مقالات

4.8: نظرية جرين في المستوى


تسمح لنا نظرية جرين بتحويل الخط المتكامل إلى تكامل مزدوج فوق المنطقة المحاطة بـ (C ). يتم تقديم المناقشة من حيث مجالات السرعة لتدفق السوائل (السائل هو سائل أو غاز) لأنه من السهل تصورها. ومع ذلك ، تنطبق نظرية جرين على أي مجال متجه ، بغض النظر عن أي تفسير معين للمجال ، بشرط استيفاء افتراضات النظرية. نقدم فكرتين جديدتين لنظرية جرين: التباعد وكثافة الدوران حول محور عمودي على المستوى.

تشعب

افترض أن (F (x، y) = M (x، y) hat { textbf {i}} + N (x، y) hat { text {j}} ) هو حقل السرعة سائل يتدفق في المستوى وأن المشتقات الجزئية الأولى لـ (M ) و (N ) متصلة في كل نقطة من المنطقة (R ).

لنفترض ((س ، ص) ) أن تكون نقطة في (ص ) وليكن (أ ) مستطيلًا صغيرًا بزاوية واحدة عند ((س ، ص) ) ، جنبًا إلى جنب مع الجزء الداخلي ، تقع بالكامل في (ص ). جوانب المستطيل ، الموازية لمحاور الإحداثيات ، لها أطوال ( Delta x ) و ( Delta y ). افترض أن المكونين (M ) و (N ) لا يغيران العلامة في جميع أنحاء منطقة صغيرة تحتوي على المستطيل (أ ). المعدل الذي يترك عنده السائل المستطيل عبر الحافة السفلية تقريبًا

[F (x، y) = M (x، y) hat { textbf {i}} + N (x، y) hat { textbf {j}} ]

هذا هو المكون القياسي للسرعة عند ((س ، ص) ) في اتجاه الطبيعي الخارجي مضروبًا في طول المقطع. إذا كانت السرعة بالأمتار في الثانية ، على سبيل المثال ، فإن معدل التدفق سيكون بالأمتار في الثانية في المتر أو المتر المربع في الثانية. يمكن تقدير المعدلات التي يعبر بها السائل الجوانب الثلاثة الأخرى في اتجاهات معاييرها الخارجية بطريقة مماثلة. قد تكون معدلات التدفق موجبة أو سلبية حسب علامات مكونات (F ). نقرب معدل التدفق الصافي عبر الحدود المستطيلة لـ (A ) من خلال جمع معدلات التدفق عبر الحواف الأربعة كما هو محدد بواسطة منتجات النقاط التالية.

  • أعلى: [F (x، y + Delta y) cdot ( hat { textbf {j}}) Delta x = -N (x، y + Delta y) Delta x ]
  • أسفل: [F (x، y) cdot (- hat { textbf {j}}) Delta x = -N (x، y) Delta x ]
  • اليمين: [F (x + Delta x، y) cdot ( hat { textbf {i}}) Delta y = M (x + Delta x، y) Delta y ]
  • اليسار: [F (x، y) cdot (- hat { textbf {i}}) Delta y = -M (x، y) Delta y ]

جمع الأزواج المتقابلة يعطي

  • أعلى وأسفل: [(N (x، y + Delta y) -N (x، y)) cdot ( Delta x) ]
  • يمينًا ويسارًا: [(M (x + Delta x، y) -M (x، y)) cdot ( Delta y) ]

تعطي إضافة هاتين المعادلتين الأخيرتين التأثير الصافي لمعدلات التدفق ، أو التدفق عبر حدود المستطيل. نقسم الآن على (س ص ) لتقدير التدفق الكلي لكل وحدة مساحة أو كثافة التدفق للمستطيل: أخيرًا ، ندع (J_ {lx} ) و (J_ {ly} ) يقتربان من الصفر لتحديد كثافة التدفق (F ) عند النقطة ((س ، ص) ). في الرياضيات ، نسمي كثافة التدفق اختلاف (F ). الرمز الخاص به هو div (F ) ، ويُنطق "divergence of (F )" أو "div (F )."

الاختلاف (كثافة التدفق) لحقل متجه (F = نص {النقطة} (س ، ص) ) هو

[divF = dfrac { جزئي M} { جزئي x} + dfrac { جزئي N} { جزئي x}. ]

تدور حول محور: مكون k لـ Curl

الفكرة الثانية التي نحتاجها لقاعدة نظرية جرين تتعلق بقياس كيفية دوران عجلة مجداف عائمة ، ذات محور عمودي على المستوى ، عند نقطة في مائع يتدفق في منطقة مستوية. تعطي هذه الفكرة فكرة عن كيفية دوران السائل حول المحاور الموجودة في نقاط مختلفة وعمودية على المنطقة. يشير الفيزيائيون أحيانًا إلى هذا على أنه كثافة دوران حقل متجه (F ) عند نقطة ما. للحصول عليها ، نعود إلى مجال السرعة

[F (x، y) = M (x، y) hat { textbf {i}} + N (x، y) hat { textbf {j}} ]

وفكر في المستطيل (A ) في الشكل 16.29 (حيث نفترض أن كلا مكوني (F ) موجبين).

معدل دوران (F ) حول حدود (A ) هو مجموع معدلات التدفق على طول الجانبين في الاتجاه العرضي. بالنسبة للحافة السفلية ، يكون معدل التدفق تقريبًا

[F (x، y) cdot ( hat { textbf {i}}) Delta x = -M (x، y) Delta x ]

هذا هو المكون القياسي للسرعة (F (x، y) ) في اتجاه الظل ( hat { textbf {i}} ) مضروبًا في طول المقطع. قد تكون معدلات التدفق موجبة أو سلبية حسب مكونات (F ). نحن نقرب معدل الدوران الصافي حول الحدود المستطيلة لـ (A ) من خلال جمع معدلات التدفق على طول الحواف الأربعة كما هو محدد بواسطة منتجات النقاط التالية.

  • أعلى: [F (x، y + Delta y) cdot (-i) Delta x = -M (x، y + Delta y) Delta x ]
  • أسفل: [F (x، y) cdot ( hat { textbf {i}}) Delta x = M (x، y) Delta x ]
  • اليمين: [F (x + Delta x، y) cdot ( hat { textbf {j}}) Delta y = N (x + Delta x، y) Delta y ]
  • اليسار: [F (x، y) cdot (- hat { textbf {j}} Delta y = - N (x، y) Delta y ]
  • أعلى وأسفل: [- (M (x، y + Delta y) -M (x، y)) cdot ( Delta x) ]
  • يمينًا ويسارًا: [(N (x + Delta x، y) -N (x، y)) cdot ( Delta y) ]

إضافة هاتين المعادلتين الأخيرتين تعطي صافي الدوران بالنسبة لاتجاه عقارب الساعة ، والقسمة على JlxJly تعطي تقديرًا لكثافة الدوران للمستطيل:

الدوران حول منطقة المستطيل المستطيل

سمحنا (J_ {lx} ) و (J_ {ly} ) بالاقتراب من الصفر لتحديد كثافة الدوران (F ) عند النقطة ((x، y) ).

إذا رأينا دورانًا في عكس اتجاه عقارب الساعة يتجه لأسفل على المستوى xy من طرف متجه الوحدة ( hat { textbf {k}} ) ، فإن كثافة الدورة الدموية موجبة (الشكل 16.30). قيمة كثافة التدوير هي ( hat { textbf {k}} ) - المكون لحقل متجه دوراني أكثر عمومية تناولناه في القسم 16.7 ، ويسمى تجعيد حقل المتجه (F ). بالنسبة إلى نظرية جرين ، نحتاج فقط إلى هذا المكون ( hat { textbf {k}} ).

كثافة الدوران لحقل المتجه (F = M hat { textbf {i}} + N hat { textbf {j}} ) عند النقطة ((x، y) ) هي التعبير القياسي

[ dfrac { جزئي M} { جزئي x} - dfrac { جزئي N} { جزئي x} ]

Theorem ( PageIndex {1} ): نظرية Green (صيغة Flux-Divergence)

لنفترض (C ) أن يكون منحنىًا سلسًا وبسيطًا مغلقًا يتضمن منطقة (ص ) في المستوى. لنفترض أن (F = M hat { textbf {i}} + N hat { textbf {j}} ) يكون حقل متجه يحتوي على (M ) و (N ) المشتقات الجزئية الأولى المستمرة في منطقة مفتوحة تحتوي على (R ). ثم التدفق الخارجي لـ (F ) عبر (C ) يساوي التكامل المزدوج لـ (div F ) فوق المنطقة (R ) المحاطة بـ (C ).

[ oint_C F cdot nds = oint_CMdy-Ndx = iint_ {R} ^ {} left ( dfrac { جزئي M} { جزئي x} + dfrac { جزئي N} { جزئي x} الحق) dx ، dy ]

Theorem ( PageIndex {2} ): نظرية Green (صيغة Flux-Divergence)

لنفترض (C ) أن يكون منحنىًا سلسًا وبسيطًا مغلقًا يتضمن منطقة (ص ) في المستوى. ثم الدوران في عكس اتجاه عقارب الساعة لـ (F ) حول (C ) يساوي التكامل المزدوج لـ ((curl F) cdot k ) على (R ).

[ oint_C F cdot Tds = oint_CMdy + Ndx = iint_ {R} ^ {} left ( dfrac { جزئي N} { جزئي x} - dfrac { جزئي M} { جزئي x} الحق) dx ، dy ]


لذا فإن المسألة تتطلب تقييم التكامل على طول محيط الوظيفة (e ^ x) * cos (y) * dx- (e ^ x) * sin (y) * dy ، حيث يكون الكفاف C خطًا متقطعًا من A = (ln (2)، 0) to D = (0،1) to B = (-ln (2)، 0).

أعلم أن النظرية تنص على أن تكامل حقل المتجه المنقط في جزء صغير dl من الكفاف يساوي التكامل المزدوج للمكون الطبيعي (في هذه الحالة المكون z) من التفاف مجال المتجه. إذن ∫V (نقطة) dl على كفاف مغلق = ∫∫ (جزئي فيما يتعلق بـ x للمكون y للحقل المتجه - جزئي فيما يتعلق بـ y للمكون x للحقل المتجه) dσ فوق المنطقة σ .


نظرية جرين



سلسلة من دروس الفيديو المجانية في حساب التفاضل والتكامل.

نظرية جرين
يعطي هذا الفيديو نظرية جرين ويستخدمها لحساب قيمة خط متكامل

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


4.8: نظرية جرين في المستوى

و 4 آخرين انضموا منذ دقيقة.

هنا $ P = x ^ 2 - y $ و $ Q = 2y ^ 2 + x $

على طول القوس ADB $ y = x ^ 2 $ - & gt dy = 2xdx

دولار دولي حدود_> (Pdx + Qdy) = int limits_ <0> ^ <2> (x ^ 2 - x ^ 2) + (2x4 + x) 2xdx $ $ so int limits_> (Pdx + Qdy) = int limits_ <0> ^ <2> 0 + (4x ^ 5 + 2x ^ 2) dx $ $ so int limits_> (Pdx + Qdy) = bigg [ frac <4x ^ 6> <6> + frac <2x ^ 3> <3> bigg] _ <0> ^ <2> $ $ so int limits_> (Pdx + Qdy) = frac <128> <3> + frac <16> <3> = frac <144> <3> $

$ وبالتالي int limits_> Pdx + Qdy = int limits_ <2> ^ <0> (x ^ 2 - 4) dx $ $ so int limits_> Pdx + Qdy = bigg [ frac <3> - 4x bigg] _ <2> ^ <0> $ $ so int limits_> Pdx + Qdy = frac <-8> <3> + 8 $ so int limits_> Pdx + Qdy = frac <16> <3> $

دولار دولي حدود_ Pdx + Qdy = int limits_ <4> ^ <0> 2y ^ 2 dy = bigg [ frac <2y ^ 3> <3> bigg] _ <4> ^ <0> $ $ = frac < -2 * 64> <3> $ $ = frac <-128> <3> $ $ وبالتالي $ Total ie $ int limits_ Pdx + Qdy = frac <144> <3> + frac <16> <3> - frac <128> <3> = frac <32> <3> $

الآن ستمتد الحدود الخارجية من 0 إلى 2 في الاتجاه الأفقي وبالتالي x - & gt 0 إلى 2

الحد الأعلى هو معادلة الخط أي J = 4

والحد الأدنى هو منحنى القطع المكافئ ، أي $ y = x ^ 2 $

$ وبالتالي int int bigg ( frac < جزئي Q> < جزئي x> - frac < جزئي P> < جزئي y> bigg) dxdy = int limits_ <0> ^ <2 > int limits_ <4> (1 + 1) dxdy $ $ so int limits_ <0> ^ <2> [2y] _^ <4> dx = int limits_ <0> ^ <2> 2 (4 - x ^ 2) dx $ $ = bigg [4x - frac<3> bigg] _ <0> ^ <2> $ $ = 2 bigg [8 - frac <8> <3> bigg] $ $ = 2 * frac <16> <3> $ $ = فارك <32> <3> $


حسابات المساحات في المستوى باستخدام نظرية Green & # 039s

تعتبر نظرية جرين أداة قوية جدًا في حساب التفاضل والتكامل. لنفكر في حقل متجه $ F (x، y) = (P (x، y)، Q (x، y)) $ و $ C $ منحنى مغلق في المستوى و $ S $ السطح الداخلي المحدد بواسطة منحنى.

ثم: $$ int_C F dr = iint_S big (Q_x-P_y big) dx dy $$

التطبيق في حساب المناطق هو التالي. سنعتقد أن هذا الحقل هو $ Q_x-P_y = 1 $ ، ثم المصطلح الموجود على اليمين هو فقط مساحة العلبة $ S $. لذلك ، سنكون قادرين على حسابه بعمل سطر واحد متكامل على حدود العلبة.

هناك العديد من الحقول التي تفي بالخاصية $ Q_x-P_y = 1 $ ، لكن أكثرها استخدامًا هي:

على سبيل المثال ، سنقوم بحساب المنطقة المحددة بالمنحنى البارامترى: $$ alpha ( theta) = (3 sin (2 theta) cdot cos ( theta)، 3 sin (2 theta) ) cdot sin ( theta)) $$

الآن نأخذ حقل المتجه $ F (x، y) = (0، x) $ وندمج الحقل على طول المنحنى $ alpha ( theta) $. لنحسب: $$ alpha '( theta) = (6 cos (2 theta) cdot cos ( theta) -3 sin (2 theta) cdot sin ( theta) ، 6 كوس (2 ثيتا) cdot الخطيئة ( ثيتا) -3 الخطيئة (2 ثيتا) cdot كوس ( ثيتا)) $$

$$ تبدأ نص= & iint_D 1 dx dy = int_C F dr = int_0 ^ < frac < pi> <2>> F ( alpha (t)) cdot alpha '(t) dt = & int_0 ^ < frac < pi> <2>> (0،3 sin (2t) cdot sin (t)) cdot (6 cos (2t) cdot cos (t) - 3 sin (2t) cdot sin (t) ، & quad quad quad quad 6 cos (2t) cdot sin (t) -3 sin (2t) cdot cos ( t)) dt = & int_0 ^ < frac < pi> <2>> 3 sin (2t) cos (t) cdot (6 cos (2t) cdot sin (t) -3 sin (2t) cdot cos (t)) dt = & 18 int_0 ^ < frac < pi> <2>> cos (t) cos (2t) sin (t ) sin (2t) dt + 9 int_0 ^ < frac < pi> <2>> sin ^ 2 (2t) cos ^ 2 (2t) dt = & 9 int_0 ^ < frac < pi> <2>> sin ^ 2 (2t) cos (2t) dt + 9 int_0 ^ < frac < pi> <2>> sin ^ 2 (2t) Big ( dfrac <1+ cos ^ 2 (2t)> <2> Big) dt = & dfrac <9> <2> Big [ dfrac<3>)Big]_0 ^ <2>> + dfrac <9> <2> int_0 ^ < frac < pi> <2>> dfrac <1- cos (4t)> <2> dt + dfrac <9> <2> int_0 ^ < frac < pi> <2>> sin ^ 2 (2t) cos (2t) dt = & dfrac <9> <8> cdot pi end$$

تم حل مسائل حساب المساحات في المستوى باستخدام نظرية جرين


مقدمة في نظرية رامزي: ملاحظات محاضرة لدورة البكالوريوس

7 ألوان تتجنب المسافة 1 في كل لون:

7 - تلوين بالفسيفساء للطائرة بواسطة أشكال سداسية منتظمة ، بقطر أقل بقليل من واحد. لاحظ أن كل سداسي محاط بأشكال سداسية ذات لون مختلف.

التعريف 6.4.3.

يُطلق على أصغر عدد من الألوان يكفي لتلوين المستوى بحيث لا يدرك أي لون جميع المسافات ، ويُشار إليه بـ ( chi_p text <.> )

الملاحظة 6.4.4.

الحد السفلي: (4 leq chi_p text <.> ) (أسسه ديمتري إي. رايسكي في عام 1970. هذا الدليل بواسطة أليكسي ميركوف من عام 1997.)

دليل .

افترض أن هناك 3 ألوان للطائرة

لا توجد نقطتان ملونتان ( color< م بوكس> ) على مسافة ( color نص <> )

لا توجد نقطتان ملونتان ( color< م بوكس> ) على مسافة ( color نص <> )

لا توجد نقطتان ملونتان ( color< م بوكس> ) على مسافة ( color نص <.> )

دع نظام الإحداثيات الديكارتية في ( mathbb^ 2 ).

نقوم ببناء ثلاثة محاور Moser كما في الشكل 6.4.5:

ضع في اعتبارك 18 متجهًا ، كل منها بنقطته الأولية في الأصل والنقطة النهائية هي رأس في أحد محاور Moser الثلاثة.

هنا النقاط الطرفية للناقلات ( اللون< vec_1 ، vec_2 ، ldots ، vec_6> ) تنتمي إلى مغزل Moser مع جميع حواف الطول (r text <،> ) النقاط الطرفية للمتجهات ( اللون< vec_7 ، vec_8 ، ldots ، vec_ <12>> ) تنتمي إلى مغزل Mosers مع جميع حواف الطول (ب نص <،> ) والنقاط الطرفية للمتجهات ( اللون< vec_ <13> ، vec_ <14> ، ldots ، vec_ <18>> ) تنتمي إلى مغزل Moser مع جميع حواف الطول (g text <.> ) انظر الشكل 6.4.6.


4.8: نظرية جرين في المستوى

النظرية 1 (التبليط العادي). يوجد تبليط منتظم من النوع p ^ q لجميع p، q & gt = 3. على وجه الخصوص ،

  1. الأسقف العادية للطائرة الإقليدية هي: 3 ^ 6 و 4 ^ 4 و 6 ^ 3
  2. الأسقف العادية للكرة (المواد الصلبة الأفلاطونية) هي: 3 ^ 3 و 3 ^ 4 و 3 ^ 5 و 4 ^ 3 و 5 ^ 3
  3. الأسقف المنتظمة للمستوى الزائدي هي: p ^ q حيث 1 / p + 1 / q & lt 1/2.

نظرية 2 (كبلر). هناك 8 أسقف شبه منتظمة للطائرة الإقليدية: 3.12 ^ 2 و 4.6.12 و 4.8 ^ 2 و 3.4.6.4 و 3.6.3.6 و 3 ^ 4.6 و 3 ^ 3.4 ^ 2 و 3 ^ 2.4.3.4.

  • المواد الصلبة أرخميدس: 3.6 ^ 2 ، 4.6 ^ 2 ، 5.6 ^ 2 ، 3.8 ^ 2 ، 3.10 ^ 2 ، 3.4.3.4 ، 3.5.3.5 ، 3.4 ^ 3 ، 3 ^ 4.4 ، 3 ^ 4.5 ، 4.6.8 ، 4.6. 10 و 3.4.5.4
  • المنشور: 4 ^ 2.m ، لـ m = 3 أو m & gt 4 ،
  • مضادات المنشور: 3 ^ 3.n ، لـ n & gt 3.
  1. 4 ^ 2.6 (منشور مع م = 6)
  2. 3.6^2
  3. 4.6^2
  4. 5.6^2
  5. 3.8^2
  6. 3.10^2
  7. 3.4.3.4
  8. 3.5.3.5
  9. 3 ^ 3.6 (ضد المنشور مع م = 6)
  10. 3.4^3
  11. 3^4.4
  12. 3^4.5
  13. 4.6.8
  14. 4.6.10
  15. 3.4.5.4
  1. القضاء على جميع أنواع الذروة باستثناء تلك المذكورة
  2. في الواقع إنشاء الأسقف المذكورة.

تستخدم عملية الحذف حقيقة أن قياس زاوية رأس منحنى p منتظم هو

    يساوي Pi - (2 * Pi / p) في المستوى الإقليدي

لأن الزوايا عند أي رأس لمجموع التبليط تساوي 2 * Pi ، p_1.p_2. . . p_q هو تبليط شبه منتظم فقط إذا (بعد قليل من التبسيط)

    في المستوى الإقليدي: 1 / p_1 + 1 / p_2 +. . . + 1 / p_q = (q-2) / 2

بالإضافة إلى أنواع الرأس التي قدمها كبلر ، فإن الأنواع التالية تفي بالمعادلة الأولى أعلاه ولكن لا يمكن تمديدها إلى ما بعد رقعة صغيرة من البلاط لإعطاء تبليط كامل للطائرة الإقليدية: 3.7.42 ، 3.8.24 ، 3.9.18 ، 3.10.15 و 4.5.20 و 5 ^ 2.10 و 3 ^ 2.6 ^ 2 و 3 ^ 2.4.12 و 3.4.3.12 و 3.4 ^ 2.6.

وبالمثل ، تلبي أنواع الرؤوس التالية المعادلة الثانية أعلاه ولكنها لا تؤدي إلى تبليط الكرة: 3 ^ 2.n (n & gt 3) ، 5 ^ 2.n (n = 3،4،6،7،8،9 ) ، 3.7 ^ 2 ، 3.9 ^ 2 ، 3 ^ 2.4.n (4 & lt = n & lt = 11) ، 3 ^ 2.5.n (5 & lt = n & lt = 7) ، 3.4 ^ 2.5 ، 3.4.3.n ( 5 & ​​lt = n & lt = 11) ، 3.5.3.n (العدد = 6،7).

القضاء عن طريق التكافؤ

Lemma 1 (التكافؤ Lemma). دع T يكون تبليط شبه منتظم.

    افترض أن p فردي وأنه في حالة الانعكاس ، يحدث الزوج المجاور من المربعات x.p في نوع الرأس من T فقط كجزء من الثلاثي المربعات المتتالية x.p.y وأن الزوج p.y يحدث في T فقط كجزء من x.p.y الثلاثي. ثم س = ص.

يُظهر الفحص أن (1) يزيل جميع أنواع الرؤوس المحتملة المذكورة أعلاه باستثناء 3 ^ 2.4.12 التي يتم حذفها بواسطة (2).

لمزيد من نتائج التكافؤ المتعلقة بأنواع قمة الرأس للأسقف شبه المنتظمة ، انظر [Z] أو [W].

وجود الأسقف المشتقة

  1. التجانب العادي المزدوج q ^ p
  2. ص 2 س 2 س و 2 ص 2 ص
  3. 4.2p.2q
  4. ص
  5. 4.p.4.q
  6. 3 ^ 2. p.3.q
  7. 3.p.3.p.3. (q / 2) ، لـ q & gt = 6 و q حتى.

اعمال البناء

النظرية 4 هي ، في حد ذاتها ، نتيجة لنتيجة أكثر عمومية.

  1. يوجد تبليط للطائرة باستخدام هذا k-gon فقط حيث تكون المربعات المجاورة انعكاسات لبعضها البعض عبر الحافة المشتركة
  2. يحتوي k-gon على محرقة.

الإثبات: الشرط الأول يعني أن جميع الزوايا في قمة واحدة هي انعكاسات لبعضها البعض. إذا التقى البلاط p_i عند قمة i ، فإن الزاوية بين الحواف المتتالية هي 2 * Pi / p_i ، حيث 1 & lt = i & lt = q.

إذا قمنا بتوصيل محفزات المضلعات المجاورة حول الرأس i ، يتم تكوين p_i-gon. تتكون كل حافة من p_i-gon من نصف قطر متطابقتين متطابقتين من زوايا q-gons المجاورة. لذا فإن p_i-gon متساوي الأضلاع. نظرًا لأن زوايا رأس p_i-gon متطابقة أيضًا (تنعكس إحداها في التالية عبر الحواف المجاورة لـ q-gon) فإن p_i-gon يكون في الواقع منتظمًا. وهكذا ، في كل مركز من التبليط الأصلي قمنا ببناء سلسلة من المضلعات المنتظمة p_1.p_2. . . p_q. التسلسل هو نفسه في كل مركز ، حيث ينعكس المتجاور في q-gons على بعضها البعض عبر الحواف المشتركة. لذلك قمنا ببناء التبليط المطلوب.

مثال. انعكاس تبليط (أخضر) للمستوى الزائدي باستخدام "الطائرات الورقية" بزوايا Pi / 6 و Pi / 2 و 2 * Pi / 5 و Pi / 2. تحتوي هذه الطائرات الورقية على دوائر منقوشة عليها (حمراء). مراكز هذه الدوائر هي رؤوس بلاطة 6.4.5.4 شبه منتظمة (سوداء).

1. وجود مزدوج q ^ p.
نظرًا لأن p-gon العادي له مدفع وحيث أن هناك بلاطات q في جميع رؤوس p من p-gon ، فإن التجانب p ^ q يفي بفرضيات النظرية 5. وهذا يثبت وجود التجانب المزدوج المنتظم q ^ p.

مثال. التبليط العادي 5 ^ 4 للمستوى الزائدي باللون الأسود وتبليطه المزدوج المنتظم p ^ q = 4 ^ 5 باللون الأخضر. تقع رؤوس التبليط المزدوج في مركز الـ 5-gons الأصلية.

2. وجود الصفحة 2q.2q.
قسّم كل قطعة من p ^ q إلى p مثلثات متساوية الساقين متطابقة عن طريق توصيل مركز p-gon بكل من رؤوسه. نظرًا لأن كل مثلث له مركز ، فإن هذا ينتج عنه تبليط مثلث للمستوى. نظرًا لأن الانعكاسات عبر جميع حواف هذه المثلثات هي في الواقع تناظرات من p ^ q الأصلي ، فهي أيضًا تماثلات لتقسيم المثلث. وبالتالي ، فإن تجانب المثلث يلبي شروط النظرية 5. بما أن زاوية قمة المثلث (في مركز p-gon) هي 2 * Pi / p وزوايا القاعدة هي Pi / q = 2 * Pi / 2q ، نحصل على p.2q.2q. يؤدي تطبيق هذه النتيجة على التجانب المزدوج q ^ p إلى إنتاج 2p.2p.q.

مثال. تثليث ، باللون الأسود ، ل p ^ q = 4 ^ 5 تبليط ، باللون الأخضر ، للمستوى الزائدي. المثلثات متساوي الساقين لها زوايا Pi / 4 و Pi / 4 و Pi / 5. لاحظ أن كل المثلثات لها محفزات.

المثلثات ، الآن باللون الأخضر ، بها دوائر مغمورة هنا باللون الأحمر. ينتج عن ربط مراكز هذه الدوائر 2p.2p.q = 8.8.5 تبليط شبه منتظم للطائرة الزائدية باللون الأسود. لاحظ أن المثلثين ينعكس أحدهما على الآخر عبر حوافهما وأن كل هذه الانعكاسات هي تناظرات من 4 ^ 5 الأصلي.

3. وجود 4.2p.2q.
قسّم كل p-gon من التبليط الأصلي إلى مثلثات 2p عن طريق توصيل مركز p-gon بكل رأس من رؤوسه ونقطة المنتصف لكل من حوافه. يتم تحويل المثلثات الموجودة داخل p-gon على التوالي إلى بعضها البعض عن طريق الانعكاسات عبر الحواف المنبثقة من مركز p-gon. يسمح لنا استخدام الانعكاسات عبر الحواف الأصلية لـ p-gon بتحويل مثلثات أي p-gon إلى أي مثلث آخر. وبالتالي يتم استيفاء شروط النظرية 5. نظرًا لأن زوايا المثلث هي Pi / 2 و Pi / p و Pi / q ، نحصل على 4.2p.2q.

مثال. بدءًا من p ^ q = 5 ^ 4 تبليط المستوى الزائدي ، باللون الأخضر ، نشكل مثلثًا ، يتكون من جميع الحواف السوداء والخضراء ، بواسطة مثلثات قائمة مع زوايا Pi / 2 و Pi / 5 و Pi / 4 . رؤوس المثلثات هي مراكز ورؤوس p-gons الأصلية بالإضافة إلى نقاط المنتصف لكل حافة.

لكن كل المثلثات ، الآن باللون الأخضر ، بها دوائر مغمورة (باللون الأحمر). ينتج عن ربط مراكز هذه الدوائر 4.2p.2q = 4.10.8 تبليط شبه منتظم للمستوى الزائدي ، هنا باللون الأسود.

4. وجود p.q.p.q.
قم بتشكيل تبليط بواسطة المعين باستخدام الأجزاء فقط من مراكز p ^ q إلى رؤوس p ^ q. المعين المجاور هو انعكاسات لبعضهم البعض عبر الحواف التي يتشاركونها. كل دالتون له حفرة عند تقاطع أقطارها. نظرًا لأن زوايا المعين هي بالتناوب 2 * Pi / p و 2 * Pi / q ، نحصل على p.q.p.q.

مثال. الأخضر p ^ q = 5 ^ 4 تبليط المستوى الزائدي وما يرتبط به من تبليط بواسطة rhombii. يحتوي كل معين على زوايا 2 * Pi / 5 و Pi / 2 و 2 * Pi / 5 و Pi / 2).

كل معين أخضر له دائرة (حمراء) مع مركز عند تقاطع قطريه. يؤدي توصيل هذه المراكز إلى إنتاج p.q.p.q = 5.4.5.4 تبليط شبه منتظم (أسود) للمستوى الزائدي.

5. وجود 4.p.4.q.
إذا قمنا بتراكب التبليط المزدوج q ^ p على تبليط p ^ q ، يتم إنشاء تبليط بواسطة الطائرات الورقية بزوايا PI / 2 و 2 * PI / p و PI / 2 و 2 * PI / q. كل طائرة ورقية لها محرقة (عند تقاطع مناصراتها الأربعة) ولذا نحصل على 4.p.4.q.

مثال. A p ^ q = 3 ^ 7 تبليط منتظم ، باللون الأخضر ، للمستوى الزائدي مع تبليطه المزدوج q ^ p = 7 ^ 3 ، باللون الأسود. تشكل هذه الأسقف معًا "الطائرات الورقية" ذات الزوايا Pi / 2 و 2 * Pi / 3 و Pi / 2 و 2 * pi / 7.

كل طائرة ورقية (باللون الأخضر) لها دائرة (حمراء) مع مركز عند تقاطع منصف زاويتها. يؤدي توصيل هذه المراكز إلى إنشاء 4.p.4.q = 4.3.4.7 تبليط شبه منتظم (أسود) للمستوى الزائدي.

6. وجود 3.3 صفحة 3. q.
شكل خماسيات غير منتظمة بزاوية 2 * PI / p في وسط p-gon ، 2 * PI / 3 عند النقطة الداخلية "المناسبة" X من p ^ q ، 2 * PI / q عند قمة p ^ q ، ثم الزوايا المتتالية لـ 2 * PI / 3 في صورة X تحت دوران 2 * PI / q حول الرأس وصورة X تحت دوران -2 * PI / p حول المركز. ملاحظة: هذه الخماسيات لا تنعكس على بعضها البعض عبر حوافها المشتركة. بدلاً من ذلك ، فإن دوران 2 * Pi / p حول مركز كل p-gon من p ^ q الأصلي ودوران 2 * p / q حول كل رأس من p-gons هي تناظرات لهذا التبليط الخماسي. وبالتالي ، فإن التبليط الخماسي "متماثل بدرجة كافية" لتطبيق نسخة معدلة من النظرية 5.

مثال. تبليط بواسطة خماسي غير منتظم (باللون الأسود) بزوايا 2 * Pi / 3 ، 2 * Pi / 3 ، 2 * Pi / 5 ، 2 * Pi / 3 ، Pi / 2 ، و 2 * Pi / 3. تستخدم التماثلات الدورانية للجزء الأساسي p ^ q = 5 ^ 4 التبليط المنتظم (الأخضر) لبلاط المستوى بهذه الخماسيات.

كل خماسي (باللون الأخضر) له دائرة (باللون الأحمر). يؤدي ربط مراكز هذه إلى إنشاء 3 ^ 2.p.3.q = 3 ^ 2.5.3.4 تبليط شبه منتظم للمستوى الزائدي ، هنا باللون الأسود.

7. وجود 3.p.3.p.3.q / 2.
شكل سداسيات غير منتظمة باستخدام رأس Y من p ^ q ، نقطة مناسبة X على حافة p ^ q تحتوي على Y ، مركز p-gon O ، الصورة X 'من X تحت دوران 2 * PI / p حول O. يتم الحصول على باقي الشكل السداسي بالانعكاس عبر الحافة التي تحتوي على Y و X '. تتضمن تناظرات هذا التبليط السداسي تناوب 2 * Pi / p حول مراكز p-gons الأصلية وانعكاسات عبر حواف p-gons. يمكن تكييف إثبات النظرية 5 مع هذا الموقف.

مثال. تبليط بواسطة أشكال سداسية غير منتظمة (باللون الأسود) بزوايا 2 * Pi / 3 و Pi / 3 و 2 * Pi / 3 و Pi / 2 و 2 * Pi / 3 و 2 * Pi / 5 بناءً على p ^ q الأساسي = 4 ^ 6 تبليط (باللون الأخضر) للمستوى الزائدي. يمكن تدوير البلاط السداسي حول مركز أي 4-gon وينعكس عبر حافة أي 4-gon.

كل مسدس (باللون الأخضر) له دائرة (حمراء). يؤدي ربط مراكز هذه إلى إنشاء 3.p.3.p.3.q / 2 = 3.4.3.4.3.3 تبليط شبه منتظم للمستوى الزائدي ، هنا باللون الأسود.

باستخدام النظرية 4 ووجود الأسقف المنتظمة للطائرة الإقليدية والكرة في النظرية 1 ، نحصل على معظم الأسطح شبه المنتظمة في المستوى الإقليدي وعلى الكرة المدرجة في النظريتين 2 و 3. الجدول أدناه ، جنبًا إلى جنب مع بعض التيلنغ التمثيلي الزائدي. لإكمال إثبات النظريات 2 و 3 ، لاحظ أن التبليط شبه المنتظم 5 المتبقي في المستوى الإقليدي هو 3 ^ 3.4 ^ 2. يتم بناؤه بسهولة يدويًا باستخدام نطاقات متوازية متناوبة من المثلثات والمربعات متساوية الأضلاع. وبالمثل ، فإن المنشور 4 ^ 2.n على الكرة يتم إنشاؤه باستخدام شريط من n 4-gons متوجًا أعلى وأسفل بواسطة n-gon وتتشكل antiprisms 3 ^ 3.n بأخذ شريط من 2 * n مثلثات متساوية الأضلاع وتغطي مرة أخرى بـ n-gons.

على الرغم من أننا لم نوضح كيفية إنتاج الأسطح المنتظمة في النظرية 1 ، باستخدام (1) من النظرية 4 ، فإننا نرى أنه في المستوى الإقليدي ، يكون التبليط السداسي 6 ^ 3 مزدوجًا للمثلث الذي يبلغ 3 ^ 6 وعلى الكرة المجسم الثماني 3 ^ 4 مزدوج للمكعب 4 ^ 3 و dodecahedron 5 ^ 3 مزدوج للعشر الوجوه 3 ^ 5. لذلك يمكننا أن نبتعد عن إنشاء المربع الذي يبلغ 4 ^ 4 والمثلث الذي يبلغ 3 ^ 6 في المستوى الإقليدي ورباعي السطوح 3 ^ 3 ، والمكعب 4 ^ 3 ، وعشروني الوجوه 3 ^ 5 على الكرة.

بالطبع ، تنطبق النظريتان 4 و 5 أيضًا على المستوى الزائدي. لمزيد من المناقشة انظر 4. النتائج القطعية. للحصول على مصادر إضافية للمواد ، راجع قسم المراجع.


ج: افترض أن R حلقة تبادلية وأن تكون عنصرًا غير صفري من R.

س: الرياضيات المتقطعة. نظرية الرسم البياني

ج: البيان المعطى غير صحيح. يظهر مثال العداد أدناه.

س: السؤال مدرج في الصورة

ج: النظر في التكامل المعطى ،

س: ابحث عن تمثيل لسلسلة الطاقة للوظيفة. (قم بتوسيط تمثيل سلسلة القوة الخاصة بك عند x =.

ج: ضع في اعتبارك الوظيفة المحددة.

ج: سنجيب على السؤال الأول حيث لم يتم تحديد السؤال المحدد.

ج: وفقًا للسؤال المعطى ، دع a ينتمي إلى الحلقة RS = هناك حاجة لإظهار ذلك.

ج: لقد علمنا أن f (x) = (3x + 2) / 5. علينا إيجاد f-1 (x) لإيجاد معكوس الدالة.

س: 7.1 مثال: هل الوظيفة fwell محددة؟ نعلم أن Q تمثل مجموعة كل الأعداد المنطقية.

ج: لكي يتم تعريف النظام جيدًا - لأي إدخال ، يجب تحديد إخراج الوظيفة بشكل فريد.


تكاملات المسار في نظرية المستوى والتكاملات المزدوجة والخضر في ماكسيما

في منشور سابق ، وصفت حزمة Maxima MATH214 لاستخدامها في صنف حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات. لقد نشرت & # 8217 أمثلة مع تطبيقات نظرية Gauss & # 8217s و Stokes Theorem.

هنا نأخذ روتين التكامل المزدوج دمج 2 () ومسار ثنائي الأبعاد لا يتجزأ IntegralPathv2 () للحصول على مثال حول نظرية Green & # 8217s من مفاهيم وسياقات حساب التفاضل والتكامل Stewart & # 8217s:

وبالطبع فإن الإحداثيات القطبية جيدة أيضًا:

تم تضمين الوظيفتين المستخدمتين أعلاه في حزمة MATH214 ، لكنني أدرجهما أدناه أيضًا.


4.8: نظرية جرين في المستوى

يمكننا رسم أي رقم مركب في المستوى كزوج مرتب ، كما هو موضح في الشكل 2.2. المستوى المعقد (أو مخطط أرجاند) هو أي رسم بياني ثنائي الأبعاد يكون فيه المحور الأفقي هو الجزء الحقيقي والمحور الرأسي هو الجزء التخيلي لرقم أو دالة معقدة. على سبيل المثال ، يحتوي الرقم على إحداثيات في المستوى المركب بينما يحتوي الرقم على إحداثيات.

يمكن النظر إلى الرسم كنقطة في المستوى المعقد على أنه مخطط في إحداثيات ديكارتية أو مستقيمة. يمكننا أيضًا التعبير عن الأرقام المركبة من حيث الإحداثيات القطبية كزوج مرتب ، حيث المسافة من الأصل إلى الرقم المرسوم ، وزاوية الرقم بالنسبة إلى محور الإحداثيات الحقيقي الموجب (الخط المحدد بواسطة و) . (انظر الشكل 2.2.)

باستخدام الهندسة الأولية ، من السهل إظهار أن التحويل من الإحداثيات المستطيلة إلى الإحداثيات القطبية يتم بواسطة الصيغ

حيث يشير إلى قوس ظل الزاوية (الزاوية بالتقدير الدائري الذي يكون ظلها) ، مع مراعاة ربع المتجه. سنأخذ النطاق إلى (على الرغم من أنه يمكننا اختيار أي فاصل زمني للطول ، مثل 0 إلى ، وما إلى ذلك).

في Matlab و Octave ، يؤدي atan2 (y ، x) وظيفة قوس التماس `` الحساسة للربع ''. من ناحية أخرى ، atan (y / x) ، مثل الترميز الرياضي الأكثر تقليدية ، لا `` يعرف '' ربع الدائرة ، لذلك فهو يرسم الخط الحقيقي بأكمله إلى الفترة. كمثال محدد ، زاوية المتجه (في الربع I) لها نفس الظل مثل زاوية (في الربع III). وبالمثل ، ينتج (الربع الثاني) نفس الظل مثل (الربع الرابع).

صيغة تحويل الإحداثيات المستطيلة إلى نصف قطر ، تتبع مباشرة من نظرية فيثاغورس ، في حين أن الصيغة التالية من تعريف دالة الظل نفسها.

وبالمثل ، فإن التحويل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات المستطيلة هو ببساطة

هذه تتبع مباشرة من تعاريف جيب التمام والجيب ، على التوالي.


شاهد الفيديو: نظرية جرين (كانون الثاني 2022).