producing a stronger version of the signal than a simple receiver with a single correlation tuned to the path delay of the strongest signal. [1] [2]

Frequency reuse is the ability to reuse the same radio channel frequency at other cell sites within a cellular system. In the FDMA and TDMA systems, frequency planning is an important consideration. The frequencies used in different cells must be planned carefully to ensure signals from different cells do not interfere with each other. In a CDMA system, the same frequency can be used in every cell, because channelization is done using the pseudo-random codes. Reusing the same frequency in every cell eliminates the need for frequency planning in a CDMA system however, planning of the different pseudo-random sequences must be done to ensure that the received signal from one cell does not correlate with the signal from a nearby cell. [1]

Since adjacent cells use the same frequencies, CDMA systems have the ability to perform soft hand-offs. Soft hand-offs allow the mobile telephone to communicate simultaneously with two or more cells. The best signal quality is selected until the hand-off is complete. This is different from hard hand-offs utilized in other cellular systems. In a hard-hand-off situation, as the mobile telephone approaches a hand-off, signal strength may vary abruptly. In contrast, CDMA systems use the soft hand-off, which is undetectable and provides a more reliable and higher-quality signal. [2]

A novel collaborative multi-user transmission and detection scheme called collaborative CDMA [16] has been investigated for the uplink that exploits the differences between users' fading channel signatures to increase the user capacity well beyond the spreading length in the MAI-limited environment. The authors show that it is possible to achieve this increase at a low complexity and high bit error rate performance in flat fading channels, which is a major research challenge for overloaded CDMA systems. In this approach, instead of using one sequence per user as in conventional CDMA, the authors group a small number of users to share the same spreading sequence and enable group spreading and despreading operations. The new collaborative multi-user receiver consists of two stages: group multi-user detection (MUD) stage to suppress the MAI between the groups and a low-complexity maximum-likelihood detection stage to recover jointly the co-spread users' data using minimal Euclidean-distance measure and users' channel-gain coefficients. An enhanced CDMA version known as interleave-division multiple access (IDMA) uses the orthogonal interleaving as the only means of user separation in place of signature sequence used in CDMA system.


What are Nutrients?

Nutrients are substances required by the body to perform its basic functions. Most nutrients must be obtained from our diet, since the human body does not synthesize or produce them. Nutrients have one or more of three basic functions: they provide energy, contribute to body structure, and/or regulate chemical processes in the body. These basic functions allow us to detect and respond to environmental surroundings, move, excrete wastes, respire (breathe), grow, and reproduce.

There are six classes of nutrients required for the body to function and maintain overall health. These are: carbohydrates, lipids, proteins, water, vitamins, and minerals. Nutritious foods provide nutrients for the body. Foods may also contain a variety of non-nutrients. Some non-nutrients such as as antioxidants (found in many plant foods) are beneficial to the body, whereas others such as natural toxins (common in some plant foods) or additives (like certain dyes and preservatives found in processed foods) are potentially harmful.

Macronutrients

Nutrients that are needed in large amounts are called macronutrients. There are three classes of macronutrients: carbohydrates, lipids, and proteins. Macronutrients are carbon-based compounds that can be metabolically processed into cellular energy through changes in their chemical bonds. The chemical energy is converted into cellular energy known as ATP, that is utilized by the body to perform work and conduct basic functions.

The amount of energy a person consumes daily comes primarily from the 3 macronutrients. Food energy is measured in kilocalories. For ease of use, food labels state the amount of energy in food in &ldquocalories,&rdquo meaning that each calorie is actually multiplied by one thousand to equal a kilocalorie. (Note: Using scientific terminology, &ldquoCalorie&rdquo (with a capital &ldquoC&rdquo) is equivalent to a kilocalorie. Therefore: 1 kilocalorie = 1 Calorie - 1000 calories

Water is also a macronutrient in the sense that the body needs it in large amounts, but unlike the other macronutrients, it does not contain carbon or yield energy.

Note: Consuming alcohol also contributes energy (calories) to the diet at 7 kilocalories/gram, so it must be counted in daily energy consumption. However, alcohol is not considered a "nutrient" because it does not contribute to essential body functions and actually contains substances that must broken down and excreted from the body to prevent toxic effects.

Figure (PageIndex<2>): The Macronutrients: Carbohydrates, Lipids, Protein, and Water.

Carbohydrates

Carbohydrates are molecules composed of carbon, hydrogen, and oxygen that provide energy to the body. The major food sources of carbohydrates are milk, grains, fruits, and starchy vegetables, like potatoes. Non-starchy vegetables also contain carbohydrates, but in lesser quantities. Carbohydrates are broadly classified into two forms based on their chemical structure: simple carbohydrates (often called simple sugars) and complex carbohydrates.

Simple carbohydrates consist of one or two basic sugar units linked together. Their scientific names are "monosaccharides" (1 sugar unit) and disaccharides (2 sugar units). They are broken down and absorbed very quickly in the digestive tract and provide a fast burst of energy to the body. Examples of simple sugars include the disaccharide sucrose, the type of sugar you would have in a bowl on the breakfast table, and the monosaccharide glucose, the most common type of fuel for most organisms including humans. Glucose is the primary sugar that circulates in blood to provide energy to cells. The terms "blood sugar" and "blood glucose" can be substituted for each other.

Complex carbohydrates are long chains of sugars units that can link in a straight chair or a branched chain. During digestion, the body breaks down digestible complex carbohydrates into simple sugars, mostly glucose. Glucose is then absorbed into the bloodstream and transported to all our cells where it is stored, used to make energy, or used to build macromolecules. Fiber is also a complex carbohydrate, but it cannot be broken down by digestive enzymes in the human intestine. As a result, it passes through the digestive tract undigested unless the bacteria that inhabit the colon or large intestine break it down.

One gram of digestible carbohydrates yields 4 kilocalories of energy for the cells in the body to perform work. In addition to providing energy and serving as building blocks for bigger macromolecules, carbohydrates are essential for proper functioning of the nervous system, heart, and kidneys. As mentioned, glucose can be stored in the body for future use. In humans, the storage molecule of carbohydrates is called glycogen, and in plants, it is known as starch. Glycogen and starch are complex carbohydrates.

Lipids

Lipids are also a family of molecules composed of carbon, hydrogen, and oxygen, but unlike carbohydrates, they are insoluble in water. Lipids are found predominantly in butter, oils, meats, dairy products, nuts, and seeds, and in many processed foods. The three main types of lipids are triglycerides (triacylglycerols), phospholipids, and sterols. The main job of triacylglycerols is to provide or store energy. Lipids provide more energy per gram than carbohydrates (9 kilocalories per gram of lipids versus 4 kilocalories per gram of carbohydrates). In addition to energy storage, lipids serve as a major component of cell membranes, surround and protect organs (in fat-storing tissues), provide insulation to aid in temperature regulation. Phospholipds and sterols have a somewhat different chemical structure and are used to regulate many other functions in the body.

Proteins

Proteins are macromolecules composed of chains of basic subunits called amino acids. Amino acids are composed of carbon, oxygen, hydrogen, and nitrogen. Food sources of proteins include meats, dairy products, seafood, and a variety of different plant-based foods, most notably soy. The word protein comes from a Greek word meaning &ldquoof primary importance,&rdquo which is an apt description of these macronutrients they are also known colloquially as the &ldquoworkhorses&rdquo of life. Proteins provide the basic structure to bones, muscles and skin, enzymes and hormones and play a role in conducting most of the chemical reactions that take place in the body. Scientists estimate that greater than one-hundred thousand different proteins exist within the human body. The genetic codes in DNA are basically protein recipes that determine the order in which 20 different amino acids are bound together to make thousands of specific proteins. Because amino acids contain carbon, they can be used by the body for energy and supply 4 kilocalories of energy per gram however providing energy is not protein&rsquos most important function.

ماء

There is one other nutrient that we must have in large quantities: water. Water does not contain carbon, but is composed of two hydrogen atoms and one oxygen atom per molecule of water. More than 60 percent of your total body weight is water. Without water, nothing could be transported in or out of the body, chemical reactions would not occur, organs would not be cushioned, and body temperature would widely fluctuate. On average, an adult consumes just over two liters of water per day from both eating foods and drinking liquids. Since water is so critical for life&rsquos basic processes, total water intake and output is supremely important. This topic will be explored in detail in Chapter 4.

Table (PageIndex<1>): Functions of Nutrients.
Nutrients Primary Function
Carbohydrates Provide a ready source of energy for the body (4 kilocalories/gram) and structural constituents for the formation of cells.
Fat Provides stored energy for the body (9 kilocalories/gram), functions as structural components of cells and also as signaling molecules for proper cellular communication. It provides insulation to vital organs and works to maintain body temperature.
Protein Necessary for tissue and organ formation, cellular repair and hormone and enzyme production. Provide energy, but not a primary function (4 kilocalories/gram)
ماء Transports essential nutrients to all body parts, transports waste products for disposal and aids with body temperature regulation
المعادن Regulate body processes, are necessary for proper cellular function, and comprise body tissue.
Vitamins Regulate body processes and promote normal body-system functions.

Micronutrients

Micronutrients are also essential for carrying out bodily functions, but they are required by the body in lesser amounts. Micronutrients include all the essential minerals و vitamins. There are sixteen essential minerals and thirteen essential vitamins (See Table (PageIndex<1>) and Table (PageIndex<2>) for a complete list and their major functions).

In contrast to carbohydrates, lipids, and proteins, micronutrients are not sources of energy (calories) for the body. Instead they play a role as cofactors or components of enzymes (i.e., coenzymes) that facilitate chemical reactions in the body. They are involved in all aspects of body functions from producing energy, to digesting nutrients, to building macromolecules. Micronutrients play many essential roles in the body.

المعادن

Minerals are solid inorganic substances that form crystals and are classified depending on how much of them we need. Trace minerals, such as molybdenum, selenium, zinc, iron, and iodine, are only required in a few milligrams or less. Macrominerals, such as calcium, magnesium, potassium, sodium, and phosphorus, are required in hundreds of milligrams. Many minerals are critical for enzyme function, while others are used to maintain fluid balance, build bone tissue, synthesize hormones, transmit nerve impulses, contract and relax muscles, and protect against harmful free radicals in the body that can cause health problems such as cancer.

Table (PageIndex<1>): Minerals and Their Major Functions.
المعادن Major Functions
Macro
Sodium Fluid balance, nerve transmission, muscle contraction
Chloride Fluid balance, stomach acid production
Potassium Fluid balance, nerve transmission, muscle contraction
Calcium Bone and teeth health maintenance, nerve transmission, muscle contraction, blood clotting
Phosphorus Bone and teeth health maintenance, acid-base balance
Magnesium Protein production, nerve transmission, muscle contraction
Sulfur Protein production
Trace
Iron Carries oxygen, assists in energy production
Zinc Protein and DNA production, wound healing, growth, immune system function
Iodine Thyroid hormone production, growth, metabolism
Selenium Antioxidant
Copper Coenzyme, iron metabolism
Manganese Coenzyme
Fluoride Bone and teeth health maintenance, tooth decay prevention
Chromium Assists insulin in glucose metabolism
Molybdenum Coenzyme

Vitamins

The thirteen vitamins are categorized as either water-soluble or fat-soluble. ال water-soluble vitamins are vitamin C and all the B vitamins, which include thiamine, riboflavin, niacin, pantothenic acid, pyridoxine, biotin, folate and cobalamin. The fat-soluble vitamins are A, D, E, and K. Vitamins are required to perform many functions in the body such as assisting in energy production, making red blood cells, synthesizing bone tissue, and supporting normal vision, nervous system function, and immune system function.

Vitamin deficiencies can cause severe health problems and even death. For example, a deficiency in niacin causes a disease called pellagra, which was common in the early twentieth century in some parts of America. The common signs and symptoms of pellagra are known as the &ldquo4D&rsquos&mdashdiarrhea, dermatitis, dementia, and death.&rdquo Until scientists discovered that better diets relieved the signs and symptoms of pellagra, many people with the disease ended up hospitalized in insane asylums awaiting death. Other vitamins were also found to prevent certain disorders and diseases such as scurvy (vitamin C), night blindness (vitamin A), and rickets (vitamin D).

Table (PageIndex<2>): Vitamins and Their Major Functions.
Vitamins Major Functions
Water-soluble
Thiamin (B1) Coenzyme, energy metabolism assistance
Riboflavin (B2 ) Coenzyme, energy metabolism assistance
Niacin (B3) Coenzyme, energy metabolism assistance
Pantothenic acid (B5) Coenzyme, energy metabolism assistance
Pyridoxine (B6) Coenzyme, amino acid synthesis assistance
Biotin (B7) Coenzyme, amino acid and fatty acid metabolism
Folate (B9) Coenzyme, essential for growth
Cobalamin (B12) Coenzyme, red blood cell synthesis
C (ascorbic acid) Collagen synthesis, antioxidant
Fat-soluble
أ Vision, reproduction, immune system function
د Bone and teeth health maintenance, immune system function
ه Antioxidant, cell membrane protection
ك Bone and teeth health maintenance, blood clotting

Contributor

University of Hawai&rsquoi at Mānoa Food Science and Human Nutrition Program: Allison Calabrese, Cheryl Gibby, Billy Meinke, Marie Kainoa Fialkowski Revilla, and Alan Titchenal


Nanostructured materials: basic concepts and microstructure ☆

Nanostructured Materials (NsM) are materials with a microstructure the characteristic length scale of which is on the order of a few (typically 1–10) nanometers. NsM may be in or far away from thermodynamic equilibrium. NsM synthesized by supramolecular chemistry are examples of NsM in thermodynamic equilibrium. NsM consisting of nanometer-sized crystallites (e.g. of Au or NaCl) with different crystallographic orientations and/or chemical compositions are far away from thermodynamic equilibrium. The properties of NsM deviate from those of single crystals (or coarse-grained polycrystals) and/or glasses with the same average chemical composition. This deviation results from the reduced size and/or dimensionality of the nanometer-sized crystallites as well as from the numerous interfaces between adjacent crystallites. An attempt is made to summarize the basic physical concepts and the microstructural features of equilibrium and non-equilibrium NsM.