مقالات

5.2: مجالات أخرى - الرياضيات


أعلاه ، قمنا بتعريف الفراغات المتجهة على الأعداد الحقيقية. الحقل عبارة عن مجموعة من الخصائص المُرضية "للأرقام" والتي يتم سردها في الملحق "ب". مثال على الحقل هو الأرقام المركبة ،

[ mathbb {C} = left {x + iy mid i ^ {2} = - 1 ، x ، y in Re right }. ]

مثال 61

في فيزياء الكم ، تصف المسافات المتجهة فوق ( mathbb {C} ) جميع الحالات الممكنة التي يمكن أن يمتلكها نظام مادي من الجسيمات.
فمثلا،

[V = left { begin {pmatrix} lambda mu end {pmatrix} mid lambda، mu in mathbb {C} right } ]

هي مجموعة الحالات الممكنة لسرطان الإلكترون. المتجهات ( begin {pmatrix} 1 0 end {pmatrix} ) و ( begin {pmatrix} 0 1 end {pmatrix} ) تصف ، على التوالي ، إلكترونًا مع دوران "up" "و" لأسفل "على طول اتجاه معين. المتجهات الأخرى ، مثل ( begin {pmatrix} i -i end {pmatrix} ) مسموح بها ، لأن الحقل الأساسي هو الأعداد المركبة. تمثل مثل هذه الحالات مزيجًا من الدوران للأعلى والدوران لأسفل للاتجاه المحدد (مفهوم غير بديهي إلى حد ما ولكنه يمكن التحقق منه تجريبياً) ، ولكن دوران معين في اتجاه آخر.

تعتبر الأعداد المركبة مفيدة جدًا نظرًا لخاصية خاصة يتمتعون بها: فكل متعدد الحدود على الأعداد المركبة يؤدي إلى منتج من كثيرات الحدود الخطية. على سبيل المثال ، كثير الحدود $$ x ^ {2} + 1 $$ لا يحسب على الأعداد الحقيقية ، ولكن مع الأعداد المركبة فإنه يحول إلى $$ (x + i) (xi) ،. $$ بمعنى آخر ، هناك ( textit {two} ) حلول لـ $$ x ^ {2} = - 1، $$
(س = أنا ) و (س = -أنا ). تنتهي هذه الخاصية بعواقب بعيدة المدى: غالبًا في المسائل الرياضية التي تكون صعبة للغاية باستخدام الأعداد الحقيقية فقط ، تصبح بسيطة نسبيًا عند العمل على الأعداد المركبة. تحدث هذه الظاهرة عند قطري المصفوفات ، انظر الفصل 13.

الأرقام المنطقية ( mathbb {Q} ) هي أيضًا حقل. هذا الحقل مهم في جبر الكمبيوتر: لا يمكن تخزين الرقم الحقيقي بواسطة سلسلة لا نهائية من الأرقام بعد العلامة العشرية لا يمكن تخزينها بواسطة الكمبيوتر. لذلك يتم استخدام التقريبات المنطقية بدلاً من ذلك. نظرًا لأن المبررات مجال ، فإن رياضيات فضاءات المتجهات لا تزال تنطبق على هذه الحالة الخاصة.

مجال آخر مفيد للغاية هو البتات
$$
B_2 = mathbb {Z} _2 = {0،1 } ،،
$$
مع قواعد الجمع والضرب
$$
ابدأ {مجموعة} {c | cc}
+ & 0 & 1 hline
0&0&1\
1&1&0
نهاية {مجموعة} qquad
ابدأ {مجموعة} {c | cc}
مرات & 0 & 1 خط
0&0&0\
1&0&1
نهاية {مجموعة}
]

يمكن تلخيص هذه القواعد بالعلاقة (2 = 0 ). بالنسبة للبتات ، يتبع ذلك (- 1 = 1 )!

عادة ما يتم تغطية نظرية المجالات في فصل دراسي الجبر المجرد أو نظرية جالوا.


الدليل الشامل لفروع الرياضيات

الرياضيات مهمة لحياتنا اليومية. هناك الكثير من تطبيقات الرياضيات. يمكننا & # 8217t تخيل عالم منظم جيدًا بدون استخدام الرياضيات. في الآونة الأخيرة كانت هناك دراسة محدودة للرياضيات. لكن خلال السنوات القليلة الماضية ، تطورت الرياضيات بفروع متنوعة. يتم تطوير فروع الرياضيات لتقديم مساهمات كبيرة في مجال التكنولوجيا.

لذلك هناك الكثير من الفروع الرياضية الموجودة في العالم الحقيقي. في الوقت الحاضر ، تبدأ الرياضيات من المستوى الأساسي إلى المستوى المتقدم الذي يساعد في أحدث تقنيات الكمبيوتر. هذا هو السبب في أن أهمية الرياضيات ستكون حاسمة للطلاب. وبالتالي يصبح من الأهمية بمكان أن يزيل الطلاب شكوكهم حول الفروع المختلفة للرياضيات.

حيل الرياضيات السحرية للأطفال لإجراء حسابات مطولة في غضون ثوان.

قبل الانتقال إلى فروع الرياضيات ، دعنا نجد بعض الحيل الشيقة. تساعدك هذه الحيل على حل مشاكلك في غضون ثوان.

الحيلة 1: اضرب أي رقم في 5
لضرب رقم في 5 ، ما عليك سوى قسمة الرقم المعطى على 2 ثم ضربه في 10.
على سبيل المثال ، اضرب 72 في 5.قسّم 72 على 2 = 36اضرب 36 في 10 = 360إجابه: 360
الحيلة الثانية: اضرب أيًا من الأعداد المكونة من رقمين في 11
للقيام بذلك ، تحتاج فقط إلى جمع الرقمين. بعد ذلك ، ضع قيمة المجموع بين الرقمين المحددين.
على سبيل المثال ، اضرب 45 في 11أضف 4 و 5 = 9ضع 9 بين 4 و 5 = 495الجواب: 495
الحيلة 3: اضرب أي رقم في 6
تحتاج إلى قسمة الرقم المحدد على 2 حتى تتمكن من الحصول على الرقم الأول من الحل. ضع هذا الرقم مسبوقًا برقم السؤال المحدد.
على سبيل المثال ، اضرب 4 في 6قسّم 4 على 2 = 2ضع 4 بعد 2 = 24الجواب: 24
الخدعة 4: اضرب رقمًا في 9
لضرب الرقم المحدد على الفور في 9 ، يحتاج المرء إلى طرح 1 من رقم معين للحصول على إجابة & # 8217s الرقم الأول. ثم اطرح الرقم من 10 للحصول على الإجابة & # 8217s الرقم الثاني.
على سبيل المثال ، اضرب 6 في 9اطرح 1 من 6 = 5اطرح 6 من 10 = 4ضع العددين معًا = 54الجواب: 54
الحيلة الخامسة: قم بتربيع أي عدد مكون من رقمين ينتهي بالرقم 5
تحتاج إلى إضافة 1 إلى الرقم الأول & # 8217s وضرب القيمة المضافة في الرقم الأصلي & # 8217s الرقم الأول. ستلاحظ أيضًا أن هذه الإجابة متبوعة بـ 25.
على سبيل المثال ، المربع 25جمع 1 إلى 2 = 3اضرب 3 ب 2 = 6ضع 25 بعد 6: 625الجواب: 625


21 إجابات 21

وفقًا لجوردان ، كانت نظرية أساس هيلبرت تطبيقًا للاهوت.

ها هي ورقة لطيفة من Sturmfels ، حول السؤال هل يمكن أن يؤدي علم الأحياء إلى نظريات جديدة؟

يمكنني وصف واحدة لا تزال غامضة بعض الشيء بالنسبة لي. لقد أوضحت أنا وزملائي Erwin Lutwak و Gaoyong Zhang كيف أن الأفكار الناشئة عن النسخة المستمرة لنظرية معلومات شانون (التي توجد عادةً في قسم الهندسة الكهربائية) تؤدي بشكل طبيعي جدًا إلى تفاوتات تحليلية حادة للوظائف على $ R ^ n $ ، بما في ذلك المعممة تفاوتات سوبوليف الحادة. ما هو لطيف حقًا هو أن وجهة النظر هذه لا تؤدي فقط إلى عدم المساواة ، بل إنها تؤدي أيضًا إلى فهم براهين أفضل وأكثر سهولة من البراهين المعروفة سابقًا.

كانت إجابة جيري مايرسون حول جوردان واللاهوت مضحكة ، لكن جورج كانتور استخدم بالفعل علم اللاهوت في تصوره لنظرية المجموعات. من سيرة كانتور ويكيبيديا:

كان مفهوم وجود اللانهاية الفعلي من الاهتمامات المشتركة الهامة في مجالات الرياضيات والفلسفة والدين. [51] الحفاظ على أرثوذكسية العلاقة بين الله والرياضيات ، على الرغم من أنه ليس بنفس الشكل الذي كان يحتفظ به نقاده ، كان لفترة طويلة من اهتمامات كانتور. تناول مباشرة هذا التقاطع بين هذه التخصصات في مقدمة كتابه Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre ، حيث شدد على العلاقة بين نظرته إلى اللانهائي والفلسفي. بالنسبة إلى كانتور ، ارتبطت آرائه الرياضية ارتباطًا جوهريًا بآرائها الفلسفية واللاهوتية - فقد حدد اللانهائي المطلق مع الله ، [53] واعتبر أن عمله على الأعداد غير المحدودة قد تم توصيله إليه مباشرة من قبل الله ، الذي اختار كانتور ل تكشف لهم للعالم. [12]

أستطيع أن أفكر في ثلاثة أشياء على الأقل أن السؤال قد يعني ، وربما يكون من المفيد إذا أوضح ستيف أيها مهم بالنسبة له!

(1) حقول أخرى تقترح أسئلة جديدة لعلماء الرياضيات ليفكروا فيها ، أو تخمينات جديدة ليثبتوها. أمثلة من هذا النوع موجودة في كل مكان ، وتمثل جزءًا كبيرًا من كل الرياضيات! (كان كل من أرخميدس ونيوتن وجاوس يتطلعون إلى الفيزياء كمصدر إلهام للعديد من عظماء القرن العشرين في علم الأحياء ، والاقتصاد ، وعلوم الكمبيوتر ، وما إلى ذلك. حتى بالنسبة لعلماء الرياضيات الذين يفخرون بأخذ أقل قدر ممكن من الإلهام من العالم المادي ، يمكن الجدل حول مدى نجاحهم في ذلك.)

(2) المجالات الأخرى التي تساعد عملية للبحوث الرياضية. تعد أجهزة الكمبيوتر مثالًا واضحًا ، لكنني أعلم أن هذا النوع من التطبيقات ليس ما يفكر فيه ستيف.

(3) مجالات أخرى تؤدي إلى الجديد أو الأفضل البراهين، بالنسبة للنظريات التي يهتم بها علماء الرياضيات حتى بشكل مستقل عن المجالات الأخرى. يبدو لي أن هذا هو التفسير الأكثر إثارة للاهتمام. لكنه يثير سؤالًا واضحًا: إذا كان الحقل يقود إلى براهين جديدة للنظريات المهمة ، فلماذا لا نفعل ذلك مكالمة هذا المجال الرياضيات؟ طريقة واحدة للخروج من مستنقع التعريف هذا هو ما يلي: عادة ، يفكر المرء في الرياضيات كما هي مرتبة في شجرة ، مع منطق ونظرية المجموعة في الجذر ، والمجالات "التطبيقية" مثل نظرية المعلومات أو الفيزياء الرياضية على الأوراق ، وكل شيء آخر ( الجبر والتحليل والهندسة والطوبولوجيا) مثل جذوع أو فروع. يتم استخدام التعريفات والنتائج من المستويات الأدنى في المستويات الأعلى ، ولكن ليس العكس. من هذا المنظور ، فإن ما يطرحه السؤال حقًا هو أمثلة على "الانقلابات غير المتوقعة" ، حيث تُستخدم الأفكار من أعلى الشجرة (وعلى وجه التحديد ، من الأوراق "المطبقة") لإثبات النظريات السفلية في الشجرة.

من المؤكد أن مثل هذه الانقلابات موجودة ، وربما يكون لدى الكثير من الناس أمثلة مفضلة عنها - لذلك يبدو أنها علف رائع لسؤال "القائمة الكبيرة". مع التعرض لخطر انتهاك قاعدة ستيف "عدم النظرية لعلوم الكمبيوتر" ، فإليك بعض الأشياء المفضلة لدي:

(ط) تشير خوارزمية البحث الكمي لغروفر على الفور إلى عدم مساواة ماركوف

لجميع كثيرات الحدود الحقيقية من الدرجة d ، تكون ضيقة.

(2) غالبًا ما يكون تعقيد Kolmogorov مفيدًا لإثبات العبارات التي لا علاقة لها بآلات Turing أو الحوسبة.

(3) تشير قواعد ميكانيكا الكم للبوزونات المتطابقة على الفور إلى أن | Per (U) | & le1 لكل مصفوفة وحدوية U.


2.2 & ndash البيئات والبيئة العالمية

كما سيتم مناقشته في & section3.2 و & section3.3.3 ، تتم ترجمة أي إشارة إلى الاسم العام var بشكل تركيبي إلى _ENV.var. علاوة على ذلك ، يتم تجميع كل جزء في نطاق متغير محلي خارجي يسمى _ENV (انظر & القسم 3.3.2) ، لذا فإن _ENV نفسه ليس اسمًا عامًا في قطعة.

على الرغم من وجود هذا المتغير _ENV الخارجي وترجمة الأسماء العالمية ، فإن _ENV هو اسم عادي تمامًا. على وجه الخصوص ، يمكنك تحديد متغيرات ومعلمات جديدة بهذا الاسم. يستخدم كل مرجع إلى اسم عام _ENV المرئي في تلك المرحلة في البرنامج ، وفقًا لقواعد الرؤية المعتادة لـ Lua (انظر & القسم 3.5).

أي جدول يستخدم كقيمة _ENV يسمى بيئة.

يحتفظ Lua ببيئة مميزة تسمى البيئة العالمية. يتم الاحتفاظ بهذه القيمة في فهرس خاص في سجل C (انظر القسم 4.5). في Lua ، تتم تهيئة المتغير _G بنفس القيمة.

عندما تقوم Lua بتجميع قطعة ، فإنها تقوم بتهيئة قيمة _ENV الخاصة بها مع البيئة العامة (انظر التحميل). لذلك ، بشكل افتراضي ، تشير المتغيرات العامة في كود Lua إلى الإدخالات في البيئة العالمية. علاوة على ذلك ، يتم تحميل جميع المكتبات القياسية في البيئة العالمية وتعمل العديد من الوظائف هناك في تلك البيئة. يمكنك استخدام load (أو loadfile) لتحميل جزء ببيئة مختلفة. (في C ، يجب عليك تحميل القطعة ثم تغيير قيمة أول قيمة أعلى لها.)

إذا قمت بتغيير البيئة العامة في السجل (من خلال رمز C أو مكتبة تصحيح الأخطاء) ، فستحصل جميع الأجزاء التي تم تحميلها بعد التغيير على البيئة الجديدة. لا تتأثر الأجزاء التي تم تحميلها سابقًا ، على الرغم من ذلك ، حيث أن لكل منها مرجعها الخاص بالبيئة في المتغير _ENV الخاص بها. علاوة على ذلك ، لا يتم تحديث المتغير _G (المخزن في البيئة العالمية الأصلية) بواسطة Lua مطلقًا.


ماذا تقول الأرقام: التكيف مع & # 039 عادي جديد & # 039

في يوم الجمعة ، 7 مايو / أيار ، أدارت صحفية سي بي سي مانجولا سيلفاراجاه لجنة تناولت أسئلة الجمهور حول ما يمكن أن يعنيه مشاركة كوكب مع SARS-CoV-2 على المدى الطويل. عالم الأحياء التطورية ، البروفيسور سالي أوتو (UBC) ، أخصائي الأمراض المعدية ، الدكتور أندرو موريس (جبل سيناء ، جامعة تورنتو) ، وقائد نمذجة الأمراض المعدية ، البروفيسور جيانهونغ وو (جامعة يورك) ، اقتربوا من المناقشة من كل منهم مجالات الخبرة ، وتقدم نهجًا علميًا لموضوعات مثل إعادة الفتح بعد الإغلاق ، وسلامة التطعيم للأطفال ، وجوازات سفر اللقاح ، وما يمكن أن يبدو عليه "الوضع الطبيعي الجديد" في الأيام والأسابيع وحتى السنوات المقبلة. فيما يلي بعض النقاط البارزة في حديثنا.


5.2: مجالات أخرى - الرياضيات

نحتاج أن نبدأ هذا الفصل بتعريف حقل المتجه لأنه سيكون مكونًا رئيسيًا في كل من هذا الفصل والفصل التالي. لنبدأ بالتعريف الرسمي لحقل المتجه.

تعريف

حقل متجه على مساحة ثنائية (أو ثلاثية) الأبعاد هو دالة ( vec F ) يتم تعيينها لكل نقطة ( يسار ( يمين) ) (أو ( يسار ( right) )) متجه ثنائي (أو ثلاثي الأبعاد) معطى بواسطة ( vec F left ( يمين) ) (أو ( vec F يسار ( حق))).

قد لا يكون هذا منطقيًا إلى حد كبير ، لكن معظم الناس يعرفون ما هو الحقل المتجه ، أو على الأقل شاهدوا مخططًا لحقل متجه. إذا كنت قد رأيت رسمًا تخطيطيًا للتيار يوضح اتجاه تدفق السائل وحجمه أو اتجاه الرياح وحجمها ، فقد رأيت مخططًا لحقل متجه.

الترميز القياسي للدالة ( vec F ) هو ،

[يبدأ vec F اليسار ( يمين) & = ف يسار ( يمين) vec أنا + Q يسار ( يمين) vec j vec F يسار ( يمين) & = ف يسار ( يمين) vec أنا + Q يسار ( يمين) vec ي + R يسار ( الحق) vec ك النهاية]

اعتمادًا على ما إذا كنا في بُعدين أو ثلاثة أبعاد. تسمى الوظيفة (P ) ، (Q ) ، (R ) (إذا كانت موجودة) أحيانًا وظائف عددية.

دعونا نلقي نظرة سريعة على مثالين.

حسنًا ، لرسم حقل المتجه ، نحتاج إلى الحصول على بعض "قيم" الدالة. هذا يعني توصيل بعض النقاط بالدالة. هنا زوجان من التقييمات.

[يبدأ vec F left (<2>،frac<1> <2>> right) & = - frac <1> <2> vec i + frac <1> <2 > vec j vec F left ( <2>، - frac <1> <2>> right) & = - left (<- frac <1> <2 >> right) vec i + frac <1> <2> vec j = frac <1> <2> vec i + frac <1> <2> vec j vec F يسار (<2>،frac<1> <4>> right) & = - frac <1> <4> vec i + frac <3> <2> vec j نهاية]

إذن ، ماذا تخبرنا هذه التقييمات؟ حسنًا ، يخبرنا الأول أنه عند النقطة ( left (<2>،frac<1> <2>> right) ) سنقوم برسم المتجه (- frac < 1> <2> vec i + frac <1> <2> vec j ). وبالمثل ، يخبرنا التقييم الثالث أنه عند النقطة ( left (<2>،frac<1> <4>> right) ) سنقوم برسم المتجه (- frac <1> <4> vec i + frac <3> <2> vec j ).

يمكننا الاستمرار بهذه الطريقة في رسم المتجهات لعدة نقاط وسنحصل على الرسم التخطيطي التالي لحقل المتجه.

إذا أردنا رسم المزيد من النقاط بشكل ملحوظ ، فمن الأفضل عادةً استخدام نظام الرسوم البيانية بمساعدة الكمبيوتر مثل Maple أو Mathematica. فيما يلي رسم تخطيطي به العديد من النواقل المضمنة التي تم إنشاؤها باستخدام Mathematica.

في حالة الحقول المتجهة ثلاثية الأبعاد ، من الأفضل دائمًا استخدام Maple أو Mathematica أو أي أداة أخرى من هذا القبيل. على الرغم من ذلك ، دعونا نمضي قدمًا ونجري بعض التقييمات على أي حال.

[يبدأ vec F left (<1، - 3،2> right) & = 2 ، vec i + 6 ، vec j - 2 ، vec k vec F left (<0 ، 5،3> right) & = - 10 ، vec j end]

لاحظ أن (z ) يؤثر فقط على وضع المتجه في هذه الحالة ولا يؤثر على اتجاه أو حجم المتجه. يحدث هذا في بعض الأحيان ، لذا لا تتشوق له عندما يحدث.

هنا زوجان من الرسومات التي تم إنشاؤها بواسطة Mathematica. الرسم على اليسار من "الأمام" والرسم على اليمين من "فوق".

الآن بعد أن رأينا حقلين متجهين ، دعنا نلاحظ أننا رأينا بالفعل وظيفة حقل متجه. في الفصل الثاني نظرنا إلى متجه التدرج. تذكر أن إعطاء وظيفة (f left ( right) ) يتم تعريف متجه التدرج ،

هذا حقل متجه وغالبًا ما يُطلق عليه اسم مجال متجه التدرج.

في هذه الحالات ، الوظيفة (f left ( right) ) غالبًا ما تسمى دالة عددية لتمييزها عن حقل المتجه.

لاحظ أننا قدمنا ​​فقط تعريف متجه التدرج لدالة ثلاثية الأبعاد ، لكن لا تنسَ أن هناك أيضًا تعريفًا ثنائي الأبعاد. كل ما نحتاجه لإسقاط المكون الثالث من المتجه.

هذا هو حقل متجه التدرج لهذه الوظيفة.

[ nabla f = left langle <2x sin left (<5y> right) ، 5 cos يسار (<5y> يمين)> يمين rangle ]

ليس هناك الكثير لتفعله هنا سوى أخذ التدرج اللوني.

لنفعل مثالاً آخر يوضح العلاقة بين حقل متجه التدرج لدالة ومحيطها.

تذكر أن ملامح الدالة ليست أكثر من منحنيات محددة بواسطة ،

لقيم مختلفة من (ك ). لذلك ، بالنسبة لوظيفتنا ، يتم تحديد الخطوط العريضة بالمعادلة ،

ولذا فهي عبارة عن دوائر متمركزة في الأصل بنصف قطر ( sqrt k ).

هذا هو حقل متجه التدرج لهذه الوظيفة.

[ nabla f اليسار ( right) = 2x ، vec i + 2y ، vec j ]

فيما يلي رسم تخطيطي للعديد من الخطوط العريضة بالإضافة إلى مجال متجه التدرج.

لاحظ أن متجهات حقل المتجه كلها متعامدة (أو متعامدة) مع الخطوط العريضة. سيكون هذا هو الحال دائمًا عندما نتعامل مع ملامح دالة بالإضافة إلى مجال متجه التدرج.

كانت قيم (k ) التي استخدمناها للرسم البياني أعلاه 1.5 و 3 و 4.5 و 6 و 7.5 و 9 و 10.5 و 12 و 13.5. لاحظ الآن أنه مع زيادة (ك ) بمقدار 1.5 ، تقترب منحنيات الكنتور من بعضها البعض ، وأنه كلما اقتربت المنحنيات الكنتورية من بعضها ، زاد حجم المتجهات. بمعنى آخر ، كلما اقتربت منحنيات الكنتور (حيث تم زيادة (ك ) بمقدار ثابت) كلما تغيرت الوظيفة بشكل أسرع عند تلك النقطة. تذكر أيضًا أن اتجاه التغيير الأسرع لوظيفة ما يُعطى بواسطة متجه التدرج عند تلك النقطة. لذلك ، يجب أن يكون من المنطقي أن تتطابق الفكرتان كما هو الحال هنا.

الموضوع الأخير لهذا القسم هو موضوع الحقول المتجهة المحافظة. الحقل المتجه ( vec F ) يسمى أ مجال ناقلات المحافظ في حالة وجود دالة (f ) مثل ( vec F = nabla f ). إذا كان ( vec F ) عبارة عن حقل متجه محافظ ، فإن الوظيفة ، (f ) ، تسمى الوظيفة المحتملة لـ ( vec F ).

كل ما يقوله هذا التعريف هو أن حقل المتجه يكون متحفظًا إذا كان أيضًا حقل متجه متدرج لبعض الوظائف.

على سبيل المثال ، حقل المتجه ( vec F = y ، vec i + x ، vec j ) هو حقل متجه محافظ له وظيفة محتملة من (f left ( right) = xy ) لأن ( nabla f = left langle يمين rangle ).

من ناحية أخرى ، ( vec F = - y ، vec i + x ، vec j ) ليس مجالًا متجهًا محافظًا نظرًا لعدم وجود وظيفة (f ) مثل ( vec F = nabla f ). إذا لم تكن متأكدًا من أنك تعتقد أن هذا في هذه المرحلة صبور ، فسنكون قادرين على إثبات ذلك في قسمين. في هذا القسم سوف نوضح أيضًا كيفية العثور على الوظيفة المحتملة لحقل ناقل متحفظ.


3 أسباب لدراسة الرياضيات

هل تستمتع بالتحدي المتمثل في البحث عن الأنماط وحل الألغاز؟ الرياضيات موضوع متعدد الأوجه يركز على المنطق ويشجع على الابتكار. يمكن أن تكون القدرة على تطبيق المفاهيم والمبادئ الرياضية مفيدة في أي صناعة تقريبًا. فيما يلي ثلاثة أسباب رئيسية لدراسة الرياضيات:

1. يمكن استخدام الرياضيات لحل مشاكل العالم الحقيقي.

حل المشكلات هو جوهر أي مهنة في الرياضيات. تلاحظ جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية أن دراسة الرياضيات يمكن أن تعدك للتعامل مع أسئلة مثل ما يلي:

  • كيف يمكن لمقدمي خدمات النقل تصميم جداولهم لتقليل وقت التوقف عن العمل وتقليل تكاليف الصيانة؟
  • هل يمكن للإيثانول أن يحل محل الوقود الأحفوري بشكل واقعي؟
  • كيف يمكن أن ينتشر وباء المرض غير المحتوم في جميع أنحاء العالم والسكان الأبوس؟
  • كيف تؤثر المتغيرات مثل الطقس ونوع الشجرة على انتشار حرائق الغابات؟
  • كيف يمكن ترتيب الاستثمارات للحد الأدنى من المخاطر مع أقصى عائد؟

2. تتمتع تخصصات الرياضيات ببعض من أعلى مستويات الرضا الوظيفي.

يمكن أن يؤدي تعليم الرياضيات إلى بعض الوظائف الأكثر إرضاءً وإرضاءً. في دراسة CareerCast.com التي صنفت 200 وظيفة بناءً على بيئة العمل والدخل والتوقعات والإجهاد ، ارتبطت أربع من أفضل 10 وظائف ارتباطًا مباشرًا بالرياضيات: عالم البيانات (# 1) ، الإحصائي (# 2) ، عالم الرياضيات (# 8) والخبير الاكتواري (رقم 10).

3. توفر الرياضيات أساسًا متينًا للدراسات المتقدمة في المجالات الأخرى.

حتى إذا كنت ترى أنك تمارس مهنة مهنية في مجال آخر ، فقد يكون من المفيد أن تبدأ بدراسة الرياضيات. غالبًا ما يتم اختيار المرشحين الحاصلين على درجة جامعية في الرياضيات لبرامج القانون والطب والأعمال والهندسة. تميل تخصصات الرياضيات إلى امتلاك المهارات التحليلية التي تسمح لهم بالتفوق في تلك المجالات. وجدت إحدى الدراسات أنه ، في المتوسط ​​، كان أداء خريجي الرياضيات أفضل في اختبار القبول في كلية الحقوق (LSAT) من المتقدمين للاختبار من 45 تخصصًا آخر.


رياضيات المدرسة الثانوية في العمل: مقالات وأمثلة لتعليم جميع الطلاب (1998)

ملخص

الرياضيات هي مفتاح الفرصة. لم تعد لغة العلوم فقط ، فالرياضيات الآن تساهم بطرق مباشرة وأساسية في الأعمال التجارية ، والتمويل ، والصحة ، والدفاع. للطلاب ، فإنه يفتح الأبواب أمام الوظائف. بالنسبة للمواطنين ، فإنه يتيح اتخاذ قرارات مستنيرة. بالنسبة للدول ، فإنه يوفر المعرفة للمنافسة في مجتمع تكنولوجي. للمشاركة الكاملة في عالم المستقبل ، يجب على أمريكا الاستفادة من قوة الرياضيات. (المجلس النرويجي للاجئين ، 1989 ، ص 1).

البيان أعلاه لا يزال صحيحًا اليوم ، على الرغم من أنه كتب منذ ما يقرب من عشر سنوات في تقرير مجلس تعليم العلوم الرياضية (MSEB) الجميع مهم (المجلس النرويجي للاجئين ، 1989). في تصور المستقبل الذي سيتم فيه منح جميع الطلاب مثل هذه الفرص ، يقر MSEB بالدور الحاسم الذي تلعبه الصيغ والخوارزميات ، ويقترح أن المهارات الخوارزمية تكون أكثر مرونة وقوة واستمرارية عندما يأتون من مكان المعنى والفهم. يأخذ هذا المجلد كمقدمة مفادها أنه يمكن لجميع الطلاب تطوير فهم رياضي من خلال العمل مع المهام الرياضية من مكان العمل والسياقات اليومية. تقدم المقالات الواردة في هذا التقرير بعض الأسباب المنطقية لهذه الفرضية وتناقش بعض القضايا والأسئلة التالية. تسلط المهام الواردة في هذا التقرير الضوء على بعض الاحتمالات التي يوفرها مكان العمل والحياة اليومية.

يمكن أن تكون السياقات من داخل الرياضيات أيضًا مواقع قوية لتطوير الفهم الرياضي ، كما سيشهد علماء الرياضيات المحترفون والهواة. هناك العديد من المصادر الجيدة للمشكلات القهرية من داخل الرياضيات ، وسيشمل تعليم الرياضيات الواسع الخبرة في المشكلات من السياقات داخل وخارج الرياضيات. يهدف تضمين المهام في هذا المجلد إلى تسليط الضوء بشكل خاص على المشكلات الملحة التي يقع سياقها خارج الرياضيات ، وليس لاقتراح منهج دراسي.

كلمة المنطوق في المقدمة أعلاه هي "يمكن". الفهم الذي يطوره الطلاب من أي لقاء مع الرياضيات لا يعتمد فقط على السياق ، ولكن أيضًا على الخبرة والمهارات السابقة للطلاب ، وطرق تفكيرهم ، ومشاركتهم في المهمة ، والبيئة التي يستكشفون فيها المهمة ، بما في ذلك المعلم ، الطلاب ، والأدوات ، وأنواع التفاعلات التي تحدث في تلك البيئة ، ونظام الحوافز الداخلية والخارجية التي قد ترتبط بالنشاط. يعتبر التدريس والتعلم من الأنشطة المعقدة التي تعتمد على العلاقات المتبادلة المتطورة ونادرًا ما يتم التعبير عنها بين المعلمين والطلاب والمواد والأفكار. لا توجد وصفة طبية لتحسينها يمكن أن تكون بسيطة.

قد يُنظر إلى هذا المجلد بشكل مفيد على أنه إعادة صياغة وتفصيل لمبدأ تم طرحه فيه إعادة تشكيل الرياضيات المدرسية:

المبدأ 3: يجب أن تكون التطبيقات ذات الصلة جزءًا لا يتجزأ من المنهج الدراسي.

يحتاج الطلاب إلى تجربة الأفكار الرياضية في السياق الذي تنشأ فيه بشكل طبيعي و [مدش] من العد والقياس البسيط إلى التطبيقات في الأعمال والعلوم. تجعل الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر من الممكن الآن تقديم تطبيقات واقعية في جميع أنحاء المناهج الدراسية.

المعيار المهم لملاءمة تطبيق ما هو ما إذا كان لديه القدرة على إشراك اهتمامات الطلاب وتحفيز تفكيرهم الرياضي. (المجلس النرويجي للاجئين ، 1990 ، ص 38).

يمكن أن تكون المشكلات الرياضية بمثابة مصدر لتحفيز الطلاب إذا كانت المشكلات تشغل اهتمامات الطلاب وتطلعاتهم. يمكن أن تكون المشكلات الرياضية أيضًا بمثابة مصادر للمعنى والفهم إذا كانت المشكلات تحفز تفكير الطلاب. بالطبع ، ستوفر المهمة الرياضية ذات المعنى للطالب حافزًا أكثر من المهمة التي لا معنى لها. الأساس المنطقي وراء المعيار أعلاه هو أن كلا من المعنى والدافع مطلوبان. تجدر الإشارة إلى الفوائد التحفيزية التي يمكن أن يوفرها مكان العمل والمشكلات اليومية ، لأنه على الرغم من أن بعض الطلاب يدركون أن بعض دورات الرياضيات ضرورية للدخول في مسارات وظيفية معينة ، فإن العديد من الطلاب لا يدركون كيفية حل المشكلات أو الموضوعات الخاصة. المناهج سيكون لها صلة في أي مكان عمل. لا تكمن قوة استخدام مشاكل مكان العمل والحياة اليومية في تدريس الرياضيات في الحافز ، ومع ذلك ، دون أي عوائق.

النص في حد ذاته سيحفز جميع الطلاب. تكمن القوة الحقيقية في الاتصال بتفكير الطلاب.

هناك أدلة متزايدة في الأدبيات على أن المناهج التي تركز على المشكلة و mdash بما في ذلك السياقات الرياضية أو سياقات "العالم الحقيقي" أو كليهما و [مدش] يمكن أن تعزز تعلم كل من المهارات والمفاهيم. في إحدى الدراسات المقارنة ، على سبيل المثال ، مع مناهج المدرسة الثانوية التي تضمنت مواقف مشكلة تطبيقية غنية ، سجل الطلاب درجات أفضل إلى حد ما من مقارنة الطلاب في الإجراءات الجبرية وأفضل بشكل ملحوظ في المهام المفاهيمية وحل المشكلات (Schoen & amp Ziebarth ، 1998). تم التحقق من هذه النتيجة من خلال المقابلات المستندة إلى المهام. لا تقتصر الدراسات التي تظهر الأداء المتفوق للطلاب في الفصول الدراسية التي تركز على المشكلات على المدارس الثانوية. وجد Wood and Sellers (1996) ، على سبيل المثال ، نتائج مماثلة مع طلاب الصف الثاني والثالث.

يبدو أن البحث مع المتعلمين البالغين يشير إلى أن "اختلاف السياقات (بالإضافة إلى نهج المهمة بالكامل) يميل إلى تشجيع تطوير الفهم العام بطريقة تركز على التطبيقات الروتينية المتكررة للخوارزميات لا ولا يمكن" (Str & aumlsser، Barr، إيفانز ، وأمبير وولف ، 1991 ، ص 163). يتوافق هذا الاستنتاج مع الفكرة القائلة بأن استخدام مجموعة متنوعة من السياقات يمكن أن يزيد من فرصة الطلاب في إظهار ما يعرفونه. من خلال زيادة عدد الروابط المحتملة للمعارف والخبرات المتنوعة للطلاب ، فإن المزيد من الطلاب لديهم فرص للتفوق ، وهذا يعني أن الفرضية المذكورة أعلاه يمكن أن تعزز المساواة في تعليم الرياضيات.

هناك أيضًا أدلة على أن تعلم الرياضيات من خلال التطبيقات يمكن أن يؤدي إلى إنجاز استثنائي. على سبيل المثال ، مع منهج يركز على النمذجة والتطبيقات ، قدم طلاب المدارس الثانوية في مدرسة نورث كارولينا للعلوم والرياضيات أوراقًا فائزة مرارًا وتكرارًا في مسابقة الكلية السنوية ، مسابقة الرياضيات في النمذجة (كرونين ، 1988 ميلر ، 1995).

العلاقات بين المعلمين والطلاب والمواد المنهجية والأساليب التربوية معقدة. ومع ذلك ، فإن الأدبيات تدعم الفرضية القائلة بأن مكان العمل والمشاكل اليومية علبة تعزيز التعلم الرياضي ، ويقترح أنه إذا انخرط الطلاب في التفكير الرياضي ، فسيتم منحهم فرصًا لبناء الروابط ، وبالتالي المعنى والفهم.

في المقالة الافتتاحية ، يجادل ديل بارنيل بأن التدريس التقليدي قد فقد فرصًا للصلات: بين الموضوع والسياق ، بين التعليم الأكاديمي والمهني ، بين المدرسة والحياة ، بين المعرفة والتطبيق ، وبين التخصصات الموضوعية. يقترح أن التدريس يجب أن يتغير إذا كان المزيد من الطلاب يتعلمون الرياضيات. السؤال ، إذن ، هو كيفية استغلال الفرص للصلات بين رياضيات المدرسة الثانوية ومكان العمل والحياة اليومية.

يوضح Rol Fessenden على سبيل المثال أهمية الرياضيات في الأعمال التجارية ، وتحديدًا في اتخاذ قرارات التسويق. يفتتح مقالته بحوار بين موظفي شركة تنوي توسيع أعمالها إلى

ثم تتابع اليابان للإشارة إلى العديد من استخدامات الرياضيات ، وجمع البيانات ، والتحليل ، والحكم غير الرياضي المطلوبة في اتخاذ مثل هذه القرارات التجارية.

في مقالته ، يقترح توماس بيلي أن التعليم المهني والأكاديمي قد يستفيد من التكامل ، ويستشهد بالعديد من الاتجاهات لدعم هذا الاقتراح: التغيير وعدم اليقين في مكان العمل ، والحاجة المتزايدة للعمال لفهم الأسس المفاهيمية للمواد الأكاديمية الرئيسية ، و اتجاه في علم أصول التدريس نحو مشاريع تعاونية مفتوحة النهاية. علاوة على ذلك ، يلاحظ أن تجارب المدرسة إلى العمل ، التي كانت مخصصة في البداية للطلاب الذين لم يخططوا للالتحاق بكلية مدتها أربع سنوات ، يُنظر إليها بشكل متزايد على أنها مفيدة في إعداد الطلاب لمثل هذه الكليات. يناقش العديد من هذه البرامج التي تستخدم التطبيقات المتعلقة بالعمل لتعليم المهارات الأكاديمية وإعداد الطلاب للكلية. ويجادل بأن تكامل التعليم الأكاديمي والمهني يمكن أن يخدم الأهداف المزدوجة المتمثلة في "إرساء المعايير الأكاديمية في السياق الواقعي لمتطلبات مكان العمل وتقديم رؤية أوسع للفائدة المحتملة للمهارات الأكاديمية حتى بالنسبة للعاملين في المستوى المبتدئ".

في إشارة إلى أهمية وفائدة الرياضيات للوظائف في العلوم والصحة والأعمال ، يجادل جان تايلور في التركيز المستمر في المدرسة الثانوية على موضوعات مثل الجبر والتقدير وعلم المثلثات. تقترح أن مكان العمل والمشاكل اليومية يمكن أن تكون طرقًا مفيدة لتدريس هذه الأفكار الكل الطلاب.

هناك العديد من أنواع أماكن العمل المختلفة بحيث لا يمكن تمثيل معظمها في الفصول الدراسية. علاوة على ذلك ، يتطلب حل مشاكل الرياضيات من بعض سياقات مكان العمل معرفة سياقية أكثر مما هو معقول عندما يكون الهدف هو تعلم الرياضيات. (يتطلب حل بعض المشكلات الأخرى في مكان العمل معرفة رياضية أكثر مما هو معقول في المدرسة الثانوية.) وبالتالي ، يجب اختيار السياقات بعناية لفرصها في تكوين المعنى. ولكن بالنسبة للطلاب الذين لديهم معرفة بمكان العمل ، هناك فرص للارتباطات الرياضية أيضًا. يصف دانيال شازان وساندرا كاليس بيثيل في مقالهما نهجًا يخلق مثل هذه الفرص للطلاب في دورة الجبر لطلاب الصف العاشر إلى الثاني عشر ، والذين حمل الكثير منهم معهم "عبئًا ثقيلًا من التجارب السلبية" حول الرياضيات. نظرًا لأن منهج الجبر 1 التقليدي كان غير ناجح للغاية مع هؤلاء الطلاب ، اختار شازان وبيثل القيام بشيء مختلف. كان أحد الأهداف هو مساعدة الطلاب على رؤية الرياضيات في العالم من حولهم. بمساعدة رعاة المجتمع ، طلب تشازين وبيثل من الطلاب البحث عن الرياضيات في مكان العمل ثم وصف هذه الرياضيات وتطبيقاتها لزملائهم في الفصل.

تكمل المهام الواردة في الجزء الأول النقاط الواردة في المقالات من خلال إجراء اتصالات مباشرة بمكان العمل والحياة اليومية. مكالمات الطوارئ (ص 42) يوضح بعض الاحتمالات لتحليل البيانات وتمثيلها من خلال مناقشة أوقات الاستجابة لشركتي سيارات إسعاف. تقديرات ظهر المغلف (ص 45) يبين مدى سرعة التقديرات والحسابات التقريبية

مفيدة في اتخاذ القرارات التجارية. جدولة المصاعد (ص 49) يوضح كيف يمكن الجمع بين بعض الافتراضات المبسطة وبعض التفكير الدقيق لفهم المشكلة الصعبة المتمثلة في الجدولة المثلى للمصاعد في مبنى مكتب كبير. أخيرًا ، في سياق مناقشة مع عميل لشركة استشارات في مجال الطاقة ، أيام درجة التسخين (ص 54) يضيء الرياضيات وراء نموذج شائع لاستهلاك الطاقة في التدفئة المنزلية.

مراجع

كرونين ، تي ب. (1988). طلاب المدارس الثانوية يفوزون بمسابقة "الكلية". الاتحاد: النشرة الإخبارية لاتحاد الرياضيات وتطبيقاتها, 26, 3, 12.

ميلر ، دي إي (1995). نورث كارولينا تكتسح مليون متر مكعب من 94.أخبار سيام, 28 (2).

المجلس الوطني للبحوث. (1989). الجميع مهم: تقرير للأمة حول مستقبل تعليم الرياضيات. واشنطن العاصمة: مطبعة الأكاديمية الوطنية.

المجلس الوطني للبحوث. (1990). إعادة تشكيل الرياضيات المدرسية: فلسفة وإطار للمناهج. واشنطن العاصمة: مطبعة الأكاديمية الوطنية.

Schoen، H.L & amp Ziebarth، S. W. (1998). تقويم الأداء الرياضي للطلاب (تقرير تقدم الاختبار الميداني لمشروع Core-Plus للرياضيات). مدينة أيوا: موقع تقييم مشروع Core Plus للرياضيات ، جامعة أيوا.

Str & aumlsser، R.، Barr، G. Evans، J. & amp Wolf، A. (1991). المهارات مقابل الفهم. في م. هاريس (محرر) ، المدارس والرياضيات والعمل (ص 158-168). لندن: مطبعة فالمر.

Wood، T. & amp Sellers، P. (1996). تقييم برنامج الرياضيات المتمحور حول المشكلة: الصف الثالث. مجلة للبحوث في تعليم الرياضيات, 27(3), 337-353.

1 و [مدش]الرياضيات كبوابة لنجاح الطالب

تعتبر دراسة الرياضيات ، من نواح كثيرة ، بوابة لنجاح الطالب في التعليم. أصبح هذا صحيحًا بشكل خاص حيث ينتقل مجتمعنا بلا هوادة إلى العصر التكنولوجي. لذلك ، من الضروري أن يطور المزيد من الطلاب مستويات أعلى من الكفاءة في الرياضيات. 1

يجب أن تكون المعايير والتوقعات للطلاب عالية ، لكن هذا ليس سوى نصف المعادلة. النصف الأكثر أهمية هو تطوير تقنيات وأساليب التدريس التي ستساعد جميع الطلاب (وليس بعض الطلاب فقط) على الوصول إلى تلك التوقعات والمعايير الأعلى. سيتطلب هذا بعض التغييرات في كيفية تدريس الرياضيات.

يجب أن يعطي التعليم الفعال تركيزًا واضحًا على ربط سياق الحياة الواقعية بمحتوى المادة الدراسية للطالب ، وهذا يتطلب برنامج رياضيات "متصل" بشكل أكبر. في العديد من الفصول الدراسية اليوم ، وخاصة في المدارس الثانوية والكليات ، يعد التدريس مسألة وضع الطلاب في الفصول الدراسية التي تحمل علامة "اللغة الإنجليزية" أو "التاريخ" أو "الرياضيات" ، ثم محاولة ملء رؤوسهم بالحقائق من خلال المحاضرات والكتب المدرسية وما شابه ذلك. بصرف النظر عن معمل أو كتاب عمل أو "مشكلة قصة" ، عنصر التعليم والتعلم السياقي غائب ، ويتم بذل محاولة قليلة لربط ما يتعلمه الطلاب بالعالم الذي يُتوقع منهم أن يعملوا ويقضوا فيه حياتهم.

المعلومات المقدمة للطلاب قليلة الاستخدام أو التطبيق باستثناء اجتياز الاختبار.

ما نقوم به في معظم الفصول الدراسية التقليدية هو مطالبة الطلاب بتخصيص أجزاء من المعرفة في الذاكرة بمعزل عن أي تطبيق عملي و mdash ليأخذوا كلمتنا ببساطة بأنهم "قد يحتاجون إليها لاحقًا". بالنسبة للعديد من الطلاب ، لا تصل كلمة "لاحقًا" أبدًا. قد يسمى هذا بطريقة التجميد في التدريس والتعلم. في الواقع ، نحن نوزع المعلومات على طلابنا ونقول ، "فقط ضع هذا في المجمد العقلي الخاص بك ، يمكنك إذابته لاحقًا إذا احتجت إليه." باستثناء أقلية من الطلاب الذين يجيدون إتقان الأفكار المجردة مع القليل من الخبرة السياقية ، لا يشتري الطلاب هذا العرض. ترى الغالبية المهملة من الطلاب القليل من المعنى الشخصي فيما يُطلب منهم تعلمه ، وهم لا يتعلمونه.

لقد أتيحت لي الفرصة مؤخرًا لإجراء مقابلة مع 75 طالبًا يمثلون سبع مدارس ثانوية مختلفة في الشمال الغربي. في جميع الحالات تقريبًا ، كان الطلاب صغارًا تم تحديدهم على أنهم طلاب تعليم مهني أو تعليم عام. يبرز تعليق أحد الطلاب كممثل لما قاله لي معظم هؤلاء الطلاب بطريقة أو بأخرى: "أعلم أن الأمر متروك لي للحصول على التعليم ، ولكن في كثير من الأحيان تكون المدرسة مملة ومملة للغاية. اذهب إلى هذا الفصل ، اذهب إلى ذلك الفصل ، وادرس القليل من هذا والقليل من ذلك ، ولا شيء يربط. & hellip أود حقًا أن أفهم وأعرف التطبيق الخاص بما أتعلمه. " كان الطلاب يتساءلون مرارًا وتكرارًا ، "لماذا علي أن أتعلم هذا؟" مع بعض الإجابات المعقولة القادمة من المعلمين.

تؤكد خبرتي الطويلة كرئيس لكلية مجتمع أفكار هؤلاء الطلاب. في معظم كليات المجتمع اليوم ، يتم تسجيل ثلث إلى نصف الطلاب الملتحقين بالتعليم التنموي (العلاجي) ، في محاولة لتعويض ما لم يتعلموه في تجارب التعليم السابقة.تأتي الغالبية العظمى من هؤلاء الطلاب إلى كلية المجتمع بمهارات وقدرات رياضية محدودة لا تكاد تتجاوز جمع وطرح وضرب الأعداد الصحيحة. بالإضافة إلى ذلك ، تظهر الحاجة إلى الإصلاح أيضًا ، بدرجات متفاوتة ، في الكليات والجامعات ذات الأربع سنوات.

ما هي أعظم خطيئة ارتكبت في تدريس الرياضيات اليوم؟ إنه الفشل في مساعدة الطلاب على استخدام القوة الرائعة للدماغ لإجراء اتصالات بين ما يلي:

  • محتوى الموضوع وسياق الاستخدام
  • التعليم الأكاديمي والمهني
  • المدرسة وخبرات الحياة الأخرى
  • المعرفة وتطبيق المعرفة و
  • تخصص واحد موضوع وآخر.

لماذا هذا الفشل بالغ الأهمية؟ لأن فهم فكرة إقامة صلة بين محتوى الموضوع وسياق التطبيق

هو ما يحتاجه الطلاب ، في جميع مستويات التعليم ، بشدة للبقاء والنجاح في عالمنا عالي السرعة وعالي التحدي والمتغير بسرعة.

يمكن لواضعي السياسات والقادة التربويين إصدار مجموعات من أوراق المواقف في أيام الدراسة وسنواتها الأطول ، والإدارة القائمة على الموقع ، والمزيد من اختبارات الإنجاز وممارسات التقييم الأفضل ، وغيرها من الموضوعات "الساخنة" في الوقت الحالي ، ولكن مثل هذه الأوراق وحدها لن تجعل الأمور حاسمة الاختلاف في ما يعرفه الطلاب وما يمكنهم فعله. سيحدث الاختلاف عندما يبدأ مدرسو الفصل في ربط التعلم بتجارب الحياة الواقعية بطرق جديدة وتطبيقية ، وعندما يبدأ إصلاحي التعليم في التركيز على التعلم من أجل المعنى.

يمكن للطالب حفظ الصيغ لتحديد مساحة السطح وقياس الزوايا واستخدام تلك الصيغ بشكل صحيح في الاختبار ، وبالتالي تحقيق الأهداف السلوكية التي حددها المعلم. ولكن عند مواجهة الحاجة إلى تشييد مبنى أو إصلاح سيارة ، قد يُترك نفس الطالب في البحر لأنه لم يربط بين الصيغ وتطبيقها الواقعي. عندما يُطلب من الطلاب التفكير في نظرية فيثاغورس ، لماذا لا تجعل الدرس نشطًا ، حيث يضع الطلاب أساسًا لمبنى صغير مثل سقيفة التخزين؟

ما هو الفرق الذي يمكن أن يحدثه تعليم الرياضيات للطلاب إذا كان للتأكيد على سياق التطبيق و mdashas وكذلك محتوى المعرفة و mdash باستخدام نموذج حل المشكلات على نموذج المجمد. سيساعد التدريس الذي يتم إجراؤه على النموذج المتصل المزيد من الطلاب على التعلم من خلال عقولهم المفكرة ، وكذلك مع عقل الذاكرة لديهم ، وتطوير الكفاءات والأدوات التي يحتاجون إليها للبقاء والنجاح في مجتمعنا المعقد والمترابط.

تتمثل إحدى الخطوات نحو هذا الهدف في تطوير المهام الرياضية التي تدمج محتوى الموضوع مع سياق التطبيق والتي تهدف إلى إعداد الأفراد لعالم العمل وكذلك للتعليم ما بعد الثانوي. نظرًا لأن العديد من معلمي الرياضيات لديهم خبرة محدودة في مكان العمل ، فإنهم يحتاجون إلى العديد من الأمثلة الجيدة لكيفية تطبيق معرفة الرياضيات على مواقف الحياة الحقيقية. تتمثل الحيلة في تطوير المهام الرياضية لاستخدامها في الفصول الدراسية في الحفاظ على ارتباط المهام بمواقف الحياة الواقعية التي سيتعرف عليها الطالب. لا ينبغي أن تكون المهام مجرد تمرين مفتعل ولكن يجب أن تظل قريبة من حل المشكلات الشائعة قدر الإمكان.

كمثال ، لماذا لا تطلب من الطلاب حساب تكلفة 12 عامًا من الدراسة في مدرسة عامة؟ من المفارقات المحزنة أنه بعد 12 عامًا من الدراسة ، ليس لدى معظم الطلاب الذين يرتادون المدارس العامة أي فكرة عن تكلفة تعليمهم أو كيف تم تمويل تعليمهم. لا عجب أن تجد بعض المدارس الحكومية صعوبة في الحصول على دعم مالي! لم يتعرض الأفراد الذين تخدمهم المدارس أبدًا لسياق الحياة الواقعي لمن يدفع مقابل المدارس ولماذا. في مكان ما على طول الخط في تدريس الرياضيات ، ضاعت فرصة التعلم الواقعية هذه ، إلى جانب العديد من الأمثلة السياقية المماثلة الأخرى.

المهام الرياضية في الرياضيات في المدرسة الثانوية في العمل تزويد الطلاب (والمعلمين) بعدد كبير من مشاكل الرياضيات الواقعية و

التحديات التي يجب مواجهتها في الحياة اليومية والعمل. يتمثل التحدي الذي يواجه المعلمين في تطوير هذه المهام بحيث ترتبط أقرب ما يمكن إلى المكان الذي يعيش فيه الطلاب ويعملون فيه كل يوم.

مراجع

بارنيل ، د. (1985). الغالبية المهملة. واشنطن العاصمة: مطبعة كلية المجتمع.

بارنيل ، د. (1995). لماذا علي أن أتعلم هذا؟ واكو ، تكساس: اتصالات كورد.

ملحوظة

لمزيد من المناقشة حول هذه القضايا ، انظر Parnell (1985 ، 1995).

دALE صارنيل أستاذ فخري بكلية التربية بجامعة ولاية أوريغون. شغل منصب أستاذ جامعي ، ورئيس كلية ، ولمدة عشر سنوات كرئيس ومدير تنفيذي للرابطة الأمريكية لكليات المجتمع. وقد عمل كمستشار لمؤسسة العلوم الوطنية وخدم في العديد من اللجان الوطنية ، مثل سكرتير لجنة العمل في تحقيق المهارات الضرورية (SCANS). هو مؤلف الكتاب الغالبية المهملة التي وفرت الأساس لبرنامج درجة الزمالة في الإعدادية التقنية الممول اتحاديًا.

2 و [مدش]إطلاق السوق

"حسنًا ، جدول أعمال الاجتماع هو مراجعة حالة إطلاقنا في اليابان. يمكنك رؤية الموضوعات والمقدمين في القائمة أمامك. جريج ، هل يمكنك البدء بمراجعة الإستراتيجية؟"

"يسعد بوب. لقد قمنا بتقييم الاحتمالات والتكاليف والعائد على الاستثمار لفتح كل من المتاجر والكتالوجات التجارية في بلدان أخرى. وقد أظهرت الأبحاث المبكرة أن كلاً من اليابان وألمانيا مرشحان جيدًا. وعلى وجه التحديد ، تُظهر البيانات تفضيلًا كبيرًا لـ سلع ذات نوعية جيدة ، وميل أعلى من المتوسط ​​لأسلوب حياة نشط في الهواء الطلق في كلا البلدين. تختلف بيانات التعليم والعمر والدخل تمامًا عن السوق المستهدف في الولايات المتحدة ، لكننا لا نعتقد أن ذلك سيكون مناسبًا لأن الثقافات مختلفة تمامًا. بالإضافة إلى ذلك ، تُظهر البيانات اليابانية أن لديهم تفضيلًا كبيرًا للأشياء الأمريكية ، وكما تعلم ، نحن شركة أمريكية كلاسيكية. التعرف على الاسم لشركتنا هو 14٪ ، أعلى بكثير من أي شركة المنافسة الأمريكية في اليابان: المنافسون الأوروبيون غير معترف بهم تقريبًا ، وينظر إلى المنافسين الآخرين من الشرق الأقصى على أنهم أقل جودة منا ، والبيانات الخاصة بهذه القضايا واضحة تمامًا.

"ومع ذلك ، يجب أن تفهم أن هناك الكثير من الأحكام المتضمنة في قرار التركيز على اليابان. التحليلات محدودة لأن الثقافات مختلفة ونتوقع دوافع سلوكية مختلفة. أيضًا ،

الكثير من البيانات التي نحتاجها في اليابان غير متوفرة ببساطة لأن السوق اليابانية أقل تطوراً مما هو عليه في بيانات ترخيص السائقين في الولايات المتحدة ، وبيانات الدخل ، وبيانات نمط الحياة ، كلها شائعة هنا وغير متوفرة هناك. هناك القليل من الاختراق المسبق في أي من البلدين من قبل تجار التجزئة الأمريكيين ، لذلك لا توجد خبرة يمكننا الاعتماد عليها. لقد سمعنا جميعًا عن مدى صعوبة فتح عمليات البيع في اليابان ، لكن اتجاهات المبيعات الأخيرة بين بائعي أجهزة الكمبيوتر ومبيعات قطع غيار السيارات تشير إلى تخفيف الصعوبات.

"الخطة هي فتح ثلاثة متاجر في السنة ، 5000 قدم مربع لكل منها. نتوقع أن نحقق 700 دولار للقدم المربع ، وهو أكثر من ضعف تجربة تجار التجزئة الأمريكيين في الولايات المتحدة ولكن أقل بنسبة 45٪ من متاجرنا. بالإضافة إلى التسعير ستكون أعلى بنسبة 20٪ لتعويض تكلفة الأراضي والمباني. وتبلغ تكاليف الأصول ضعف سعرها تقريبًا في الولايات المتحدة ، ولكن العمالة أقل قليلاً. وتغطي الحكومة الفوائد بشكل أكثر شمولاً. وبالطبع ، هناك الكثير من عدم اليقين في حجم المبيعات الذي نخطط له ، سيغطي التسعير بعض عدم اليقين ولكنه لا يزال أقل من سلع ذات جودة مماثلة معروضة بالفعل في اليابان.

"اسمح لي بالانتقال إلى المنافسة وأخبرك بما تعلمناه. لقد أنشأنا علاقات طويلة الأمد مع 500 إلى 1000 أسرة في كل بلد. وهذا مشابه لممارستنا في الولايات المتحدة. لا تعرف هذه العائلات أنها تعمل على وجه التحديد مع شركتنا ، لأن هذا قد يؤدي إلى انحراف تقاريرهم. إنهم يبقوننا على دراية بالكتالوج وتجارب التسوق ، بغض النظر عن الشركة التي يشترون منها. حجم العينة كبير بما يكفي ليكون مهمًا ، ولكن ، بالطبع ، يجب أن تكون حريصًا حول الاختلافات الصغيرة.

"تتلقى جميع العائلات الكتالوج والكتالوجات الخاصة بنا من العديد من منافسينا. وهي تتطابق مع نمط الحياة والدخل والملامح الديموغرافية للتعليم للأشخاص الذين نريد أن يكونوا عملاء. إنهم متسوقون ذوو خبرة في الكتالوج ، وهذا سيحرف ملاحظاتهم بالمقارنة للمتسوقين في الكتالوج الجدد.

"يرسل أحد المنافسين كتالوجًا واحدًا مؤلفًا من 100 صفحة كل ربع سنة. خط الإنتاج ضيق جدًا و mdash200 من المنتجات المحلية من 3000. لقد اختاروا عناصر من غير المحتمل أن تسبب مشاكل في الملاءمة: ملابس خارجية وقمصان محبوكة بشكل أساسي ، وليس العديد من السراويل ، معظمها سلع رجالية ، وليست نسائية. نسخة كتالوجهم مكتوبة بلغة كانجي ، لكن الأسلوب مبسط بعض الشيء ، قيل لنا ، ربما لأنه تمت كتابته باللغة الإنجليزية وترجمته ، لكننا بحاجة إلى اختبار هذه الفرضية. على النقيض من ذلك ، لدينا ببساطة أرسل لهم بالبريد نفس الكتالوج الذي نستخدمه في الولايات المتحدة ، حتى أنه مكتوب باللغة الإنجليزية.

"كانت ملاحظات العملاء واضحة تمامًا. فهم يفضلون تشكيلتنا الأوسع بنسبة 3: 1 ، على الرغم من أنهم لا يشترون معظم المنتجات. وكما تصور المنافسون ، تركز المبيعات على الملابس الخارجية والمحبوك ، لكننا نحصل على المزيد من المبيعات ، على ما يبدو لأنهم يحبون الاطلاع على الكتالوج وقضاء المزيد من الوقت معه. ومرة ​​أخرى ، نحتاج إلى مزيد من الاختبارات. وهناك فرضية أخرى هي أن اسم علامتنا التجارية معروف بشكل أفضل.

"من المثير للاهتمام أنهم يفضلون إصدارنا باللغة الإنجليزية لأنهم يجدون أنه من المغامرة قراءة الكتالوج بلغة أخرى. ربما يكون هذا

تحيز مضمّن في أسلوب أخذ العينات لدينا لأننا اخترنا على وجه التحديد الأشخاص الذين يتحدثون الإنجليزية. لا نتوقع أن يستمر هذا الاتجاه في المراسلات العامة.

"تتسبب اللغة الإنجليزية في معدل خطأ بنسبة 8٪ في الطلبات ، ولكن الطلبات أكبر بنسبة 25٪ ، و 4٪ أكثر تكرارًا. إذا تمكنا من جعلهم يطلبون عبر الهاتف ، فيمكننا تصحيح الأخطاء على الفور أثناء المكالمة.

"النطاق الأوسع ، كما ذكرت ، يؤدي إلى ميل أعلى بكثير للطلب ، والمزيد من الوحدات لكل طلب ، ونفس متوسط ​​تكلفة الوحدة. بالطبع ، تزداد تكاليف الورق والبريد نتيجة لكتالوج التنسيق الأكبر. من ناحية أخرى ، هناك كفاءات إنتاجية ناتجة عن استخدام نفس الإصدار مثل الكتالوج المحلي. التأثير الصافي ، حتى مع الأخذ في الاعتبار معدل الخطأ ، هو زيادة كبيرة في المبيعات. من ناحية أخرى ، في معظم الأحيان ، تسبب لنا الأخطاء في شحن عنصر خاطئ يحتاج بعد ذلك إلى إعادة إرساله بالبريد على حسابنا ، مما يخلق انطباعًا لدى العملاء بأننا لسنا منظمين بشكل جيد على الرغم من أن الخطأ الأصلي كان خطأهم.

"النقطة الأخيرة: يحتفظ العميل بالكتالوج الأكبر بمعدل 70 يومًا ، بينما يتم الاحتفاظ بالتنسيق الأصغر في المتوسط ​​لمدة 40 يومًا فقط. بافتراض أن & [مدش] نحتاج إلى اختبار هذا & [مدش] أن طول الوقت الذي يحتفظون فيه بالكتالوج يتناسب مع أحجام المبيعات ، هذه أخبار جيدة. نحن بحاجة إلى تقييم التأثير العام بعناية ، ولكن يبدو أن هناك عددًا كبيرًا من السكان الذين سيكون إصدار اللغة الإنجليزية مربحًا جدًا لهم. "

"شكرًا ، جريج ، تحديث جيد. جينيفر ، ما الذي لديك في أبحاث العملاء؟"

"بوب ، هناك الكثير الذي نحتاج إلى معرفته أكثر مما كنا قادرين على اكتشافه. لقد تعلمنا أن اليابان مدفوعة جدًا بأذواق الملابس ومفتومة بالسلع الأمريكية. نتوقع أن تصل المبيعات في البداية إلى السماء ، ثم تنخفض مثل الحجر. في وقت لاحق ، سيصل مستوى الطلب إلى مستوى مربح. تُظهر الرسوم البيانية في الصفحة 3 [الشكل 2-1] الطلب حسب الأسبوع لمدة 104 أسبوعًا ، وقمنا بتقييم عدة سيناريوهات. تُظهر جميعها نشاطًا أساسيًا جيدًا ، لكن حالة عدم اليقين في الإقلاع الأولي. تستند أفضل البيانات إلى طفرة الموضة الإيطالية التي مرت بها اليابان في أواخر الثمانينيات. وهي ليست مماثلة تمامًا لأنها كانت تدور حول الملابس بدلاً من الملابس غير الرسمية وعطلة نهاية الأسبوع. ، ومع ذلك ، أفضل المعلومات المتاحة.

الشكل 2-1: توقعات المبيعات حسب الأسبوع ، السيناريو أ

الشكل 2-2: توزيعات الحجم ، الولايات المتحدة مقابل اليابان

"ستكون فعاليتنا في تحديد موقع المخزون لهذه الزيادة الأولية أمرًا بالغ الأهمية لنجاحنا على المدى الطويل. هناك بيانات ممتازة و mdash قدمتها MITI ، ويمكنني أن أضيف & mdasht الذي يظهر أن العملاء اليابانيين يمكن أن يكونوا مخلصين بشدة للشركات التي تلبي توقعات الخدمة العالية. لهذا السبب لقد أعددنا عدة سيناريوهات. بالطبع ، إذا وضعنا مخزونًا للسيناريو المرتفع ، وتعرضنا للسيناريو المنخفض ، فسنواجه خسارة كبيرة بسبب التصفية. ومع ذلك ، ما زلنا نحلل التأثير طويل المدى. يستحق المخاطرة إذا كان عائد الاستثمار لمدة عامين 1 كافيًا.

"لدينا معلومات قوية عن مقاييس حجمها [الشكل 2-2]. 70 بالمائة منها صغيرة ومتوسطة. وبالمقارنة ، 70٪ من الأمريكيين كبار وكبار جدًا. سيكون هذا تحديًا يجب إدارته ولكنه سيوفر القليل من الدولارات قماش.

"نحن نعلم أيضًا تفضيلات الألوان الخاصة بهم ، وهم مختلفون تمامًا عن الأمريكيين. عملائنا المحليون متنوعون جدًا في أذواقهم ، لكن 80٪ من العملاء اليابانيين سيشترون لونًا أو لونين من عرض من 15. ما زلنا نبحث عن الألوان الخيارات ، لكنها تختلف اختلافًا كبيرًا بالنسبة للبنطلونات مقابل القمصان ، وللرجال مقابل النساء. نحن واثقون من أنه يمكننا العثور على أنماط ، لكننا نعلم أيضًا أنه من السهل تخمين الخطأ في هذا السوق. إذا خمننا خطأ ، فستكون تكاليف التصفية عالي جدا.

"ومع ذلك ، هناك أخبار سيئة في مقدمة الطلبات. فهم لا يحبون الطلب عبر الهاتف. & hellip"

تحليل

في هذا التبادل الموجز للغاية بين صانعي القرار ، نلاحظ استخدام العديد من المهارات ذات الأهمية الحاسمة التي تم تعلمها في الأصل في المدارس العامة. ولعل الأهم هو السؤال الذي لا يتم ذكره كثيرًا ، وهو القدرة على تحويل سؤال تجاري مهم إلى سؤال رياضي مناسب ، لحل المشكلة الرياضية ، ثم شرح الآثار المترتبة على الحل لمشكلة العمل الأصلية. هذه القدرة على العيش في نفس الوقت في عالم الأعمال والعالم الرياضي ، للترجمة بين الاثنين ، ونتيجة لذلك ، لإضفاء الوضوح على قضايا العالم الواقعي المعقدة ، لها أهمية استثنائية.

بالإضافة إلى ذلك ، فهم المشاركون في هذه المحادثة وفسروا الرسوم البيانية والجداول ، وحسابها وتقريبها وتقديرها واستيفائها واستقراءها واستخدمت المفاهيم الاحتمالية لاستخلاص استنتاجات معممة من

عينات صغيرة إلى مجموعات سكانية كبيرة ، حددت حدود تحليلاتها ، واكتشفت العلاقات ، والمتغيرات والوظائف المعترف بها والمستخدمة ، ومجموعات البيانات التي تم تحليلها ومقارنتها ، وإنشاء النماذج وتفسيرها. جانب آخر مهم جدًا من عملهم هو أنهم حددوا أسئلة إضافية ، واقترحوا طرقًا لتسليط الضوء على هذه الأسئلة من خلال تحليل إضافي.

كانت هناك قضيتان عريضتان في هذه المحادثة تتطلبان وجهات نظر رياضية. الأول هو تطوير عملية جمع البيانات وتحليلها على أنها عملية صارمة وفعالة من حيث التكلفة. ربما تضمنت 10 محللين مختلفين هاجموا المشكلة من وجهات نظر مختلفة. تتطلب العملية أيضًا تكامل التعلم الرياضي لجميع المحللين العشرة وترجمة النتائج إلى لغة الأعمال التي يمكن فهمها من قبل غير الرياضيين.

كانت القضية العامة الثانية هي أن نفهم من منظور صانعي القرار الذين كانوا يستمعون إلى العرض التقديمي أي النتائج كانت أكثر موثوقية ، والتي كانت عرضة لإعادة التفسير ، والتي كانت في الواقع أحكامًا غير مدعومة بالتحليل المناسب ، والتي كانت فرضيات تتطلب حقًا المزيد من البحث. بالإضافة إلى ذلك ، من المرجح أن يحدد رجال الأعمال هؤلاء أوجه التآزر في البحث التي لم يفكر فيها المحللون. يجب تحليل أوجه التآزر هذه لتحديد ما إذا كانت حقيقية و mdashmathemically و mdashthe. كان أكثرها وضوحا حيث قال محللو المخزون إن العملاء لا يرغبون في استخدام الهاتف لتقديم الطلبات. هذه أخبار سيئة لمحللي المبيعات الذين يعتمدون على جمع بيانات الهاتف لتصحيح الأخطاء التي تسببها مشاكل اللغة. بالطبع ، نحن بحاجة إلى مزيد من المعلومات لمعرفة حجم و [مدشور] حتى وجود و [مدش] من المشكلة.

باختصار ، يمكن اعتبار التحليلات التي سبقت الحوار مهمة رياضية في عالم الأعمال:

  • تم إجراء تحليل تكلفة عمليات المتجر والكتالوجات باستخدام بيانات من العمليات الأمريكية الحالية وربما عمليات أخرى.
  • تم تحليل أبحاث تفضيلات العملاء لتحديد التفضيلات في الجودة ونمط الحياة. لا يمكن أن يقوم خريج مدرسة ثانوية بجمع البيانات نفسها دون توجيه ، ولكن يمكن إجراء 80٪ من التحليل.
  • تم التعرف على الاختلافات الثقافية كأسباب لخطأ تحليلي. يتطلب التحليل الدقيق الحكم. بالإضافة إلى ذلك ، تم تحديد مصادر البيانات في الولايات المتحدة ، وتم العثور على مصادر قابلة للمقارنة مفقودة في اليابان. تم إجراء بحث عن تجارب أخرى مماثلة للبيع بالتجزئة ، ولكن لم يتم العثور على أي منها. من ناحية أخرى ، تم تقييم بيانات المبيعات من قطع غيار السيارات وأجهزة الكمبيوتر من حيث صلتها بالموضوع.
  • معدلات التغيير مهمة في فهم كيف تختلف المتاجر اليابانية والأمريكية. المبيعات بالقدم المربع ، الزيادات في الأسعار ،
  • تمت مقارنة تكاليف الأصول وتكاليف العمالة وما إلى ذلك بالمعايير الأمريكية لتحديد ما إذا كان المتجر الموجود في اليابان سيكون عملاً قابلاً للتطبيق.
  • تم استخدام تصنيفات أسلوب "Nielsen" لـ 1000 عائلة لجمع البيانات. تم ذكر حجم العينة وتقديرات الخطأ. تم ذكر الدوافع الرئيسية للسلوك (نمط الحياة ، الدخل ، التعليم) ، لكن هذه القائمة قد لا تكون كاملة. ما الذي يجب معرفته عن هذه العائلات للتنبؤ بسلوكهم الشرائي؟ ماذا يشمل "نمط الحياة"؟ كيف يمكننا تحديد بعض هذه المتغيرات؟
  • تم تقديم فرضية مفادها أن حجم الكتالوج وتنوع المنتج يؤديان إلى زيادة المبيعات. ما الذي نحتاج إلى معرفته لتقييم صحة هذه الفرضية؟ تم تقديم فرضية أخرى حول جودة الترجمة. ما هو الدليل على هذه الفرضية؟ هل هذا سؤال رياضي؟ قد تتناسب المبيعات أيضًا مع مقدار الوقت الذي يحتفظ فيه العميل المحتمل بالكتالوج. كيف يمكن للمرء التأكد من ذلك؟
  • على الرغم من وفرة البيانات ، لا يزال هناك الكثير من عدم اليقين بشأن ما يمكن توقعه من المبيعات خلال العامين الأولين. يمكن إجراء التحليل باستخدام بيانات حول عواقب المخزون المحتملة لاختيار السيناريو الخطأ.
  • قد يتساءل المرء عن عدم اليقين في مقاييس الحجم. ما هو الأمر الصعب في تحديد الألوان التي يفضلها اليابانيون؟ هل يمكن توقع هذه التفضيلات؟ هل سيزيد ذلك من تعقيد مهمة إدارة المخزون؟
  • هل يمكننا توقع عدد الأشخاص الذين لن يستخدموا الهواتف؟ ماذا يستخدمون بدلا من ذلك؟

كما يُرى من خلال عدسة رياضية ، يمكن لعالم الأعمال أن يكون مصدرًا ثريًا ومعقدًا وغير محدود بشكل أساسي للأسئلة الرائعة.

ملحوظة

صOL Fإسندن هو نائب الرئيس لتخطيط ومراقبة المخزون في L. L. Bean، Inc.وهو أيضًا باحث رئيسي مشارك ونائب رئيس مبادرة ولاية مين المنهجية ورئيس لجنة التخطيط الاستراتيجي. وقد عمل سابقًا في مجلس تعليم العلوم الرياضية ، وفي التحالف الوطني لتحالفات العلوم والرياضيات بالولاية (NASSMC).

3 و [مدش]دمج التعليم المهني والأكاديمي

في التعليم الثانوي ، يُنظر تقليديًا إلى التحضير للعمل مباشرة بعد المدرسة الثانوية والتحضير للتعليم ما بعد الثانوي على أنهما غير متوافقين. ينتهي الأمر بطلاب المدارس الثانوية المرتبطين بالعمل في مسارات التعليم المهني ، حيث تركز الدورات عادةً على مهارات محددة مع القليل من الاهتمام بالأسس النظرية والمفاهيمية الأساسية. 1 يتقدم الطلاب الملتزمون بالكلية من خلال الدورات الأكاديمية التقليدية القائمة على الانضباط ، حيث يتعلمون اللغة الإنجليزية والتاريخ والعلوم والرياضيات واللغات الأجنبية ، مع إشارات ضعيفة وغالبًا ما تكون مفتعلة لتطبيقات هذه المهارات في مكان العمل أو في المجتمع خارج مدرسة. من المؤكد أن العديد من المعلمين المهنيين يقومون بتدريس المفاهيم الأساسية ، ويقوم العديد من المعلمين الأكاديميين بتحفيز دروسهم بأمثلة ومراجع للعالم خارج الفصل الدراسي. لكن هذه الإثراء هي في الغالب زخرفة ، وليست محورية لمحتوى أو أصول التدريس في التعليم الثانوي.

إعادة التفكير في التعليم المهني والأكاديمي

لطالما أعطى التفكير التربوي في الولايات المتحدة الأولوية للإعداد للكلية. وبالتالي ، يُنظر إلى المسار المتميز للتعليم المهني كخيار للطلاب الذين يُعتبرون غير قادرين على النجاح في المسار الأكاديمي المرغوب فيه. كما اكتسبت البرامج المهنية سمعة طيبة

باعتبارها "أرضًا نفايات" ، فقد تم اعتبار الخلفية القوية في الدورات المهنية (خاصة إذا خفضت الاعتمادات في الدورات الأكاديمية الأساسية) تهديدًا لتطلعات الكلية لطلاب المدارس الثانوية.

وقد تعززت هذه الفكرة بشكل أكبر من خلال التقرير المؤثر للغاية لعام 1983 المعنون أمة في خطر (اللجنة الوطنية للتميز في التعليم ، 1983) ، التي شجبت النظام التعليمي الأمريكي لابتعاده عن التركيز على الموضوعات الأكاديمية الأساسية التي كانت ، وفقًا للتقرير ، أساس نظام تعليمي أمريكي ناجح سابقًا. كان يُنظر إلى الدورات المهنية على أنها تحول طلاب المدارس الثانوية عن الأنشطة الأكاديمية الأساسية. على الرغم من الأساس التجريبي المشكوك فيه لاستنتاجات التقرير ، أدت الإصلاحات اللاحقة في معظم الولايات إلى زيادة عدد الدورات الأكاديمية المطلوبة للتخرج وخفض فرص الطلاب في الالتحاق بدورات مهنية.

لطالما كان التمييز بين الطلاب المهنيين والطلاب الملتحقين بالكلية عيبًا مفاهيميًا. الغالبية العظمى من الطلاب الذين يذهبون إلى الكليات ذات الأربع سنوات تحفزهم ، على الأقل إلى حد كبير ، الأهداف المهنية. في عام 1994 ، تم منح ما يقرب من 247000 درجة بكالوريوس في إدارة الأعمال. كان هذا أقل بـ 30.000 فقط من العدد الإجمالي (277500) لعام 1994 لدرجة البكالوريوس الممنوحة في اللغة الإنجليزية والرياضيات والفلسفة والدين والعلوم الفيزيائية وتقنيات العلوم وعلوم الأحياء وعلوم الحياة والعلوم الاجتماعية والتاريخ. مجموع. علاوة على ذلك ، فإن هذه المجالات "الأكاديمية" هي أيضًا مجالات مهنية لأن العديد من الطلاب الذين يتخرجون بهذه الدرجات يعتزمون كسب عيشهم من العمل في تلك المجالات.

تتحدى العديد من الاتجاهات الاقتصادية والتكنولوجية والتعليمية الحديثة هذا التمييز الحاد بين التحضير للكلية والعمل الفوري بعد المدرسة الثانوية ، أو بشكل أكثر تحديدًا ، تتحدى الفكرة القائلة بأن الطلاب الذين يخططون للعمل بعد المدرسة الثانوية لا يحتاجون كثيرًا إلى المهارات الأكاديمية أثناء يتم تقديم أفضل خدمة للطلاب الملتحقين بالكلية من خلال التعليم المجرد مع الاتصال الضعيف فقط بعالم العمل:

  1. أولاً ، يجادل العديد من أصحاب العمل والمحللين بأنه ، بسبب التغيرات في طبيعة العمل ، قد لا تكون الأساليب التقليدية لتعليم المهارات المهنية فعالة في المستقبل. نظرًا للوتيرة المتزايدة للتغيير وعدم اليقين في مكان العمل ، سيكون الشباب أكثر استعدادًا ، حتى لوظائف مستوى الدخول وبالتأكيد للوظائف اللاحقة ، إذا كان لديهم فهم أساسي للجوانب العلمية والرياضية والاجتماعية وحتى الثقافية من العمل الذي سيفعلونه. وقد أدى ذلك إلى زيادة التركيز على دمج التعليم الأكاديمي والمهني. 2
  2. لقد تحركت وجهات النظر حول التدريس وعلم أصول التدريس بشكل متزايد نحو أسلوب تدريس أكثر انفتاحًا وتعاونًا "يركز على الطالب" أو "بنائي" يضع قدرًا كبيرًا من التركيز على جعل الطلاب يعملون معًا في مشاريع معقدة مفتوحة النهاية. يتم الآن تنفيذ استراتيجية الإصلاح هذه على نطاق واسع من خلال جهود منظمات مثل تحالف المدارس الأساسية والمركز الوطني لإعادة هيكلة التعليم والمدارس والتدريس في
  • كلية المعلمين ، ومركز البحوث التربوية في جامعة ويسكونسن في ماديسون. لم يتفاعل المدافعون عن هذا النهج كثيرًا مع المعلمين المهنيين ولم يدعوا بالتأكيد أي تركيز على إعداد طلاب المدارس الثانوية للعمل بشكل مباشر. ومع ذلك ، فإن النهج يتناسب جيدًا مع التعليم المُصلح الذي يدمج المهارات المهنية والأكاديمية من خلال تطبيقات موثوقة. توفر هذه التطبيقات فرصًا لاستكشاف والجمع بين القضايا الرياضية والعلمية والتاريخية والأدبية والاجتماعية والاقتصادية والثقافية.
  • في اتجاه ذي صلة ، يحدد القانون الفيدرالي لفرص العمل من المدرسة لعام 1994 استراتيجية تعليمية تجمع بين الإصلاحات التربوية البنائية والخبرات الموجهة في مكان العمل أو غيره من أماكن العمل. في أفضل حالاتها ، يمكن لمدرسة العمل دمج التعلم الأكاديمي والمهني من خلال الخبرات المصممة بشكل مناسب في العمل.
  • كان يُنظر في الأصل إلى تكامل التعليم المهني والأكاديمي والمبادرات التي يمولها قانون فرص العمل من المدرسة إلى العمل على أنها استراتيجيات لإعداد الطلاب للعمل بعد المدرسة الثانوية أو كلية المجتمع. أصبح بعض المعلمين وصانعي السياسات مقتنعين بأن هذه الأساليب يمكن أن تكون فعالة أيضًا في تدريس المهارات الأكاديمية وإعداد الطلاب للكلية لمدة أربع سنوات. يمكن أن يوفر تدريس المهارات الأكاديمية في سياق التطبيقات الواقعية والمعقدة من مكان العمل والمجتمع فوائد تحفيزية وقد ينقل فهمًا أعمق للمادة من خلال إظهار الطلاب كيف يتم استخدام المهارات الأكاديمية بالفعل. يمكن أيضًا تعزيز الاستبقاء من خلال منح الطلاب فرصة لتطبيق المعرفة التي يتعلمونها غالبًا في الملخص فقط. 3
  • خلال السنوات العشرين الماضية ، تراجعت الأجور الحقيقية لخريجي المدارس الثانوية وازدادت الفجوة بين الأجور التي يحصل عليها خريجو المدارس الثانوية والكليات بشكل ملحوظ. لدى البالغين الذين لم يتلقوا أي تعليم بعد المدرسة الثانوية فرصة ضئيلة للغاية لكسب ما يكفي من المال لدعم أسرة ذات نمط حياة معتدل. 4 بالنظر إلى اتجاهات الأجور هذه ، يبدو من المناسب والعادل أن يكون كل طالب في المدرسة الثانوية على الأقل مستعدًا للكلية ، حتى لو اختار البعض العمل مباشرة بعد المدرسة الثانوية.

أمثلة مبتكرة

هناك العديد من الأمثلة على البرامج التي تستخدم التطبيقات المتعلقة بالعمل لتعليم المهارات الأكاديمية ولإعداد الطلاب للكلية. يتمثل أحد الأساليب في تنظيم برامج المدارس الثانوية حول مجالات صناعية أو مهنية واسعة ، مثل الصحة أو الزراعة أو الضيافة أو التصنيع أو النقل أو الفنون. توفر هذه المجالات الواسعة العديد من الفرص لمناهج واسعة النطاق في جميع التخصصات الأكاديمية. كما أنها توفر فرصًا للعمل التعاوني بين المعلمين من مختلف التخصصات. لا يزال من الممكن تدريس مهارات محددة بهذا الشكل ولكن بطريقة تحفز الموضوعات الأكاديمية والنظرية الأوسع. يمكن الآن العثور على برامج مبتكرة في العديد من البرامج المهنية

المدارس الثانوية في المدن الكبيرة ، مثل مدرسة الطيران الثانوية في مدينة نيويورك والمدرسة الثانوية للعلوم والتكنولوجيا الزراعية في شيكاغو. نظمت مدارس أخرى مدارس داخل المدارس على أساس مجالات صناعية واسعة.

استخدمت الأنشطة القائمة على الزراعة ، مثل 4H و Future Farmers of America ، لسنوات عديدة ، بيئة المزرعة واهتمام الطلاب بالزراعة لتعليم مجموعة متنوعة من المهارات. لا يتطلب الأمر سوى القليل من الخيال للتفكير في كيفية استخدام الأسس الاجتماعية والاقتصادية والعلمية للزراعة لتحفيز وتوضيح المهارات والمعرفة من جميع التخصصات الأكاديمية. تستخدم العديد من المدارس الآن برامج التدريب الداخلي والمشاريع القائمة على أنشطة الأعمال المحلية كأدوات تعليمية. أحد الأمثلة من بين العديد هو البرنامج المتكامل الذي تقدمه مدرسة توماس جيفرسون الثانوية للعلوم والتكنولوجيا في فرجينيا ، والذي يربط بين علم الأحياء واللغة الإنجليزية والتكنولوجيا من خلال منتدى القضايا البيئية. يعمل الطلاب كشركاء مع مديري الموارد في Mason Neck National Wildlife Refuge و Mason Neck State Park لجمع البيانات ومراقبة الأنشطة اليومية لمختلف الأنواع التي تعيش في المنطقة. يبحثون في الأدبيات الحالية لتأسيس فرضية تتعلق بمشكلة في العالم الحقيقي ، وتصميم تجربة لاختبار فرضيتهم ، وإجراء التجربة ، وجمع البيانات وتحليلها ، واستخلاص النتائج ، وإنتاج مستند مكتوب ينقل نتائج التجربة. يتحمل الطلاب أيضًا مسؤولية تحديد المعلومات والموارد المطلوبة وكيفية الوصول إليها. تضمنت المشاريع الطلابية وضع خطط لبرامج التعليم العام التي تتناول المسائل البيئية ، وإيجاد حلول للمشاكل الناجمة عن التعدي على تنمية الأراضي ، وتقديم اقتراحات حول كيفية التعامل مع وفرة الغزلان في المنطقة.

تشير هذه الأمثلة إلى الإمكانات التي يمكن أن يوفرها تعليم أكثر تكاملاً لجميع الطلاب. وبالتالي ، فإن الاستمرار في الحفاظ على تمييز حاد بين التعليم المهني والتعليم الأكاديمي في المدرسة الثانوية لا يخدم مصالح العديد من الطلاب الذين يتوجهون إلى كلية مدتها أربع سنوات أو سنتان أو أولئك الذين يتوقعون العمل بعد المدرسة الثانوية. سيكون الطلاب الملتزمون بالعمل مستعدين بشكل أفضل للعمل إذا كانت لديهم مهارات أكاديمية أقوى ، ويعتبر المنهج عالي الجودة الذي يدمج التعلم القائم على المدرسة في تطبيقات العمل والمجتمع طريقة فعالة لتعليم المهارات الأكاديمية للعديد من الطلاب.

على الرغم من الأمثلة العديدة للمبادرات المبتكرة التي توحي بإمكانية رؤية متكاملة ، فإن إرث الازدواجية بين التعليم المهني والأكاديمي والوضع المتدني للدراسات المتعلقة بالعمل في المدرسة الثانوية يستمر في التأثير على إصلاح التعليم والتعليم. بشكل عام ، لا يزال ينظر إلى البرامج التي تنحرف عن التنظيم والشكل التقليدي للإعداد للكلية بشك من قبل الآباء والمعلمين الذين يركزون على الكلية التي تستغرق أربع سنوات. في الواقع ، لا تزال ممارسات القبول بالجامعات تفضل إلى حد كبير الأساليب التقليدية. الدورات متعددة التخصصات ، والدورات "التطبيقية" ، والتدريب الداخلي ، وأنواع أخرى من الخبرة العملية التي تميز استراتيجية المدرسة إلى العمل أو البرامج التي تدمج التعليم الأكاديمي والمهني في كثير من الأحيان لا تتناسب بشكل جيد مع متطلبات القبول في الكلية.

الانضمام إلى العمل والتعلم

ما الآثار المترتبة على ذلك بالنسبة لمعايير الرياضيات التي وضعها المجلس الوطني لمدرسي الرياضيات (NCTM)؟ يجب أن يكون المبدأ العام هو محاولة تصميم معايير تتحدى التمييز بين التعليم المهني والتعليم الأكاديمي بدلاً من تعزيزه. يحتاج المعلمون الأكاديميون للرياضيات وأولئك الذين يعملون على وضع المعايير الأكاديمية إلى الاستمرار في محاولة فهم استخدام الرياضيات في مكان العمل وفي الحياة اليومية. من شأن مثل هذه الفهمات أن تقدم رؤى يمكن أن تقترح إصلاح المناهج التقليدية ، لكنها ستوفر أيضًا أساسًا أفضل لتدريس الرياضيات باستخدام تطبيقات واقعية. الأمثلة في هذا المجلد مفيدة بشكل خاص لأنها تشير إلى أهمية حل المشكلات والمنطق والخيال وتبين أن هذه كلها أجزاء مهمة من التطبيقات الرياضية في إعدادات العمل الواقعية. لكن هذه مجرد بداية.

من أجل تطوير هذا النهج ، سيكون من المفيد أن يعمل مؤلفو معايير NCTM بشكل وثيق مع المجموعات التي تضع معايير الصناعة. 5 سيسمح هذا لكلا الفريقين بتطوير فهم أعمق لمحتوى الرياضيات في العمل.

تتضمن معايير مناهج NCTM للصفوف 9-12 كلاً من المعايير الأساسية لجميع الطلاب ومعايير إضافية للطلاب "الراغبين في الكلية". تشير الحجة المقدمة في هذا المقال إلى أن NCTM يجب أن تستغني عن التمييز بين الطلاب الراغبين في الكلية وغير الراغبين في الدراسة. توفر معظم المعايير الإضافية ، المخصصة فقط للطلاب "الراغبين في الكلية" ، خلفية ضرورية أو مفيدة لتسلسل حساب التفاضل والتكامل. قد يكون من المناسب إعادة تقييم دور حساب التفاضل والتكامل في المناهج الدراسية بالمدرسة الثانوية ، ولكن لا ينبغي أن يكون حساب التفاضل والتكامل بمثابة إسفين لفصل الطلاب الملتحقين بالكلية عن الطلاب غير الملتحقين بالكلية. من الواضح أن بعض طلاب المدارس الثانوية سيأخذون حساب التفاضل والتكامل ، على الرغم من أن العديد من الطلاب الملتحقين بالكلية لن يأخذوا حساب التفاضل والتكامل سواء في المدرسة الثانوية أو في الكلية. وبالتالي ، من الناحية العملية ، فإن حساب التفاضل والتكامل ليس خاصية تميز بين أولئك الذين يتوجهون إلى الكلية أو لا يتجهون إليها. ربما قد يتم تقديم معايير لمجموعة متنوعة من الخيارات خارج الجوهر. يجب وضع معايير الرياضيات لتشجيع مهارات أقوى لجميع الطلاب ولتوضيح قوة وفائدة الرياضيات في العديد من الأماكن. لا ينبغي استخدامها لإضفاء الطابع المؤسسي على الفروق المشكوك فيها بين مجموعات الطلاب.

مراجع

Bailey، T. & amp Merritt، D. (1997).من المدرسة إلى العمل للالتحاق بالكلية. بيركلي ، كاليفورنيا: المركز الوطني للبحوث في التعليم المهني.

هوشلاندر ، جي. (1997). تنظيم تعليم الرياضيات حول العمل. في ستين (محرر) ، لماذا تحسب الأرقام: معرفة القراءة والكتابة الكمية لأمريكا الغد، (ص 122-136). نيويورك: مجلس امتحان دخول الكلية.

Levy، F. & amp Murnane، R. (1992). مستويات الأرباح والتفاوت في الأرباح في الولايات المتحدة: مراجعة للاتجاهات الحديثة والتفسيرات المقترحة. مجلة الأدب الاقتصادي, 30, 1333-1381.

اللجنة الوطنية للتميز التربوي. (1983). أمة في خطر: ضرورة الإصلاح التربوي. واشنطن العاصمة: المؤلف.

تلاحظ

تم تشكيل التعليم المهني من خلال التشريع الفيدرالي منذ صدور أول قانون للتعليم المهني في عام 1917. وفقًا للتشريع الحالي ، قانون كارل دي بيركنز للتعليم المهني والتقني لعام 1990 ، الطلاب المهنيون هم أولئك الذين لا يتجهون للحصول على درجة البكالوريا ، لذلك يشملون كلا من الطلاب الذين يتوقعون العمل مباشرة بعد المدرسة الثانوية وكذلك الطلاب الذين يتوقعون الذهاب إلى كلية المجتمع.

تشكل وجهة النظر هذه أساس الإصلاحات المنصوص عليها في إعادة ترخيص قانون كارل بيركنز للتعليم المهني والتقني (VATEA) لعام 1990. روجت VATEA أيضًا لبرنامج أطلق عليه اسم "التكنولوجيا الإعدادية" ، والذي أنشأ مفاصل رسمية بين مناهج المدارس الثانوية وكليات المجتمع.

تمت مراجعة هذه الحجة في Bailey & amp Merritt (1997). للحصول على حجة حول كيفية تنظيم التعليم حول موضوعات عمل واسعة يمكن أن تعزز التعلم في الرياضيات ، انظر Hoachlander (1997).

تمت مراجعة بيانات الأجور هذه في Levy & amp Murnane (1992).

أهداف عام 2000: قانون تعليم أمريكا ، على سبيل المثال ، أنشأ المجلس الوطني لمعايير المهارات في عام 1994 ليكون بمثابة محفز في تطوير نظام وطني طوعي لمعايير المهارات والتقييمات والشهادات للأعمال والصناعة.

تيهومس بايلي أستاذ مشارك في تعليم الاقتصاد بكلية المعلمين بجامعة كولومبيا. وهو أيضًا مدير معهد التعليم والاقتصاد ومدير مركز أبحاث كلية المجتمع ، وكلاهما في كلية المعلمين. كما أنه عضو في مجلس إدارة المركز الوطني للبحوث في التعليم المهني.

4 و [مدش]أهمية مكان العمل والرياضيات اليومية

لعقود من الزمن ، كان مجتمعنا الصناعي قائمًا على الوقود الأحفوري. في مجتمع المعرفة اليوم ، الرياضيات هي الطاقة التي تحرك النظام. على حد تعبير المسلسل التلفزيوني WQED الجديد ، الحياة بالأرقام، لخلق المعرفة نحن "نحرق الرياضيات". الرياضيات أكثر من مجرد أداة ثابتة تُطبق بطرق معروفة. تقنيات وتحليلات رياضية جديدة وحتى الأطر المفاهيمية مطلوبة باستمرار في الاقتصاد ، والتمويل ، وعلم المواد ، والفيزياء ، وعلم الأحياء ، والطب.

مثلما تقوم جميع المهن العلمية والصحية على أسس حسابية ، فكذلك العديد من المهن الأخرى. أصبح التفاعل مع أجهزة الكمبيوتر جزءًا من المزيد والمزيد من الوظائف ، كما أن المهارات التحليلية الجيدة تعزز استخدام الكمبيوتر واستكشاف الأخطاء وإصلاحها. بالإضافة إلى ذلك ، تتطلب جميع مستويات الإدارة والعديد من المناصب الداعمة في الأعمال والصناعة بعض الفهم الرياضي ، بما في ذلك القدرة على قراءة الرسوم البيانية وتفسير المعلومات الأخرى المقدمة بصريًا ، لاستخدام التقدير بشكل فعال ، وتطبيق التفكير الرياضي.

ما الذي يجب أن يتعلمه الطلاب لعالم اليوم؟

يعد تعليم الرياضيات والقدرة على إيصال تنبؤاته أكثر أهمية من أي وقت مضى للانتقال من الوظائف منخفضة الأجر إلى الوظائف ذات الأجور الأفضل. على سبيل المثال ، صحيفتي المحلية ، اوقات ترينتون، كان قسم "التركيز

في الوظائف "في 5 تشرين الأول (أكتوبر) 1997 ، حيث كانت غالبية الإعلانات تخص وظائف ذات تقنية عالية (أكثر بكثير من وظائف المبيعات والتسويق ، على سبيل المثال).

ولكن ما هي بالضبط الرياضيات التي يجب أن يتعلمها الطلاب في المدرسة؟ يناقش علماء الرياضيات ومعلمو الرياضيات هذا السؤال منذ عقود. يقدم هذا المقال بعض الأفكار حول ثلاثة مجالات من الرياضيات و mdashestimation وعلم المثلثات والجبر و mdas ومن ثم بعض الأفكار حول التدريس والتعلم.

يعد التقدير من أصعب المهارات التي يجب على الطلاب تعلمها ، حتى لو واجهوا صعوبة قليلة نسبيًا في الجوانب الأخرى للرياضيات. يفكر العديد من الطلاب في الرياضيات على أنها مجموعة من القواعد الدقيقة التي تقدم إجابات دقيقة ولا يشعرون بالارتياح تجاه فكرة الإجابات غير الدقيقة ، خاصة عندما تعتمد درجة الدقة في التقدير على السياق ولا يتم تقديمها بحد ذاتها بواسطة قاعدة. ومع ذلك ، من المهم جدًا أن تكون قادرًا على الحصول على إحساس تقريبي بالحجم الذي يجب أن تكون عليه الإجابة ، كطريقة للحصول على فحص تقريبي لدقة عملية حسابية (لقد استخدمتها شخصيًا في المتاجر لاكتشاف أنني تم تحصيل الرسوم مرتين لنفس العنصر ، وكذلك في كثير من الأحيان في عملي الرياضي الخاص) ، أو تقدير الجدوى ، أو كتقدير للنصائح.

يلعب علم المثلثات دورًا مهمًا في العلوم ويمكن أن يساعدنا في فهم الظواهر في الحياة اليومية. غالبًا ما يتم تقديمه كدراسة لقياس المثلث ، ويمكن استخدام علم المثلثات للمسح ولتحديد ارتفاعات الأشجار ، لكن فائدته تمتد إلى ما هو أبعد من هذه التطبيقات المثلثية. يمكن للطلاب تجربة قوة الرياضيات باستخدام الجيب وجيب التمام لنمذجة الظواهر الدورية مثل الالتفاف حول الدائرة والدخول والخروج مع المد والجزر ومراقبة درجة الحرارة أو مكونات الضباب الدخاني المتغيرة على مدار 24 ساعة أو ركوب المفترس - السكان الرمادي.

لا يوجد معلم يجادل بأهمية الجبر للطلاب الذين يهدفون إلى الحصول على وظائف قائمة على الرياضيات بسبب الأساس الذي يوفره للتعليم الأكثر تخصصًا الذي سيحتاجون إليه لاحقًا. ومع ذلك ، فإن الجبر مهم أيضًا لأولئك الطلاب الذين لا يطمحون حاليًا إلى وظائف قائمة على الرياضيات ، ويرجع ذلك جزئيًا إلى أن الافتقار إلى المهارات الجبرية يضع حدًا أعلى لأنواع المهن التي يمكن للطالب أن يطمح إليها. يقدم زعيم الحقوق المدنية السابق روبرت موسيس حالة جيدة لكل طالب يتعلم الجبر ، كوسيلة لتمكين الطلاب وتوفير الأهداف والمهارات والفرص. تم تطبيق نفس الفكرة لتعلم التفاضل والتكامل في الفيلم الوقوف والتسليم. كيف يمكننا إذن مساعدة جميع الطلاب على تعلم الجبر؟

بالنسبة لي شخصيًا ، كان الدافع لتعلم الجبر جزئيًا على الأقل تعلم طرق حل الألغاز. افترض أن لديك 39 برطمانًا على ثلاثة أرفف. يوجد ضعف عدد الجرار على الرف الثاني مثل الأول ، وأربعة جرار على الرف الثالث أكثر من الرف الثاني. كم عدد الجرار الموجودة على كل رف؟ هذه المشاكل ليست مهمة في حد ذاتها ، ولكن إذا أظهرت للطلاب قوة فكرة ما من خلال تمكينهم من حل الألغاز التي يرغبون في حلها ، فعندئذ يكون لديهم قيمة. لا يمكننا أن نتوقع أن تثير مثل هذه المشكلات اهتمام جميع الطلاب. كيف إذن يمكننا الوصول إلى المزيد من الطلاب؟

إعدادات مكان العمل وكل يوم كطريقة للإدراك

يعد جدول البيانات أحد الأدوات الشائعة في مجال الأعمال والصناعة للتحقيق في القضايا الرياضية ، وهو مرتبط ارتباطًا وثيقًا بالجبر. كتابة قاعدة لدمج عناصر خلايا معينة لإنتاج الكمية التي تذهب إلى خلية أخرى تقوم بالجبر ، على الرغم من أن أسماء المتغيرات هي أسماء خلايا وليست x أو ذ. لذلك ، يتطلب إعداد تحليلات جداول البيانات بعض التفكير الذي يتطلبه الجبر.

من خلال استكشاف الرياضيات من خلال المهام التي تأتي من مكان العمل والإعدادات اليومية ، وبمساعدة الأدوات الشائعة مثل جداول البيانات ، من المرجح أن يرى الطلاب أهمية الرياضيات ويكونون أكثر عرضة لتعلمها بطرق ذات مغزى شخصي أكثر مما كانت عليه عندما يتم تقديمه بشكل تجريدي ويتم تطبيقه لاحقًا فقط إذا سمح الوقت بذلك. وبالتالي ، فإن هذا المقال يجادل بأن مكان العمل والمهام اليومية يجب أن تستخدم لتدريس الرياضيات ، وعلى وجه الخصوص ، لتدريس الجبر. ومع ذلك ، سيكون من الخطأ الاعتماد حصريًا على مثل هذه المهام ، تمامًا كما سيكون من الخطأ تدريس جداول البيانات فقط بدلاً من الجبر.

يعد توصيل نتائج التحليل جزءًا أساسيًا من أي استخدام للرياضيات في الوظيفة. هناك تركيز متزايد في مكان العمل على العمل الجماعي وعلى مهارات إيصال الأفكار إلى الزملاء والعملاء. لكن إيصال الأفكار الرياضية يعد أيضًا أداة قوية للتعلم ، لأنه يتطلب من الطالب صقل الأفكار الغامضة في كثير من الأحيان.

يمكن أن توفر بعض المهام في هذا المجلد أنواع الفرص التي أتحدث عنها. مشكلة أخرى ، مع صلات واضحة بالعالم الحقيقي ، هي التالية المأخوذة من الكتاب المعنون النظر في بقرة كروية: دورة في حل المشكلات البيئيةبقلم جون هارت (1988). السؤال المطروح هو: كيف يحدث التضخم الأحيائي لمادة النزرة؟ على سبيل المثال ، كيف تتراكم المبيدات في السلسلة الغذائية وتتركز في الحيوانات المفترسة مثل الكندور؟ على وجه التحديد ، حدد المعلمات البيئية والكيميائية الحرجة التي تحدد التركزات الحيوية في سلسلة غذائية ، ومن حيث هذه المعلمات ، استخرج صيغة لتركيز مادة شحيحة في كل حلقة من حلقات السلسلة الغذائية. يمكن القيام بهذه المهمة على عدة مستويات مختلفة. التحليل في كتاب هارت على مستوى عالٍ إلى حد ما ، على الرغم من أنه لا يزال يتضمن الجبر فقط كأداة رياضية. يمكن الاضطلاع بالمهمة على مستوى أكثر بساطة أو ، من ناحية أخرى ، يمكن تفصيلها كما هو مقترح في مزيد من التمارين الواردة في ذلك الكتاب. ويمكن للطلاب بعد ذلك تقديم نتائج تحليلاتهم لبعضهم البعض وكذلك للمعلم ، في شكل شفهي أو كتابي.

مفاهيم أو إجراءات؟

عند تدريس الرياضيات ، من السهل إهدار الكثير من الوقت والطاقة في التركيز على الإجراءات بحيث لا تلقى المفاهيم سوى القليل من الاهتمام ، إن وجد. عند تدريس الجبر ، غالبًا ما يتعلم الطلاب إجراءات استخدام الصيغة التربيعية أو لحل المعادلات المتزامنة دون التفكير في تقاطعات المنحنيات والخطوط وبدون القدرة على تطبيق الإجراءات في أماكن غير مألوفة. حتى في

عند التركيز على مسائل الكلمات ، غالبًا ما يتعلم الطلاب إجراءات حل "مشاكل العملات" و "مشاكل التدريب" لكنهم لا يرون السياق الجبري الأكبر. الصيغ والإجراءات مهمة ، لكنها ليست كافية.

عند استخدام مكان العمل والمهام اليومية لتدريس الرياضيات ، يجب أن نتجنب الوقوع في نفس الفخ المتمثل في التركيز على الإجراءات على حساب المفاهيم. ومع ذلك ، فإن تجنب الفخ ليس بالأمر السهل ، لأنه تمامًا مثل العديد من المهام في الجبر المدرسي ، غالبًا ما يكون لمهام مكان العمل القائمة على الرياضيات إجراءات قياسية يمكن استخدامها دون فهم الرياضيات الأساسية. لتغيير إجراء لاستيعاب مناخ الأعمال المتغير ، للاستجابة للتغيرات في قوانين الضرائب ، أو لتطبيق أو تعديل إجراء لاستيعاب وضع مماثل ، ومع ذلك ، يتطلب فهم الأفكار الرياضية وراء الإجراءات. على وجه الخصوص ، يجب أن يكون الطالب قادرًا على تعديل إجراءات تقييم استخدام الطاقة للتدفئة (كما في أيام درجة التسخين ، ص. 54) لتقييم استخدام الطاقة للتبريد في الصيف.

لإعداد طلابنا لإجراء مثل هذه التعديلات بأنفسهم ، من المهم التركيز على المفاهيم وكذلك الإجراءات. يمكن أن يوفر مكان العمل والمهام اليومية فرصًا للطلاب لإرفاق معنى بالحسابات والإجراءات الرياضية. إذا قام الطالب بحل مشكلة في البداية بدون الجبر ، فإن التفكير الذي تم إدخاله في حله يمكن أن يساعده أو يساعدها في فهم الأساليب الجبرية التي يقدمها لاحقًا المعلم أو الطلاب الآخرون. يعتبر هذا النهج مناسبًا بشكل خاص لتدريس الجبر ، لأن تدريسنا للجبر يحتاج إلى الوصول إلى المزيد من الطلاب (غالبًا ما ينظر إليه الطلاب على أنه تلاعب لا معنى له بالرموز) ولأن التفكير الجبري يزداد أهمية في مكان العمل.

مثال: مشكلة الطالب / الأستاذ

لتوضيح مدى تعقيد تعلم الجبر بشكل هادف ، ضع في اعتبارك المشكلة التالية من دراسة أجراها كليمنت ولوكهيد وأمب مونك (1981):

اكتب معادلة للعبارة التالية: "عدد الطلاب ستة أضعاف الأساتذة في هذه الجامعة". يستخدم س لعدد الطلاب و ص لعدد الأساتذة. (ص 288)

وجد المؤلفون أنه من بين 47 تخصصًا غير علمي يدرسون الجبر الجامعي ، أخطأ 57٪ منهم. لكن الأمر الأكثر إثارة للدهشة هو أنه من بين 150 طالبًا على مستوى التفاضل والتكامل ، فقد 37 ٪ منهم المشكلة.

رد الفعل الأول على الإجابة الخاطئة الأكثر شيوعًا ، 6س = ص، هو أن الطلاب قاموا ببساطة بترجمة كلمات المشكلات إلى رموز رياضية دون التفكير بشكل أعمق في الموقف أو المتغيرات. (لاحظ المؤلفون أن بعض الكتب المدرسية توجه الطلاب لاستخدام هذه الترجمة).

من خلال تحليل نصوص المقابلات مع الطلاب ، وجد المؤلفون هذا النهج ونهجًا آخر (خاطئًا) أيضًا. غالبًا ما كان هؤلاء الطلاب يرسمون مخططًا يوضح ستة طلاب وأستاذ واحد. (لاحظ أننا كثيرًا ما نطلب من الطلاب رسم مخططات عند حل المشكلات الكلامية)

من الرسم البياني ، وفيما يتعلق س و ص كوحدات ، يجوز للطالب كتابة 6س = ص، تمامًا كما نكتب بشكل صحيح 12 بوصة = 1 قدم. هذا التفكير معقول تمامًا ، على الرغم من أنه يفتقد القصد الأساسي في بيان المشكلة وهو س هو تمثيل عدد الطلاب وليس الطالب.

وبالتالي ، فإن اقتراحين شائعين للطلاب وهما ترجمة mdashword-for-word ورسم رسم تخطيطي و mdash يمكن أن يؤديا إلى إجابة غير صحيحة لهذه المشكلة التي تبدو بسيطة ، إذا لم يفكر الطلاب بشكل أعمق في ما تهدف المتغيرات إلى تمثيله. وجد المؤلفون أن الطلاب الذين كتبوا ويمكنهم شرح الإجابة الصحيحة ، س = 6ص، يعتمد على فهم أكثر ثراءً لما تمثله المعادلة والمتغيرات.

من الواضح إذن أننا يجب أن نشجع الطلاب على التفكير في معاني المتغيرات. ومع ذلك ، فإن جزءًا من قوة وكفاءة الجبر هو على وجه التحديد أنه يمكن للمرء معالجة الرموز بشكل مستقل عما تعنيه ثم استخلاص المعنى من الاستنتاجات التي تؤدي إليها التلاعبات الرمزية. وبالتالي ، فإن التعلم المستقر طويل الأمد للتفكير الجبري يتطلب إتقان الإجراءات والتفكير التحليلي الأعمق.

استنتاج

ومن المفارقات أن الحاجة إلى تفكير تحليلي أكثر حدة تحدث جنبًا إلى جنب مع انخفاض الحاجة إلى الحسابات الحسابية الروتينية. تعمل الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر على تسهيل إجراء العمليات الحسابية الروتينية بسرعة ودقة. تقوم سجلات النقد المستخدمة في مطاعم الوجبات السريعة بإرجاع أحيانًا إلى عدادات الخروج للتغيير بها قارئات رموز شريطية ويتم الدفع عن طريق بطاقات الائتمان أو بطاقات الوصول إلى الأموال.

لذلك فإن التربية في التفكير الرياضي ، في تطبيق الحساب الرياضي ، في تقييم ما إذا كانت الإجابة معقولة ، وفي إيصال النتائج أمر ضروري. يعد تدريس الرياضيات من خلال مكان العمل والمشكلات اليومية نهجًا يمكن أن يجعل الرياضيات أكثر فائدة لجميع الطلاب. ومع ذلك ، من المهم تجاوز التفاصيل المحددة لمهمة ما لتعليم الأفكار الرياضية. في حين أن هذا النهج مهم بشكل خاص لأولئك الطلاب الذين يعتزمون متابعة وظائف في العلوم الرياضية ، فإنه سيؤدي أيضًا إلى فهم رياضي أعمق لجميع الطلاب.

مراجع

كليمنت ، جيه ، لوكهيد ، جيه ، وأمبير مونك ، جي (1981). صعوبات الترجمة في تعلم الرياضيات. الرياضيات الأمريكية الشهرية, 88, 286-290.

هارت ، ج. (1988). النظر في بقرة كروية: دورة في حل المشكلات البيئية. يورك ، بنسلفانيا: كتب العلوم الجامعية.

يEAN إي تيايلور أستاذ الرياضيات في جامعة ولاية نيوجيرسي روتجرز. وهي حاليًا عضوة في مجلس إدارة الجمعية الأمريكية لتقدم العلوم وترأست سابقًا لجنة الترشيح التابعة للقسم أ. شغلت منصب نائب الرئيس وعضواً متجولًا في مجلس الجمعية الرياضية الأمريكية ، وعملت في لجنتها التنفيذية ولجنة الترشيح. كانت أيضًا عضوًا في مجلس السياسات المشتركة للرياضيات ، وعضوًا في مجلس المستشارين لمنتدى الهندسة (الآن منتدى الرياضيات) وفي سلسلة WQED التلفزيونية ، الحياة بالأرقام.

5 و [مدش]العمل مع الجبر

جامعة ولاية ميشيغان

يعد تدريس فصل الرياضيات الذي أظهر فيه عدد قليل من الطلاب النجاح مهمة صعبة. يتجنب العديد من المعلمين مثل هذه المهام ، عندما يكون ذلك ممكنًا. من ناحية أخرى ، قد يحب مدرسو الرياضيات بالمدارس الثانوية ، مثل برتراند راسل ، الرياضيات ويؤمنون بشيء مثل ما يلي:

الرياضيات ، إذا نظرنا إليها بشكل صحيح ، لا تمتلك الحقيقة فحسب ، بل تمتلك جمالًا أسمى ومداشا باردًا وصارمًا ، مثل ذلك من النحت ، دون أن تلجأ إلى أي جزء من طبيعتنا الضعيفة ، دون الزخارف الرائعة للرسم أو الموسيقى ، ولكنها نقية للغاية ، وقادرة على الحصول على الكمال الصارم مثل أعظم الفن فقط يمكن أن يظهر. & hellip بعيدًا عن العواطف البشرية ، بعيدًا حتى عن حقائق الطبيعة البائسة ، خلقت الأجيال تدريجيًا كونًا منظمًا ، حيث يمكن للفكر الصافي أن يعيش كما هو في منزله الطبيعي ، وحيث يمكن لأحد ، على الأقل ، من دوافعنا النبيلة الهروب من منفى كئيب للعالم الطبيعي. (راسل ، 1910 ، ص 73)

ولكن ، من ناحية أخرى ، قد لا يتمتع الطلاب ، في ظروفهم ، برفاهية تقدير هذا الجمال. قد لا يرى الكثير منهم أنفسهم كمفكرين لأن التأمل سيأخذهم بعيدًا عن حياتهم الأساسية

التركيز: كيفية العيش في عالم لم يتم إنشاؤه من أجلهم. بدلاً من ذلك ، مثل جامايكا كينكيد ، قد يسألون:

ما الذي يجعل العالم ينقلب ضدي وضد كل من يشبهني؟ لم أفز بشيء ، ولا أمسح شيئًا ، عندما أطرح هذا السؤال ، فإن رفاهية الإجابة التي تملأ مجلدات لا تمتد أمامي. عندما أطرح هذا السؤال ، كان صوتي مليئًا باليأس. (كينكيد ، 1996 ، ص 131-132)

تعليمنا والقضايا التي أثيرت

خلال العامين الدراسيين 1991-1992 و1992-93 ، قمنا (مدرسًا في مدرسة ثانوية ومعلمًا جامعيًا) بتدريس فصل الجبر الأول ذي المسار المنخفض لطلاب الصف العاشر حتى الثاني عشر. 1 كان معظم طلابنا قد فشلوا في الرياضيات من قبل ، واحتاج الكثير منهم إلى اجتياز الجبر الأول لإكمال متطلبات الرياضيات في المدرسة الثانوية للتخرج. بالنسبة لطلابنا ، أصبحت الرياضيات مادة مشحونة تحمل عبئًا ثقيلًا من التجارب السلبية. كان العديد من طلابنا مقتنعين بأن لا هم ولا أقرانهم يمكن أن ينجحوا في الرياضيات.

قلة من طلابنا حققوا أداءً جيدًا في مواد أكاديمية أخرى ، وقليل منهم ذهب إلى كليات ذات سنتين أو أربع سنوات. لكن الطلاب اختلفوا في انتمائهم إلى المدرسة الثانوية. كان البعض ، الذين أطلق عليهم الآخرون اسم "المبتدئون" أو "الرياضيون" ، مشاركين نشطين في أنشطة المدرسة. بينما كان آخرون ، "مدخنون" أو "حاجرون" ، يتمردون بدرجات متفاوتة ضد المدرسة وعلى نطاق أوسع ضد المجتمع. كانت هناك توترات قوية بين أعضاء هذه المجموعات .2

يعطي التدريس في هذا الإعداد أهمية وإلحاحًا إضافيًا للأسئلة النموذجية للمناهج الدراسية والدوافع الشائعة في معظم فصول الجبر. في تعليمنا ، استكشفنا أسئلة مثل ما يلي:

  • ما الذي نريده حقًا من طلاب المدارس الثانوية ، خاصة أولئك الذين لا يرغبون في الالتحاق بالجامعة ، للدراسة في الجبر ولماذا؟
  • ما هو دور مهارات الجبر المتلاعبة في عالم الرسوم البيانية والآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر؟ كيف تمنح المهارات المتلاعبة التي يتم تدريسها في المناهج التقليدية للطلاب منظورًا جديدًا حول عالمنا ونظرة ثاقبة عليه؟
  • إذا كانت جهودنا التعليمية تعتمد على استثمار الطلاب في التعلم ، فعلى أي أسس يمكننا أن نناشدهم ، ضمنيًا أو صريحًا ، من أجل الطاقة والجهد؟ في بيئة إجبارية متعقبة ، كيف يمكننا مساعدة الطلاب ذوي الاهتمامات والمواهب الواسعة وكثير منهم لا يعتزمون الالتحاق بالجامعة ، على رؤية قيمة في استكشاف مشترك للجبر؟

نهج لمدرسة الجبر

كنتيجة للتفكير في هذه الأسئلة ، أردنا في تعليمنا تجنب الوقوع في موقف نحث الطلاب على تقدير جمال الجبر أو فائدته. كان طلابنا متشككين بصراحة في الحجج القائمة على

خدمة. لقد رأوا قلة من الناس في مجتمعهم يستخدمون الجبر. لقد فقدنا أيضًا الثقة في قوة المكافآت والعقوبات الخارجية ، مثل درجات الرسوب. كان العديد من طلابنا متشككين في قدرة شهادة الثانوية العامة على تغيير ظروف حياتهم بشكل جذري. أردنا أن يعثر الطلاب على الأشياء الرياضية التي كنا نناقشها في العالم من حولهم ، وبالتالي تعلم تقييم المنظور الذي قد تمنحه لهم هذه الرياضيات في عالمهم.

لمساعدتنا في هذه المهمة ، وجدنا أنه من المفيد اتباع نهج "العلاقات بين الكميات" في الجبر المدرسي. في هذا النهج ، فإن الكائنات الرياضية الأساسية للدراسة في الجبر المدرسي هي وظائف يمكن تمثيلها من خلال المدخلات والمخرجات المدرجة في الجداول أو رسمها أو رسمها على الرسوم البيانية ، بالإضافة إلى إجراءات الحساب التي يمكن كتابتها برموز جبرية. 3 تم تحفيزنا جزئيًا من خلال الاقتباس التالي من August Comte ، وقد نظرنا إلى هذه الوظائف على أنها تمثيلات رياضية للنظريات التي طورها الناس لشرح العلاقات بين الكميات.

في ضوء التجربة السابقة ، يجب أن نعترف باستحالة تحديد معظم الارتفاعات والمسافات التي يجب أن نعرفها عن طريق القياس المباشر. هذه الحقيقة العامة هي التي تجعل علم الرياضيات ضروريًا. لأنه في التخلي عن الأمل ، في كل حالة تقريبًا ، في قياس الارتفاعات أو المسافات الكبيرة بشكل مباشر ، كان على العقل البشري أن يحاول تحديدها بشكل غير مباشر ، ومن ثم فقد تم دفع الفلاسفة إلى ابتكار الرياضيات. (مقتبس في Serres، 1982، p.85)

مشروع "الراعي"

باستخدام هذا النهج لمفهوم الوظيفة ، خلال العام الدراسي 1992-93 ، قمنا بتصميم مشروع لمدة عام لطلابنا. طلب المشروع من أزواج من الطلاب العثور على الأشياء الرياضية التي كنا ندرسها في مكان عمل راعٍ مجتمعي. زار الطلاب مكان عمل الكفيل أربع مرات خلال العام و mdashthth ثلاث زيارات بعد المدرسة وغياب معذور لمدة يوم واحد عن المدرسة. في هذه الزيارات ، تعرف الطلاب على مكان العمل وتعرفوا على عمل الراعي. ثم طلبنا من الطلاب كتابة تقرير يصف مكان عمل الراعي والإجابة على أسئلة حول طبيعة النشاط الرياضي المضمن في مكان العمل. تم تنظيم الأسئلة في الجدول 5-1.

باستخدام هذه الأسئلة

من أجل تحديد كيفية تنظيم المقابلات وتزويد الطلاب بنموذج ، اخترنا مقابلة زوج ساندرا ، جون بيثيل ، وهو مفتش طلاء في شركة هندسية. عندما سئل عن وظيفته ، أجاب جون ، "أنا أجادل من أجل لقمة العيش". وتابع ليصف عمله اليومي في تفتيش المقاولين الذين يرسمون أبراج المياه. نظرًا لأن معظم البلديات تتعاقد مع مقدم العطاء الأقل عند الحاجة إلى طلاء برج المياه ، فإنها غالبًا ما تقوم بتوظيف شركة هندسية للتأكد من أن المقاول يعمل وفقًا للمواصفات. منذ أن قدم المقاول عرضًا منخفضًا ، هناك قوة

الجدول 5-1: أسئلة يجب طرحها في مكان العمل

  • ما هي الكميات التي يتم قياسها أو احتسابها من قبل الأشخاص الذين تقابلهم؟
  • ما أنواع الأدوات المستخدمة للقياس أو العد؟
  • لماذا من المهم قياس أو حساب هذه الكميات؟
  • ما هي الكميات التي يحسبونها أو يحسبونها؟
  • ما أنواع الأدوات المستخدمة للقيام بالحوسبة؟
  • لماذا من المهم حساب هذه الكميات؟
  • عندما يتم حساب الكمية ، ما هي المعلومات المطلوبة ثم ما هي الحسابات التي يتم إجراؤها للحصول على النتيجة المرجوة؟
  • هل توجد طرق مختلفة لحساب نفس الشيء؟
  • كيف يتم تتبع الكميات أو تمثيلها في هذا النوع من العمل؟
  • اجمع أمثلة على الرسوم البيانية والمخططات والجداول وما إلى ذلك المستخدمة في الأعمال.
  • كيف يتم تقديم المعلومات للعملاء أو للآخرين الذين يعملون في الأعمال التجارية؟
  • ما أنواع المقارنات التي تتم بالكميات المحسوبة؟
  • لماذا هذه المقارنات مهمة؟
  • ما هي مجموعة الإجراءات التي يتم تحريكها نتيجة لتفسير الحسابات؟

حوافز مالية للمقاول للتنازل عن الجودة لتحقيق ربح.

يقوم جون في عمله بأنواع مختلفة من عمليات التفتيش. على سبيل المثال ، لديه أداة مغناطيسية للتحقق من سمك الطلاء بمجرد وضعه على البرج. عندما تعطي قراءة "ضعيفة" ، غالبًا ما يشكك المقاولون في التكنولوجيا. للدلالة على القراءة ، يستخدم جون مساحة سطح الخزان ، وعدد علب الطلاء المستخدمة ، وحجم الطلاء في العلبة ، وفهم النسبة المئوية لهذا الحجم الذي يتبخر لحساب متوسط ​​سمك الطلاء الجاف .تشمل الأمثلة الأخرى من مكان عمله استخدام الطاولات وأدوات القياس من مختلف الأنواع.

بعض الأمثلة على عمل الطلاب

عندما بدأت المدرسة ، بدأ الطلاب العمل في مشاريعهم. على الرغم من أن العديد من الرعاة أشاروا في البداية إلى عدم وجود أبعاد رياضية لعملهم ، فقد تمكن الطلاب في كثير من الأحيان من إظهار أماكن الرعاة حيث توجد الرياضيات التي كنا ندرسها. على سبيل المثال ، عملت جاكي مع عالم المحاصيل والتربة. كانت مفتونة بالطريقة التي يستخدم بها قياس الوزن لحساب البذور. أولاً ، كان راعيها يزن دفعة اختبار من 100 بذرة لتوليد وزن معياري. بعد ذلك ، بدلاً من حساب عدد كبير من البذور ، يزن العالم كمية البذور ويحسب عدد البذور التي سيحتويها مثل هذا الوزن.

عملت ريبيكا مع مقاول سجاد قام ، في تقدير التكاليف ، بقراءة أبعاد الغرف المستطيلة من مخطط مهندس معماري ، ومضاعفة للعثور على مساحة الغرفة بالقدم المربع (إجراء تحويلات عند الضرورة) ، ثم مضروبة في التكلفة لكل قدم مربع ( التي تعتمد على نوع السجادة) لحساب تكلفة السجادة. كان الغرض من هذه التقديرات هو إعداد عرض للمهندس المعماري حيث يجب أن يكون العطاء منخفضًا قدر الإمكان دون جعل الوظيفة غير مربحة. استخدمت ريبيكا مخططًا (جدول 5-2) لشرح هذا الإجراء للفصل.

اكتشف جو وميك ، اللذان يعملان أيضًا في البناء ، أنه في مد الأنابيب ، هناك قاعدة أساسية "واحدة تلو الأخرى". عند حفر خندق لوضع الأنبوب ، يجب أن يكون للجوانب غير المتوازية للمقطع العرضي شبه المنحرف منحدر 1 قدم لأسفل لكل قدم واحدة. تضمن هذه النسبة أن الأوساخ الموجودة في الحفرة لن تنزلق على نفسها. وبالتالي ، إذا كان شبه المنحرف في أسفل الحفرة يجب أن يكون له عرض معين لكي يتلاءم مع الأنبوب ، فيجب أن يكون هذا العرض على مستوى الأرض زائد ضعف عمق الحفرة. إن معرفة مدى اتساع الثقب مسبقًا يتجنب التجربة والخطأ المطول والمكلف.

وجد طلاب آخرون أن الوظائف غالبًا ما تكون مضمنة في القطع الأثرية الثقافية الموجودة في مكان العمل. على سبيل المثال ، أحضر الطالبة التي زارت عيادة الطبيب أداة للتنبؤ بمواعيد استحقاق المرأة الحامل ، بالإضافة إلى توفير معلومات حول متوسط ​​وزن الجنين وطوله (الشكل 5-1).

الجدول 5-2: تكلفة ورقة عمل السجاد

الشكل 5-1: عجلة الحمل

استنتاج

في حين أنه لا ينبغي التقليل من تعقيدات تنظيم هذا النوع من المشروع و mdasharranging الرعاة ، وتأمين إذن الوالدين ، ومقابلة المسؤولين وأولياء الأمور بشأن متطلبات العمل خارج الحرم الجامعي ، والعمل بعد المدرسة و mdashwe يظلون مفتونين بإمكانيات مثل هذه المشاريع لمساعدة الطلاب على رؤية الرياضيات في العالم من حولهم. تبدو مفاهيم تحديد العناصر الرياضية المركزية للدورة التدريبية ثم تطوير طرق لتحديد تلك الأشياء في تجربة الطلاب بديلاً مهمًا لاستخدام المواد القائمة على التطبيق والتي كتبها مطورو قد تكون حياتهم وعوالمهم الاجتماعية مختلفة تمامًا عن تلك الموجودة في الطلاب.

مراجع

تشازين ، د. (1996). الجبر لجميع الطلاب؟ مجلة السلوك الرياضي, 15(4), 455-477.

إيكرت ، ب. (1989). لاعبو الاسطوانات والإرهاق: الفئات الاجتماعية والهوية في المدرسة الثانوية. نيويورك: مطبعة كلية المعلمين.

فاي ، جي تي ، هيد ، إم ك ، وآخرون. (1995). مفاهيم في الجبر: نهج تكنولوجي. ديدهام ، ماساتشوستس: منشورات جانسون.

كيران ، سي ، بويلو ، إيه ، وأمبير جارانكون ، إم. (1996). إدخال الجبر من خلال نهج وظيفي مدعوم بالتكنولوجيا. في N. Bednarz et al. (محرران) ، مناهج الجبر، (ص 257-293). الناشرون الأكاديميون كلوير: دوردريخت ، هولندا.

كينكيد ، ج. (1996). السيرة الذاتية لوالدتي. نيويورك: Farrar ، Straus ، Giroux.

نيميروفسكي ، ر. (1996). الروايات الرياضية والنمذجة والجبر. في N. Bednarz et al. (محرران) مناهج الجبر، (ص 197 - 220). الناشرون الأكاديميون كلوير: دوردريخت ، هولندا.

راسل ، ب. (1910). مقالات فلسفية. لندن: لونغمانز ، جرين.

شوارتز ، ج. & أمبير ؛ يروشالمي ، م. (1992). حمل الطلاب على العمل في الجبر ومعه. في G. Harel & amp E.Dubinsky (محرران) ، مفهوم الوظيفة: جوانب المعرفة والتربية، (ملاحظات MAA ، المجلد 25 ، ص 261-289). واشنطن العاصمة: الرابطة الرياضية الأمريكية.

سيريس ، م. (1982). الرياضيات والفلسفة: ما رآه طاليس وهيلب في J. Harari & amp D. Bell (محرران) ، هيرميس: الأدب والعلوم والفلسفة ، (ص 84-97). بالتيمور ، دكتوراه في الطب: جونز هوبكنز.

طومسون ، ب. (1993). التفكير الكمي والتعقيد والبنى المضافة. دراسات تربوية في الرياضيات, 25, 165-208.

يروشالمي ، إم & أمبير شوارتز ، جي إل (1993). اغتنام الفرصة لجعل الجبر مثيرًا للاهتمام رياضيًا وتربويًا. في T.A Romberg و E. Fennema و amp T.P. كاربنتر (محرران) ، تكامل البحث على التمثيل الرسومي للوظائف، (ص 41-68). هيلزديل ، نيوجيرسي: لورنس إيرلبوم أسوشيتس.

تلاحظ

للحصول على تفاصيل أخرى ، انظر Chazan (1996).

لمزيد من التفاصيل حول المجموعات الاجتماعية لطلاب المدارس الثانوية ، انظر Eckert (1989).

لقد تأثرت أفكارنا بشكل كبير بـ Schwartz & amp Yerushalmy (1992) و Yerushalmy & amp Schwartz (1993) وهي بنفس روح النهج الذي اتبعه Fey و Heid وآخرون. (1995) و Kieran و Boileau و amp Garancon (1996) و Nemirovsky (1996) و Thompson (1993).

دأنيل جحزان أستاذ مشارك في إعداد المعلمين بجامعة ولاية ميتشيغان. للمساعدة في بحثه في تدريس الرياضيات وتعلمها ، قام بتدريس الجبر على مستوى المدرسة الثانوية. تشمل اهتماماته تدريس الرياضيات من خلال فحص أفكار الطلاب ، واستخدام أجهزة الكمبيوتر لدعم استكشاف الطلاب ، وإمكانات تاريخ وفلسفة الرياضيات لإثراء التدريس.

سأندرا جكل شيء بإيثيل قام بتدريس الرياضيات واللغة الإسبانية في مدرسة هولت الثانوية لمدة 10 سنوات. كما أكملت الدراسات العليا في جامعة ولاية ميشيغان وجامعة ويسترن ميشيغان. لديها اهتمام بإصلاح الرياضيات ، لا سيما في تلبية احتياجات المتعلمين المتنوعين في دورات الجبر.

مكالمات الطوارئ

مهمة

يخدم المدينة شركتا إسعاف مختلفتان. تسجل سجلات المدينة التاريخ ووقت المكالمة وشركة الإسعاف ووقت الاستجابة لكل مكالمة 911 (الجدول 1). قم بتحليل هذه البيانات واكتب تقريرًا إلى مجلس المدينة (مع المخططات والرسوم البيانية الداعمة) لإعلامه بشركة الإسعاف التي يجب على مشغلي 911 اختيار إرسالها لإجراء مكالمات من هذه المنطقة.

الجدول 1: صحيفة تسجيل إرسال سيارة الإسعاف ، 1 مايو و ndash30

تاريخ المكالمة

تعليق

تواجه هذه المشكلة الطالب بموقف واقعي ومجموعة من البيانات المتعلقة بأوقات استجابة شركتي سيارات إسعاف لمكالمات الطوارئ. البيانات التي يقدمها الطالب عادة ما تكون "فوضوية" & mdashjust سجل المكالمات وأوقات الاستجابة ، مرتبة ترتيبًا زمنيًا. السؤال هو كيف نفهمها. يتطلب العثور على أنماط في مثل هذه البيانات مزيجًا مثمرًا من الفطرة السليمة للرياضيات والعمل التحري الفكري. إنه نوع من التفكير الذي يجب أن يكون الطلاب قادرين على القيام به وندش ذلك النوع من التفكير الذي سيؤتي ثماره في العالم الحقيقي.

التحليل الرياضي

في هذه الحالة ، لا يكون التحليل العددي مفيدًا بشكل خاص. في المتوسط ​​، تكون الشركات متشابهة تقريبًا: يمتلك Arrow وقت استجابة متوسط ​​يبلغ 11.4 دقيقة مقارنة بـ 11.6 دقيقة للمترو. كما أن انتشار البيانات ليس مفيدًا جدًا. نطاقات توزيعاتها هي نفسها تمامًا: من 6 دقائق إلى 19 دقيقة. الانحراف المعياري لوقت استجابة السهم أطول قليلاً و mdash4.3 دقيقة مقابل 3.4 دقيقة للمترو و mdash مما يشير إلى أن أوقات استجابة السهم تتقلب أكثر قليلاً.

تكشف الرسوم البيانية لأوقات الاستجابة (الشكلان 1 و 2) عن ميزات مثيرة للاهتمام. يبدو أن كلا الشركتين ، وخاصة Arrow ، لديهما توزيعات ثنائية ، وهذا يعني أن هناك مجموعتين من البيانات دون وجود الكثير من البيانات بينهما.

الشكل 1: توزيع أوقات استجابة السهم

الشكل 2: توزيع أوقات استجابة المترو

تشير التوزيعات لكلتا الشركتين إلى أن هناك بعض العوامل الأخرى في العمل. هل يمكن لسائق معين أن يكون هو المشكلة؟ هل يمكن أن تكون أوقات الاستجابة البطيئة لأي من الشركتين في أيام معينة من الأسبوع أو في أوقات معينة من اليوم؟ تسلط الرسوم البيانية لوقت الاستجابة مقابل الوقت من اليوم (الشكلان 3 و 4) بعض الضوء على هذه الأسئلة.

الشكل 3: أوقات استجابة السهم حسب الوقت من اليوم

الشكل 4: أوقات استجابة المترو حسب الوقت من اليوم

تُظهر هذه الرسوم البيانية أن أوقات استجابة Arrow كانت سريعة باستثناء ما بين الساعة 5:30 صباحًا و 9:00 صباحًا ، عندما كانت أبطأ بحوالي 9 دقائق في المتوسط. وبالمثل ، كانت أوقات استجابة Metro سريعة باستثناء ما بين الساعة 3:30 مساءً و 6:30 مساءً ، عندما كانت أبطأ بحوالي 5 دقائق. ربما تجعل مواقع الشركات Arrow أكثر عرضة لساعة الذروة الصباحية والمترو أكثر عرضة لساعة الذروة بعد الظهر. من ناحية أخرى ، قد لا يكون الموظفون في وردية Arrow الصباحية أو وردية بعد الظهر في Metro فعالين. لتجنب ردود الفعل البطيئة ، يمكن للمرء أن يوصي مجلس المدينة باستدعاء المترو خلال الصباح واستدعاء السهم خلال فترة ما بعد الظهر. قد يؤدي القليل من العمل التحري في مصادر الاختلافات بين الشركات إلى تقديم توصية أفضل.

ملحقات

يمكن إجراء مقارنات بين عينتين في سياقات مختلفة وأوقات استجابة mdashr للحصول على خدمات مختلفة (سيارات الأجرة ، مكاتب مساعدة الكمبيوتر ، الخطوط الساخنة على مدار 24 ساعة في مصنعي السيارات) كونها فئة واحدة من بين العديد. اعتمادًا على الظروف ، قد تروي البيانات قصصًا مختلفة جدًا. حتى في الموقف أعلاه ، إذا لم يقدم الزوج الثاني من الرسوم البيانية مثل هذه التفسيرات الواضحة ، فربما يجادل المرء بأنه على الرغم من أن أوقات استجابة سهم Arrow كانت أفضل في المتوسط ​​، فإن السبريد كان أكبر ، مما يجعل "التطرف" أكثر خطورة. الفكرة الأساسية هي استخدام تقنيات التحليل والتمثيل المختلفة لفهم البيانات عندما لا تكون العوامل المهمة معروفة بالضرورة في وقت مبكر.

تقديرات ظهر المغلف

مهمة

تدرب على تقديرات "ظهر الظرف" بناءً على تقديرات تقريبية يمكن اشتقاقها من الفطرة السليمة أو الملاحظات اليومية. أمثلة:

  • ضع في اعتبارك مدرسًا للرياضيات في مدرسة ثانوية عامة يشعر أنه يجب على الطلاب العمل خمس ليالٍ في الأسبوع ، بمعدل 35 دقيقة تقريبًا في الليلة ، ويقوم بعمل مركز على المهمة وينوي تصنيف جميع الواجبات المنزلية بالتعليقات والتصحيحات. ما هو عدد الساعات المعقول في الأسبوع الذي يجب أن يخصصه مثل هذا المعلم لتصحيح الواجبات المنزلية؟
  • كم ورقة اوقات نيويورك تستخدم في أسبوع؟ تحتاج الشركة الورقية التي ترغب في تقديم عطاء لتصبح المورد الوحيد لها إلى معرفة ما إذا كان لديها سعة حالية كافية. إذا كانت الشركة ستخزن مخزونًا من الصحف لمدة أسبوعين ، فهل سيكون مستودعها الفارغ الذي تبلغ مساحته 14000 قدم مربع كبيرًا بما يكفي؟

تعليق

قبل حوالي 50 عامًا ، سأل الفيزيائي إنريكو فيرمي طلابه في جامعة شيكاغو ، "كم عدد عازفي البيانو في شيكاغو؟" من خلال طرح مثل هذه الأسئلة ، أراد فيرمي من طلابه إجراء تقديرات تتضمن تقديرات تقريبية بحيث لا يكون هدفهم الدقة ولكن ترتيب حجم نتيجتهم. وهكذا ، يطلق الكثير من الناس اليوم على هذه الأنواع من الأسئلة "أسئلة فيرمي". غالبًا ما تتطلب هذه الحسابات التقريبية عمومًا أكثر قليلاً من الفطرة السليمة ، والملاحظات اليومية ، وقطعة من الورق ، مثل ظهر الظرف المستخدم.

يستخدم العلماء وعلماء الرياضيات فكرة أمر من حجم، يتم التعبير عنها عادةً على أنها أقرب قوة من عشرة ، لإعطاء إحساس تقريبي بحجم الكمية. في المحادثة اليومية ، يستخدم الناس فكرة مماثلة عندما يتحدثون عن "التواجد في الملعب الصحيح". على سبيل المثال ، تؤدي وظيفة بدوام كامل بحد أدنى للأجور إلى دخل سنوي في حدود 10000 دولار أو 10 4 دولارات. يتقاضى بعض المسؤولين التنفيذيين في الشركات والرياضيين المحترفين رواتب سنوية تصل إلى 10000000 دولار أو 10 7 دولارات. للقول إن هذه الرواتب تختلف بمعامل 1000 أو 10 3 ، يمكن للمرء أن يقول إنها تختلف بثلاثة درجات من حيث الحجم. قد يبدو مثل هذا النقص في الدقة غير علمي أو غير رياضي ، ولكن مثل هذه التقديرات مفيدة جدًا في تحديد ما إذا كان القياس الأكثر دقة ممكنًا أو ضروريًا ، وما هو نوع الإجراء الذي قد يكون مطلوبًا ، أو ما إذا كانت نتيجة الحساب "في الملعب الصحيح . " عند اختيار استراتيجية لحماية الأنواع المهددة بالانقراض ، على سبيل المثال ، يخطط العلماء بشكل مختلف إذا كان هناك 500 حيوان متبقي عما إذا كان هناك 5000. من ناحية أخرى ، ليس من الضروري تحديد ما إذا كان 5200 أو 6300 تقديرًا أفضل ، حيث من المحتمل أن تكون الاستراتيجيات هي نفسها.

عادةً ما ينتج عن التفكير الدقيق في الملاحظات اليومية تقديرات فيرمي التي تقع في نطاق حجم الإجابة الدقيقة (إذا كانت هناك واحدة). تشجع تقديرات فيرمي الطلاب على التفكير بشكل إبداعي بكميات تقريبية ومعلومات غير مؤكدة. يمكن أن تساعد التجارب مع مثل هذه العملية وظيفة فردية في الحياة اليومية لتحديد مدى معقولية الحسابات الرقمية ، أو المواقف أو الأفكار في مكان العمل ، أو التخفيض الضريبي المقترح. قد يُظهر تقدير سريع لبعض مخططات تعزيز الإيرادات أو الأرباح أن الفكرة يمكن مقارنتها باقتراح دخول جنرال موتورز سوق عصير الليمون على الرصيف الصيفي في منطقتك. قد يشجع التقدير السريع على إجراء مزيد من التحقيق أو يوفر الأساس المنطقي لرفض الفكرة.

يمكن التعامل مع أي مطالبة عددية تقريبًا على أنها سؤال Fermi عندما لا يتمكن الشخص الذي يقوم بحل المشكلة من الوصول إلى جميع المعلومات الأساسية الضرورية. في مثل هذه الحالة ، قد يقوم المرء بتخمينات تقريبية حول الأرقام ذات الصلة ، ويقوم ببعض العمليات الحسابية ، ثم ينتج عنه تقديرات.

التحليل الرياضي

يتم حل الأمثلة بشكل منفصل أدناه.

الدرجات المنزلية

على الرغم من أن العديد من العوامل المكونة تختلف اختلافًا كبيرًا من مدرس إلى مدرس أو حتى من أسبوع لآخر ، إلا أنه ليس من الصعب إجراء حسابات تقريبية. بعض العوامل المهمة التي يجب مراعاتها بالنسبة للمعلم هي: عدد الفصول التي يقوم بتدريسها ، وعدد الطلاب في كل فصل ، ومقدار الخبرة التي يتمتع بها المعلم بشكل عام ، وقد قام المعلم بتدريس الفصول مسبقًا ، وبالتأكيد ، جزء من أسلوب التدريس ، نوع الواجب المنزلي الذي يعينه المعلم ، ناهيك عن كفاءة المعلم في الدرجات.

افترض أن المعلم لديه 5 فصول بمعدل 25 طالبًا لكل فصل. لأن المعلم يخطط لكتابة التصحيحات والتعليقات ، افترض أن أوراق الطلاب تحتوي على أكثر من قائمة من الإجابات و mdashthe تظهر بعض أعمال الطالب ، وربما تشرح بعض الحلول. قد يستغرق تصحيح مثل هذه الأوراق مدة تصل إلى 10 دقائق لكل منها ، أو ربما أكثر من ذلك. بافتراض أن المعلم يمكنه تصنيفهم بسرعة تصل إلى 3 دقائق لكل منهم ، في المتوسط ​​، فإن وقت تقدير المعلم هو:

هذا رقم كبير بشكل مثير للإعجاب ، خاصة بالنسبة للمعلم الذي يقضي بالفعل ما يقرب من 25 ساعة في الأسبوع في الفصل ، وبعض الوقت الإضافي في التحضير ، وبعض الوقت في الاجتماع مع الطلاب الفرديين. هل من المعقول توقع أن يقضي المعلمون هذا النوع من الوقت؟ ما التنازلات أو التغييرات الأخرى التي قد يقوم بها المعلم لتقليل مقدار الوقت؟ يوفر الحساب أعلاه أربعة احتمالات: تقليل الوقت المستغرق في كل ورقة واجب منزلي ، أو تقليل عدد الطلاب في الفصل ، أو تقليل عدد الفصول التي يتم تدريسها كل يوم ، أو تقليل عدد الأيام في الأسبوع التي سيتم فيها جمع الواجبات المنزلية. إذا قرر المعلم قضاء ساعتين كحد أقصى في الدرجات كل ليلة ، فما هو العدد الإجمالي للطلاب الذين يجب أن يتحمل المعلم مسؤوليته؟ هذا الحساب هو عكس جزئي للحساب أعلاه:

إذا كان المعلم لا يزال لديه 5 فصول ، فهذا يعني 8 طلاب لكل فصل!

اوقات نيويورك

تتطلب الإجابة على هذا السؤال تقديرين أوليين: تداول اوقات نيويورك وحجم الصحيفة. من المحتمل أن تكون الإجابات مختلفة يوم الأحد. اعتقد اوقات نيويورك هي صحيفة وطنية ، من المحتمل أن يكون عدد المشتركين خارج منطقة العاصمة نيويورك صغيرًا مقارنة بالعدد في الداخل. يبلغ عدد سكان منطقة العاصمة نيويورك ما يقرب من عشرة ملايين شخص. نظرًا لأن معظم العائلات تشتري نسخة واحدة على الأكثر ، ولا تشتري جميع العائلات اوقات نيويورك، قد يكون التوزيع حوالي مليون صحيفة كل يوم. (يبدو أن عدد التوزيعات الذي يبلغ 500000 نسخة صغيراً للغاية و 2 مليون نسخة كبيرة للغاية). ربما تختلف إصداري يوم الأحد وأيام الأسبوع

التدفقات ، ولكن افترض أنها متطابقة لأنها ربما تختلف بأقل من عامل اثنين و mdashm أقل بكثير من ترتيب من حيث الحجم. عند طي إصدار يوم من أيام الأسبوع من الورق يبلغ سمكه حوالي 1/2 بوصة وطوله أكثر بقليل من قدم واحد وعرضه قدمًا تقريبًا. نسخة يوم الأحد من الورقة بنفس العرض والطول ، ولكن ربما بسمك 2 بوصة. لمدة أسبوع ، بعد ذلك ، ستكدس الأوراق 6 مرات 1/2 + 2 = 5 بوصات ، لحجم إجمالي يبلغ حوالي 1 قدم × 1 قدم × 5/12 قدم = 0.5 قدم 3.

وبالتالي ، سيتطلب التداول بأكمله حوالي 1/2 مليون قدم مكعب من الورق أسبوعيًا ، أو حوالي مليون قدم مكعب لإمداد لمدة أسبوعين.

هل مستودع الشركة كبير بما يكفي؟ ستظهر الورقة على شكل لفات ، ولكن لتسهيل التقديرات ، افترض أنها مكدسة. إذا كانت مكدسة بارتفاع 10 أقدام ، فسيتطلب العرض 100000 قدم مربع من مساحة الأرضية. من المحتمل ألا تكون منشأة التخزين التابعة للشركة التي تبلغ مساحتها 14000 قدم مربع كبيرة بما يكفي لأن حجمها يختلف تقريبًا من حيث الحجم عن التقدير. يجب أن يكون تقدير التوزيع وحجم تقدير الصحيفة ضمن عامل 2 ، مما يعني أن تقدير 100000 قدم مربع بعيد على الأكثر بمقدار 4 & mdashless من ترتيب الحجم.

ما هو حجم المستودع المطلوب؟ تبلغ مساحة الفدان 43.560 قدمًا مربعًا ، لذا يلزم وجود فدانين من الأرض. بدلاً من ذلك ، سيحتوي المستودع الذي تبلغ مساحته 300 قدمًا × 300 قدم (طول ملعب كرة القدم في كلا الاتجاهين) على 90 ألف قدم مربع من المساحة الأرضية ، مما يعطي فكرة تقريبية عن الحجم.

ملحقات

بعد اكتساب بعض الخبرة مع هذه الأنواع من المشكلات ، يمكن تشجيع الطلاب على الاهتمام عن كثب بالوحدات والاستعداد لتقديم المطالبات ودعمها حول دقة تقديراتهم. يُعد الانتباه إلى الوحدات وتضمينها ككميات جبرية في الحسابات أسلوبًا شائعًا في الهندسة والعلوم. الاستدلال على الصيغة من خلال الانتباه فقط للوحدات يسمى تحليل الأبعاد

في بعض الأحيان ، بدلاً من تقدير واحد ، من المفيد عمل تقديرات للحدود العليا والسفلى. يعزز هذا النهج فكرة أن الإجابة الدقيقة ليست هي الهدف. في العديد من المواقف ، يمكن للطلاب أولاً تقدير الحدود العليا والدنيا ، ثم جمع بعض البيانات الحقيقية لتحديد ما إذا كانت الإجابة تقع بين تلك الحدود. في اللعبة التقليدية لتخمين عدد حبوب الهلام في جرة ، على سبيل المثال ، يجب أن يكون جميع الطلاب قادرين على التقدير في حدود المقدار ، أو ربما في حدود ضعفين. ومع ذلك ، فإن إجراء أقرب تخمين ينطوي على بعض الصدفة.

أسئلة فيرمي مفيدة خارج مكان العمل. بعض أسئلة فيرمي لها تداعيات سياسية:

  • كم ميلا من الشوارع في مدينتك أو بلدتك؟ يفكر قائد الشرطة في زيادة وجود الشرطة بحيث يتم تسيير دوريات في كل شارع بالسيارة مرة واحدة على الأقل كل 4 ساعات.
  • متى ستملأ بلدتك مكب النفايات؟ هل هذه مسألة ملحة للغاية بالنسبة لموظفي إدارة النفايات في المدينة لتقييمها بعمق؟
  • في خطابه عن حالة الاتحاد لعام 1997 ، جدد الرئيس كلينتون دعوته لخصم ضريبي يصل إلى 10000 دولار أمريكي مقابل تكلفة التعليم الجامعي. ويقدر أن 16.5 مليون طالب سيستفيدون. هل هذا تقدير معقول لعدد الذين قد يستفيدون من الخصم الضريبي؟ كم ستكون تكلفة الخصم في الإيرادات الفيدرالية الضائعة؟

من السهل إنشاء مشاكل فيرمي. ما عليك سوى طرح الأسئلة الكمية التي لا توجد طريقة عملية لتحديد القيم الدقيقة لها. يمكن تشجيع الطلاب على تكوين أنفسهم. الأمثلة هي: "كم عدد أشجار البلوط في إلينوي؟" أو "كم عدد الأشخاص في الولايات المتحدة الذين تناولوا الدجاج على العشاء الليلة الماضية؟" "إذا كان كل الناس في العالم يقفزون في المحيط ، فما مقدار ذلك رفع مستوى الماء؟ "امنح الطلاب الفرصة لتطوير مشاكل فيرمي الخاصة بهم ومشاركتها مع بعضهم البعض. يمكن أن يحفز بعض التفكير الرياضي الحقيقي.

جدولة المصاعد

مهمة

في بعض المباني ، يمكن لجميع المصاعد أن تنتقل إلى جميع الطوابق ، بينما في البعض الآخر يقتصر المصاعد على التوقف في طوابق معينة فقط. ما هي ميزة وجود المصاعد التي تنتقل فقط إلى طوابق معينة؟ متى يستحق هذا التأسيس؟

تعليق

تعد جدولة المصاعد مثالًا شائعًا لمشكلة التحسين التي لها تطبيقات في جميع جوانب الأعمال والصناعة. لا يمكن للجدولة المثلى بشكل عام توفير الوقت والمال فحسب ، بل يمكنها أيضًا المساهمة في تحقيق السلامة (على سبيل المثال ، في صناعة الطيران). توضح مشكلة المصعد أيضًا ميزة مهمة للعديد من الحجج الاقتصادية والسياسية ومعضلة محاولة تحسين عدة احتياجات مختلفة في وقت واحد.

غالبًا ما يعد السياسيون بسياسات ستكون الأقل تكلفة ، وتنقذ معظم الأرواح ، وتكون الأفضل للبيئة. فكر في التحكم في الفيضانات أو قواعد السلامة المهنية ، على سبيل المثال. عندما نكون محظوظين ، يمكننا أن نجد استراتيجية أقل تكلفة ، استراتيجية تنقذ معظم الأرواح ، أو استراتيجية تضر بالبيئة على أقل تقدير. ولكن قد لا تكون هذه هي نفس الاستراتيجيات: بشكل عام لا يمكن للمرء أن يلبي في نفس الوقت شرطين أو أكثر من شروط التحسين المستقلة. هذه رسالة مهمة للطلاب أن يتعلموها ، من أجل أن يصبحوا مستهلكين ومواطنين أكثر تعليماً وأكثر أهمية.

في مشكلة المصعد ، يمكن التأكيد على رضا العملاء عن طريق تقليل متوسط ​​وقت المصعد (الانتظار بالإضافة إلى الركوب) للموظفين في مبنى المكاتب. إن تقليل وقت الانتظار خلال ساعات الذروة يعني توصيل العديد من الأشخاص بسرعة ، وهو ما يمكن تحقيقه عن طريق ملء المصاعد والتوقف قليلاً. ومع ذلك ، خلال ساعات خارج الذروة ، فإن تقليل وقت الانتظار يعني زيادة توافر المصاعد إلى أقصى حد. لا يوجد سبب للاعتقاد بأن هذين الهدفين سيؤديان إلى نفس الاستراتيجية. إن العثور على أفضل استراتيجية لكل منها هو مشكلة رياضية ، واختيار إحدى الاستراتيجيتين أو استراتيجية حل وسط هو قرار إداري ، وليس خصمًا رياضيًا.

يعمل هذا المثال على تقديم موضوع معقد يكون تحليله جيدًا ضمن نطاق طلاب المدارس الثانوية. على الرغم من أن العمليات الحسابية تتطلب أكثر قليلاً من الحساب ، إلا أن المهمة تضع علاوة على إنشاء استراتيجيات بديلة معقولة. يجب أن يدرك الطلاب أن بعض التكوينات (على سبيل المثال ، كل المصاعد ما عدا واحد يذهب إلى الطابق العلوي والمصعد الذي يذهب إلى جميع المصاعد الأخرى) لا تستحق الدراسة ، بينما البعض الآخر مقبول. عادةً ما يلزم إجراء تقييم منهجي لجميع التكوينات الممكنة للعثور على الحل الأمثل. مثل هذا البحث المنهجي لمساحة الحل الممكنة مهم في العديد من مواقف النمذجة حيث لا تكون الإستراتيجية الرسمية المثلى معروفة. يعد إنشاء وتقييم استراتيجيات معقولة للمصاعد مناسبًا تمامًا لرياضيات طلاب المدارس الثانوية ويؤدي إلى جهد جماعي مدروس. كيف تخترع استراتيجيات جديدة؟ كيف تعرف أنك قد فكرت في جميع الاستراتيجيات المعقولة؟ هذه أسئلة رياضية ، وهي قابلة بشكل خاص للمناقشة الجماعية.

يجب أن يكون الطلاب قادرين على استخدام التقنيات التي تم تطويرها أولاً في حل حالة بسيطة مع عدد قليل من القصص وعدد قليل من المصاعد لمعالجة مواقف أكثر واقعية (على سبيل المثال ، 50 قصة ، خمسة مصاعد). يعد استخدام نتائج مشكلة مماثلة ولكن أبسط لنمذجة مشكلة أكثر تعقيدًا طريقة مهمة للتفكير في الرياضيات. طلاب

بحاجة إلى تحديد البيانات والمتغيرات ذات الصلة. ابدأ بإنشاء نوع المبنى وفندق مدشة ، مبنى إداري ، عمارة سكنية؟ كم عدد الأشخاص في الطوابق المختلفة؟ ما هي وجهاتهم المعتادة (على سبيل المثال ، بالدرجة الأولى الطابق الأرضي أو ربما مطعم على السطح). ماذا يحدث خلال ساعات الذروة؟

للنجاح في مهمة المصعد ، يجب على الطلاب أولاً تطوير نموذج رياضي للمشكلة. قد يكون النموذج عبارة عن تمثيل رسومي لكل مصعد ، مع الوقت على المحور الأفقي والأرضيات ممثلة على المحور الرأسي ، أو تمثيل جدولي يشير إلى الوقت الذي يقضيه كل طابق. يجب على الطلاب تحديد المتغيرات ذات الصلة ووضع افتراضات مبسطة حول الطوابق المحتملة التي سيزورها المصعد.

التحليل الرياضي

يعمل هذا القسم من خلال بعض التفاصيل في حالة بسيطة بشكل خاص. فكر في مبنى إداري مكون من ستة طوابق مشغولة ، ويعمل به 240 شخصًا ، وطابق أرضي غير مخصص للأعمال. لنفترض أن هناك ثلاثة مصاعد ، يمكن لكل منها استيعاب 10 أشخاص. افترض كذلك أن كل مصعد يستغرق 25 ثانية تقريبًا ليملأ الطابق الأرضي ، ثم يستغرق 5 ثوانٍ للتنقل بين الطوابق و 15 ثانية للفتح والإغلاق في كل طابق يتوقف عليه.

السيناريو الأول

ماذا يحدث في الصباح عندما يصل الجميع للعمل؟ افترض أن كل شخص يصل في نفس الوقت تقريبًا ويدخل المصعد في الطابق الأرضي. إذا انتقلت جميع المصاعد إلى جميع الطوابق وإذا تم تقسيم 240 شخصًا بالتساوي بين جميع المصاعد الثلاثة ، فسيتعين على كل مصعد القيام بثماني رحلات كل منها 10 أشخاص.

عند التفكير في رحلة واحدة لمصعد واحد ، افترض من أجل البساطة أن يصعد 10 أشخاص إلى المصعد في الطابق الأرضي وأن المصعد يتوقف عند كل طابق في طريق الصعود ، لأنه قد يكون هناك راكب متجه إلى كل طابق. إضافة 5 ثوانٍ للانتقال إلى كل طابق و 15 ثانية للتوقف ينتج 20 ثانية لكل طابق من الطوابق الستة. في الطريق إلى أسفل ، نظرًا لعدم اصطحاب أي شخص أو تركه ، لا يتوقف المصعد ، ويستغرق 5 ثوانٍ لكل طابق من ستة طوابق لمدة إجمالي 30 ثانية. يتم تمثيل هذه الرحلة ذهابًا وإيابًا في الجدول 1.

الجدول 1: وقت ذهاب وعودة المصعد ، السيناريو الأول

الطابق الأرضي

نظرًا لأن كل مصعد يقوم بـ 8 رحلات ، فإن الوقت الإجمالي سيكون 1400 ثانية أو 23 دقيقة ، و 20 ثانية.

السيناريو الثاني

افترض الآن أن أحد المصاعد يخدم الطوابق 1 و ndash3 ، وبسبب الرحلة الطويلة ، تم تخصيص مصعدين للطوابق 4 و ndash6. المصاعد التي تخدم القمة

الجدول 2: أوقات ذهاب وعودة المصعد ، السيناريو الثاني

الطابق الأرضي

ستوفر الطوابق 15 ثانية لكل طابق من الطوابق 1 و ndash3 من خلال عدم التوقف. سيوفر المصعد الذي يخدم الطوابق السفلية 20 ثانية لكل طابق من الطوابق العليا وسيوفر الوقت في رحلة العودة أيضًا. أوقات هذه الرحلات موضحة في الجدول 2.

بافتراض توزيع الموظفين بالتساوي بين الطوابق (40 شخصًا لكل طابق) ، فإن المصعد A سينقل 120 شخصًا ، ويتطلب 12 رحلة ، والمصعدان B و C سينقلان 120 شخصًا ، ويتطلب كل منهما 6 رحلات. ستستغرق هذه الرحلات 1200 ثانية (20 دقيقة) للمصعد A و 780 ثانية (13 دقيقة) للمصاعد B و C ، مما يؤدي إلى توفير وقت بسيط (حوالي 3 دقائق) خلال السيناريو الأول. نظرًا لأن المصاعد B و C تم الانتهاء منهما في وقت أقرب بكثير من المصعد A ، فمن المحتمل أن يكون هناك حل أكثر كفاءة.

السيناريو الثالث

لا يختلف الوقتان ذهابًا وإيابًا في الجدول 2 كثيرًا لأن المصاعد تتحرك بسرعة بين الطوابق ولكنها تتوقف عند الطوابق ببطء نسبيًا. تشير هذه الملاحظة إلى أن الترتيب الأكثر فاعلية قد يتمثل في تخصيص كل مصعد لزوج من الطوابق. يتم سرد أوقات مثل هذا السيناريو في الجدول 3.

مرة أخرى ، بافتراض وجود 40 موظفًا لكل طابق ، فإن كل مصعد سينقل 80 شخصًا ، مما يتطلب 8 رحلات ، ويستغرق إجمالي 920 ثانية على الأكثر. وبالتالي ، فإن هذا التعيين للمصاعد يؤدي إلى توفير الوقت بنسبة 35 ٪ تقريبًا مقارنة بـ 1400 ثانية التي سيستغرقها توصيل جميع الموظفين عبر مصاعد غير مخصصة.

الجدول 3: أوقات ذهاب وعودة المصعد ، السيناريو الثالث

ربما هذا هو الحل الأمثل. إذا كان الأمر كذلك ، فإن التحليل أعلاه لهذه الحالة البسيطة يقترح فرضيتين:

  1. الحل الأمثل يخصص كل طابق لمصعد واحد.
  2. إذا كان وقت التوقف أكبر بدرجة كافية من وقت التنقل بين الطوابق ، فيجب أن يخدم كل مصعد نفس عدد الطوابق.

رياضيًا ، يمكن للمرء محاولة إظهار أن هذا الحل هو الأمثل من خلال تجربة جميع مهام المصعد الممكنة أو عن طريق التفكير بعناية ، ربما من خلال إظهار أن الفرضيات المذكورة أعلاه صحيحة. من الناحية العملية ، لا يهم لأن هذا الحل يأخذ في الاعتبار ساعة الذروة الصباحية فقط ويتجاهل فترات الاستخدام المنخفض.

من الواضح أن التخصيص ليس هو الأمثل خلال فترات الاستخدام المنخفض ، ويرتبط الكثير من عدم الكفاءة بالفرضية الأولى لتحسين ساعات الذروة: أن كل طابق يخدمه مصعد واحد. في هذه الحالة ، إذا وصل موظف في الطابق 6 إلى الطابق الأرضي بعد مغادرة المصعد C مباشرةً ، على سبيل المثال ، فسيتعين عليه أو عليها الانتظار لمدة دقيقتين تقريبًا حتى يعود المصعد C ، حتى إذا كان المصعدان A و B معطلين. هناك أوجه قصور أخرى لا يتم أخذها في الاعتبار من خلال التركيز على ساعة الذروة. نظرًا لأن كل طابق يخدمه مصعد واحد ، فإن الموظف الذي يرغب في السفر من الطابق 3 إلى الطابق 6 ، على سبيل المثال ، يجب أن يمر عبر الطابق الأرضي وتبديل المصعد. يفضل معظم الموظفين مرونة أكثر من مصعد واحد يخدم كل طابق.

في الأوقات التي لا تكون فيها المصاعد كلها مشغولة ، ستوفر المصاعد غير المخصصة أسرع استجابة وأكبر قدر من المرونة.

نظرًا لأن هذا الحل الأمثل يتعارض مع الحل الأمثل لساعة الذروة ، فإن بعض الحلول الوسط ضرورية. في هذه الحالة البسيطة ، ربما يمكن للمصعد A أن يخدم جميع الطوابق ، والمصعد B يمكن أن يخدم الطوابق من 1 إلى 3 ، والمصعد C يمكن أن يخدم الطوابق من 4 إلى 6.

الفرضية الثانية أعلاه تستحق المزيد من التفكير. كفاءة حل ساعة الذروة يرجع الجدول 3 جزئيًا إلى التقسيم المتساوي للموظفين بين الطوابق. إذا تم توزيع الموظفين بشكل غير متساو ، على سبيل المثال ، مع 120 من 240 شخصًا يعملون في الطابقين العلويين ، فسيحتاج المصعد C إلى القيام بـ 12 رحلة ، تستغرق إجمالي 1380 ثانية ، مما يؤدي إلى عدم وجود أي فائدة تقريبًا من المصاعد غير المخصصة. وبالتالي ، يجب أن يأخذ الحل الفعال في المبنى الفعلي في الاعتبار توزيع الموظفين بين الطوابق.

نظرًا لأن وقت التوقف في كل طابق أكبر بثلاث مرات من وقت السفر بين الطوابق (15 ثانية مقابل 5 ثوانٍ) ، فإن هذا الحل يتجاهل بشكل فعال وقت السفر من خلال تعيين نفس عدد الموظفين لكل مصعد. بالنسبة للمباني العالية ، سيصبح وقت السفر أكثر أهمية. في هذه الحالات ، يجب تعيين عدد أقل من الموظفين للمصاعد التي تخدم الطوابق العليا من المصاعد التي تخدم الطوابق السفلية.

ملحقات

يمكن جعل المشكلة أكثر صعوبة من خلال تغيير عدد المصاعد وعدد الطوابق وعدد الأفراد الذين يعملون في كل طابق. يمكن تحديد معدل حركة المصاعد من خلال مراقبة المباني في المنطقة المحلية. بعض المصاعد تتحرك بسرعة أكبر من غيرها. يمكن أيضًا قياس أوقات الدخول والخروج من خلال جمع الطلاب

بيانات عن المصاعد المحلية. بطريقة مماثلة ، يمكن أخذ عدد العمال والمصاعد والأرضيات من السياقات المحلية.

السؤال ذو الصلة هو ، أين يجب أن تذهب المصاعد عندما لا تكون قيد الاستخدام؟ هل الأفضل لهم أن يعودوا إلى الطابق الأرضي؟ هل يجب أن يبقوا حيث تم إرسالهم آخر مرة؟ هل يجب أن يوزعوا أنفسهم بالتساوي بين الطوابق؟ أم يجب أن يذهبوا إلى طوابق ذات حركة مرور كثيفة متوقعة؟ تعتمد الإجابات على طبيعة المبنى والوقت من اليوم. بدون تحليل ، لن يكون واضحًا على الإطلاق أي استراتيجية هي الأفضل في ظل ظروف محددة. في بعض المباني ، يتم التحكم في المصاعد بواسطة برامج كمبيوتر "تتعلم" ثم تتوقع أنماط حركة المرور في المبنى.

من الأمثلة المختلفة التي يمكن للطلاب استكشافها بسهولة بالتفصيل مشكلة وضع محطة إطفاء أو غرفة طوارئ في المدينة. هنا تتعلق القضية الرئيسية بأوقات السفر إلى المنطقة التي يتم تقديم الخدمة لها ، مع أهداف تحسين متضاربة: متوسط ​​الوقت مقابل الحد الأقصى للوقت. قد لا ينتج الموقع الذي يقلل من الحد الأقصى لوقت الاستجابة أقل متوسط ​​وقت للاستجابة. غالبًا ما يواجه المسافرون خيارات مماثلة في اختيار طرق العمل. قد يرغبون في تقليل متوسط ​​الوقت ، أو الحد الأقصى للوقت ، أو ربما التباين ، بحيث تكون أوقات رحيلهم ووصولهم أكثر قابلية للتنبؤ.

تم التعبير عن معظم شروط التحسين التي تمت مناقشتها حتى الآن بوحدات زمنية. ومع ذلك ، في بعض الأحيان ، ينتج عن شرطين للتحسين استراتيجيات يتم التعبير عن نتائجها في وحدات قياس مختلفة (وأحيانًا غير متوافقة). في العديد من قضايا السياسة العامة (مثل التأمين الصحي) تكون الوحدات عبارة عن أرواح وأموال. بالنسبة للقضايا البيئية ، يصعب أحيانًا تحديد الوحدات نفسها (على سبيل المثال ، جودة الحياة).

عندما تكون إحدى الوحدات عبارة عن أموال ، فمن السهل العثور على استراتيجيات باهظة الثمن ولكن من المستحيل العثور على استراتيجيات بدون تكلفة تقريبًا. في بعض المواقف ، مثل سلامة الخطوط الجوية ، التي توازن الأرواح مقابل الدولارات ، لا توجد استراتيجية تقلل من الأرواح المفقودة (نظرًا لأن الدولارات الإضافية تنتج دائمًا زيادات طفيفة في السلامة) ، وستكون الإستراتيجية التي تقلل الدولارات إلى أدنى حد. من الواضح أن بعض الحلول الوسط ضرورية. يمكن أن يساعد العمل مع نماذج الحلول المختلفة الطلاب على فهم عواقب بعض الحلول الوسط.

أيام درجة التسخين

مهمة

تلقت إحدى الشركات الاستشارية في مجال الطاقة التي توصي بتركيب العزل وأجهزة توفير الطاقة المماثلة شكوى من أحد العملاء. في الصيف الماضي ، دفعت 540 دولارًا لعزل علية منزلها بناءً على توقع أنها ستوفر 10٪ من فواتير الغاز الطبيعي لديها. ومع ذلك ، كانت فواتير الغاز لديها أعلى من الشتاء السابق ، وهي الآن تريد استرداد تكلفة العزل. تعترف أن هذا الشتاء كان أكثر برودة من الماضي ، لكنها ما زالت تتوقع أن ترى بعض المدخرات.

الحقائق: هذا الشتاء استخدمت الزبون 1،102 حراريًا ، بينما في الشتاء الماضي استخدمت 1054 حراريًا فقط. كان هذا الشتاء أكثر برودة: 5101 يومًا درجة حرارة هذا الشتاء مقارنة بـ 4201 يومًا درجة حرارة في الشتاء الماضي. (انظر الشرح أدناه.) كيف يشرح ممثل شركة استشارات الطاقة لهذا الزبون أن أيام درجة التدفئة المتراكمة تقيس مقدار البرودة التي كان عليها هذا الشتاء ، ثم يشرح كيفية حساب مدخراتها المتوقعة مقابل مدخراتها الفعلية.

تعليق

قد يكون شرح الرياضيات وراء الموقف تحديًا ويتطلب معرفة حقيقية بالسياق والإجراءات والمفاهيم الرياضية الأساسية. يعتبر هذا التواصل للأفكار الرياضية أداة تعليمية قوية لطلاب الرياضيات بالإضافة إلى مهارة مهمة في مكان العمل. على الرغم من أن الإجراء الخاص بهذه المشكلة يتضمن النسب فقط ، إلا أن التفسير الشامل للرياضيات الكامنة وراء الإجراء يتطلب فهم النمذجة الخطية والتفكير الجبري ذي الصلة والتراكم والسلائف الأخرى لحساب التفاضل والتكامل ، بالإضافة إلى فهم استخدام الطاقة في التدفئة المنزلية.

التحليل الرياضي

يبدو أن العميل يفهم أن المقارنة المباشرة لاستخدام الغاز لا تأخذ في الاعتبار التكاليف الإضافية للطقس البارد ، والتي يمكن أن تكون كبيرة. ولكن قبل حساب أي مدخرات متوقعة أو فعلية ، يحتاج العميل إلى بعض الفهم لأيام درجة التدفئة. لسنوات عديدة ، كانت خدمات الطقس وشركات النفط والغاز تستخدم أيام درجات التدفئة لشرح استخدام الطاقة والتنبؤ به وقياس توفير الطاقة للعزل والأجهزة الأخرى. تُستخدم وحدات اليوم الدراسي المماثلة أيضًا في دراسة أعداد الحشرات ونمو المحاصيل. يوفر المفهوم مقياسًا بسيطًا للكمية المتراكمة من الطقس البارد أو الدافئ بمرور الوقت. في المناقشة التالية ، يتم إعطاء جميع درجات الحرارة بالدرجات فهرنهايت ، على الرغم من أن العملية قابلة للتطبيق بنفس الدرجة باستخدام درجات مئوية.

لنفترض ، على سبيل المثال ، أن درجة الحرارة الدنيا في مدينة في يوم معين هي 52 درجة وأقصى درجة حرارة 64 درجة. ثم يتم أخذ متوسط ​​درجة الحرارة لهذا اليوم ليكون 58 درجة. بطرح الناتج من 65 درجة (نقطة القطع للتدفئة) ينتج 7 درجات حرارة - أيام لليوم. من خلال تسجيل درجات الحرارة المرتفعة والمنخفضة وحساب متوسطها كل يوم ، يمكن تجميع أيام درجة التدفئة على مدار شهر أو شتاء أو أي فترة زمنية كمقياس لبرودة تلك الفترة.

على مدار خمسة أيام متتالية ، على سبيل المثال ، إذا كان متوسط ​​درجات الحرارة 58 ، و 50 ، و 60 ، و 67 ، و 56 درجة فهرنهايت ، فإن الحساب ينتج 7 ، 15 ، 5 ، 0 ، و 9 درجات تدفئة - أيام على التوالي ، للتراكم الكلي 36 يوم درجة حرارة لمدة خمسة أيام. لاحظ أن اليوم الرابع يساهم بـ 0 درجة حرارة-يوم في المجموع لأن درجة الحرارة كانت أعلى من 65 درجة.

يتم تمثيل العلاقة بين متوسط ​​درجات الحرارة وأيام درجة التسخين بيانياً في الشكل 1. يتم عرض متوسط ​​درجات الحرارة على طول الرسم البياني للخط الصلب. تمثل مساحة كل مستطيل مظلل عدد أيام درجة التسخين لذلك اليوم ، لأن عرض كل مستطيل هو يوم واحد وارتفاع كل مستطيل هو عدد الدرجات التي تقل عن 65 درجة. بمرور الوقت ، يمثل مجموع مناطق المستطيلات عدد أيام درجة التسخين المتراكمة خلال الفترة. (سيتعرف مدرسو حساب التفاضل والتكامل على الروابط بين هذه الأفكار وحساب التفاضل والتكامل المتكامل.)

إن البيان القائل بأن أيام درجة التدفئة المتراكمة يجب أن تكون متناسبة مع استخدام الغاز أو زيت التدفئة يستند أساسًا إلى افتراضين: أولاً ، في اليوم الذي يكون متوسط ​​درجة الحرارة فيه أعلى من 65 درجة ، لا يجب أن تكون هناك حاجة للتدفئة ، وبالتالي يجب أن يكون هناك لا تستخدم الغاز أو زيت التدفئة ثانيًا ، يجب أن يتطلب اليوم الذي يكون متوسط ​​درجة الحرارة فيه 25 درجة (40 درجة حرارة - يومًا) ضعف التدفئة مقارنة باليوم الذي يكون متوسط ​​درجة الحرارة فيه 45

الشكل 1: أيام درجة التسخين اليومية

درجة (20 درجة تسخين - يومًا) لأنه يوجد ضعف فرق درجة الحرارة عن الحد الأقصى البالغ 65 درجة.

الافتراض الأول معقول لأن معظم الناس لن يشعلوا الحرارة إذا كانت درجة الحرارة بالخارج أعلى من 65 درجة.يتفق الافتراض الثاني مع قانون نيوتن للتبريد ، والذي ينص على أن معدل تبريد الجسم يتناسب مع الاختلاف في درجة الحرارة بين الجسم وبيئته. أي أن المنزل الذي يكون أكثر دفئًا 40 درجة من بيئته سوف يبرد بمعدل ضعفي (وبالتالي يستهلك الطاقة بمعدل ضعف معدل الدفء) للمنزل الذي يكون أكثر دفئًا 20 درجة من بيئته.

يمكن للعميل الذي يقبل نموذج درجة الحرارة اليومية كمقياس لاستخدام الطاقة مقارنة استخدام هذا الشتاء مع الشتاء الماضي. نظرًا لأن 5،101 / 4،201 = 1.21 ، كان هذا الشتاء أكثر برودة بنسبة 21٪ من الشتاء الماضي ، وبالتالي يجب أن يتطلب كل منزل حرارة أكثر بنسبة 21٪ من الشتاء الماضي إذا لم تقم هذه الزبون بتركيب العزل ، لكانت بحاجة إلى حرارة أكثر بنسبة 21٪ مقارنة بالعام الماضي ، أو حوالي 1،275 حراري. بدلاً من ذلك ، طلبت 5٪ فقط من الحرارة (1،102 / 1054 = 1.05) ، مما أدى إلى توفير 14٪ من المبلغ المطلوب (1،102 / 1،275 = .86).

هناك طريقة أخرى لذلك تتمثل في ملاحظة أنه في العام الماضي استخدم العميل 1054 درجة حرارية / 4201 درجة حرارة-يوم = 0.251 درجة حرارية / درجة حرارة-يوم ، بينما استخدمت هذا العام 1102 درجة حرارية / 5101 درجة تدفئة-أيام = .216 درجة حرارة / تسخين-يوم توفير 14٪ كما في السابق.

ملحقات

ما مدى جودة نموذج درجة الحرارة اليومية في التنبؤ باستخدام الطاقة؟ في المنزل الذي يحتوي على مقياس حرارة ومقياس غاز أو مقياس على خزان ، يمكن للطلاب تسجيل البيانات اليومية لاستخدام الغاز ودرجة الحرارة العالية والمنخفضة لاختبار دقة النموذج. يتطلب جمع البيانات بضع دقائق فقط يوميًا للطلاب الذين يستخدمون مقياس حرارة إلكترونيًا داخليًا / خارجيًا يتتبع درجات الحرارة العالية والمنخفضة. بالطبع ، يجب أن يؤخذ الغاز المستخدم في الطهي وتسخين المياه في الاعتبار. بالنسبة للمنازل التي لا يحتوي خزان الغاز فيها على مقياس أو لا يوفر بيانات دقيقة كافية ، يمكن إجراء تجربة مماثلة تتعلق بأيام درجة التدفئة المتراكمة باستخدام الغاز أو الزيت بين عمليات التعبئة.

اتضح أنه في المنازل الحديثة محكمة الإغلاق ، يمكن أن تكون درجة الحرارة المقطوعة للتدفئة أقل من 65 درجة (أحيانًا تصل إلى 55 درجة) بسبب الحرارة الناتجة عن المصابيح الكهربائية والأجهزة والطبخ والأشخاص والحيوانات الأليفة. عند درجات حرارة أقل بشكل كافٍ من الحد الأقصى ، يتبين أن الخطية هي افتراض جيد. يجب أن يعثر الانحدار الخطي على بيانات الاستخدام اليومية (التي تم جمعها على النحو المقترح أعلاه) على معادلة مثل يو = -.251(تي - 65) أين تي هو متوسط ​​درجة الحرارة و يو هو استخدام الغاز. لاحظ أن المنحدر ، -.251 ، هو استخدام الغاز لكل درجة حرارة في اليوم ، و 65 هو الحد الأقصى. لاحظ أيضًا أن تراكم أيام درجة التسخين يأخذ معادلة خطية ويحولها إلى نسبة. هناك بعض قضايا تحليل البيانات الهامة التي يمكن معالجتها من خلال مثل هذا التحقيق. من الخطير في بعض الأحيان ، على سبيل المثال ، افتراض الخطية بنقاط بيانات قليلة فقط ، لكن هذا النموذج المستخدم على نطاق واسع يفترض أساسًا الخطية من نقطة بيانات واحدة فقط ، والنقطة الأخرى لها إحداثيات 65 درجة ، 0 استخدام الغاز.

ما مدى درجات الحرارة ، إن وجدت ، هل هذا افتراض معقول؟ هل الطريقة القياسية لحساب متوسط ​​درجة الحرارة طريقة جيدة؟ على سبيل المثال ، إذا كان اليوم في الغالب يقترب من 20 درجة ولكن ترتفع درجة حرارته إلى 50 درجة لفترة قصيرة بعد الظهر ، فهل 35 درجة حرارة - درجة حرارة مقياس جيد للتدفئة المطلوبة في ذلك اليوم؟ تعد حساب متوسطات الوظائف بمرور الوقت مشكلة قياسية يمكن حلها باستخدام حساب التفاضل والتكامل. مع معرفة المعدلات النموذجية والمتطرفة لتغير درجة الحرارة ، يمكن أن يصبح هذا مشكلة في حساب التفاضل والتكامل أو مشكلة لحل تقريبي بالطرق الرسومية بدون حساب التفاضل والتكامل ، مما يوفر خبرة أساسية لبعض الأفكار المهمة في حساب التفاضل والتكامل.

يمكن للطلاب أيضًا التحقيق في المدخرات الفعلية بعد عزل منزل في منطقتهم التعليمية. قد يرى العميل عادةً توفيرًا بنسبة 8-10 ٪ لعزل الأسطح ، على الرغم من أنه إذا كان المنزل مؤطرًا بحيث تعمل الجدران مثل المداخن ، فتنقل الهواء من المنزل والطابق السفلي إلى العلية ، فقد يكون هناك القليل جدًا من المدخرات. من ناحية أخرى ، يمكن أن يؤدي القضاء على التسريبات الكبيرة إلى تحقيق وفورات تصل إلى 25٪.

تناقش بعض دراسات وزارة الطاقة الأمريكية العلاقة بين أيام درجة التدفئة والأداء وتجد أن درجة حرارة القطع تكون أقل في بعض المنازل الحديثة. مكاتب الطاقة الحكومية لديها أيضا وثائق مفيدة.

ما العلاقة بين أيام درجة التسخين المحسوبة باستخدام درجات فهرنهايت ، على النحو الوارد أعلاه ، ودرجات درجات التدفئة بالأيام المحسوبة باستخدام درجات مئوية؟ يتطلب إظهار أن التحويل الصحيح هو نسبة مباشرة وليست صيغة التحويل القياسية فهرنهايت-مئوية بعض التفكير الرياضي الدقيق والمعقد.


في حين أن هناك مجموعة واسعة من المسارات المحتملة التي يمكنك متابعتها بشهادة الرياضيات ، فإننا سنركز على خمس فرص. إنها تغطي العديد من الصناعات وتقدم تحديات مختلفة.

على الرغم من أن هذه الأدوار تتطلب قدرات رياضية مختلفة ، إلا أنها جميعًا تستفيد من المهارات الأساسية للنظام.

محلل بحوث العمليات

يواجه المتخصصون في الأعمال التجارية يوميًا قرارات صعبة ، وقد يطلبون مساعدة محلل أبحاث العمليات لتلك القرارات الأكثر أهمية. يساعد هؤلاء المحترفون في حل مشاكل العمل في مجالات من الخدمات اللوجستية إلى التسعير يستخدمون أدوات قائمة على الرياضيات مثل التحليل الإحصائي والنمذجة التنبؤية والمحاكاة في عملهم.

يركز محللو أبحاث العمليات على إيجاد استراتيجيات عملية ومبتكرة لزيادة الكفاءة والإنتاجية ، ويستخدمون مهارات الاتصال لمشاركة نتائجهم مع أصحاب المصلحة.

النمو والراتب

اعتبارًا من عام 2016 ، كان هناك 114000 منصب محلل أبحاث عمليات في الولايات المتحدة ، وفقًا لـ BLS. ومن المتوقع افتتاح 31300 فرصة عمل إضافية في الفترة من 2016 إلى 2026 ، مما يدل على معدل نمو سريع بنسبة 27٪. كان متوسط ​​الأجر لمحلل أبحاث العمليات في عام 2017 أكثر من 81000 دولار.

المهارات الموصى بها للنجاح:

  • حل المشاكل
  • تحليل البيانات
  • منطق
  • تواصل
  • صناعة القرار

مستشار احصائي

يمكن لخريجي الرياضيات الذين يستمتعون باستكشاف البيانات الجديدة والمشاكل المتنوعة البحث عن عمل كمستشار إحصائي. يقدم هؤلاء المحترفون حلولًا للتحديات في مجموعة من المجالات والصناعات من خلال تطبيق الأساليب الإحصائية. غالبًا ما تقوم المنظمات بتوظيفهم على أساس تعاقدي قصير الأجل ، على الرغم من أن آخرين يجلبون الإحصائيين كموظفين بدوام كامل. بالإضافة إلى المعرفة التقنية ، يحتاج المستشارون الإحصائيون إلى مهارات بسيطة لأنه يجب عليهم الاستماع إلى احتياجات عملائهم وإبلاغ توصياتهم بوضوح.

متوسط ​​الراتب للمستشار الإحصائي ، وفقًا لـ PayScale ، هو 79000 دولار. وفقًا لمعيار BLS ، قد تنمو فرص الإحصائيين بنسبة مذهلة تبلغ 33٪ بين عامي 2016 و 2026.

المهارات الموصى بها للنجاح:

  • بحث
  • تحليل البيانات
  • إحصائيات
  • منطق
  • تواصل
  • إبداع
  • حل المشاكل

محلل مالي

عند اتخاذ القرارات المالية والاستثمارية ، يلجأ الكثير من الناس إلى المحللين الماليين لخبراتهم. يقوم هؤلاء المحترفون بفحص البيانات واتباع الاتجاهات والتوصية بالاستراتيجيات التي تكمل الأهداف المالية لعملائهم. قد يعملون بشكل مستقل أو كموظفين في بنك أو شركة تأمين أو صندوق تقاعد أو شركة أوراق مالية أو صندوق استثمار مشترك أو بيئات أخرى. يمكن لعملهم أن يخدم الأفراد أو الشركات بأكملها في عملية صنع القرار المالي. بالإضافة إلى ذلك ، يتخصص العديد في مجال معين ، مثل إدارة المحافظ أو تحليل المخاطر أو إدارة صناديق التحوط. هذا المسار الوظيفي للرياضيات مثالي لأولئك الذين يستمتعون بالجوانب التقنية للوظيفة وكذلك العمل مع الناس.

حصل المحللون الماليون على أجر متوسط ​​بلغ حوالي 84000 دولار سنويًا في عام 2017 ، وفقًا لـ BLS. من المتوقع أن يشهد هذا المجال نموًا بنسبة 11 ٪ في فرص العمل من عام 2016 إلى عام 2026 ، مع إضافة أكثر من 32000 وظيفة جديدة.

المهارات الموصى بها للنجاح:

  • مهارات تحليلية
  • فهم التمويل
  • تحليل البيانات
  • التفكير النقدي
  • الاستماع والتواصل

رياضياتي

يطبق علماء الرياضيات معرفتهم المتخصصة لحل مشاكل العالم الواقعي والنظرية. من خلال تحليل المعلومات وتحديد الاتجاهات وتنقيح النماذج ، فإنها تقدم حلولًا تعتمد على البيانات. يعمل هؤلاء المحترفون في مجموعة متنوعة من المجالات ، بما في ذلك الأوساط الأكاديمية والحكومية والهندسة والكيمياء والطب والتعليم والمزيد. غالبًا ما يستخدمون - وأحيانًا ينشئون - برامج لتحليل البيانات أو تقديم نتائجهم بتنسيق سهل الاستخدام.

تتوقع BLS زيادة بنسبة 34 ٪ في عدد فرص العمل المتاحة لعلماء الرياضيات والإحصائيين من 2016 إلى 2026 - نمو أعلى بكثير من المتوسط. بلغ متوسط ​​الأجر في عام 2017 ما يقرب من 103000 دولار في السنة.

المهارات الموصى بها للنجاح:

  • تحليل البيانات
  • حل المشاكل
  • منطق
  • مهارات الحاسوب
  • إبداع
  • التفكير النقدي

عالم البيانات

يساعد علماء البيانات الشركات على فهم كميات كبيرة من البيانات. سواء كانت المؤسسات تسعى إلى الاستفادة من البيانات لاتخاذ قرارات استثمارية أفضل ، أو التسويق بشكل أكثر فعالية ، أو العثور على أسعار مثالية ، أو أي عدد من التحديات الأخرى ، فإن علماء البيانات يتفوقون في تحليل المعلومات وتفسيرها للمساعدة في اتخاذ خيار يعتمد على البيانات. يعمل علماء البيانات في مجالات مثل التمويل والتكنولوجيا والطب والأوساط الأكاديمية والحكومة وغير ذلك - وهم ذوو قيمة عالية لخبراتهم ومساهماتهم.

تتوقع BLS أن فرص العمل للعديد من تخصصات علوم البيانات ستنمو بنسبة 19٪ من 2016 إلى 2026. يكسب العديد من علماء البيانات أكثر من 100،000 دولار سنويًا.

المهارات الموصى بها للنجاح:

  • علوم الكومبيوتر
  • تحليل البيانات
  • التفكير النقدي
  • إحصائيات
  • تفسير البيانات وتصورها

البنية

الطوبولوجيا هي دراسة الأشكال والفراغات. ماذا يحدث إذا سمح أحدهم بالتمدد أو الضغط على الأشياء الهندسية دون أن تنكسر؟ في الواقع ، هناك قدر كبير من البنية في ما تبقى ، وهو الموضوع الرئيسي للدراسة في الطوبولوجيا.

يستمد مجال الطوبولوجيا الحديث من مجموعة متنوعة من المجالات الأساسية للرياضيات. يتم وصف الكثير من الطوبولوجيا الأساسية بشكل مربح في لغة الجبر - المجموعات والحلقات والوحدات والتسلسلات الدقيقة. لكن الطوبولوجيا لها صلات وثيقة بالعديد من المجالات الأخرى ، بما في ذلك التحليل (الهياكل التحليلية مثل الأشكال التفاضلية تلعب دورًا مهمًا في الطوبولوجيا) ، والهندسة التفاضلية والمعادلات التفاضلية الجزئية (من خلال الموضوع الحديث لنظرية القياس) ، والهندسة الجبرية (على سبيل المثال ، من خلال طوبولوجيا الأصناف الجبرية) ، التوافقية (نظرية العقدة) ، والفيزياء النظرية (النسبية العامة وشكل الكون ، نظرية الأوتار). بالإضافة إلى ذلك ، يمكن استخدام الطوبولوجيا بشكل لافت للنظر لدراسة مجموعة متنوعة من المجالات "التطبيقية" التي تتراوح من بنية مجموعات البيانات الكبيرة إلى هندسة الحمض النووي. يتم تمثيل العديد من هذه الخيوط المختلفة للطوبولوجيا من قبل أعضاء هيئة التدريس في ديوك.


شاهد الفيديو: رياضيات متخصصة. الدائرة. أ. مأمون الطماس (كانون الثاني 2022).