مقالات

3: باولي الجبر والديناميكا الكهربائية - الرياضيات


  • 3.1: تحويل لورنتز وقوة لورنتز
    تكمن الأهمية الرئيسية لجبر باولي في تزويدنا بنقطة انطلاق لنظرية مساحات السبينور. ومع ذلك ، من المفيد التوقف عند هذه النقطة لإظهار أن الشكلية التي تم تطويرها بالفعل تزودنا بإطار عمل فعال لجوانب محدودة ، لكنها مهمة في علم الإلكتروديناميك الكلاسيكي (CED).
  • 3.2: حقل ماكسويل الحر

الديناميكا الكهربائية الكمية

في فيزياء الجسيمات الديناميكا الكهربائية الكمية (QED) هي نظرية المجال الكمي النسبي للديناميكا الكهربائية. في جوهرها ، يصف كيفية تفاعل الضوء والمادة وهي النظرية الأولى التي يتحقق فيها اتفاق كامل بين ميكانيكا الكم والنسبية الخاصة. يصف QED رياضيًا جميع الظواهر التي تنطوي على جسيمات مشحونة كهربائيًا تتفاعل عن طريق تبادل الفوتونات ويمثل النظير الكمومي للكهرومغناطيسية الكلاسيكية مع إعطاء حساب كامل للمادة وتفاعل الضوء.

من الناحية الفنية ، يمكن وصف QED كنظرية اضطراب في الفراغ الكمومي الكهرومغناطيسي. أطلق عليها ريتشارد فاينمان اسم "جوهرة الفيزياء" نظرًا لتنبؤاتها الدقيقة للغاية بالكميات مثل العزم المغناطيسي الشاذ للإلكترون وانزياح لامب لمستويات طاقة الهيدروجين. [1]: الفصل 1


3: باولي الجبر والديناميكا الكهربائية - الرياضيات

نقدم بعض الصيغ الرئيسية للنسبية الخاصة ونطبقها على حركة جسيم نقطي غير مشحون من كتلة الوحدة ، يخضع لقوة لورنتز بسبب مجال كهرومغناطيسي خارجي.

باولي الجبر

يتكون عنصر جبر باولي من عدد معقد ، على سبيل المثال ، وناقل مركب ثلاثي الأبعاد ، يُشار إليه ، وبالتالي يكون له ثمانية أبعاد حقيقية. في الواقع ، هذا هو تعميم للجبر الرباعي ، ولكن مع المكونات المعقدة بدلاً من المكونات الحقيقية. في هذه المقالة نسمي هذه العناصر & # 8220 spinors. & # 8221

منتج اثنين من السبينور هو محدد بواسطة

أين و هي الضربات النقطية و المتقاطعة على التوالي. لاحظ أن هذا الضرب ترابطي ، مما يعني أننا لا نحتاج إلى أقواس عند ضرب ثلاثة أو أكثر من السبينر. لكن الضرب ليس تبادليًا (تعتمد النتيجة على ترتيب العوامل).

هناك عمليتان هامتان منفردة (وسيطة واحدة) على السبينورات: الأولى تسمى انعكاس (يُشار إليه) ، والتي تغير علامة الجزء المتجه ، أي أن الثانية تأخذ الاقتران المركب وكل مكون منه يعني . أخيرًا ، فقط للراحة ، دعنا نشير إلى مزيج من كلاهما ، أي لاحظ ذلك

التي يسهل التحقق منها.

المناظرة الرياضيات الروتين تبدو وتعمل مثل هذا.

من الآن فصاعدًا ، نعتبر المتجه ثلاثي الأبعاد حالة خاصة للسبينور ، وهذا يعني اختصارًا لـ. يمكننا بسهولة حساب وظائف مختلفة من السبينورات (والمتجهات ثلاثية الأبعاد ، كحالة خاصة). وهكذا ، على سبيل المثال ، بافتراض أن هذا متجه ثلاثي الأبعاد بمكونات حقيقية ، نجد

أين هو طول ومتجه وحدة في نفس الاتجاه.

وبالمثل ، بالنسبة لمتجه ثلاثي الأبعاد بمكونات خيالية نقية (التي نعبر عنها في الشكل للحفاظ على العناصر الحقيقية) ، ينتج عن نفس النوع من التوسع

مرة أخرى أين هو طول ومتجه وحدة في نفس الاتجاه.

يمكن أن يمتد هذا بسهولة إلى وسيطة متجه معقدة ، على النحو التالي.

النسبية الخاصة

الفكرة الأساسية لنظرية أينشتاين & # 8217 هي توحيد المكان والزمان في كيان واحد من الزمكان ، والذي يمكن بعد ذلك تمثيل & # 8220 نقطة & # 8221 (أو الأحداث) بواسطة حقيقة سبينور من النوع. يشكل الفصل بين أي حدثين من هذه الأحداث ما يسمى بـ 4-vector الذي ، عند ضربه (بمعنى السبينور) بانعكاسه الخاص ، ينتج عنه عدد قياسي خالص. من المفترض الآن أن هذه الكمية يجب أن تكون ثابتة (لها نفس القيمة) في جميع أنظمة الإحداثيات بالقصور الذاتي (أي تلك التي تختلف عن بعضها البعض من خلال دوران ثابت و / أو دفع & # 8212a الحركة بسرعة ثابتة). من أجل التبسيط ، يحدد اختيارنا للوحدات سرعة الضوء (والتي يجب أن تكون هي نفسها في جميع أنظمة القصور الذاتي) تساوي 1.

السؤال هو: كيف يمكننا تحويل 4 متجهات من إطار بالقصور الذاتي إلى آخر ، مع الحفاظ على هذا الثبات؟ الجواب مقدم من

حيث وتمثل متجهًا رباعيًا في الإطار المرجعي القديم والجديد ، على التوالي ، وهو عنصر مغزل من هذا القبيل. من الواضح أن هذا يظل حقيقيًا متى كان حقيقيًا ، وذاك

حيث (الثابت العددي لـ). هذا يدل على أن لها نفس القيمة في جميع الأطر المرجعية بالقصور الذاتي. اشتراط أن يكون الانعكاس عملية مستقلة عن الإطار (بمعنى أنه لكل 4 متجه) يؤدي إلى

من هذا ، يمكننا أن نرى أن ذلك يتحول بشكل مختلف عن كونه مثالًا لأربعة أبعاد كوفكتور (a -vector ، في تدويننا). مثال آخر مهم للناقل هو العامل ، حيث يقف على التدرج المعتاد ثلاثي الأبعاد (المكاني) (مجموعة ، والمشتقات الجزئية).

يمكن للمرء أن يُظهر ذلك فقط إذا ، وأين يكون متجهًا & # 8220 نقيًا & # 8221 (أي متجه ثلاثي الأبعاد ، ولكن يحتمل أن يكون ذو قيمة معقدة). هذا شكل عام تمامًا ولكنه غير مريح لحسن الحظ ، يمكن للمرء أن يثبت أنه يمكن التعبير عن أي من هذا على أنه منتج لدوران عادي ثلاثي الأبعاد وتعزيز ، حيث تكون نواقل ذات قيمة حقيقية. لرؤية هذا يؤدي إلى دوران عادي للجزء المتجه من (حيث يحدد حجم الزاوية واتجاه محور الدوران) ، ضع في اعتبارك

أين يتحلل إلى مكونات موازية وعمودية على ، على التوالي. لاحظ أنه يتنقل مع (وأي وظيفة منه) وبالتالي ، فإنه يظل دون تغيير بسبب هذا التحول. من ناحية أخرى ، و anticommute (أي) ، مما يعني ضمنيًا

وبالتالي ، بقية (8). وهكذا يمكن للمرء أن يرى أن هذا التحول يترك الجزء القياسي من متجه رباعي سليمًا ، ويقوم بتدوير الجزء المتجه باستخدام ومحور وزاوية الدوران (للإطار القديم ، فيما يتعلق بالإطار الجديد) ، على التوالي.

هنا ، يمكن الاستعاضة عنها ، حيث وتمثل اتجاه الوحدة وحجم متجه ثلاثي الأبعاد (سرعة الإطار القديم فيما يتعلق بالإطار الجديد) ، على التوالي. يؤدي هذا إلى النتيجة المبسطة التالية (والأكثر أهمية جسديًا) لمثل هذا التعزيز ، المطبق على:

مجال كهرومغناطيسي

حقل متجه 4 ذو أهمية مركزية هو الجهد الكهرومغناطيسي ، حيث يكون كل مكون من وظائف ذات قيمة حقيقية لموقع الزمكان (أي من ، و ، و). الآن تأتي نقطة مهمة: ضمن الإطار الحالي ، من غير المعنى ماديًا مضاعفة متجهين من 4 متجهات (لن نعرف كيفية تحويل مثل هذا المنتج من إطار بالقصور الذاتي إلى إطار آخر) ، ولكن من الممكن ضرب ناقل بـ 4 متجه ، مما يُنشئ ما نسميه متجه مختلط. وبالتالي فمن المشروع تمامًا القيام بذلك

إنشاء متجه مختلط ، له طريقته الجديدة الخاصة للتحويل (كما هو موضح قريبًا).

لتفسير الجانب الأيمن من (12) ماديًا ، نفرض أولاً ما يسمى بشرط Lorenz (غالبًا ما يُنسب بشكل خاطئ إلى Lorentz الأكثر شهرة) من (نثبت قريبًا أن هذا الشرط ثابت في الإطار) ، ونتعرف عليه وأين و هي المجالات الكهربائية والمغناطيسية الناتجة (الحقيقية القيمة) ، على التوالي.

يمكن للمرء الآن أن يظهر بسهولة إلى حد ما أنه سيؤدي ببساطة إلى تدوير الحقلين. من ناحية أخرى ، ينتج عن التعزيز

منذ تحويل متجه مختلط يتم بواسطة. في كلتا الحالتين (الدوران والتعزيز) ، يظل الجزء القياسي مساويًا للصفر ، مما يثبت ثبات حالة لورنز.

على عكس النواقل الأربعة ، يمكن مضاعفة المتجهات المختلطة ، مما ينتج عنه متجه مختلط جديد (من حيث خصائص التحويل الخاصة به). وهكذا ، على سبيل المثال ،

يخبرنا أن كلاهما وحقول عددية ثابتة.

وبالمثل ، فإن ضرب متجه 4 في متجه مختلط يؤدي إلى إرجاع متجه 4 على سبيل المثال ،

هذه المرة ، يجب أن تكون النتيجة مساوية لكثافة الشحنة / التيار (ناقل 4 أساسي آخر للنظرية) ينتج عن ذلك صياغة مضغوطة ، ديراك الجبر لمعادلات ماكسويل المعتادة. على سبيل المثال ، يحسب البرنامج التالي المجال الكهرومغناطيسي لجسيم ضخم شبيه بالنقطة لشحنة وحدة ، يتحرك بسرعة موحدة على طول المحور ، كما يتحقق أيضًا من أن النتيجة تفي بمعادلات Maxwell & # 8217s.

ديناميات جسيم مشحون شبيه بالنقطة

نختار الوحدات التي تتساوى فيها كل من الكتلة المتبقية وشحنة الجسيم 1. يُشار إلى موقعها اللحظي ، حيث تكون المكونات الثلاثة لـ. لجعل إطار المعادلات اللاحقة مستقلاً (لها نفس الشكل في جميع الإطارات بالقصور الذاتي) ، نحتاج الآن إلى تقديم الجسيم & # 8217s ما يسمى بالوقت المناسب من خلال

نحن نعلم بالفعل أن التحولات كمتجه رباعي ، وبالتالي ، وبالتالي ، فهي ثابتة نسبيًا (النقطة فوق تعني التمايز فيما يتعلق). ثم يتم حساب الوقت المناسب من خلال التكامل المقابل ، وهو

والتي ، كونها & # 8220sum & # 8221 من الكميات الثابتة ، هي عددية ثابتة أيضًا. وهذا يعني أن

يتحول إلى متجه 4 (نطلق عليه الزخم 4 للجسيم المتحرك).

يمكن الآن تحديد حركة الجسيم المشحون في مجال كهرومغناطيسي معين عن طريق الحل

حيث يكون الجانب الأيمن هو ما يسمى بقوة لورنتز ، و & # 8220 & # 8221 يأخذ الجزء الحقيقي من حجته (أيضًا 4 متجه). لاحظ أن & # 8220 & # 8221 المطبق على متجه 4 يظل متجهًا 4 (نظرًا لأن الاقتران المعقد لـ 4-vector يتحول كمتجه 4 ، كما يمكن للمرء التحقق بسهولة).

بناءً على (18) ، فإن الجانب الأيمن من (19) يساوي

بالنسبة للجسيم ذي الشحنة السالبة للوحدة ، تنعكس إشارة هذا المتجه الرابع.

تتمثل إحدى طرق حل المعادلة ذات 4 متجهات الناتجة في توسيع الطرف الأيسر لـ (19):

الذي يجب أن يساوي (20). نحصل على إلغاء العامل القياسي

أخيرًا ، يمكن الحصول على أول (الجزء القياسي) من هذه المعادلات الأربع بأخذ حاصل الضرب القياسي للمعادلات الثلاث المتبقية (الجزء المتجه) ، وبالتالي فهو زائد عن الحاجة. كل ما نحتاج إلى حله في النهاية هو

أو ، بشكل مكافئ (عن طريق حل ل) ،

يمكن التحقق من صحتها بسهولة عن طريق استبدالها بالجانب الأيسر من (23) والحصول على الجانب الأيمن. يمكن حل هذه المعادلات بشكل عام عدديًا فقط. ستكون النتيجة وظيفة مكونة من ثلاثة مكونات لوقت يعتمد على الإطار (تم استخدام الوقت المناسب فقط كأداة وسيطة لضمان الاتفاق بين الأطر المرجعية بالقصور الذاتي ، يظل حلنا صحيحًا في أي إطار آخر ، بعد التحويل المقابل). يجد البرنامج التالي حركة جسيم سالب الشحنة (تم اختياره لأن القوة الجاذبة تجعل المسار الناتج أكثر تشويقًا إلى حد ما ، مقارنةً بتنافر الشحنة نفسها) في مجال القسم السابق.

تم التقاط جسيم الوحدة-الكتلة الثابت في الأصل & # 8220 & # 8221 بواسطة الجسيم الضخم المتحرك (الذي يُفترض أنه ثقيل جدًا بحيث تظل حركته غير متأثرة) ، وسيستمر في الدوران حوله (مع اتباع حركته المنتظمة). من المهم أن ندرك أن صياغة المشكلة هذه قد تجاهلت حقيقة أن الجسيم المتحرك يولد (ويشع) مجالًا كهرومغناطيسيًا خاصًا به ، مما يزيد من تعديل حركته. والأهم من ذلك ، نعلم أيضًا أنه على المستوى الذري ، يخضع العالم لميكانيكا الكم ، مما يؤدي في النهاية إلى وصف مختلف تمامًا للجسيم الذي يدور في المدار. هذا هو السبب الذي يجعل الحل الأخير ذا فائدة رياضية فقط. في ظل مجموعة واسعة من الظروف الأولية ، سيتم سحب الجسيم الخفيف ليصطدم بالجزيء الثقيل.

الحركة في مجال كهرومغناطيسي ثابت

تصبح الأمور أسهل عندما تكون كلاهما مجالان ثابتان (في المكان والزمان). يمكن للمرء بعد ذلك التعبير عن القيمة الأولية للجسيم & # 8217s 4-الزخم ، وهو مغزل مشابه لذلك (بدلاً من تحويل 4 متجهات بين إطارات بالقصور الذاتي) يتقدم إلى موقعه الحالي. هذه المرة نجد أنه من الأنسب جعل كل من الوقت المناسب ووظائفه. أيضًا ، يجب ألا ينسى المرء استيفاء الشرط ، والذي يتم صيانته تلقائيًا بعد ذلك في جميع الأوقات المستقبلية.

توسيع الجانب الأيمن من (19) عائد

يجب أن يكون هذا مساويًا للجانب الأيسر من (19) ، أي

وجود الحل الواضح

دالة لمتجه مختلط تتحول إلى متجه مختلط. بعد الحوسبة ، وبالتالي ، كل ما علينا فعله هو دمج هذا التعبير الأخير من حيث الحصول على حل لـ. يتبع مثال بسيط.

في هذا المثال ، تمكنا من الحصول على حل تحليلي واضح.


يستخدم الوصف الأكثر شيوعًا للمجال الكهرومغناطيسي مجالين متجهين ثلاثي الأبعاد يسمى المجال الكهربائي والمجال المغناطيسي. لكل من حقول المتجهات هذه قيمة محددة في كل نقطة من المكان والزمان ، وبالتالي غالبًا ما تُعتبر وظائف لإحداثيات المكان والزمان. على هذا النحو ، غالبًا ما يتم كتابتها كـ ه(x, ذ, ض, ر) (المجال الكهربائي) و ب(x, ذ, ض, ر) (حقل مغناطيسي).

إذا كان المجال الكهربائي فقط (ه) غير صفري ، وثابت في الوقت المناسب ، ويقال أن الحقل عبارة عن حقل إلكتروستاتيكي. وبالمثل ، إذا كان المجال المغناطيسي فقط (ب) غير صفري وثابت في الوقت المناسب ، ويقال أن الحقل عبارة عن حقل مغناطيسي. ومع ذلك ، إذا كان المجال الكهربائي أو المغناطيسي لهما اعتماد على الوقت ، فيجب اعتبار كلا المجالين معًا كحقل كهرومغناطيسي مقترن باستخدام معادلات ماكسويل.

معادلات ماكسويل في نهج المجال المتجه تحرير

يخضع سلوك المجالات الكهربائية والمغناطيسية ، سواء في حالات الكهرباء الساكنة أو المغناطيسية أو الديناميكا الكهربية (المجالات الكهرومغناطيسية) ، إلى معادلات ماكسويل:

معادلات ماكسويل (ناقلات الحقول)
∇ ⋅ E = ρ ε 0 = < frac < rho> < varepsilon _ <0> >>> قانون جاوس
∇ ⋅ B = 0 =0> قانون جاوس للمغناطيسية
∇ × E = - ∂ B ∂ t = - < فارك < جزئية mathbf > < t الجزئي >>> قانون فاراداي
∇ × B = μ 0 J + μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t = مو _ <0> mathbf + mu _ <0> varepsilon _ <0> < frac < جزئي mathbf > < t الجزئي >>> قانون أمبير-ماكسويل

أين ρ هي كثافة الشحنة ، والتي يمكن (وغالبًا ما تعتمد) على الوقت والموقع ، ε0 هو الثابت الكهربائي ، ميكرومتر0 هو الثابت المغناطيسي ، و ي هو التيار لكل وحدة مساحة ، وهو أيضًا دالة للوقت والموقع. تأخذ المعادلات هذا الشكل مع النظام الدولي للكميات.

عند التعامل مع المواد الخطية غير المشتتة فقط ، غالبًا ما يتم تعديل معادلات ماكسويل لتجاهل الرسوم المقيدة عن طريق استبدال نفاذية وسماحية المساحة الحرة بنفاذية وسماحية المادة الخطية المعنية. بالنسبة لبعض المواد التي تحتوي على استجابات أكثر تعقيدًا للمجالات الكهرومغناطيسية ، يمكن تمثيل هذه الخصائص بواسطة الموترات ، مع الاعتماد على الوقت المرتبط بقدرة المادة على الاستجابة لتغيرات المجال السريع (التشتت (البصريات) ، العلاقات الخضراء-كوبو) ، وربما أيضًا تبعيات المجال التي تمثل استجابات المواد غير الخطية و / أو غير المحلية لحقول السعة الكبيرة (البصريات غير الخطية).

في كثير من الأحيان في استخدام وحساب المجالات الكهربائية والمغناطيسية ، يحسب النهج المستخدم أولاً إمكانات مرتبطة: الجهد الكهربائي ، φ للمجال الكهربائي ، والجهد المتجه المغناطيسي ، أفي المجال المغناطيسي. الجهد الكهربائي هو مجال عددي ، في حين أن الجهد المغناطيسي هو حقل متجه. هذا هو السبب في أن الجهد الكهربي يسمى أحيانًا الكمون القياسي ويسمى الكمون المغناطيسي الجهد المتجه. يمكن استخدام هذه الإمكانات للعثور على الحقول المرتبطة بها على النحو التالي:

معادلات ماكسويل في الصياغة المحتملة تحرير

يمكن استبدال هذه العلاقات في معادلات ماكسويل للتعبير عن الأخير من حيث الإمكانات. يختزل قانون فاراداي وقانون جاوس للمغناطيسية في الهويات (على سبيل المثال ، في حالة قانون غاوس للمغناطيسية ، 0 = 0). المعادلتان الأخريان من معادلات ماكسويل تظهران بشكل أقل بساطة.

هذه المعادلات مجتمعة قوية وكاملة مثل معادلات ماكسويل. علاوة على ذلك ، تم تقليل المشكلة إلى حد ما ، حيث أن المجالين الكهربائي والمغناطيسي معًا كان لهما ستة مكونات لحلها. [1] في الصيغة المحتملة ، هناك أربعة مكونات فقط: الجهد الكهربائي والمكونات الثلاثة لجهد المتجه. ومع ذلك ، فإن المعادلات أكثر فوضوية من معادلات ماكسويل باستخدام المجالات الكهربائية والمغناطيسية.

تحرير قياس الحرية

يمكن تبسيط هذه المعادلات من خلال الاستفادة من حقيقة أن المجالين الكهربائي والمغناطيسي عبارة عن كميات ذات مغزى ماديًا ويمكن قياسها ، فالإمكانات ليست كذلك. هناك حرية لتقييد شكل الإمكانات بشرط ألا يؤثر ذلك على المجالات الكهربائية والمغناطيسية الناتجة ، والتي تسمى حرية المقياس. على وجه التحديد لهذه المعادلات ، لأي اختيار لدالة عددية قابلة للتفاضل مرتين للموضع والوقت λ، لو (φ, أ) هو حل لنظام معين ، ثم هناك إمكانية أخرى (φ′, أ') معطى بواسطة:

يمكن استخدام هذه الحرية لتبسيط الصياغة المحتملة. عادةً ما يتم اختيار أي من هاتين الوظيفتين العدديتين: مقياس كولوم ومقياس لورنز.

تحرير مقياس كولوم

ينتج عن اختيار الوظيفة هذا الصيغة التالية لمعادلات ماكسويل:

العديد من الميزات حول معادلات ماكسويل في مقياس كولوم هي كما يلي. أولاً ، حل الجهد الكهربي سهل للغاية ، حيث أن المعادلة هي نسخة من معادلة بواسون. ثانيًا ، من الصعب تحديد جهد المتجه المغناطيسي بشكل خاص. هذا هو العيب الكبير لهذا المقياس. الشيء الثالث الذي يجب ملاحظته ، والشيء الذي ليس واضحًا على الفور ، هو أن الجهد الكهربائي يتغير فورًا في كل مكان استجابة لتغير في الظروف في منطقة واحدة.

على سبيل المثال ، إذا تم نقل شحنة في نيويورك في الساعة 1 مساءً بالتوقيت المحلي ، فإن مراقبًا افتراضيًا في أستراليا يمكنه قياس الجهد الكهربائي مباشرةً سيقيس التغير في الجهد في الساعة 1 مساءً بتوقيت نيويورك. يبدو أن هذا ينتهك السببية في النسبية الخاصة ، أي استحالة المعلومات أو الإشارات أو أي شيء يسافر أسرع من سرعة الضوء. يكمن حل هذه المشكلة الواضحة في حقيقة أنه ، كما ذكرنا سابقًا ، لا يمكن للمراقبين قياس الإمكانات التي يقيسونها في المجالين الكهربائي والمغناطيسي. لذا ، فإن الجمع بين φ و ∂أ/∂ر يستخدم في تحديد المجال الكهربائي يعيد الحد الأقصى للسرعة الذي تفرضه النسبية الخاصة للمجال الكهربائي ، مما يجعل جميع الكميات التي يمكن ملاحظتها متوافقة مع النسبية.

تعديل شرط مقياس لورنز

المقياس الذي يستخدم غالبًا هو حالة مقياس لورنز. في هذا ، الدالة العددية λ يتم اختياره من هذا القبيل

وهذا يعني أن λ يجب أن تفي بالمعادلة

ينتج عن مقياس لورنز الشكل التالي من معادلات ماكسويل:

عامل التشغيل ◻ 2 < displaystyle Box ^ <2>> يسمى d'Alembertian (يشير بعض المؤلفين إلى هذا من خلال المربع فقط ◻ ). هذه المعادلات هي إصدارات غير متجانسة من معادلة الموجة ، حيث تعمل المصطلحات الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلة كوظائف المصدر للموجة. كما هو الحال مع أي معادلة موجية ، تؤدي هذه المعادلات إلى نوعين من الحلول: الإمكانات المتقدمة (التي ترتبط بتكوين المصادر في نقاط زمنية مستقبلية) ، والإمكانات المتأخرة (المرتبطة بالتكوينات السابقة للمصادر). السابقة عادة ما يتم تجاهلها حيث يتم تحليل المجال من منظور السببية.

كما هو مذكور أعلاه ، فإن مقياس لورنز ليس أكثر صلاحية من أي مقياس آخر حيث لا يمكن قياس الإمكانات بشكل مباشر ، ومع ذلك فإن مقياس لورنز له ميزة المعادلات كونه ثابت لورينتز.

التمديد للديناميكا الكهربية الكمومية

يتواصل التكميم الكنسي للحقول الكهرومغناطيسية عن طريق رفع الكمون العددي والمتجه φ(x), أ(x) ، من الحقول إلى المشغلين الميدانيين. استبدال 1 /ج 2 = ε0ميكرومتر0 في معادلات مقياس لورنز السابقة يعطي:

هنا، ي و ρ هي كثافة التيار والشحنة مجال المسألة. إذا تم أخذ مجال المادة لوصف تفاعل المجالات الكهرومغناطيسية مع إلكترون ديراك المعطى بواسطة مجال ديراك السبينور المكون من أربعة مكونات ψ، الكثافة الحالية والشحنة لها شكل: [2]

أين α هي أول ثلاث مصفوفات ديراك. باستخدام هذا ، يمكننا إعادة كتابة معادلات ماكسويل على النحو التالي:

وهو الشكل المستخدم في الديناميكا الكهربائية الكمية.

على غرار صيغة الموتر ، يتم تقديم كائنين ، أحدهما للحقل والآخر للتيار. في الجبر الهندسي (GA) هذه عبارة عن متجهات متعددة. الحقل متعدد الحقول ، المعروف باسم ناقل ريمان-سيلبرشتاين ، هو

و multivector الحالي هو

يتم تقليل معادلات ماكسويل إلى معادلة واحدة [3]

في ثلاثة أبعاد ، للمشتق هيكل خاص يسمح بإدخال منتج متقاطع:

من السهل أن نرى أن قانون غاوس هو الجزء القياسي ، وقانون أمبير-ماكسويل هو الجزء المتجه ، وقانون فاراداي هو الجزء الكاذب ، وقانون غاوس للمغناطيسية هو الجزء الكاذب من المعادلة. بعد التوسيع وإعادة الترتيب ، يمكن كتابة هذا كـ

يصبح Riemann – Silberstein منصفًا

وتصبح الشحنة وكثافة التيار متجهًا

تختزل معادلات ماكسويل إلى المعادلة الفردية

تعديل الحقل 2-النموذج

في الفضاء الحر ، أين ε = ε0 و ميكرومتر = ميكرومتر0 ثابتة في كل مكان ، فإن معادلات ماكسويل تبسط إلى حد كبير بمجرد استخدام لغة الهندسة التفاضلية والأشكال التفاضلية. فيما يلي ، يتم استخدام وحدات cgs-Gaussian ، وليس وحدات SI. (للتحويل إلى SI ، انظر هنا.) يتم الآن وصف المجالات الكهربائية والمغناطيسية بشكل مشترك بواسطة شكل 2 F في مشعب الزمكان رباعي الأبعاد. موتر فاراداي F μ ν < displaystyle F _ < mu nu >> (موتر كهرومغناطيسي) يمكن كتابته كنموذج 2 في مساحة Minkowski مع توقيع متري (- + + +) كما

يمكن كتابة المعادلات الحرة المصدر من خلال عمل المشتق الخارجي في هذا النموذج 2. ولكن بالنسبة للمعادلات ذات المصطلحات المصدر (قانون جاوس ومعادلة أمبير-ماكسويل) ، فإن ثنائي هودج من هذا النموذج الثاني ضروري. يأخذ مشغل Hodge star a ص-شكل إلى ( نص ) -شكل ، أين ن هو عدد الأبعاد. هنا ، يأخذ الشكل 2 (F) ويعطي شكلين آخرين (بأربعة أبعاد ، نص = 4 - 2 = 2). بالنسبة إلى نواقل ظل التمام الأساسية ، يتم إعطاء هودج مزدوج على النحو التالي (انظر مشغل نجمة هودج § أربعة أبعاد)

وما إلى ذلك وهلم جرا. باستخدام هذه العلاقات ، ثنائية صيغة فاراداي 2 هي موتر ماكسويل ،

الحالي 3-form ، المزدوج الحالي 1-شكل التحرير

هنا ، الشكل 3 ي يسمى شكل التيار الكهربائي أو 3-شكل الحالي:

مع الشكل 1 المزدوج المقابل:

ثم تختزل معادلات ماكسويل إلى هوية بيانكي ومعادلة المصدر ، على التوالي: [4]

حيث تشير d إلى المشتق الخارجي - إحداثي طبيعي - وعامل تفاضلي مستقل متري يعمل على النماذج ، ومشغل Hodge star (المزدوج) ⋆ < displaystyle < star >> هو تحول خطي من مساحة شكلين إلى مساحة الأشكال (4 - 2) المحددة بواسطة المقياس في فضاء Minkowski (بأربعة أبعاد حتى بأي مقياس متري مطابق لهذا المقياس). الحقول في وحدات طبيعية حيث 1/4πε0 = 1 .

بما أن d 2 = 0 ، فإن الصيغة 3 ي يفي بالحفاظ على التيار (معادلة الاستمرارية):

يمكن أن يتكامل الشكل الثالث الحالي عبر منطقة زمكان ثلاثية الأبعاد. التفسير المادي لهذا التكامل هو الشحنة في تلك المنطقة إذا كانت شبيهة بالفضاء ، أو مقدار الشحنة التي تتدفق عبر سطح في فترة زمنية معينة إذا كانت تلك المنطقة عبارة عن سطح شبيه بالفضاء عبر فترة زمنية. نظرًا لتعريف المشتق الخارجي على أي مشعب ، فإن إصدار الشكل التفاضلي لهوية Bianchi يكون منطقيًا لأي مشعب رباعي الأبعاد ، في حين يتم تحديد معادلة المصدر إذا كان المشعب موجهًا وله مقياس لورنتز. على وجه الخصوص ، النسخة التفاضلية من معادلات ماكسويل هي صياغة مريحة وبديهية لمعادلات ماكسويل في النسبية العامة.

التأثير العياني الخطي للمادة تحرير

في النظرية العيانية الخطية ، يتم وصف تأثير المادة على المجال الكهرومغناطيسي من خلال تحويل خطي أكثر عمومية في فضاء شكلين. نحن نتصل

التحول التأسيسي. دور هذا التحول يمكن مقارنته بتحول هودج للازدواجية. تصبح معادلات ماكسويل في وجود المادة بعد ذلك:

حيث الشكل 3 الحالي ي لا يزال يفي بمعادلة الاستمرارية دي = 0 .

عندما يتم التعبير عن الحقول كمجموعات خطية (للمنتجات الخارجية) من أشكال الأساس θ ص ,

تأخذ العلاقة التأسيسية الشكل

حيث تكون وظائف معامل المجال غير متماثلة في المؤشرات والمعاملات التأسيسية غير متماثلة في الأزواج المقابلة. على وجه الخصوص ، يتم الحصول على تحويل Hodge الثنائي الذي يؤدي إلى معادلات الفراغ التي تمت مناقشتها أعلاه عن طريق أخذ

الذي يصل إلى القياس هو الموتر الثابت الوحيد من هذا النوع الذي يمكن تعريفه بالمقياس.

في هذه الصيغة ، تعمم الكهرومغناطيسية على الفور على أي مشعب رباعي الأبعاد أو مع تكيفات صغيرة أي مشعب.

تحرير التوقيع المتري البديل

يصبح شكل انحناء فاراداي 2

ويصبح موتر ماكسويل

الشكل 3 الحالي ي هو

والصيغة المزدوجة المقابلة لها هي

المعيار الحالي هو الآن موجب ومتساوٍ

تحرير الصيغة التقليدية

تولد المادة والطاقة انحناء الزمكان. هذا هو موضوع النسبية العامة. انحناء الزمكان يؤثر على الديناميكا الكهربائية. يولد المجال الكهرومغناطيسي الذي يحتوي على طاقة وزخم أيضًا انحناءًا في الزمكان. يمكن الحصول على معادلات ماكسويل في الزمكان المنحني عن طريق استبدال المشتقات في المعادلات في الزمكان المسطح بمشتقات متغيرة. (ما إذا كان هذا هو التعميم المناسب يتطلب تحقيقًا منفصلاً.) تصبح معادلات المصدر وخالية من المصدر (وحدات جاوس-جاوس):

هو رمز كريستوفل الذي يميز انحناء الزمكان وα هو المشتق المتغير.

صياغة من حيث الأشكال التفاضلية تحرير

يمكن استخدام صياغة معادلات ماكسويل من حيث الأشكال التفاضلية دون تغيير في النسبية العامة. يمكن رؤية تكافؤ الصيغة النسبية العامة الأكثر تقليدية باستخدام المشتق المتغير مع الصيغة التفاضلية على النحو التالي. اختر الإحداثيات المحلية x α والذي يعطي أساسًا للصيغ 1 دx α في كل نقطة من المجموعة المفتوحة حيث يتم تحديد الإحداثيات. باستخدام هذا الأساس والوحدات cgs-Gaussian نحددها

  • موتر المجال غير المتماثل Fαβ، المقابلة للحقل 2-النموذج F
  • الشكل 3 متناهي الصغر الحالي المتجه ي

ينتج موتر إبسيلون المتعاقد مع الشكل التفاضلي 3 6 أضعاف عدد الشروط المطلوبة.

هنا ز هو كالعادة محدد المصفوفة التي تمثل موتر متري ، زαβ. يُظهر حساب صغير يستخدم تناسق رموز Christoffel (أي ، الالتواء-freeness لاتصال Levi-Civita) والثبات المتغير لمشغل نجمة Hodge أنه في هذا الإحداثي المجاور لدينا:

طريقة أنيقة وبديهية لصياغة معادلات ماكسويل هي استخدام حزم خطية معقدة أو حزمة U (1) رئيسية ، على الألياف التي يعمل U (1) بانتظام. يحتوي اتصال U (1) الرئيسي ∇ على حزمة الخط على انحناء F = ∇ 2 وهو نموذج ذو شكلين يحقق د تلقائيًاF = 0 ويمكن تفسيرها على أنها شدة المجال. إذا كانت حزمة الخط تافهة مع اتصال مرجعي مسطح د يمكننا كتابة ∇ = d + أ و F = دأ مع أ يتكون الشكل 1 من الجهد الكهربائي والجهد المتجه المغناطيسي.

في ميكانيكا الكم ، يتم استخدام الاتصال نفسه لتحديد ديناميكيات النظام. تسمح هذه الصيغة بوصف طبيعي لتأثير أهارونوف-بوم. في هذه التجربة ، يمر مجال مغناطيسي ثابت عبر سلك مغناطيسي طويل (على سبيل المثال ، سلك حديدي ممغنط طوليًا). خارج هذا السلك ، يكون الحث المغناطيسي صفراً ، على عكس الجهد المتجه ، والذي يعتمد بشكل أساسي على التدفق المغناطيسي عبر المقطع العرضي للسلك ولا يتلاشى في الخارج. نظرًا لعدم وجود مجال كهربائي أيضًا ، موتر ماكسويل F = 0 في جميع أنحاء منطقة الزمكان خارج الأنبوب ، أثناء التجربة. هذا يعني بالتعريف أن الاتصال ∇ مسطح هناك.

ومع ذلك ، كما ذكرنا ، يعتمد الاتصال على المجال المغناطيسي من خلال الأنبوب حيث أن الكوليونومي على طول منحنى غير قابل للتقلص يحيط بالأنبوب هو التدفق المغناطيسي عبر الأنبوب في الوحدات المناسبة. يمكن اكتشاف ذلك ميكانيكيًا كميًا من خلال تجربة حيود الإلكترون مزدوج الشق على موجة إلكترونية تنتقل حول الأنبوب. يتوافق الشمول مع تحول إضافي في الطور ، مما يؤدي إلى تحول في نمط الانعراج. [6] [7]

فيما يلي أسباب استخدام كل من هذه الصيغ.

تحرير الصياغة المحتملة

غالبًا ما يكون من المفيد في الميكانيكا الكلاسيكية المتقدمة ، وفي ميكانيكا الكم ، التعبير عن معادلات ماكسويل في صياغة محتملة التي تنطوي على الجهد الكهربائي (وتسمى أيضًا الجهد القياسي) φ، والإمكانات المغناطيسية (جهد متجه) أ. على سبيل المثال ، يستفيد تحليل الهوائيات الراديوية بشكل كامل من جهد ماكسويل المتجه والقياسي لفصل المتغيرات ، وهي تقنية شائعة تستخدم في صياغة حلول المعادلات التفاضلية. يمكن تقديم الإمكانات باستخدام Poincaré lemma في المعادلات المتجانسة لحلها بطريقة عالمية (هذا يفترض أننا نعتبر مساحة طوبولوجية بسيطة ، على سبيل المثال مساحة قابلة للتقلص). يتم تحديد الإمكانات كما في الجدول أعلاه. بدلا من ذلك ، تحدد هذه المعادلات ه و ب من حيث الجهد الكهربائي والمغناطيسي الذي يلبي بعد ذلك المعادلات المتجانسة لـ ه و ب كهويات. يعطي الاستبدال معادلات ماكسويل غير المتجانسة في شكل محتمل.

العديد من الخيارات المختلفة أ و φ تتوافق مع المجالات الكهربائية والمغناطيسية التي يمكن ملاحظتها ه و ب، لذلك يبدو أن الإمكانات تحتوي على المزيد من المعلومات (الكلاسيكية) غير القابلة للرصد. ومع ذلك ، فإن عدم تفرد الإمكانات مفهوم جيدًا. لكل دالة عددية للموقف والوقت λ(x, ر) ، يمكن تغيير الإمكانات عن طريق تحويل مقياس مثل

دون تغيير المجال الكهربائي والمغناطيسي. زوجان من قياس الجهد المحول (φ, أ) و (φ′, أ') وتسمى مقياس مكافئ، وحرية اختيار أي زوج من الإمكانات في فئة التكافؤ في المقياس تسمى حرية المقياس. مرة أخرى من خلال Poincaré lemma (ووفقًا لافتراضاته) ، فإن قياس الحرية هو المصدر الوحيد لعدم التحديد ، وبالتالي فإن صياغة المجال تعادل الصيغة المحتملة إذا اعتبرنا المعادلات المحتملة معادلات لفئات قياس التكافؤ.

يمكن تبسيط المعادلات المحتملة باستخدام إجراء يسمى تثبيت المقياس. نظرًا لأن الإمكانات يتم تحديدها فقط لمقياس التكافؤ ، فنحن أحرار في فرض معادلات إضافية على الإمكانات ، طالما أن لكل زوج من الإمكانات زوجًا مكافئًا للمقياس يلبي المعادلات الإضافية (أي إذا كانت معادلات تثبيت المقياس تحدد شريحة لعمل المقياس). لا تزال إمكانات المقياس الثابتة تتمتع بحرية قياس تحت جميع تحولات المقياس التي تترك معادلات تثبيت المقياس ثابتة. يقترح فحص المعادلات المحتملة خيارين طبيعيين. في مقياس كولوم ، نفرض أ = 0 الذي يستخدم في الغالب في حالة احصائيات المغناطيسية عندما يمكننا إهمال ج −2 ∂ 2 أ/∂ر 2 مصطلح. في مقياس لورنز (الذي سمي على اسم Dane Ludvig Lorenz) ، نفرض

تتميز حالة مقياس لورنز بكونها ثابتة في لورنتز وتؤدي إلى معادلات لورنتز الثابتة للإمكانيات.

نهج المتغير المشترك (موتر) بشكل واضح تحرير

تتوافق معادلات ماكسويل تمامًا مع النسبية الخاصة - أي ، إذا كانت صالحة في إطار مرجعي واحد بالقصور الذاتي ، فإنها تكون صالحة تلقائيًا في كل إطار مرجعي بالقصور الذاتي. في الواقع ، كانت معادلات ماكسويل حاسمة في التطور التاريخي للنسبية الخاصة. ومع ذلك ، في الصياغة المعتادة لمعادلات ماكسويل ، فإن اتساقها مع النسبية الخاصة ليس واضحًا ، ولا يمكن إثباته إلا بحسابات شاقة.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك موصلًا يتحرك في مجال المغناطيس. [8] في إطار المغناطيس ، يختبر هذا الموصل أ مغناطيسي فرض. ولكن في إطار موصل يتحرك بالنسبة للمغناطيس ، يتعرض الموصل لقوة ناتجة عن كهربائي حقل. الحركة متسقة تمامًا في هذين الإطارين المرجعيين المختلفين ، لكنها تنشأ رياضيًا بطرق مختلفة تمامًا.

لهذا السبب وغيره ، غالبًا ما يكون من المفيد إعادة كتابة معادلات ماكسويل بطريقة "متغايرة بشكل واضح" - أي. بوضوح بما يتوافق مع النسبية الخاصة ، حتى بمجرد إلقاء نظرة سريعة على المعادلات - باستخدام المتجهات الأربعة والموترات المتغايرة والمتناقضة. يمكن القيام بذلك باستخدام موتر EM F، أو 4-المحتملة أ، مع التيار الرابع ي - انظر الصيغة المتغيرة للكهرومغناطيسية الكلاسيكية.

نهج الأشكال التفاضلية تحرير

يمكن تجميع قانون غاوس للمغناطيسية وقانون فاراداي ماكسويل معًا نظرًا لأن المعادلات متجانسة ويمكن اعتبارها هندسية المتطابقات معربا عن حقل F (2-شكل) ، والتي يمكن اشتقاقها من 4-الإمكانات أ. يمكن اعتبار قانون جاوس للكهرباء وقانون أمبير-ماكسويل على أنهما معادلات الحركة الديناميكية من الحقول ، تم الحصول عليها عن طريق مبدأ لاغرانج للعمل الأقل ، من "مصطلح التفاعل" AJ (تم تقديمه من خلال المشتقات المتغيرة المقياس) ، وإقران المجال بالمادة. للصياغة الميدانية لمعادلات ماكسويل من حيث مبدأ الفعل المتطرف ، انظر الموتر الكهرومغناطيسي.

غالبًا ما يحفز المشتق الزمني في معادلة فاراداي - ماكسويل على تسمية هذه المعادلة "ديناميكيًا" ، وهو أمر مضلل إلى حد ما بالمعنى الوارد في التحليل السابق. هذه بالأحرى قطعة أثرية لكسر التغاير النسبي عن طريق اختيار اتجاه زمني مفضل. للحصول على درجات فيزيائية من الحرية تنشرها معادلات المجال هذه ، يجب على المرء تضمين مصطلح حركي FF ل أ، ومراعاة درجات الحرية غير المادية التي يمكن إزالتها عن طريق قياس التحويل أأ - دα . راجع أيضًا قياس التثبيت و Faddeev – Popov ghosts.

نهج حساب التفاضل والتكامل الهندسي تحرير

تستخدم هذه الصيغة الجبر الذي يولده الزمكان من خلال إدخال منتج توزيعي وترابطي (ولكن ليس تبادليًا) يسمى المنتج الهندسي. يمكن أن ترتبط عناصر وعمليات الجبر عمومًا بالمعنى الهندسي. يمكن أن تتحلل أعضاء الجبر حسب الدرجة (كما هو الحال في شكلية الأشكال التفاضلية) والمنتج (الهندسي) لمتجه مع ك-الناقل يتحلل إلى (ك - 1) -ناقل و (ك + 1) -ناقل. ال (ك - 1) - يمكن التعرف على مكون المتجهات مع المنتج الداخلي و (ك + 1) مكون ناقل مع المنتج الخارجي. من المريح الجبري أن المنتج الهندسي غير قابل للعكس ، في حين أن المنتجات الداخلية والخارجية ليست كذلك. المشتقات التي تظهر في معادلات ماكسويل هي نواقل ويتم تمثيل الحقول الكهرومغناطيسية بواسطة قاطع فاراداي F. هذه الصيغة عامة مثل تلك الخاصة بالأشكال التفاضلية للمشعبات ذات موتر متري ، حيث يتم تحديدها بشكل طبيعي مع ص- أشكال وهناك عمليات المقابلة. تقلل معادلات ماكسويل إلى معادلة واحدة في هذه الشكلية. يمكن فصل هذه المعادلة إلى أجزاء كما هو مذكور أعلاه لأسباب مقارنة.


محتويات

كانت أول نظرية للمجال لها مقياس تناظر هي صياغة ماكسويل للديناميكا الكهربية ("نظرية ديناميكية للحقل الكهرومغناطيسي") في 1864-1865 والتي نصت على أن أي حقل متجه يتلاشى تجعيده - وبالتالي يمكن كتابته عادةً على شكل تدرج دالة - يمكن إضافتها إلى الجهد المتجه دون التأثير على المجال المغناطيسي. ظلت أهمية هذا التناظر دون أن يلاحظها أحد في الصيغ الأولى. وبالمثل ، دون أن يلاحظه أحد ، استمد هيلبرت معادلات مجال أينشتاين من خلال افتراض ثبات الفعل تحت تحويل إحداثيات عام. لاحقًا ، توقع هيرمان ويل ، في محاولة لتوحيد النسبية العامة والكهرومغناطيسية ، أن إيشنفاريانز أو الثبات تحت تغيير المقياس (أو "المقياس") قد يكون أيضًا تناظرًا محليًا للنسبية العامة. بعد تطوير ميكانيكا الكم ، قام Weyl و Vladimir Fock و Fritz London بتعديل المقياس عن طريق استبدال عامل المقياس بكمية معقدة وتحويل تحويل المقياس إلى تغيير في الطور ، وهو مقياس U (1) تناظر. يوضح هذا تأثير المجال الكهرومغناطيسي على وظيفة الموجة لجسيم ميكانيكي كمي مشحون. كانت هذه أول نظرية قياس معترف بها على نطاق واسع ، وشاعتها باولي في عام 1941. [1]

في عام 1954 ، في محاولة لحل بعض الالتباس الكبير في فيزياء الجسيمات الأولية ، قدم تشين نينغ يانغ وروبرت ميلز نظريات قياس غير أبيلية كنماذج لفهم التفاعل القوي الذي يربط النكليونات معًا في نواة الذرة. [2] (رونالد شو ، الذي يعمل تحت قيادة عبد السلام ، قدم بشكل مستقل نفس الفكرة في أطروحة الدكتوراه الخاصة به.) بتعميم ثبات مقياس الكهرومغناطيسية ، حاولوا بناء نظرية تستند إلى عمل (غير أبليان) SU (2) ) مجموعة التناظر على مضاعفة متساوية البروتونات والنيوترونات. هذا مشابه لعمل المجموعة U (1) على حقول السبينور للديناميكا الكهربية الكمومية. في فيزياء الجسيمات كان التركيز على استخدام نظريات القياس الكمي.

وجدت هذه الفكرة لاحقًا تطبيقًا في نظرية المجال الكمومي للقوة الضعيفة ، وتوحيدها مع الكهرومغناطيسية في نظرية الكهروضعيفة. أصبحت نظريات القياس أكثر جاذبية عندما تم إدراك أن نظريات القياس غير الأبيلية أعادت إنتاج ميزة تسمى الحرية المقاربة. كان يُعتقد أن الحرية المقاربة هي خاصية مهمة للتفاعلات القوية. حفز هذا البحث عن نظرية قياس القوة القوية. هذه النظرية ، المعروفة الآن باسم الديناميكا اللونية الكمومية ، هي نظرية قياس بفعل مجموعة SU (3) على ثلاثية الألوان للكواركات. يوحد النموذج القياسي وصف الكهرومغناطيسية والتفاعلات الضعيفة والتفاعلات القوية في لغة نظرية المقياس.

في السبعينيات ، بدأ مايكل عطية بدراسة رياضيات حلول معادلات يانغ ميلز الكلاسيكية. في عام 1983 ، بنى طالب عطية سيمون دونالدسون على هذا العمل ليبين أن التصنيف القابل للتفاضل بين المشعبات الأربعة السلس يختلف اختلافًا كبيرًا عن تصنيفها حتى التشابه بين الأشكال. [3] استخدم مايكل فريدمان أعمال دونالدسون لعرض أعمال غريبة ص 4 ق ، أي هياكل قابلة للتفاضل غريبة في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد. أدى هذا إلى زيادة الاهتمام بنظرية القياس من أجل حد ذاتها ، بغض النظر عن نجاحاتها في الفيزياء الأساسية. في عام 1994 ، اخترع إدوارد ويتن وناثان سيبرغ تقنيات قياس نظريات تعتمد على التناظر الفائق التي مكنت من حساب بعض الثوابت الطوبولوجية [4] [5] (ثوابت سايبيرغ ويتن). أدت هذه المساهمات في الرياضيات من نظرية المقياس إلى تجديد الاهتمام بهذا المجال.

تتجلى أهمية نظريات القياس في الفيزياء في النجاح الهائل للشكلية الرياضية في توفير إطار موحد لوصف نظريات المجال الكمومي للكهرومغناطيسية والقوة الضعيفة والقوة الشديدة. هذه النظرية ، المعروفة باسم النموذج القياسي ، تصف بدقة التنبؤات التجريبية فيما يتعلق بثلاثة من القوى الأساسية الأربعة للطبيعة ، وهي نظرية قياس مع مجموعة القياس SU (3) × SU (2) × U (1). النظريات الحديثة مثل نظرية الأوتار ، وكذلك النسبية العامة ، هي ، بطريقة أو بأخرى ، نظريات قياس.

انظر بيكرينغ [6] لمزيد من المعلومات حول تاريخ نظريات القياس والحقل الكمومي.

التماثلات العمومية والمحلية تحرير

التماثل العام تحرير

في الفيزياء ، عادةً ما يحتوي الوصف الرياضي لأي حالة فيزيائية على درجات زائدة من الحرية ، كما يتم وصف الحالة المادية نفسها بشكل جيد من خلال العديد من التكوينات الرياضية المكافئة. على سبيل المثال ، في الديناميكيات النيوتونية ، إذا كان هناك تكوينان مرتبطان بتحويل غاليلي (تغيير بالقصور الذاتي للإطار المرجعي) فإنهما يمثلان نفس الوضع المادي. تشكل هذه التحولات مجموعة من "التماثلات" للنظرية ، ولا يتوافق الموقف المادي مع التكوين الرياضي الفردي ولكن مع فئة من التكوينات المرتبطة ببعضها البعض بواسطة مجموعة التناظر هذه.

يمكن تعميم هذه الفكرة لتشمل التماثلات المحلية والعالمية ، على غرار "تغييرات الإحداثيات" الأكثر تجريدًا في حالة عدم وجود نظام إحداثيات "بالقصور الذاتي" مفضل يغطي النظام المادي بأكمله. نظرية القياس هي نموذج رياضي يحتوي على تناظرات من هذا النوع ، جنبًا إلى جنب مع مجموعة من التقنيات لعمل تنبؤات فيزيائية متوافقة مع تماثلات النموذج.

مثال على التماثل العام تحرير

عندما لا تكون الكمية التي تحدث في التكوين الرياضي مجرد رقم ولكن لها بعض الأهمية الهندسية ، مثل السرعة أو محور الدوران ، فإن تمثيلها كأرقام مرتبة في متجه أو مصفوفة يتغير أيضًا عن طريق التحويل الإحداثي. على سبيل المثال ، إذا كان أحد وصف نمط تدفق السوائل ينص على أن سرعة السائل في المنطقة المجاورة (x=1, ذ= 0) 1 م / ث في الموجب x الاتجاه ، ثم وصف نفس الموقف الذي تم فيه تدوير نظام الإحداثيات في اتجاه عقارب الساعة بمقدار 90 درجة ينص على أن سرعة السائل في جوار (x=0, ذ= 1) 1 م / ث في الموجب ذ اتجاه. أثر تحويل الإحداثيات على كل من نظام الإحداثيات المستخدم لتحديد موقعك من القياس والأساس الذي فيه القيمة يعبر. وطالما أن هذا التحول يتم إجراؤه عالميًا (يؤثر على أساس الإحداثي بنفس الطريقة في كل نقطة) ، فإن التأثير على القيم التي تمثل معدل التغيير من كمية على طول مسار ما في المكان والزمان أثناء مرورها عبر نقطة ص هو نفس التأثير على القيم المحلية حقًا ص.

التماثل المحلي تحرير

استخدام حزم الألياف لوصف التناظرات المحلية تحرير

من أجل وصف المواقف المادية بشكل مناسب في نظريات أكثر تعقيدًا ، غالبًا ما يكون من الضروري تقديم "أساس إحداثي" لبعض كائنات النظرية التي لا تمتلك هذه العلاقة البسيطة بالإحداثيات المستخدمة لتسمية النقاط في المكان والزمان. (من الناحية الرياضية ، تتضمن النظرية حزمة ليفية تتكون فيها الألياف في كل نقطة من مساحة القاعدة من قواعد إحداثيات محتملة للاستخدام عند وصف قيم الكائنات في تلك النقطة.) من أجل توضيح التكوين الرياضي ، واحد يجب اختيار أساس إحداثيات معين في كل نقطة (أ القسم المحلي من حزمة الألياف) والتعبير عن قيم كائنات النظرية (عادةً "الحقول" بالمعنى الفيزيائي) باستخدام هذا الأساس. هناك تكوينان رياضيان متكافئان (يصفان نفس الموقف المادي) إذا كانا مرتبطين بتحويل هذا الأساس الإحداثي المجرد (تغيير القسم المحلي ، أو قياس التحول).

في معظم نظريات القياس ، تكون مجموعة التحولات الممكنة لأساس القياس المجرد عند نقطة فردية في المكان والزمان عبارة عن مجموعة كذبة ذات أبعاد محدودة. أبسط هذه المجموعة هي U (1) ، والتي تظهر في الصيغة الحديثة للديناميكا الكهربية الكمية (QED) من خلال استخدامها للأرقام المركبة. تعتبر QED عمومًا أول وأبسط نظرية قياس فيزيائية. تشكل مجموعة تحويلات القياس الممكنة للتكوين الكامل لنظرية مقياس معينة أيضًا مجموعة ، the مجموعة القياس من النظرية. يمكن تحديد معلمات عنصر من مجموعة المقاييس من خلال وظيفة متغيرة بسلاسة من نقاط الزمكان إلى مجموعة الكذب (ذات الأبعاد المحدودة) ، بحيث تمثل قيمة الوظيفة ومشتقاتها في كل نقطة إجراء تحويل المقياس على الألياف فوق تلك النقطة.

يعتبر تحويل المقياس مع معلمة ثابتة في كل نقطة في المكان والزمان مشابهًا للدوران الصارم لنظام الإحداثيات الهندسي ، فهو يمثل تناسقًا عالميًا لتمثيل المقياس. كما في حالة الدوران الجامد ، يؤثر تحويل المقياس هذا على التعبيرات التي تمثل معدل التغيير على طول مسار بعض الكمية المعتمدة على المقياس بنفس الطريقة التي تمثل بها الكمية المحلية الحقيقية. تحويل مقياس المعلمة ليس يشار إلى الوظيفة الثابتة على أنها تناظر محلي ، فإن تأثيرها على التعبيرات التي تتضمن مشتقًا يختلف نوعياً عن ذلك الموجود في التعبيرات التي لا تحتوي على مشتق. (هذا مشابه للتغيير غير القصور الذاتي للإطار المرجعي ، والذي يمكن أن ينتج تأثير كوريوليس.)

تعديل حقول القياس

يفسر إصدار "المتغير المقياس" لنظرية المقياس هذا التأثير من خلال تقديم أ مجال القياس (في اللغة الرياضية ، اتصال Ehresmann) وصياغة جميع معدلات التغيير من حيث المشتق المتغير فيما يتعلق بهذا الارتباط. يصبح حقل المقياس جزءًا أساسيًا من وصف التكوين الرياضي. التكوين الذي يمكن فيه القضاء على حقل المقياس عن طريق تحويل المقياس له خاصية أن شدة مجاله (في اللغة الرياضية ، انحناءه) هي صفر في كل مكان توجد فيه نظرية المقياس ليس يقتصر على هذه التكوينات. بعبارة أخرى ، فإن السمة المميزة لنظرية المقياس هي أن حقل المقياس لا يعوض فقط عن اختيار ضعيف لنظام الإحداثيات ، فلا يوجد بشكل عام تحويل مقياس يجعل حقل المقياس يتلاشى.

عند تحليل ديناميكيات نظرية المقياس ، يجب التعامل مع حقل المقياس كمتغير ديناميكي ، على غرار الكائنات الأخرى في وصف الحالة المادية. بالإضافة إلى تفاعله مع الكائنات الأخرى عبر المشتق المتغير ، يساهم حقل المقياس عادةً بالطاقة في شكل مصطلح "الطاقة الذاتية". يمكن للمرء الحصول على معادلات نظرية القياس من خلال:

  • بدءًا من ansatz ساذج بدون حقل القياس (حيث تظهر المشتقات في شكل "مكشوف")
  • سرد تلك التناظرات العالمية للنظرية التي يمكن وصفها بمعامل مستمر (بشكل عام مكافئ مجردة لزاوية الدوران)
  • حساب شروط التصحيح التي تنتج عن السماح لمعلمة التناظر بالتنوع من مكان إلى آخر و
  • إعادة تفسير مصطلحات التصحيح هذه على أنها أدوات اقتران لواحد أو أكثر من مجالات القياس ، وإعطاء هذه الحقول شروط الطاقة الذاتية المناسبة والسلوك الديناميكي.

هذا هو المعنى الذي "توسع" فيه نظرية المقياس التناظر العالمي إلى التناظر المحلي ، وتشبه إلى حد بعيد التطور التاريخي لنظرية مقياس الجاذبية المعروفة بالنسبية العامة.

التجارب الفيزيائية تحرير

نظريات القياس المستخدمة لنمذجة نتائج التجارب الفيزيائية المشاركة في:

  • قصر عالم التكوينات المحتملة على تلك التكوينات المتوافقة مع المعلومات المستخدمة لإعداد التجربة ، ثم
  • حساب التوزيع الاحتمالي للنتائج المحتملة التي صممت التجربة لقياسها.

لا يمكننا التعبير عن الأوصاف الرياضية لـ "معلومات الإعداد" و "نتائج القياس المحتملة" ، أو "شروط الحدود" للتجربة ، دون الرجوع إلى نظام إحداثيات معين ، بما في ذلك اختيار المقياس. يفترض المرء أن تجربة مناسبة معزولة عن التأثير "الخارجي" هي في حد ذاتها بيان يعتمد على المقياس. يعد سوء التعامل مع حسابات الاعتماد على المقاييس في ظروف الحدود مصدرًا متكررًا للحالات الشاذة ، كما أن مناهج تجنب الحالات الشاذة تصنف نظريات القياس [ التوضيح المطلوب ] .

نظريات الاستمرارية تحرير

نظريتي القياس المذكورتين أعلاه ، الديناميكا الكهربائية المستمرة والنسبية العامة ، هي نظريات مجال متصل. تفترض تقنيات الحساب في نظرية الاستمرارية ضمنيًا ما يلي:

  • بالنظر إلى اختيار مقياس ثابت تمامًا ، يتم وصف شروط الحدود للتكوين الفردي تمامًا
  • بالنظر إلى مقياس ثابت تمامًا ومجموعة كاملة من شروط الحدود ، فإن أقل إجراء يحدد تكوينًا رياضيًا فريدًا وبالتالي وضعًا ماديًا فريدًا يتوافق مع هذه الحدود
  • لا يُدخل تثبيت المقياس أي شذوذ في الحساب ، إما بسبب اعتماد المقياس في وصف المعلومات الجزئية حول شروط الحدود أو عدم اكتمال النظرية.

يبدأ تحديد احتمالية نتائج القياس المحتملة من خلال:

  • إنشاء توزيع احتمالي على جميع المواقف المادية التي تحددها شروط الحدود المتوافقة مع معلومات الإعداد
  • إنشاء توزيع احتمالي لنتائج القياس لكل حالة فيزيائية محتملة هذين التوزيعين الاحتماليين للحصول على توزيع لنتائج القياس المحتملة بما يتفق مع معلومات الإعداد

تتمتع هذه الافتراضات بصلاحية كافية عبر مجموعة واسعة من مقاييس الطاقة والظروف التجريبية للسماح لهذه النظريات بعمل تنبؤات دقيقة حول جميع الظواهر التي نواجهها تقريبًا في الحياة اليومية: الضوء والحرارة والكهرباء والكسوف ورحلات الفضاء وما إلى ذلك. على المقاييس الأصغر والأكبر بسبب الإغفالات في النظريات نفسها ، وعندما تتعطل التقنيات الرياضية نفسها ، وعلى الأخص في حالة الاضطراب والظواهر الفوضوية الأخرى.

تحرير نظريات المجال الكمي

بخلاف نظريات المجال المتصل الكلاسيكي ، فإن نظريات القياس الأكثر شهرة هي نظريات المجال الكمي ، بما في ذلك الديناميكا الكهربية الكمومية والنموذج القياسي لفيزياء الجسيمات الأولية. إن نقطة البداية لنظرية المجال الكمومي تشبه إلى حد كبير نظيرتها المتصلة: تكامل عمل متغير معياري يميز المواقف المادية "المسموح بها" وفقًا لمبدأ الإجراء الأقل. ومع ذلك ، تختلف نظريات الاستمرارية والكمية اختلافًا كبيرًا في كيفية تعاملها مع درجات الحرية الزائدة التي تمثلها تحولات المقاييس. تستخدم نظريات الاستمرارية ، ومعظم المعالجات التربوية لأبسط نظريات المجال الكمومي ، وصفة تحديد مقياس لتقليل مدار التكوينات الرياضية التي تمثل حالة فيزيائية معينة إلى مدار أصغر مرتبط بمجموعة قياس أصغر (مجموعة التماثل العالمية ، أو ربما حتى المجموعة التافهة).

تكسر نظريات المجال الكمومي الأكثر تعقيدًا ، لا سيما تلك التي تتضمن مجموعة قياس غير أبيلية ، تناظر المقياس ضمن تقنيات نظرية الاضطراب عن طريق إدخال مجالات إضافية (أشباح فادييف-بوبوف) وأحكام مضادة مدفوعة بإلغاء الشذوذ ، في نهج معروف مثل تكميم BRST. في حين أن هذه المخاوف هي من ناحية تقنية للغاية ، إلا أنها ترتبط ارتباطًا وثيقًا بطبيعة القياس ، والقيود المفروضة على معرفة الوضع المادي ، والتفاعلات بين الظروف التجريبية غير المحددة بشكل كامل والنظرية الفيزيائية غير المفهومة بشكل كامل. [ بحاجة لمصدر ] التقنيات الرياضية التي تم تطويرها من أجل جعل نظريات القياس قابلة للتتبع وجدت العديد من التطبيقات الأخرى ، من فيزياء الحالة الصلبة وعلم البلورات إلى الطوبولوجيا منخفضة الأبعاد.

تحرير الكهرومغناطيسية الكلاسيكية

أصبحت تحويلات المقياس العام الآن ليست فقط V ↦ V + C ولكن

أين F هي أي دالة قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر تعتمد على الموضع والوقت. تظل الحقول كما هي في ظل تحويل المقياس ، وبالتالي لا تزال معادلات ماكسويل راضية. أي أن معادلات ماكسويل لها مقياس تناظر.

مثال: Scalar O (ن) تعديل نظرية القياس

يوضح ما يلي كيف يمكن "تحفيز" ثوابت المقياس المحلي بشكل استكشافي بدءًا من خصائص التناظر العالمية ، وكيف يؤدي إلى تفاعل بين الحقول الأصلية غير المتفاعلة.

ضع في اعتبارك مجموعة من ن الحقول العددية الحقيقية غير المتفاعلة ، ذات الكتل المتساوية م. يتم وصف هذا النظام من خلال إجراء يمثل مجموع الإجراء (المعتاد) لكل حقل سلمي φ i >

يمكن كتابة اللاجرانج (الكثافة) بشكل مضغوط كـ

من خلال إدخال متجه من الحقول

أصبح من الواضح الآن أن لاغرانج هو ثابت في ظل التحول

هذا يميز عالمي التناظر لهذا لاغرانج بعينه ، وغالبًا ما يطلق على مجموعة التناظر اسم مجموعة القياس المصطلح الرياضي مجموعة الهيكل، خاصة في نظرية G- التراكيب. بالمناسبة ، تشير نظرية نويثر إلى أن الثبات في ظل هذه المجموعة من التحولات يؤدي إلى الحفاظ على التيارات

أين ال تي ا المصفوفات هي مولدات SO (ن) مجموعة. يوجد تيار واحد محفوظ لكل مولد.

الآن ، أن يطالب هذا لاغرانج محلي يا (ن) - يتطلب التباين أن يكون جي يجب السماح للمصفوفات (التي كانت ثابتة في وقت سابق) بأن تصبح وظائف إحداثيات الزمكان x.

في هذه الحالة ، فإن ملف جي المصفوفات لا "تمر عبر" المشتقات ، متى جي = جي(x),

يؤدي فشل المشتق في التنقل مع "G" إلى إدخال مصطلح إضافي (بما يتماشى مع قاعدة المنتج) ، مما يفسد ثبات لاغرانج. لتصحيح هذا ، نحدد عامل اشتقاق جديد بحيث يتحول مشتق Φ < displaystyle Phi> مرة أخرى بشكل مماثل مع Φ

هذا "المشتق" الجديد يسمى مشتق متغير (مقياس) ويأخذ الشكل

أين ز يسمى ثابت الاقتران وهو كمية تحدد قوة التفاعل. بعد عملية حسابية بسيطة يمكننا أن نرى أن ملف مجال القياس أ(x) يجب أن تتحول على النحو التالي

حقل القياس هو عنصر من عناصر جبر الكذب ، وبالتالي يمكن توسيعه ليصبح

لذلك ، هناك العديد من حقول القياس مثل مولدات جبر الكذب.

أخيرًا ، لدينا الآن ملف مقياس محلي ثابت لاغرانج

الفرق بين هذا لاغرانج والأصل مقياس عالمي ثابت يُنظر إلى لاجرانجيان على أنه تفاعل لاغرانج

يقدم هذا المصطلح التفاعلات بين ن الحقول العددية فقط كنتيجة للطلب على ثوابت القياس المحلية. ومع ذلك ، لجعل هذا التفاعل ماديًا وليس تعسفيًا تمامًا ، فهو الوسيط أ(x) يحتاج إلى الانتشار في الفضاء. يتم تناول ذلك في القسم التالي بإضافة مصطلح آخر ، L g f < displaystyle < mathcal > _ < mathrm >> ، إلى لاغرانج. في النسخة الكمية لنظرية المجال الكلاسيكي التي تم الحصول عليها ، كميات مجال القياس أ(x) تسمى بوزونات القياس. تفسير تفاعل لاغرانج في نظرية المجال الكمومي هو أن البوزونات العددية تتفاعل من خلال تبادل هذه البوزونات المقاسة.

تحرير Yang – Mills Lagrangian لحقل القياس

و f أ ب ج > هي ثوابت البنية لجبر الكذب لمولدات مجموعة القياس. تسمى هذه الصيغة لاغرانجيان أ يانغ ميلز أكشن. توجد أيضًا إجراءات قياس ثابتة أخرى (على سبيل المثال ، الديناميكا الكهربية غير الخطية ، حركة Born-Infeld ، نموذج Chern – Simons ، مصطلح ثيتا ، إلخ).

إن اللاغرانج الكامل لنظرية المقياس هو الآن

مثال: تحرير الديناميكا الكهربائية

كتطبيق بسيط للشكليات التي تم تطويرها في الأقسام السابقة ، ضع في اعتبارك حالة الديناميكا الكهربائية ، مع مجال الإلكترون فقط. إن عمل العظام المجردة الذي يولد معادلة ديراك للمجال الإلكتروني هو

التماثل العالمي لهذا النظام هو

مجموعة القياس هنا هي U (1) ، فقط دوران لزاوية الطور للحقل ، مع الدوران المعين الذي يحدده الثابت θ .

"توطين" هذا التناظر يعني استبدال θ بواسطة θ(x). ثم المشتق المتغير المناسب هو

تحديد "الشحنة" ه (لا يجب الخلط بينه وبين الثابت الرياضي e في وصف التناظر) مع الشحنة الكهربائية المعتادة (هذا هو أصل استخدام المصطلح في نظريات القياس) ، ومجال القياس أ(x) مع الجهد رباعي النواقل للحقل الكهرومغناطيسي ينتج عنه تفاعل لاغرانج

حيث J μ (x) = e ℏ ψ ¯ (x) γ μ ψ (x) (x) = < hbar >> < bar < psi >> (x) gamma ^ < mu> psi (x)> هو ناقل التيار الكهربائي الأربعة في حقل ديراك. لذلك يُنظر إلى مبدأ القياس على أنه يقدم بشكل طبيعي ما يسمى بالاقتران الأدنى للمجال الكهرومغناطيسي مع مجال الإلكترون.

إضافة Lagrangian لحقل القياس A μ (x) (x)> من حيث موتر شدة المجال تمامًا كما هو الحال في الديناميكا الكهربائية ، يحصل المرء على Lagrangian المستخدم كنقطة انطلاق في الديناميكا الكهربائية الكمية.

عادة ما تتم مناقشة نظريات القياس بلغة الهندسة التفاضلية. رياضيا ، أ مقياس هو مجرد اختيار قسم (محلي) لبعض الحزم الرئيسية. أ قياس التحول هو مجرد تحول بين قسمين من هذا القبيل.

على الرغم من أن نظرية المقياس تهيمن عليها دراسة الوصلات (في المقام الأول لأنها تمت دراستها بشكل أساسي من قبل علماء فيزياء الطاقة العالية) ، فإن فكرة الاتصال ليست مركزية لنظرية القياس بشكل عام. في الواقع ، تظهر نتيجة في نظرية المقياس العام أن التمثيلات الأفينية (أي الوحدات الأفينية) لتحولات المقياس يمكن تصنيفها على أنها أقسام من حزمة نفاثة تفي بخصائص معينة. هناك تمثيلات تحول بشكل متغير اتجاهي (يطلق عليها علماء الفيزياء قياس التحولات من النوع الأول) ، والتمثيلات التي تتحول كشكل من أشكال الاتصال (يسميها الفيزيائيون مقياس التحولات من النوع الثاني ، تمثيل أفيني) - وتمثيلات أخرى أكثر عمومية ، مثل المجال B في نظرية BF. هناك المزيد من التمثيلات غير الخطية العامة (الإدراكات) ، لكنها معقدة للغاية. ومع ذلك ، فإن نماذج سيجما غير الخطية تتحول بشكل غير خطي ، لذلك هناك تطبيقات.

إذا كان هناك حزمة رئيسية ص التي مساحة قاعدتها هي الفضاء أو الزمكان ومجموعة الهيكل هي مجموعة الكذب ، ثم أقسام ص تشكل مساحة متجانسة رئيسية لمجموعة تحويلات المقاييس.

تحدد الوصلات (توصيل المقياس) هذه الحزمة الرئيسية ، مما ينتج عنه مشتق متغير مشترك ∇ في كل حزمة متجه مرتبطة. إذا تم اختيار إطار محلي (أساس محلي للأقسام) ، فسيتم تمثيل هذا المشتق المتغير بواسطة نموذج الاتصال أ، وهي صيغة الجبر ذات القيمة 1 ، والتي تسمى قياس الإمكانات في الفيزياء. من الواضح أن هذه الكمية ليست جوهرية ولكنها كمية تعتمد على الإطار. شكل الانحناء F، شكل 2 الجبر ذو القيمة الجوهرية ، يتم إنشاؤه من نموذج اتصال بواسطة

تشكل تحويلات المقاييس متناهية الصغر جبر الكذب ، الذي يتميز بسلسلة سلمية ذات قيمة جبرية كاذبة ، ε. في ظل هذا التحول المقياس متناهي الصغر ،

لا يمكن إنشاء جميع تحويلات أجهزة القياس من خلال تحويلات المقاييس متناهية الصغر بشكل عام. مثال على ذلك عندما يكون المشعب الأساسي عبارة عن مشعب مضغوط بدون حدود بحيث تكون فئة التماثل المتماثل للتعيينات من هذا المشعب إلى مجموعة Lie غير بديهية. انظر Instanton للحصول على مثال.

ال يانغ ميلز أكشن يتم تقديمه الآن بواسطة

حيث * لتقف على Hodge dual ويتم تعريف التكامل كما في الهندسة التفاضلية.

وهي كمية مقياس ثابت (على سبيل المثال ، التحولات الثابتة تحت المقياس) هي حلقة ويلسون ، والتي يتم تحديدها عبر أي مسار مغلق ، γ ، على النحو التالي:

تنتقل شكليات نظرية المقياس إلى الإطار العام. على سبيل المثال ، يكفي أن نطلب أن يكون لحزمة متجه اتصال متري عندما يفعل المرء ذلك ، يجد المرء أن الاتصال المتري يلبي معادلات يانغ ميلز للحركة.

يمكن تكميم نظريات القياس عن طريق التخصص في الأساليب التي تنطبق على أي نظرية مجال كمومي. ومع ذلك ، بسبب التفاصيل الدقيقة التي تفرضها قيود القياس (انظر القسم الخاص بالشكليات الرياضية ، أعلاه) ، هناك العديد من المشكلات الفنية التي يجب حلها والتي لا تظهر في نظريات المجال الأخرى. في الوقت نفسه ، تسمح البنية الأكثر ثراءً لنظريات القياس بتبسيط بعض الحسابات: على سبيل المثال ، تربط هويات Ward بين ثوابت إعادة التطابق المختلفة.

الأساليب والأهداف تحرير

كانت أول نظرية قياس كمية هي الديناميكا الكهربائية الكمية (QED). تضمنت الطرق الأولى التي تم تطويرها لهذا الغرض تثبيت المقياس ثم تطبيق التكميم الكنسي. تم تطوير طريقة Gupta-Bleuler أيضًا للتعامل مع هذه المشكلة. يتم الآن التعامل مع نظريات القياس غير الأبيلية بمجموعة متنوعة من الوسائل. يتم تناول طرق التكميم في مقالة التكميم.

النقطة الرئيسية في التكميم هي أن تكون قادرًا على حساب السعات الكمومية لمختلف العمليات التي تسمح بها النظرية. من الناحية الفنية ، فإنها تقلل إلى حسابات بعض وظائف الارتباط في حالة الفراغ. هذا ينطوي على إعادة تطبيع النظرية.

عندما يكون اقتران التشغيل للنظرية صغيرًا بدرجة كافية ، فيمكن عندئذٍ حساب جميع الكميات المطلوبة في نظرية الاضطراب. يمكن استدعاء مخططات التكميم التي تهدف إلى تبسيط مثل هذه الحسابات (مثل التكميم الكنسي) مخططات الكم المضطربة. في الوقت الحاضر ، تؤدي بعض هذه الطرق إلى أدق الاختبارات التجريبية لنظريات القياس.

ومع ذلك ، في معظم نظريات القياس ، هناك العديد من الأسئلة المثيرة للاهتمام والتي لا تسبب الاضطراب. يمكن استدعاء مخططات التكميم المناسبة لهذه المشكلات (مثل نظرية مقياس الشبكة) مخططات التكميم غير المضطربة. غالبًا ما تتطلب الحسابات الدقيقة في مثل هذه المخططات الحوسبة الفائقة ، وبالتالي فهي أقل تطورًا حاليًا من المخططات الأخرى.

تحرير الحالات الشاذة

ثم يُنظر إلى بعض تناظرات النظرية الكلاسيكية على أنها لا تحمل في نظرية الكم ظاهرة تسمى an شذوذ. من بين أشهرها:


الخصائص الجبرية

يمكن ضغط جميع مصفوفات Pauli الثلاثة في تعبير واحد:

أين أنا = & # 8730 −1 هي الوحدة التخيلية ، و δأب هي دلتا كرونيكر ، والتي تساوي +1 إذا أ = ب و 0 خلاف ذلك. هذا التعبير مفيد في "اختيار" أي من المصفوفات عدديًا عن طريق استبدال قيم أ = 1 ، 2 ، 3 ، بدورها مفيدة عندما يتم استخدام أي من المصفوفات (ولكن لا توجد مصفوفة معينة) في التلاعب الجبري.

محددات وآثار مصفوفات باولي هي:

من خلالها ، يمكننا أن نستنتج أن القيم الذاتية لكل منها σأنا هي ± 1.

مع تضمين مصفوفة الهوية ، أنا (يشار إليها أحيانًا σ0 ) ، تشكل مصفوفات باولي أساسًا متعامدًا (بمعنى هلبرت شميدت) لمساحة هيلبرت الحقيقية المكونة من مصفوفات هيرميتية معقدة 2 × 2 ، ومساحة هيلبرت المعقدة لجميع المصفوفات 2 × 2 ، />.

المتجهات الذاتية والقيم الذاتية

كل من مصفوفات باولي (Hermitian) لها قيمتان من eigenvalues ​​، +1 و 1. باستخدام اتفاقية يتم فيها قبل التطبيع ، وضع 1 في الموضعين العلوي والسفلي للوظائف الموجية + و - على التوالي ، فإن المتجهات الذاتية المقيسة المقابلة هي:

ميزة استخدام هذا الاصطلاح هي أن الدالات الموجية + و - قد تكون مرتبطة ببعضها البعض ، باستخدام مصفوفات Pauli نفسها ، عن طريق , و .

ناقل باولي

يتم تعريف متجه Pauli بواسطة

ويوفر آلية رسم الخرائط من أساس متجه إلى أساس مصفوفة باولي على النحو التالي ،

يجري قيمها الذاتية ، وعلاوة على ذلك (انظر الاكتمال أدناه)

نواقلها الذاتية (غير الطبيعية) هي

علاقات التبادل

تخضع مصفوفات Pauli لعلاقات التبديل التالية:

حيث الهيكل ثابت εabc هو رمز Levi-Civita ، يتم استخدام تدوين جمع أينشتاين ، δأب هي دلتا كرونيكر ، و أنا هي مصفوفة الوحدة 2 × 2.

العلاقة بالنقطة والمنتج المتقاطع

ترسم متجهات Pauli بأناقة هذه العلاقات التبادلية والمضادة للتبديل مع المنتجات المتجهة المقابلة. تعطي إضافة المبدل إلى المضاد

لو مع المنظار الكاذب ثم يصبح الجانب الأيمن وهو أيضًا تعريف حاصل ضرب متجهين في الجبر الهندسي.

بعض تتبع العلاقات

يمكن اشتقاق الآثار التالية باستخدام علاقات التبديل والمنع.

أسي لمتجه باولي

يمتلك المرء ، حتى الصلاحيات ،

والتي يمكن عرضها أولاً من أجل الحالة باستخدام علاقات منع الاستبدال. للراحة ، القضية يؤخذ ليكون بالإقناع.

للقوى الفردية ،

.

في السطر الأخير ، يكون المجموع الأول هو جيب التمام ، في حين أن المجموع الثاني هو الجيب ، لذا أخيرًا ،

,

بينما محدد الأسي نفسه هو 1 فقط ، مما يجعله عنصر المجموعة العام لـ SU (2).

نسخة أكثر تجريدية من الصيغة (2) يمكن العثور على مصفوفة 2 × 2 العامة في المقالة على المصفوفة الأسية. نسخة عامة من (2) لتحليلي (في أ و & # 8722أ) يتم توفير الوظيفة من خلال تطبيق صيغة سيلفستر ،

والتي يمكن إعادة كتابتها من حيث مؤشرات المصفوفة مثل حيث يتم ضمنا الجمع على المؤشرات المتكررة γ و δ. لأن هذا صحيح بالنسبة لأي اختيار للمصفوفة م، فيما يلي علاقة الاكتمال كما هو مذكور أعلاه.

كما هو مذكور أعلاه ، من الشائع الإشارة إلى مصفوفة الوحدة 2 & # 215 2 بواسطة σ0، وبالتالي σ 0 αβ = δαβ. يمكن بدلاً من ذلك التعبير عن علاقة الاكتمال كـ

، مصفوفة الكثافة المثالية

مع eigenvalue 1 ، لذلك مثل عامل الإسقاط لها.

العلاقة مع عامل التقليب

يترك صاي جاي يكون التحويل (المعروف أيضًا باسم التقليب) بين دورتين σأنا و σي الذين يعيشون في مساحة منتج الموتر ℂ 2 & # 8855 ℂ 2 ،

يمكن أيضًا كتابة هذا المشغل بشكل أكثر وضوحًا باعتباره مشغل التبادل الدوراني لديراك ،

وبالتالي فإن قيمها الذاتية هي 1 أو -1. وبالتالي يمكن استخدامه كمصطلح تفاعل في هاملتونيان ، حيث يقسم القيم الذاتية للطاقة لحالات eigenstates المتماثلة مقابل المضاد المتماثل.

المجموعة SU (2) هي مجموعة لي من مصفوفات 2 × 2 الوحدوية مع محدد وحدة ، جبر لي هو مجموعة من جميع المصفوفات 2 × 2 المضادة للهرميت مع تتبع 0. الحساب المباشر ، على النحو الوارد أعلاه ، يوضح أن الجبر الكاذب هو الجبر الحقيقي ثلاثي الأبعاد الممتد بواسطة المجموعة <أناي >. في التدوين المضغوط ،

نتيجة لذلك ، كل أناي يمكن اعتباره مولدًا متناهي الصغر لـ SU (2). عناصر SU (2) هي أسي للتركيبات الخطية لهذه المولدات الثلاثة ، وتضرب كما هو موضح أعلاه في مناقشة متجه باولي. على الرغم من أن هذا يكفي لإنشاء SU (2) ، إلا أنه ليس تمثيلًا مناسبًا لـ su (2) ، حيث يتم قياس قيم Pauli eigenvalues ​​بشكل غير تقليدي. التطبيع التقليدي λ = & # 160 1 2 ، لذلك

نظرًا لأن SU (2) عبارة عن مجموعة مدمجة ، فإن تحللها الكارتاني ضئيل.

الكذب الجبر سو(2) متشابه مع الكذب الجبر وبالتالي(3) ، والذي يتوافق مع مجموعة الكذب SO (3) ، مجموعة الدورات في الفضاء ثلاثي الأبعاد. بمعنى آخر ، يمكن للمرء أن يقول أن ملف أناي هي إدراك (وفي الواقع ، الإدراك الأقل بعدًا) متناهي الصغر تناوب في الفضاء ثلاثي الأبعاد. ومع ذلك ، على الرغم من ذلك سو(2 و وبالتالي(3) متشابه حيث إن SU (2) و SO (3) ليسوا متشابهين كمجموعات لي. SU (2) هو في الواقع غلاف مزدوج لـ SO (3) ، مما يعني أن هناك تماثل مجموعة من اثنين إلى واحد من SU (2) إلى SO (3) ، انظر العلاقة بين SO (3) و SU (2) .

الرباعية

الامتداد الخطي الحقيقي لـ <أنا, أنا1, أنا2, أنا3> يتشابه مع الجبر الحقيقي للكواتيرونيونات ℍ. يتم إعطاء تماثل الشكل من ℍ إلى هذه المجموعة من خلال الخريطة التالية (لاحظ العلامات المعكوسة لمصفوفات Pauli):

بدلاً من ذلك ، يمكن تحقيق التماثل من خلال خريطة باستخدام مصفوفات Pauli بترتيب عكسي ،

كمجموعة من الآيات يو ⊂ ℍ تشكل مجموعة متشابهة لـ SU (2) ، يو يعطي طريقة أخرى لوصف SU (2). يمكن إعطاء تشابه الشكل من اثنين إلى واحد من SU (2) إلى SO (3) من حيث مصفوفات Pauli في هذه الصيغة.

تشكل المربعات جبر القسمة - كل عنصر غير صفري له معكوس - بينما مصفوفات باولي لا تفعل ذلك.


1 إجابة 1

ما كتبته كمصفوفة 4 × 4 واضحة ، يمكن كتابته في تدوين أكثر إحكاما & quotsigma & quot مثل $ x_0 sigma_0 + boldsymbol < sigma> cdot mathbf. $ ليس من المناسب وصف هذا العنصر المتعدد بأنه رباعي ، ولا تناوب. قد يتم تمثيل الرباعي في جبر باولي كمتعددة مع مكونات عددية + مقسمة ، مثل $ x_0 sigma_0 + i boldsymbol < sigma> cdot mathbf. $ (تذكر أن $ i sigma_0 = sigma_1 sigma_2 sigma_3 $ هو المقياس الكاذب في تمثيل Pauli ، وأن الناتج الكاذب والمتجه هو منصف.) على وجه الخصوص ، عن طريق تعيين $ mathbf = sigma_2 sigma_3 ، mathbf = sigma_1 sigma_3 ، mathbf = sigma_1 sigma_2 $ ، من السهل ملاحظة أنه يمكن استرداد جدول الضرب الرباعي المعتاد.

أما بالنسبة للدوران في جبر باولي ، فقم بتدوير متجه حول $ mathbf العادي يمكن تحقيق $ عن طريق وضع المتجه بين دوارين مترافقين ، الأسي باستخدام وسيطات bivector $ sigma cdot mathbf rightarrow e ^ <-i boldsymbol < sigma> cdot mathbf/ 2> سيجما cdot mathbf e ^ cdot mathbf/ 2> $ يعمل هذا كدوران منذ $ e ^ <-i boldsymbol < sigma> cdot mathbf/ 2> $ يتنقل مع أي مكون من $ sigma cdot mathbf $ الذي يقع في الاتجاه الطبيعي ، ويقترن التنقلات مع أي مكون يقع في مستوى الدوران (أي المستوى الذي يمثله bivector $ i mathbf$.) على سبيل المثال ، إذا كان $ sigma cdot mathbf = سيجما cdot mathbf_ موازي + سيجما cdot mathbf_ perp $ حيث $ mathbf_ موازي cdot mathbf = 0 دولار ، إذن لدينا دولار ابدأ سيغما cdot mathbf & amp rightarrow e ^ <-i boldsymbol < sigma> cdot mathbf/ 2> يسار (< sigma cdot mathbf_ موازي + سيجما cdot mathbf_ perp> right) e ^ cdot mathbf/ 2> & amp = left (< sigma cdot mathbf_ متوازي> يمين) e ^ cdot mathbf > + سيجما cdot mathbf_حجر الرباط حجر ضخم$ يتم ترك المكون العمودي على مستوى الدوران كما هو ، بينما لدينا نمط دوران معقد-أسي لأي مكون من المتجه الموجود في المستوى. على سبيل المثال ، مع $ i mathbf = i theta sigma_3 = sigma_1 sigma_2 $ ، لدينا دوران في المستوى x-y. كل من الدوارات عبارة عن قاطع متعدد بمكونات قياسية + مقسمة $ e ^ < theta sigma_1 sigma_2 / 2> = sigma_0 cos theta / 2 + sigma_1 sigma_2 sin theta / 2. $

لذا ، إذا كان المتجه القياسي + ليس دورانًا أو رباعيًا ، فما هو؟ ليس لدي إجابة جيدة عن ذلك بشكل عام ، ولكن هناك بعض الحالات الخاصة المثيرة للاهتمام من النواقل المتعددة من هذا النوع. أحدهما هو جهاز العرض ، ومثاله $ P = frac <1> <<2>> left (< sigma_0 + sigma_3> right). $ هذا مربّع لنفسه ، ويأكل أي عامل من $ sigma_3 $ start P ^ 2 & amp = frac <1> <<4>> left (< sigma_0 + sigma_3> right) left (< sigma_0 + sigma_3> right) & amp = frac <1> <<4>> left (< sigma_0 + 2 sigma_3 + sigma_3 ^ 2> right) & amp = frac <1> <<4>> left (<2 sigma_0 + 2 sigma_3> right) & amp = P، end$ و $ P sigma_3 = frac <1> <<2>> left (< sigma_0 + sigma_3> right) sigma_3 = frac <1> <<2>> left (< sigma_3 + sigma_3 ^ 2> right) = P. $ تظهر أجهزة العرض من هذا الشكل كعوامل في حلول (الموجات الكهرومغناطيسية متعددة القطاعات) لمعادلة ماكسويل المسؤولة والمناطق الحرة الحالية.

بالنسبة للجزء المتبقي من سؤالك ، ما هو المتجه الكاذب +؟ في تدوين سيجما ، يكون لهذا المجموع الشكل $ i sigma_0 alpha + boldsymbol < sigma> cdot mathbf. $ بدلاً من الإجابة على هذا السؤال & quot ما هو & quot ، سأغش وأعطي مثالاً حيث نرى مثل هذا المبلغ. على وجه الخصوص ، في التدوير أعلاه ، كان لدينا منتجات مثل $ boldsymbol < sigma> cdot mathbf e ^ cdot mathbf/ 2> دولار. اسمحوا $ mathbf = ثيتا قبعة < mathbf> $ ، لذلك يتم توسيع هذا المنتج إلى $ boldsymbol < sigma> cdot mathbf يسار (< cos theta / 2 + i boldsymbol sigma> cdot hat < mathbf> sin theta / 2> right). $ المعامل المتعدد للجيب هو $ i ( boldsymbol < sigma> cdot mathbf) ( boldsymbol < sigma> cdot hat < mathbf>) $. إذا $ mathbf $ و $ hat < mathbf> $ عمودي ، مثل هذا المنتج عبارة عن متجه ، وإذا كانا متوازيين ، فإن هذا المنتج هو مقياس كاذب. ومع ذلك ، بشكل عام ، مثل هذا المنتج هو مجموع متجه و مقياس كاذب. كما يحدث ، تلغى جميع المنتجات الكاذبة التي تحدث في تمدد الدوران في النهاية ، تاركة فقط متجهًا.

يمكن العثور على مثال آخر (وإن كان مفتعلًا إلى حد ما) ، لمتجه + مجموع كاذب ، من خلال النظر في تعميم معادلة ماكسويل الموجودة في نظرية الهوائي الهندسي التي تتضمن مصادر مغناطيسية خيالية. يمكن للمرء أن ينشئ مجالًا محتملاً متعدد القطاعات يتضمن كلاً من احتمال متجه وإمكانات عددية مغناطيسية ، مثل: مكونات متجهية و كاذبة ، ولكن بشكل عام سيكون لها مكونات عددية و ثنائية المحور أيضًا.


الاقتران مع مصفوفات باولي

حيث $ | 0 rangle = ابدأ1 0 نهاية$ و $ | 1 rangle = start0 1 نهاية$. الآن تطوير الجزء الأول من المساواة المقترحة باستخدام العلاقات المذكورة أعلاه:

يبدأ يبدأ فارك <1> <4> sum_^ 3 sigma_jA sigma_j & amp = frac <1> <4> ( sigma_0A sigma_0 + sigma_1A sigma_1 + sigma_2A sigma_2 + sigma_3A sigma_3) & amp = frac <1> <4> [(| 0 rangle langle0 | + | 1 rangle langle1 |) أ | (0 rangle langle0 | + | 1 rangle langle1 |) + (| 0 rangle langle1 | + | 1 rangle langle0 |) أ (| 0 rangle langle1 | + | 1 rangle langle0 |) & amp + i ^ 2 (| 1 rangle langle0 | - | 0 rangle langle1 |) أ (| 1 rangle langle0 | - | 0 rangle langle1 |) + (| 0 rangle langle0 | - | 1 rangle langle1 |) أ (| 0 rangle langle0 | - | 1 rangle langle1 |)] & amp = frac <1> <4> [| 0 rangle langle0 | A | 0 rangle langle0 | + | 0 rangle langle0 | A | 1 rangle langle1 | + | 1 rangle langle1 | أ | 0 rangle langle0 | + | 1 rangle langle1 | A | 1 rangle langle1 | & amp + | 0 rangle langle1 | A | 0 rangle langle1 | + | 0 rangle langle1 | A | 1 rangle langle0 | + | 1 rangle langle0 | A | 0 rangle langle1 | + | 1 rangle langle0 | A | 1 rangle langle0 | & amp - (| 1 rangle langle0 | A | 1 rangle langle0 | + | 1 rangle langle0 | A | 0 rangle langle1 | + | 0 rangle langle1 | A | 1 rangle langle0 | + | 0 rangle langle1 | A | 0 rangle langle1 |) & amp + | 0 rangle langle0 | A | 0 rangle langle0 | - | 0 rangle langle0 | A | 1 rangle langle1 | - | 1 rangle langle1 | A | 0 rangle langle0 | + | 1 rangle langle1 | A | 1 rangle langle1 |] & amp = frac <1> <4> [ 2 | 0 rangle langle0 | A | 0 rangle langle0 | +2 | 1 rangle langle1 | A | 1 rangle langle1 | +2 | 0 rangle langle1 | A | 1 rangle langle0 | +2 | 1 rangle langle0 | A | 0 rangle langle1 |] & amp = frac <1> <2> [| 0 rangle langle0 | A | 0 rangle langle0 | + | 1 rangle langle1 | A | 1 rangle langle1 | + | 0 rangle langle1 | A | 1 rangle langle0 | + | 1 rangle langle0 | A | 0 rangle langle1 |]. نهاية نهاية

عند هذه النقطة ، يكون تأثير ضرب هذه المصفوفات في المصفوفة $ A = beginأ & أمبير ب ج & أمبير د نهايةيجب تحليل $:

  • $ | 0 rangle langle0 | A | 0 rangle langle0 | = start1 & أمبير 0 0 & أمبير 0 نهايةيبدأأ & أمبير ب ج & أمبير د نهايةيبدأ1 & أمبير 0 0 & أمبير 0 نهاية= ابدأأ & أمبير 0 0 & أمبير 0 نهاية$.
  • $ | 1 rangle langle1 | A | 1 rangle langle1 | = start0 & أمبير 0 0 & أمبير 1 نهايةيبدأأ & أمبير ب ج & أمبير د نهايةيبدأ0 & أمبير 0 0 & أمبير 1 نهاية= ابدأ0 & amp 0 0 & amp d end$.
  • $ | 0 rangle langle1 | A | 1 rangle langle0 | = start0 & أمبير 1 0 & أمبير 0 نهايةيبدأأ & أمبير ب ج & أمبير د نهايةيبدأ0 & أمبير 0 1 & أمبير 0 نهاية= ابدأد & أمبير 0 0 & أمبير 0 نهاية$.
  • $ | 1 rangle langle0 | A | 0 rangle langle1 | = start0 & أمبير 0 1 & أمبير 0 نهايةيبدأأ & أمبير ب ج & أمبير د نهايةيبدأ0 & أمبير 1 0 & أمبير 0 نهاية= ابدأ0 & أمبير 0 0 & أمبير نهاية$.

ومن ثم ، باستخدام هذه العلاقات وحقيقة أن $ tr (A) = a + d $ ، نستمر في الاشتقاق الذي بدأ أعلاه من الخطوة الأخيرة

يبدأ يبدأ فارك <1> <4> sum_^ 3 sigma_jA sigma_j & amp = frac <1> <2> [| 0 rangle langle0 | A | 0 rangle langle0 | + | 1 rangle langle1 | A | 1 rangle langle1 | + | 0 rangle langle1 | A | 1 rangle langle0 | + | 1 rangle langle0 | A | 0 rangle langle1 |] & amp = frac <1> <2> left [ startأ & أمبير 0 0 & أمبير 0 نهاية + إبدأ0 & amp 0 0 & amp d end + إبدأد & أمبير 0 0 & أمبير 0 نهاية + إبدأ0 & أمبير 0 0 & أمبير نهاية right] = frac <1> <2> starta + d & amp 0 0 & amp a + d end & أمبير = فارك<2> ابدأ1 & أمبير 0 0 & أمبير 1 نهاية= فارك<2> أنا. نهاية نهاية

لاحظ أنه في اشتقاق المساواة ، لم يتم استخدام القيد بأن $ A $ يجب أن يكون موجبًا محددًا ، وبالتالي فإن المساواة تنطبق على جميع المصفوفات $ 2 في 2 $.


Riassunto

Si estende al caso di un numero qualunque di partelle simili (spin 1/2) nel sistema di due partelle، la derivazione di una proprietà delle equazioni di campo non lineari di una nuova teoria dell'elettrodinamica quantistica، che indica tutte le conseguenze del Principio di esclusione di Pauli لكل نظام حكاية. Il risultato segue esattamente da un Procedimento non lineare e sviluppato puramente sulla teoria di campo، applicationato alla descrizione del sistema diن الجسيمات ، والبداية الخاصة بسبب postulati fondamentali cheأ) richiedono l’invarianza rispetto كل المناسب تحويلات un omogeneo di Lorentz، eب) تعالوا إلى عنصر واحد فقط من الجسيمات. Si estende il risultato ottenuto a limite non relativistico di partelle non interagenti in cui si dimostra che il campo di interazione della teoria si riduce alla funzione d’onda antisimmetrica per il sistema diن الجسيمات ديلا تيوريا دي شرودنغر.


الجبر الهندسي في ميكانيكا الكم

مقدمة. تحلل هذه الأوراق نظرية ديراك الميكانيكية الكمية للإلكترون فيما يتعلق ببنيتها الهندسية كما كشفت عنها إعادة الصياغة من حيث جبر الزمكان. والنتيجة الرئيسية هي أن دالة ديراك الموجية psi يمكن أن تتحلل إلى شكل عامل ثابت

بينما الوحدة التخيلية في معادلة ديراك هي بالضرورة تم تحديده مع دوران الإلكترون. تم اشتقاق هذه النتيجة المذهلة أولاً [1] من صياغة في كتاب STA ، والتي ، بالمناسبة ، أظهرت بالفعل أن السلالم الخيالية لا لزوم لها في نظرية ديراك. المشتقات البديلة التي ترتبط ارتباطًا مباشرًا بصيغة المصفوفة القياسية معطاة في [3] وملحق بـ [2]. توضح الطريقة المستخدمة في [2] بشفافية أن ما يسمى بالهويات & quotFierz للمتغيرات المشتركة الثنائية & quot هي نتائج تافهة للشكل الثابت أعلاه لوظيفة الموجة. تقدم الورقة [2] صياغة مضغوطة وكاملة وتحليل لقوانين الحفظ المحلية في نظرية ديراك أحادية الجسيم. الاشتقاقات المقارنة بواسطة المصفوفة القياسية وطرق التنسور أطول بحوالي عشر مرات ، كما يمكن رؤيته في أعمال تاكباياشي المشار إليها في [2]. تلعب المعالجة المماثلة لقوانين الحفظ المحلية في نظرية شرودينجر دورًا أساسيًا في تفسير بوميان لميكانيكا الكم. توضح الورقة [2] تعقيدات توسيع نهج بوم إلى إدارة الجودة النسبية.

تم تقديم المعالجة غير النسبية لقوانين الحفظ المحلية بما في ذلك السبين في [5] ومناقشتها بمزيد من التفصيل في [6]. الرسالة الرئيسية لهذه الأوراق هي أن التفسيرات القياسية لميكانيكا الكم (بما في ذلك Bohm's) فشل في مراعاة العلاقة بين الأعداد المغزلية والأرقام التخيلية المتأصلة في نظرية ديراك. تم اشتقاق الروابط الضرورية بين نظريات ديراك وباولي وشرودينجر في [4] ، حيث تمت الإشارة إلى التناقضات بين التفسيرات القياسية.

تؤكد الورقة [3] على النقطة التي مفادها أن التفسيرات الشائعة لمصفوفات باولي وديراك كمشغلين ميكانيكا الكم غير مبررة وغير مدروسة. يوضح GA تمامًا أن هذه المصفوفات تمثل الاتجاهات في الفضاء والزمكان ، مع عدم وجود آثار على الدوران على الإطلاق. في الواقع ، على عكس ادعاء ديراك واعتقاده الشائع ، لم يتم إدخال السبين في نظرية ديراك بواسطة مصفوفات جاما ولكن من خلال تعريف مشغلي زخم الطاقة. توضح صياغة STA لنظرية ديراك هذه الحقيقة. المزيد حول هذا الموضوع وغيره من مسائل تفسير إدارة الجودة في القسم الثالث من حساب التفاضل والتكامل الهندسي العالمي.

[1] حقول سبينور الحقيقية.

[2] الملاحظات المحلية في نظرية ديراك

[3] المراقبات والعوامل والأرقام المركبة في نظرية ديراك

[4] الاتساق في صياغة نظريات ديراك وباولي وشرودينجر

[5] المراقبات المحلية في نظرية الكم

[6] الدوران وعدم اليقين في تفسير ميكانيكا الكم

نبذة مختصرة: الاشتقاق الدقيق لنظرية شرودينجر من نظرية باولي (أو ديراك) يعني ضمناً أن معادلة شرودينجر تصف الإلكترون في حالة eigenstate للدوران. علاوة على ذلك ، يتم تحديد الطاقة الحركية لحالة الأرض تمامًا بواسطة كثافة دوران الإلكترون. يمكن تفسير ذلك من خلال تفسير السبين على أنه زخم زاوي مداري ، والذي يكون مصحوبًا بالضرورة بالطاقة الحركية. هكذا، السبين هو زخم زاوي من نقطة الصفر مرتبط بطاقة الصفر للإلكترون. نظرًا لأن التشتت في زخم الإلكترون يتم تحديده بواسطة طاقة نقطة الصفر ، يمكن تفسير علاقات الارتياب في Heisenberg للإلكترون على أنها خاصية لحركة دوران الإلكترون. يمكن دعم التفسير الحركي للدوران والتفسير الإحصائي لميكانيكا الكم بشكل مشترك من خلال اعتبار الإلكترون جسيمًا نقطيًا. ويترتب على ذلك أن حالات الإلكترون الثابتة هي مصادر لتذبذب المجالات الكهربائية. هناك سبب للاعتقاد بأن هذه الحقول المتقلبة هي المسؤولة عن قوة فان دير فال ويمكن تحديدها بتقلبات مجال الفراغ الكهرومغناطيسي. ثم يشير التفسير الحركي للدوران إلى أن قوى فان دير فال تعتمد على الدوران. لا تتوافق هذه الأفكار فقط مع الشكلية الرياضية التقليدية لميكانيكا الكم ، ولكنها توفر تفسيرًا أكثر اكتمالًا وتماسكًا للعديد من التفاصيل في الشكليات مما يقدمه تفسير كوبنهاجن البديل. ومع ذلك ، فإنهم يمثلون بعض الصعوبات ، والتي ، إذا كان التفسير الحركي لللف صحيحًا ، فمن المحتمل أن تتطلب بعض التعديل في الديناميكا الكهربية الكمية ليتم حلها.

[7] هندسة نظرية ديراك

نبذة مختصرة: يتم تمثيل دالة ديراك الموجية في شكل يكون فيه لجميع مكوناته تفسيرات هندسية وفيزيائية واضحة. ستة مكونات تشكل تحويل لورينتز تحدد سرعة الإلكترون هي اتجاهات الدوران. يوفر هذا الأساس لعلاقة صارمة بين ديناميكيات الجسم الجامدة النسبية والتطور الزمني لوظيفة الموجة. يتم إعطاء مصفوفة التشتت شكلاً جديدًا كعامل ذو قيمة مغزلية بدلاً من وظيفة معقدة. يكشف الأسلوب عن بنية هندسية لمصفوفة التشتت ويبسط حسابات التشتت. ويدعم هذا الادعاء حساب صريح للمقطع العرضي التفاضلي وتغير الاستقطاب في تشتت كولوم. تمت مناقشة الآثار المترتبة على بنية وتفسير نظرية الكم النسبية.

Hestenes ، نشرت أصلاً في: ندوة حول رياضيات الزمكان الفيزيائي، Facultad de Quimica ، Universidad Nacional Autonoma de Mexico ، مكسيكو سيتي ، المكسيك (1981) ، 67-96.
D. Hestenes

[8] ألغاز ورؤى لنظرية ديراك

نبذة مختصرة: تحتوي معادلة ديراك على بنية هندسية مخفية تتجلى من خلال إعادة صياغتها من حيث جبر الزمكان الحقيقي. يكشف هذا عن وجود صلة أساسية بين اللف المغزلي والأرقام المركبة ذات الآثار العميقة لتفسير ميكانيكا الكم. من بين أمور أخرى ، فإنه يقترح أنه لتحقيق تفسير كامل لميكانيكا الكم ، يجب تحديد السبين مع zitterbewegung جوهري.

Hestenes ، نُشرت في: Annales de la Fondation Louis de Broglie، المجلد. 28 ، 390-408 (2003).
D. Hestenes

[9] Zitterbewegung في ميكانيكا الكم

نبذة مختصرة: يتم استكشاف إمكانية أن يفتح zitterbewegung نافذة على البنية التحتية للجسيمات في ميكانيكا الكم من خلال بناء نموذج جسيم بسمات هيكلية متأصلة في معادلة ديراك. تطور هذه الورقة نموذجًا ديناميكيًا قائمًا بذاته للإلكترون كجسيم شبيه بالضوء مع zitterbewegung حلزوني والتفاعلات الكهرومغناطيسية. يعترف النموذج بالحلول الدورية ذات الطاقة الكمية ، ويتم توليد اللحظة المغناطيسية الصحيحة عن طريق دوران الشحنة. ينسب إلى الإلكترون عزم كهربائي ثنائي القطب يدور بتردد عالي للغاية ، ويتم تحليل إمكانية مراقبة هذا مباشرة كرنين في توجيه الإلكترون بالتفصيل. تمت مناقشة التطابق مع معادلة ديراك. يُقترح تعديل & # 64257 معادلة ديراك لدمج عزم الدوران ثنائي القطب.

Hestenes ، نُشرت في: أسس الفيزياء، المجلد. 40 ، 1-54 (2010) DOI 10.1007 / s10701-009-9360-3.
D. Hestenes


شاهد الفيديو: الميكانيك الهندسي - 1 الديناميك الحركة على خط مستقيم Dynamic - Straight Line Motion (كانون الثاني 2022).