مقالات

5.1: الدالات ذات القيم المتجهة ومنحنيات الفضاء


تجمع دراستنا للوظائف ذات القيمة المتجهية أفكارًا من فحصنا السابق لحساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير ووصفنا للمتجهات في ثلاثة أبعاد من الفصل السابق. تدعم هذه التعريفات والنظريات عرض المواد في بقية هذا الفصل وأيضًا في الفصول المتبقية من النص.

تعريف دالة ذات قيمة متجهة

تتمثل خطوتنا الأولى في دراسة حساب الدوال ذات القيمة المتجهية في تحديد ماهية الدالة ذات القيمة المتجهية بالضبط. يمكننا بعد ذلك إلقاء نظرة على الرسوم البيانية للوظائف ذات القيمة المتجهية ومعرفة كيفية تعريفها للمنحنيات في البعدين وثلاثة أبعاد.

التعريف: دالات ذات قيمة متجهة

الدالة ذات القيمة المتجهة هي دالة في النموذج

[ vecs r (t) = f (t) ، hat { mathbf {i}} + g (t) ، hat { mathbf {j}} ؛ ؛ text {or} ؛ ؛ vecs r (t) = f (t) ، hat { mathbf {i}} + g (t) ، hat { mathbf {j}} + h (t) ، hat { mathbf {k}}، ]

حيث وظائف المكون (f ) ، (g ) ، و (h ) ، هي وظائف ذات قيمة حقيقية للمعامل (t ). يتم أيضًا كتابة الدوال ذات القيمة المتجهية في النموذج

[ vecs r (t) = ⟨f (t) ، ، g (t)⟩ ؛ ؛ text {or} ؛ ؛ vecs r (t) = ⟨f (t) ، ، g (t) ، ، h (t)⟩. ]

في كلتا الحالتين ، يحدد الشكل الأول للدالة دالة ثنائية الأبعاد ذات قيمة متجهة ؛ يصف النموذج الثاني دالة ثلاثية الأبعاد ذات قيمة متجهة.

يمكن أن تقع المعلمة (t ) بين رقمين حقيقيين: (a≤t≤b ). الاحتمال الآخر هو أن قيمة (t ) قد تأخذ جميع الأرقام الحقيقية. أخيرًا ، قد يكون لوظائف المكون نفسها قيود مجال تفرض قيودًا على قيمة (t ). غالبًا ما نستخدم (t ) كمعامل لأن (t ) يمكن أن يمثل الوقت.

مثال ( PageIndex {1} ): تقييم الدالات ذات القيمة المتجهية وتحديد المجالات

لكل من الوظائف ذات القيمة المتجهة التالية ، قم بتقييم ( vecs r (0) ) ، ( vecs r ( frac { pi} {2}) ) ، و ( vecs r ( frac {2 pi} {3}) ). هل أي من هذه الوظائف لها قيود المجال؟

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 3 sin t ، hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = 3 tan t ، hat { mathbf {i}} + 4 sec t ، hat { mathbf {j}} + 5t ، hat { mathbf { ك}})

حل

  1. لحساب كل من قيم الدالة ، استبدل القيمة المناسبة لـ ر في الوظيفة:

    ابدأ {محاذاة *} vecs r (0) ؛ & = 4 cos (0) hat { mathbf {i}} + 3 sin (0) hat { mathbf {j}} [5pt] & = 4 hat { mathbf {i}} +0 قبعة { mathbf {j}} = 4 قبعة { mathbf {i}} [5pt] vecs r left ( frac { pi} {2} right) ؛ & = 4 cos left ( frac {π} {2} right) hat { mathbf {i}} + 3 sin left ( frac {π} {2} right) hat { mathbf {j}} [5pt] & = 0 hat { mathbf {i}} + 3 hat { mathbf {j}} = 3 hat { mathbf {j}} [5pt] vecs r left ( frac {2 pi} {3} right) ؛ & = 4 cos left ( frac {2π} {3} right) hat { mathbf {i}} + 3 sin left ( frac {2π} {3} right) hat { mathbf {j}} [5pt] & = 4 (- frac {1} {2}) hat { mathbf {i}} + 3 ( frac { sqrt {3}} {2}) قبعة { mathbf {j}} = - 2 hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {3}} {2} hat { mathbf {j}} end {align *}

    لتحديد ما إذا كانت هذه الوظيفة لها أي قيود على المجال ، ضع في الاعتبار وظائف المكون بشكل منفصل. دالة المكون الأول هي (f (t) = 4 cos t ) ووظيفة المكون الثاني هي (g (t) = 3 sin t ). لا توجد قيود على أي من هاتين الوظيفتين ، لذا فإن مجال ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 3 sin t ، hat { mathbf { j}} ) هي جميع الأعداد الحقيقية.
  2. لحساب كل من قيم الدالة ، استبدل القيمة المناسبة لـ ر في الوظيفة: [ start {align *} vecs r (0) ؛ & = 3 tan (0) hat { mathbf {i}} + 4 sec (0) hat { mathbf {j}} + 5 (0) hat { mathbf {k}} [ 5pt] & = 0 hat { mathbf {i}} + 4j + 0 hat { mathbf {k}} = 4 hat { mathbf {j}} [5pt] vecs r left ( frac { pi} {2} right) ؛ & = 3 tan left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {i}} + 4 sec left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {j}} + 5 left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {k}}، ، text {الذي غير موجود} [5pt] vecs r left ( frac {2 pi} {3} right) ؛ & = 3 tan left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {i}} + 4 sec left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {j}} + 5 left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {k}} [5pt] & = 3 (- sqrt {3 }) hat { mathbf {i}} + 4 (−2) hat { mathbf {j}} + frac {10π} {3} hat { mathbf {k}} [5pt] & = -3 sqrt {3}) hat { mathbf {i}} - 8 hat { mathbf {j}} + frac {10π} {3} hat { mathbf {k}} end { محاذاة *} ] لتحديد ما إذا كانت هذه الوظيفة لها أي قيود على المجال ، ضع في الاعتبار وظائف المكون بشكل منفصل. دالة المكون الأول هي (f (t) = 3 tan t ) ، وظيفة المكون الثاني هي (g (t) = 4 sec t ) ، ووظيفة المكون الثالث هي (h (t) = 5 طن). لم يتم تحديد الدالتين الأوليين للمضاعفات الفردية لـ ( frac { pi} {2} ) ، لذلك لم يتم تعريف الوظيفة للمضاعفات الفردية لـ ( frac { pi} {2} ). لذلك ، [ text {D} _ { vecs r} = {t ، | ، t ≠ frac {(2n + 1) pi} {2} }، nonumber ] حيث ( n ) هو أي عدد صحيح.

تمرين ( PageIndex {1} )

للدالة المتجهية ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) ، hat { mathbf {i}} + (4t + 1) ، hat { mathbf {j}} ) ، قم بتقييم ( vecs r (0) ، ، vecs r (1) ) ، و ( vecs r (−4) ). هل هذه الوظيفة لها أي قيود المجال؟

تلميح

استبدل القيم المناسبة لـ (t ) في الوظيفة.

إجابه

( vecs r (0) = hat { mathbf {j}}، ، vecs r (1) = - 2 hat { mathbf {i}} + 5 hat { mathbf {j}} ، ، vecs r (−4) = 28 hat { mathbf {i}} - 15 hat { mathbf {j}} )

نطاق ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) hat { mathbf {i}} + (4t + 1) hat { mathbf {j}} ) هو جميع الأرقام الحقيقية.

يوضح المثال ( PageIndex {1} ) مفهومًا مهمًا. يتكون مجال الدالة ذات القيمة المتجهة من أرقام حقيقية. يمكن أن يكون المجال جميع الأرقام الحقيقية أو مجموعة فرعية من الأرقام الحقيقية. يتكون نطاق الدالة ذات القيمة المتجهة من متجهات. يتم تعيين كل رقم حقيقي في مجال دالة ذات قيمة متجه إلى متجه ثنائي أو ثلاثي الأبعاد.

الرسوم البيانية الدالات ذات القيم المتجهة

تذكر أن متجه المستوى يتكون من كميتين: الاتجاه والحجم. بالنظر إلى أي نقطة في الطائرة ( نقطة أولية) ، إذا تحركنا في اتجاه محدد لمسافة محددة ، فإننا نصل إلى نقطة ثانية. هذا يمثل النقطه المقصوده من المتجه. نحسب مكونات المتجه بطرح إحداثيات النقطة الأولية من إحداثيات النقطة النهائية.

يعتبر المتجه في الموقف القياسي إذا كانت النقطة الأولية تقع في الأصل. عند رسم دالة ذات قيمة متجهية ، فإننا عادةً ما نرسم المتجهات في مجال الوظيفة في الموضع القياسي ، لأن القيام بذلك يضمن تفرد الرسم البياني. ينطبق هذا الاصطلاح أيضًا على الرسوم البيانية للوظائف ثلاثية الأبعاد ذات القيمة المتجهية. الرسم البياني لدالة ذات قيمة متجهة للنموذج

[ vecs r (t) = f (t) ، hat { mathbf {i}} + g (t) ، hat { mathbf {j}} nonumber ]

يتكون من مجموعة من جميع النقاط ((f (t) ، ، g (t)) ) ، ويسمى المسار الذي تتبعه منحنى مستوي. الرسم البياني لدالة ذات قيمة متجهة للنموذج

[ vecs r (t) = f (t) ، hat { mathbf {i}} + g (t) ، hat { mathbf {j}} + h (t) ، hat { mathbf {k}} nonumber ]

يتكون من مجموعة من جميع النقاط ((f (t) ، ، g (t) ، ، h (t)) ) ، والمسار الذي تتبعه يسمى منحنى الفضاء. يُطلق على أي تمثيل لمنحنى مستو أو منحنى فضاء باستخدام دالة ذات قيمة متجهية a ناقل المعلمات من المنحنى.

كل منحنى مستوي ومنحنى فضاء له امتداد اتجاه، يشار إليها بأسهم مرسومة على المنحنى ، والتي توضح اتجاه الحركة على طول المنحنى مع زيادة قيمة المعلمة (t ).

مثال ( PageIndex {2} ): رسم دالة ذات قيمة متجه

قم بإنشاء رسم بياني لكل من الوظائف ذات القيمة الاتجاهية التالية:

  1. منحنى المستوى الذي يمثله ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 3 sin t ، hat { mathbf {j}} ) ، ( 0≤t≤2 pi )
  2. منحنى المستوى الذي يمثله ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) ، hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) ، hat { mathbf { j}} ) ، (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} )
  3. منحنى الفضاء يمثله ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 4 sin t ، hat { mathbf {j}} + t ، قبعة { mathbf {k}} ) ، (0≤t≤4 pi )

حل

1. كما هو الحال مع أي رسم بياني ، نبدأ بجدول قيم. نقوم بعد ذلك برسم كل من المتجهات في العمود الثاني من الجدول في الوضع القياسي وربط النقاط الطرفية لكل متجه لتشكيل منحنى (الشكل ( PageIndex {1} )). تبين أن هذا المنحنى عبارة عن قطع ناقص متمركز في الأصل.

الجدول ( PageIndex {1} ): جدول القيم لـ ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 3 sin t ، hat { mathbf {j}} ) ، (0≤t≤2 pi )
(ر ) (vecs r (t) ) (ر ) (vecs r (t) )
(0) (4 قبعة { mathbf {i}} ) ( بي ) (- 4 قبعة { mathbf {i}} )
( dfrac { pi} {4} ) (2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} ) ( dfrac {5 pi} {4} ) (- 2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} )
( dfrac { pi} {2} ) ( mathrm {3 hat { mathbf {j}}} ) ( dfrac {3 pi} {2} ) ( mathrm {-3 hat { mathbf {j}}} )
( dfrac {3 pi} {4} ) (-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} ) ( dfrac {7 pi} {4} ) (2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} )
(2 بي ) (4 قبعة { mathbf {i}} )

2. جدول قيم ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) ، hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) ، hat { mathbf {j}} ) ، (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} ) كما يلي:

جدول قيم ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) ، hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) ، hat { mathbf {j }} ) ، (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} )
(ر ) ( vecs r (t) ) (ر ) (vecs r (t) )
(0) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { pi} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {i}}} )
( displaystyle sqrt [3] { dfrac { pi} {4}} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { dfrac {5 pi} {4}} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} )
( displaystyle sqrt [3] { dfrac { pi} {2}} ) ( mathrm {3 hat { mathbf {j}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { dfrac {3 pi} {2}} ) ( mathrm {-3 hat { mathbf {j}}} )
( displaystyle sqrt [3] { dfrac {3 pi} {4}} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { dfrac {7 pi} {4}} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} )
( displaystyle sqrt [3] {2 pi} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} )

الرسم البياني لهذا المنحنى عبارة عن قطع ناقص يتمركز في نقطة الأصل.

3. نمر بنفس الإجراء لوظيفة متجه ثلاثية الأبعاد.

جدول قيم ( mathrm {r (t) = 4 cos t hat { mathbf {i}} + 4 sin t hat { mathbf {j}} + t hat { mathbf {k }}} ) ، ( mathrm {0≤t≤4 pi} )
(ر ) ( vecs r (t) ) (ر ) ( vecs r (t) )
( ماذرم {0} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} ) ( mathrm { pi} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {i}}} + pi hat { mathbf {k}} )
( dfrac { pi} {4} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac { pi} {4} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {5 pi} {4} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {5 pi} {4} hat { mathbf {k}}} )
( dfrac { pi} {2} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {j}} + frac { pi} {2} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {3 pi} {2} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {j}} + frac {3 pi} {2} hat { mathbf {k}}} )
( dfrac {3 pi} {4} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {3 pi} {4} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {7 pi} {4} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {7 pi} {4} hat { mathbf {k}}} )
( mathrm {2 pi} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {j}} + 2 pi hat { mathbf {k}}} )

ثم تكرر القيم نفسها ، باستثناء حقيقة أن معامل ( hat { mathbf {k}} ) يتزايد دائمًا ( ( PageIndex {3} )). هذا المنحنى يسمى الحلزون. لاحظ أنه إذا تم حذف المكون ( hat { mathbf {k}} ) ، فإن الوظيفة تصبح ( vecs r (t) = 4 cos t hat { mathbf {i}} + 4 sin t hat { mathbf {j}} ) ، وهي دائرة نصف قطرها 4 تتمركز في الأصل.

قد تلاحظ أن الرسوم البيانية في الأجزاء أ. وب. متطابقة. يحدث هذا لأن الوظيفة التي تصف المنحنى b هي ما يسمى بإعادة معاملات الدالة التي تصف المنحنى a. في الواقع ، يحتوي أي منحنى على عدد لا حصر له من عمليات الإصلاح ؛ على سبيل المثال ، يمكننا استبدال (t ) بـ (2t ) في أي من المنحنيات الثلاثة السابقة دون تغيير شكل المنحنى. قد يتغير الفاصل الزمني الذي يتم تعريف (t ) خلاله ، ولكن هذا كل شيء. نعود إلى هذه الفكرة لاحقًا في هذا الفصل عندما ندرس معلمات طول القوس. كما ذكرنا ، اسم شكل منحنى الرسم البياني في ( PageIndex {3} ) هو حلزون. المنحنى يشبه الزنبرك ، بمقطع عرضي دائري ينظر لأسفل على طول المحور (ض ). من الممكن أن يكون اللولب بيضاوي الشكل في المقطع العرضي أيضًا. على سبيل المثال ، الدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 3 sin t ، hat { mathbf {j}} + t ، hat { mathbf {k}} ) يصف الحلزون البيضاوي. إسقاط هذا اللولب في المستوى (س ص ) هو قطع ناقص. أخيرًا ، تشير الأسهم الموجودة في الرسم البياني لهذا اللولب إلى اتجاه المنحنى حيث (t ) يتقدم من (0 ) إلى (4) ).

تمرين ( PageIndex {2} )

أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r (t) = (t ^ 2−1) hat { mathbf {i}} + (2t − 3) hat { mathbf {j}} ) ، (0≤t≤3 ).

تلميح

ابدأ بعمل جدول للقيم ، ثم ارسم المتجهات لكل قيمة (t ).

إجابه

في هذه المرحلة ، قد تلاحظ وجود تشابه بين الدوال ذات القيمة المتجهية والمنحنيات ذات المعلمات. في الواقع ، بالنظر إلى دالة ذات قيمة متجهة ( vecs r (t) = f (t) ، hat { mathbf {i}} + g (t) ، hat { mathbf {j}} ) يمكننا تحديد (x = f (t) ) و (y = g (t) ). إذا كان هناك قيد على قيم (t ) (على سبيل المثال ، (t ) مقيد بالفاصل ([أ ، ب] ) لبعض الثوابت (أ <ب ) ، فإن هذا القيد يتم فرضه على المعلمة. ثم يتفق الرسم البياني للوظيفة ذات المعلمات مع الرسم البياني للدالة ذات القيمة المتجهية ، باستثناء أن الرسم البياني ذو القيمة المتجهية سيمثل المتجهات بدلاً من النقاط. نظرًا لأنه يمكننا تحديد معلمات منحنى محدد بواسطة دالة (y = f (x) ) ، من الممكن أيضًا تمثيل منحنى مستوى تعسفي بواسطة دالة ذات قيمة متجهة.

حدود واستمرارية دالة ذات قيمة متجهية

نلقي الآن نظرة على نهاية دالة ذات قيمة متجهة. هذا مهم لفهم دراسة التفاضل والتكامل للوظائف ذات القيمة المتجهية.

التعريف: حد دالة ذات قيمة متجهة

دالة ذات قيمة متجهة ( vecs r ) تقترب من الحد ( vecs L ) عندما تقترب (t ) من (a ), مكتوبة

[ lim limits_ {t to a} vecs r (t) = vecs L، ]

قدمت

[ lim limits_ {t to a} big | vecs r (t) - vecs L big | = 0. ]

هذا تعريف صارم لحدود دالة ذات قيمة متجهية. في الممارسة العملية ، نستخدم النظرية التالية:

النظرية: نهاية دالة ذات قيمة متجهية

دع (و ) ، (ز ), و (ح ) تكون وظائف (t ). ثم حد الدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) كـ ر اقتراب أ اعطي من قبل

[ lim limits_ {t to a} vecs r (t) = [ lim limits_ {t to a} f (t)] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t to a} g (t)] hat { mathbf {j}} ، label {Th1} ]

بشرط أن تكون الحدود ( lim limits_ {t to a} f (t) ) و ( lim limits_ {t to a} g (t) ) موجودة.

وبالمثل ، حد الدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t ) hat { mathbf {k}} ) عند اقتراب (t ) (a ) من

[ lim limits_ {t to a} vecs r (t) = [ lim limits_ {t to a} f (t)] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t to a} g (t)] hat { mathbf {j}} + [ lim limits_ {t to a} h (t)] hat { mathbf {k}}، label { Th2} ]

قدمت الحدود ( lim limits_ {t to a} f (t) ) ، ( lim limits_ {t to a} g (t) ) و ( lim limits_ {t ل a} h (t) ) موجودة.

في المثال التالي ، نوضح كيفية حساب حد دالة ذات قيمة متجهة.

مثال ( PageIndex {3} ): تقييم حد دالة Vector-Valued

لكل من الوظائف ذات القيمة المتجهة التالية ، احسب ( lim limits_ {t to 3} vecs r (t) ) من أجل

  1. ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t + 4) hat { mathbf {i}} + (4t + 3) hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = frac {2t − 4} {t + 1} hat { mathbf {i}} + frac {t} {t ^ 2 + 1} hat { mathbf {j }} + (4t − 3) hat { mathbf {k}} )

حل

  1. استخدم المعادلة ref {Th1} واستبدل القيمة (t = 3 ) في التعبيرين المكونين:

[ start {align *} lim limits_ {t to 3} vecs r (t) ؛ & = lim limits_ {t to 3} [(t ^ 2−3t + 4) hat { mathbf {i}} + (4t + 3) hat { mathbf {j}}] [ 5pt] & = [ lim limits_ {t to 3} (t ^ 2−3t + 4)] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t to 3} (4t + 3 )] hat { mathbf {j}} [5pt] & = 4 hat { mathbf {i}} + 15 hat { mathbf {j}} end {align *} ]

  1. استخدم المعادلة ref {Th2} واستبدل القيمة (t = 3 ) في التعبيرات المكونة الثلاثة:

[ start {align *} lim limits_ {t to 3} vecs r (t) ؛ & = lim limits_ {t to 3} ( dfrac {2t − 4} {t + 1} hat { mathbf {i}} + dfrac {t} {t ^ 2 + 1} hat { mathbf {j}} + (4t − 3) hat { mathbf {k}}) [5pt] & = [ lim limits_ {t to 3} ( dfrac {2t − 4} {t +1})] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t to 3} ( dfrac {t} {t ^ 2 + 1})] hat { mathbf {j}} [ lim limits_ {t to 3} (4t − 3)] hat { mathbf {k}} [5pt] & = dfrac {1} {2} hat { mathbf {i}} + dfrac {3} {10} hat { mathbf {j}} + 9 hat { mathbf {k}} end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {3} )

احسب ( lim limits_ {t to 2} vecs r (t) ) للوظيفة ( vecs r (t) = sqrt {t ^ 2 + 3t - 1} ، hat { mathbf {i}} - (4t-3) hat { mathbf {j}} - sin frac {(t + 1) pi} {2} hat { mathbf {k}} )

تلميح

استخدم المعادلة ref {Th2} من النظرية السابقة.

إجابه

[ lim limits_ {t to 2} vecs r (t) = 3 hat { mathbf {i}} - 5 hat { mathbf {j}} + hat { mathbf {k}} ]

الآن بعد أن عرفنا كيفية حساب حد دالة ذات قيمة متجهية ، يمكننا تحديدها الاستمرارية عند نقطة لمثل هذه الوظيفة.

تعريفات

دع (و ) ، (ز ), و (ح ) تكون وظائف (t ). بعد ذلك ، الدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) هي مستمر عند النقطة (t = أ ) إذا استمرت الشروط الثلاثة التالية:

  1. ( vecs r (a) ) موجود
  2. ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) ) موجود
  3. ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) = vecs r (a) )

وبالمثل ، الدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ) هو مستمر عند النقطة (t = أ ) إذا استمرت الشروط الثلاثة التالية:

  1. ( vecs r (a) ) موجود
  2. ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) ) موجود
  3. ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) = vecs r (a) )

ملخص

  • الدالة ذات القيمة المتجهة هي دالة في الشكل ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) أو ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ) ، حيث يعمل المكون (f ) ، (g ), و (ح ) وظائف ذات قيمة حقيقية للمعامل (t ).
  • الرسم البياني لوظيفة ذات قيمة متجهة للنموذج ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) هو يسمى ب منحنى مستوي. الرسم البياني لدالة ذات قيمة متجهة على شكل ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h ( t) hat { mathbf {k}} ) يسمى أ منحنى الفضاء.
  • من الممكن تمثيل منحنى مستوى تعسفي بواسطة دالة ذات قيمة متجهة.
  • لحساب حد دالة ذات قيمة متجهية ، احسب حدود وظائف المكون بشكل منفصل.

المعادلات الرئيسية

  • دالة ذات قيمة متجهة
    ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) أو ( vecs r (t) = f ( t) قبعة { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ) ، أو ( vecs r (t ) = ⟨f (t) ، g (t)⟩ ) أو ( vecs r (t) = ⟨f (t) ، g (t) ، h (t)⟩ )
  • حد دالة ذات قيمة متجهة
    ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) = [ lim limits_ {t to a} f (t)] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t to a} g (t)] hat { mathbf {j}} ) أو ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) = [ lim limits_ {t إلى a} f (t)] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t to a} g (t)] hat { mathbf {j}} + [ lim limits_ { t to a} h (t)] hat { mathbf {k}} )

قائمة المصطلحات

وظائف المكون
وظائف المكون للدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) هي ( f (t) ) و (g (t) ) ، والوظائف المكونة للدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ) هي (f (t) ) ، (g (t) ) و (h (ر) )
حلزون
منحنى ثلاثي الأبعاد على شكل حلزوني
حد دالة ذات قيمة متجهة
دالة ذات قيمة متجهة ( vecs r (t) ) لها حد ( vecs L ) حيث (t ) تقترب (a ) إذا ( lim limits {t to a} يسار | vecs r (t) - vecs L right | = 0 )
منحنى مستوي
مجموعة الأزواج المرتبة ((f (t) ، g (t)) ) مع تحديد المعادلات البارامترية (x = f (t) ) و (y = g (t) )
الإصلاح
معلمات بديلة لوظيفة ذات قيمة متجهية معينة
منحنى الفضاء
مجموعة الثلاثيات المرتبة ((f (t) ، g (t) ، h (t)) ) مع المعادلات البارامترية المحددة (x = f (t) ) ، (y = g (t) ) و (ض = ح (ر) )
ناقل المعلمات
أي تمثيل لمنحنى مستوي أو فضاء باستخدام دالة ذات قيمة متجهة
دالة ذات قيمة متجهة
دالة بالنموذج ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) أو ( vecs r ( t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ) ، حيث المكون وظائف (و ) ، (ز ), و (ح ) وظائف ذات قيمة حقيقية للمعامل (t ).

حساب التفاضل والتكامل APEX

قدم لنا القسم السابق كائنًا رياضيًا جديدًا ، وهو الدالة ذات القيمة المتجهة. نطبق الآن مفاهيم حساب التفاضل والتكامل على هذه الوظائف. نبدأ بالنهاية ، ثم ننتقل من خلال المشتقات إلى التكاملات.

القسم الفرعي 12.2.1 حدود الدوال ذات القيمة المتجهية

التعريف الأولي لحد دالة ذات قيمة متجه مخيف بعض الشيء ، كما كان تعريف الحد في التعريف 1.2.2. توضح النظرية التي تتبع التعريف أنه من الناحية العملية ، فإن وضع حدود للوظائف ذات القيمة المتجهية ليس أكثر صعوبة من وضع حدود للوظائف ذات القيمة الحقيقية.

يمكننا تحديد الحدود من جانب واحد بطريقة مشابهة جدًا للتعريف 12.2.1.

التعريف 12.2.1. حدود الدالات ذات القيم المتجهية.

لنكن (I ) فترة مفتوحة تحتوي على (c text <،> ) واجعل ( vec r (t) ) دالة ذات قيمة متجهة محددة في (I text <،> ) باستثناء ربما في (c text <.> ) ، المعبر عنها كـ

يعني أنه بالنظر إلى أي ( varepsilon gt 0 text <،> ) يوجد ( delta gt 0 ) مثل هذا بالنسبة للجميع (t neq c text <،> ) إذا ( عضلات المعدة lt delta text <،> ) لدينا ( norm < vec r (t) - vec L> lt varepsilon text <.> )

لاحظ كيف أن قياس المسافة بين الأعداد الحقيقية هو القيمة المطلقة لاختلافها ، فإن قياس المسافة بين المتجهات هو معيار المتجه ، أو مقدار الفرق بينهما.

تنص النظرية 12.2.2 على أنه يمكننا حساب حدود الدوال ذات القيمة المتجهية من حيث المكونات.

نظرية 12.2.2. حدود الدالات ذات القيم المتجهية.

لنكن ( vec r (t) = la ، f (t)، g (t) ، ra ) دالة ذات قيمة متجهة في ( mathbb^ 2 ) مُعرَّف في فاصل زمني مفتوح (I ) يحتوي على (c text <،> ) باستثناء ربما في (c text <.> ) ثم

لنفترض أن ( vec r (t) = la ، f (t)، g (t)، h (t) ، ra ) تكون دالة ذات قيمة متجهة في ( mathbb^ 3 ) مُعرَّف في فاصل زمني مفتوح (I ) يحتوي على (c text <،> ) باستثناء ربما في (c text <.> ) ثم

مثال 12.2.3. إيجاد حدود وظائف ذات قيمة متجهة.

دع ( ds vec r (t) = la frac < sin (t)>، ، t ^ 2-3t + 3، ، cos (t) ra text <.> ) ابحث عن ( lim limits_ vec r (t) text <.> )

نحن نطبق النظرية ونحسب حدود المكون.

القسم الفرعي 12.2.2 الاستمرارية

التعريف 12.2.4. استمرارية الدوال ذات القيمة المتجهية.

لنفترض أن ( vec r (t) ) دالة ذات قيمة متجهة محددة في فاصل زمني مفتوح (I ) تحتوي على (c text <.> )

( vec r (t) ) هو مستمر في (ج ) إذا ( ليم حدود_ vec r (t) = r (c) text <.> )

إذا كان ( vec r (t) ) مستمرًا على الإطلاق (c ) في (I text <،> ) فإن ( vec r (t) ) يكون مستمر على (أنا نص <.> )

باستخدام حدود من جانب واحد ، يمكننا أيضًا تحديد الاستمرارية على فترات مغلقة كما فعلنا من قبل.

لدينا مرة أخرى نظرية تتيح لنا تقييم الاستمرارية من حيث مكوناتها.

نظرية 12.2.5. استمرارية الدوال ذات القيمة المتجهية.

لنفترض أن ( vec r (t) ) دالة ذات قيمة متجهة محددة في فاصل زمني مفتوح (I ) تحتوي على (c text <.> ) ثم ( vec r (t) ) هو مستمر في (c ) إذا ، وفقط إذا ، كل من وظائفه المكونة مستمرة عند (c text <.> )

مثال 12.2.6. تقييم استمرارية الدوال ذات القيمة المتجهية.

دع ( ds vec r (t) = la frac < sin (t)>، ، t ^ 2-3t + 3، ، cos (t) ra text <.> ) حدد ما إذا كان ( vec r ) مستمرًا عند (t = 0 ) و (t = 1 نص <.> )

بينما يتم تعريف المكونين الثاني والثالث من ( vec r (t) ) في (t = 0 text <،> ) المكون الأول ، (( sin (t)) / t ​​text < ،> ) ليست كذلك. نظرًا لأن المكون الأول لم يتم تعريفه حتى في (t = 0 text <،> ) ( vec r (t) ) لم يتم تعريفه في (t = 0 text <،> ) وبالتالي غير مستمر عند (t = 0 text <.> )

عند (t = 1 ) كل وظيفة من وظائف المكون مستمرة. لذلك ( vec r (t) ) مستمر عند (t = 1 text <.> )

القسم الفرعي 12.2.3 المشتقات

ضع في اعتبارك دالة ذات قيمة متجهة ( vec r ) محددة في فاصل زمني مفتوح (I ) تحتوي على (t_0 ) و (t_1 text <.> ) يمكننا حساب إزاحة ( vec r ) في ([t_0، t_1] text <،> ) كما هو موضح في الشكل 12.2.7. (أ). تذكر أن قسمة متجه الإزاحة على (t_1-t_0 ) يعطي متوسط ​​معدل التغيير على ([t_0، t_1] text <،> ) كما هو موضح في الشكل 12.2.7. (ب).

ال المشتق للدالة ذات القيمة المتجهية قياس فوريا معدل التغيير ، الذي يتم قياسه من خلال أخذ الحد على أنه طول ([t_0، t_1] ) يذهب إلى 0. بدلاً من التفكير في الفاصل الزمني مثل ([t_0، t_1] text <،> ) نفكر في هو ([c، c + h] ) لبعض قيم (h ) (ومن ثم فإن الفاصل الزمني له طول (ح )). ال معدل معدل التغيير

لأي قيمة من (h neq0 text <.> ) نأخذ الحد كـ (h to0 ) لقياس معدل التغيير اللحظي ، وهذا مشتق من ( vec r text <.> )

التعريف 12.2.8. مشتق من دالة ذات قيمة متجهية.

دع ( vec r (t) ) مستمرًا على فاصل زمني مفتوح (I ) يحتوي على (c text <.> )

تتضمن الرموز البديلة لمشتق ( vec r ) ما يلي:

إذا كانت الدالة ذات القيمة المتجهة تحتوي على مشتق لكل (c ) في فترة زمنية مفتوحة (I text <،> ) نقول أن ( vec r (t) ) قيد التشغيل (I text <.> )

مرة أخرى ، قد ننظر إلى هذا التعريف على أنه مخيف ، لكن نتذكر أنه يمكننا تقييم الحدود من حيث المكونات. تؤكد النظرية التالية أن هذا يعني أنه يمكننا حساب مكونات المشتقات أيضًا ، مما يجعل المهمة ليست صعبة للغاية.

مرة أخرى ، باستخدام الحدود من جانب واحد ، يمكننا تحديد التفاضل على فترات مغلقة. سوف نستفيد من هذا عدة مرات في هذا الفصل.

نظرية 12.2.9. مشتقات الدوال ذات القيم المتجهية.

دع ( vec r (t) = la ، f (t)، g (t) ، ra text <.> ) ثم

دع ( vec r (t) = la ، f (t)، g (t)، h (t) ، ra text <.> ) ثم

مثال 12.2.10. مشتقات الدوال ذات القيمة المتجهية.

رسم ( vec r (t) ) و ( vrp (t) ) على نفس المحاور.

احسب ( vrp (1) ) وارسم هذا المتجه بنقطته الأولية في الأصل وفي ( vec r (1) text <.> )

تسمح لنا النظرية 12.2.9 بحساب المشتقات من حيث المكونات ، لذلك

( vec r (t) ) و ( vrp (t) ) تم رسمهما معًا في الشكل 12.2.11. (أ). لاحظ كيف أن رسمهما معًا ، بهذه الطريقة ، ليس منيرًا جدًا. عند التعامل مع الدوال ذات القيمة الحقيقية ، فإن التخطيط (f (x) ) مع ( fp (x) ) أعطانا معلومات مفيدة حيث تمكنا من المقارنة (f ) و ( fp ) في نفس (س ) - القيم. عند التعامل مع الدوال ذات القيمة المتجهية ، من الصعب تحديد النقاط الموجودة على الرسم البياني لـ ( vrp ) التي تتوافق مع النقاط الموجودة على الرسم البياني ( vec r text <.> )

نحسب بسهولة ( vrp (1) = la 2،1 ra text <،> ) المرسوم في الشكل 12.2.11 بنقطته الأولية في الأصل ، وكذلك في ( vec r (1) = la 1،1 ra text <.> ) هذه موضحة في الشكل 12.2.11. (ب).

مثال 12.2.12. مشتقات الدوال ذات القيمة المتجهية.

دع ( vec r (t) = la cos (t) ، sin (t) ، t ra text <.> ) احسب ( vrp (t) ) و ( vrp ( pi / 2) text <.> ) رسم ( vrp ( pi / 2) ) بنقطته الأولية في الأصل وفي ( vec r ( pi / 2) text <.> )

نحسب ( vrp ) كـ ( vrp (t) = la - sin (t) ، cos (t) ، 1 ra text <.> ) في (t = pi / 2 text <،> ) لدينا ( vrp ( pi / 2) = la -1،0،1 ra text <.> ) يوضح الشكل 12.2.13 رسمًا بيانيًا لـ ( vec r (t) text <،> ) مع ( vrp ( pi / 2) ) مرسوم بنقطته الأولية في الأصل وفي ( vec r ( pi / 2) text <.> )

في المثالين 12.2.10 والمثال 12.2.12 ، لا يبدو أن رسم مشتق معين بنقطته الأولية عند الأصل يكشف عن أي شيء مهم. ومع ذلك ، عندما قمنا برسم المتجه بنقطته الأولية على النقطة المقابلة في الرسم البياني ، رأينا شيئًا مهمًا: بدا المتجه وكأنه ظل على الرسم البياني. لم نحدد بعد ما تعنيه كلمة "tangent" من حيث المنحنيات في الفضاء في الواقع ، نحن نستخدم المشتق لتعريف هذا المصطلح.

التعريف 12.2.14. ناقل الظل ، خط الظل.

لنفترض أن ( vec r (t) ) دالة ذات قيمة متجهة قابلة للتفاضل على فاصل زمني مفتوح (I ) تحتوي على (c text <،> ) حيث ( vrp (c) neq vec 0 نص <.> )

المتجه ( vec v ) هو مماس للرسم البياني لـ ( vec r (t) ) في (t = c ) إذا كان ( vec v ) موازيًا لـ ( vrp (c) text <.> )

ال خط الظل إلى الرسم البياني لـ ( vec r (t) ) في (t = c ) هو السطر المار بـ ( vec r (c) ) مع الاتجاه الموازي لـ ( vrp (c) text < .> ) معادلة خط المماس هي

مثال 12.2.15. إيجاد خطوط مماسة للمنحنيات في الفراغ.

دع ( vec r (t) = la t، t ^ 2، t ^ 3 ra ) على ([- 1.5،1.5] text <.> ) ابحث عن المعادلة المتجهة لخط المماس إلى الرسم البياني لـ ( vec r ) في (t = -1 نص <.> )

لإيجاد معادلة الخط المستقيم ، نحتاج إلى نقطة على الخط واتجاهه. يتم إعطاء النقطة بواسطة ( vec r (-1) = la -1،1، -1 ra text <.> ) (ليكون واضحًا ، ( la -1،1، -1 ra ) هو أ المتجه، ليست نقطة ، لكننا نستخدم النقطة "المشار إليها" بواسطة هذا المتجه.)

يأتي الاتجاه من ( vrp (-1) text <.> ) نحن نحسب ، المكون الحكيم ، ( vrp (t) = la 1 ، 2t ، 3t ^ 2 ra text <.> ) هكذا ( vrp (-1) = لا 1، -2،3 را نص <.> )

معادلة الخط المتجه هي ( ell (t) = la -1،1، -1 ra + t la 1، -2،3 ra text <.> ) هذا السطر و ( vec r (t) ) مخططة في الشكل 12.2.16.

مثال 12.2.17. إيجاد خطوط مماسة للمنحنيات.

ابحث عن معادلات المماس لـ ( vec r (t) = la t ^ 3، t ^ 2 ra ) في (t = -1 ) و (t = 0 text <.> )

نجد أن ( vrp (t) = la 3t ^ 2،2t ra text <.> ) في (t = -1 text <،> ) لدينا

لذا فإن معادلة الخط المماس للرسم البياني لـ ( vec r (t) ) في (t = -1 ) هي

تم رسم هذا الخط بـ ( vec r (t) ) في الشكل 12.2.18.

في (t = 0 text <،> ) لدينا ( vrp (0) = la 0،0 ra = vec 0 text) هذا يعني أن خط المماس "ليس له اتجاه". لا يمكننا تطبيق التعريف 12.2.14 ، وبالتالي لا يمكننا العثور على معادلة خط الظل.

لم نتمكن من حساب معادلة الخط المماس لـ ( vec r (t) = la t ^ 3، t ^ 2 ra ) في (t = 0 ) لأن ( vrp (0) = vec 0 text <.> ) يوضح الرسم البياني في الشكل 12.2.18 أن هناك حدًا عند هذه النقطة. هذا يقودنا إلى تعريف آخر لـ ناعم، تم تحديده مسبقًا في التعريف 10.2.22 في القسم 10.2.

التعريف 12.2.19. وظائف سلسة ذات قيمة متجهية.

لنفترض أن ( vec r (t) ) دالة ذات قيمة متجهة قابلة للتفاضل على فاصل زمني مفتوح (I ) حيث ( vrp (t) ) مستمر على (I text <.> ) ( vec r (t) ) قيد التشغيل (I ) إذا ( vrp (t) neq vec 0 ) على (I text <.> )

بعد إنشاء مشتقات للدوال ذات القيمة المتجهية ، نستكشف الآن العلاقات بين المشتق وعمليات المتجه الأخرى. توضح النظرية التالية كيف يتفاعل المشتق مع إضافة المتجه ومنتجات المتجهات المختلفة.

نظرية 12.2.20. خصائص مشتقات الدوال ذات القيم المتجهة.

لنفترض أن ( vec r ) و ( vec s ) دالات ذات قيمة متجهة قابلة للتفاضل ، دع (f ) تكون دالة ذات قيمة حقيقية قابلة للتفاضل ، واجعل (c ) رقمًا حقيقيًا.

( displaystyle ds frac

كبير ( vec r (t) pm vec s (t) Big) = vrp (t) pm vec s '(t) )

( displaystyle ds frac

كبير (c vec r (t) كبير) = c vrp (t) )

( ds فارك

كبير (f (t) vec r (t) كبير) = fp (t) vec r (t) + f (t) vrp (t) ) سيادة المنتج

( ds فارك

كبير ( vec r (t) cdot vec s (t) Big) = vrp (t) cdot vec s (t) + vec r (t) cdot vec s ، '( ر) ) سيادة المنتج

( دس فارك

كبير ( vec r (t) مرات vec s (t) كبير) = vrp (t) times vec s (t) + vec r (t) times vec s '( ر) ) سيادة المنتج

( ds فارك

كبير ( vec r كبير (f (t) كبير) كبير) = vrp كبير (f (t) كبير) fp (t) ) حكم السلسلة

مثال 12.2.21. Using derivative properties of vector-valued functions.

Let (vec r(t) = la t, t^2-1 a) and let (vec u(t)) be the unit vector that points in the direction of (vec r(t) ext<.>)

Graph (vec r(t)) and (vec u(t)) on the same axes, on ([-2,2] ext<.>)

Find (vec u,'(t)) and sketch (vec u,'(-2) ext<,>) (vec u,'(-1)) and (vec u,'(0) ext<.>) Sketch each with initial point the corresponding point on the graph of (vec u ext<.>)

To form the unit vector that points in the direction of (vec r ext<,>) we need to divide (vec r(t)) by its magnitude.

(vec r(t)) and (vec u(t)) are graphed in Figure 12.2.22. Note how the graph of (vec u(t)) forms part of a circle this must be the case, as the length of (vec u(t)) is 1 for all (t ext<.>)

To compute (vec u,'(t) ext<,>) we use Theorem 12.2.20, writing

and then take the derivative. It is a matter of preference this latter method requires two applications of the Quotient Rule where our method uses the Product and Chain Rules.) We find (fp(t)) using the Chain Rule:

We now find (vec u,'(t)) using part 3 of Theorem 12.2.20:

This is admittedly very “messy” such is usually the case when we deal with unit vectors. We can use this formula to compute (vec u,'(-2) ext<,>) (vec u,'(-1)) and (vec u,'(0) ext<:>)

Each of these is sketched in Figure 12.2.23. Note how the length of the vector gives an indication of how quickly the circle is being traced at that point. When (t=-2 ext<,>) the circle is being drawn relatively slow when (t=-1 ext<,>) the circle is being traced much more quickly.

It is a basic geometric fact that a line tangent to a circle at a point (P) is perpendicular to the line passing through the center of the circle and (P ext<.>) This is illustrated in Figure 12.2.23 each tangent vector is perpendicular to the line that passes through its initial point and the center of the circle. Since the center of the circle is the origin, we can state this another way: (vec u,'(t)) is orthogonal to (vec u(t) ext<.>)

Recall that the dot product serves as a test for orthogonality: if (vec ucdot vec v = 0 ext<,>) then (vec u) is orthogonal to (vec v ext<.>) Thus in the above example, (vec u(t)cdot vec u,'(t)=0 ext<.>)

This is true of any vector-valued function that has a constant length, that is, that traces out part of a circle. It has important implications later on, so we state it as a theorem (and leave its formal proof as an Exercise.)

Theorem 12.2.24 . Vector-Valued Functions of Constant Length.

Let (vec r(t)) be a vector-valued function of constant length that is differentiable on an open interval (I ext<.>) That is, ( orm = c) for all (t) in (I ext<>) equivalently, (vec r(t)cdot vec r(t) = c^2) for all (t) in (I ext<.>) Then (vec r(t)cdotvrp(t) = 0) for all (t) in (I ext<.>)

Subsection 12.2.4 Integration

Before formally defining integrals of vector-valued functions, consider the following equation that our calculus experience tells us ينبغي be true:

That is, the integral of a rate of change function should give total change. In the context of vector-valued functions, this total change is displacement. The above equation هو true we now develop the theory to show why.

We can define antiderivatives and the indefinite integral of vector-valued functions in the same manner we defined indefinite integrals in Definition 5.1.2. However, we cannot define the definite integral of a vector-valued function as we did in Definition 5.2.6. That definition was based on the signed area between a function (y=f(x)) and the (x)-axis. An area-based definition will not be useful in the context of vector-valued functions. Instead, we define the definite integral of a vector-valued function in a manner similar to that of Theorem 5.3.26, utilizing Riemann sums.

Definition 12.2.25 . Antiderivatives, Indefinite and Definite Integrals of Vector-Valued Functions.

Let (vec r(t)) be a continuous vector-valued function on ([a,b] ext<.>) An of (vec r(t)) is a function (vec R(t)) such that (vec R'(t) = vec r(t) ext<.>)

The set of all antiderivatives of (vec r(t)) is the of (vec r(t) ext<,>) denoted by

where (Delta t_i) is the length of the (i)th subinterval of a partition of ([a,b] ext<,>) ( orm) is the length of the largest subinterval in the partition, and (c_i) is any value in the (i)th subinterval of the partition.

It is probably difficult to infer meaning from the definition of the definite integral. The important thing to realize from the definition is that it is built upon limits, which we can evaluate component-wise.

The following theorem simplifies the computation of definite integrals the rest of this section and the following section will give meaning and application to these integrals.

Theorem 12.2.26 . Indefinite and Definite Integrals of Vector-Valued Functions.

Let (vec r(t) = la f(t),g(t) a) be a vector-valued function in (mathbb^2) that is continuous on ([a,b] ext<.>)

(displaystyle ds int vec r(t), dt = la int f(t), dt, int g(t), dt a)

(displaystyle ds int_a^b vec r(t), dt = la int_a^b f(t), dt, int_a^b g(t), dt a)

A similar statement holds for vector-valued functions in (mathbb^3 ext<.>)

Example 12.2.27 . Evaluating a definite integral of a vector-valued function.

Let (vec r(t) = la e^<2t>,sin(t) a ext<.>) Evaluate (ds int_0^1 vec r(t) ,dt ext<.>)

Example 12.2.28 . Solving an initial value problem.

Let (vrp'(t) = la 2, cos(t) , 12t a ext<.>) Find (vec r(t)) where:

Knowing (vrp'(t) = la 2,cos(t) , 12t a ext<,>) we find (vrp(t)) by evaluating the indefinite integral.

Note how each indefinite integral creates its own constant which we collect as one constant vector (vec C ext<.>) Knowing (vrp(0) = la 5,3,0 a) allows us to solve for (vec C ext<:>)

So (vrp(t) = la 2t,sin(t) ,6t^2 a + la 5,3,0 a = la 2t+5, sin(t) + 3, 6t^2 a ext<.>) To find (vec r(t) ext<,>) we integrate once more.

With (vec r(0) = la -7,-1,2 a ext<,>) we solve for (vec C ext<:>)

What does the integration of a vector-valued function mean؟ There are many applications, but none as direct as “the area under the curve” that we used in understanding the integral of a real-valued function.

A key understanding for us comes from considering the integral of a derivative:

Integrating a rate of change function gives الإزاحة.

Noting that vector-valued functions are closely related to parametric equations, we can describe the arc length of the graph of a vector-valued function as an integral. Given parametric equations (x=f(t) ext<,>) (y=g(t) ext<,>) the arc length on ([a,b]) of the graph is

as stated in Theorem 10.3.17 in Section 10.3. If (vrt = la f(t), g(t) a ext<,>) note that (sqrt = orm ext<.>) Therefore we can express the arc length of the graph of a vector-valued function as an integral of the magnitude of its derivative.

Theorem 12.2.29 . Arc Length of a Vector-Valued Function.

Let vrt be a vector-valued function where (vrp(t)) is continuous on ([a,b] ext<.>) The arc length (L) of the graph of vrt is

Note that we are actually integrating a scalar-function here, not a vector-valued function.

The next section takes what we have established thus far and applies it to objects in motion. We will let vrt describe the path of an object in the plane or in space and will discover the information provided by (vrp(t)) and (vrp'(t) ext<.>)

Exercises 12.2.5 Exercises

Limits, derivatives and integrals of vector-valued functions are all evaluated -wise.

The definite integral of a rate of change function gives .

Why is it generally not useful to graph both (vec r(t)) and (vrp(t)) on the same axes?

It is difficult to identify the points on the graphs of (vec r(t)) and (vrp(t)) that correspond to each other.

Theorem 12.2.20 contains three product rules. What are the three different types of products used in these rules?


Many vector-valued functions, like scalar-valued functions, can be differentiated by simply differentiating the components in the Cartesian coordinate system. Thus, if

is a vector-valued function, then

The vector derivative admits the following physical interpretation: if ص(ر) represents the position of a particle, then the derivative is the velocity of the particle

Likewise, the derivative of the velocity is the acceleration

Partial derivative

The partial derivative of a vector function أ with respect to a scalar variable ف is defined as [ 1 ]

أين أأنا هل scalar component من أ in the direction of هأنا. It is also called the direction cosine of أ و هأنا or their dot product. The vectors ه1,ه2,ه3 form an orthonormal basis fixed in the reference frame in which the derivative is being taken.

Ordinary derivative

إذا أ is regarded as a vector function of a single scalar variable, such as time ر, then the equation above reduces to the first ordinary time derivative of أ with respect to ر, [ 1 ]

Total derivative

If the vector أ is a function of a number ن of scalar variables فص (ص = 1. ن), and each فص is only a function of time ر, then the ordinary derivative of أ with respect to ر can be expressed, in a form known as the total derivative, as [ 1 ]

Some authors prefer to use capital D to indicate the total derivative operator, as in د/Dt. The total derivative differs from the partial time derivative in that the total derivative accounts for changes in أ due to the time variance of the variables فص.

Reference frames

Whereas for scalar-valued functions there is only a single possible reference frame, to take the derivative of a vector-valued function requires the choice of a reference frame (at least when a fixed Cartesian coordinate system is not implied as such). Once a reference frame has been chosen, the derivative of a vector-valued function can be computed using techniques similar to those for computing derivatives of scalar-valued functions. A different choice of reference frame will, in general, produce a different derivative function. The derivative functions in different reference frames have a specific kinematical relationship.

Derivative of a vector function with nonfixed bases

The above formulas for the derivative of a vector function rely on the assumption that the basis vectors ه1,ه2,ه3 are constant, that is, fixed in the reference frame in which the derivative of أ is being taken, and therefore the ه1,ه2,ه3 each has a derivative of identically zero. This often holds true for problems dealing with vector fields in a fixed coordinate system, or for simple problems in physics. However, many complex problems involve the derivative of a vector function in multiple moving reference frames, which means that the basis vectors will not necessarily be constant. In such a case where the basis vectors ه1,ه2,ه3 are fixed in reference frame E, but not in reference frame N, the more general formula for the ordinary time derivative of a vector in reference frame N is [ 1 ]

where the superscript N to the left of the derivative operator indicates the reference frame in which the derivative is taken. As shown previously, the first term on the right hand side is equal to the derivative of أ in the reference frame where ه1,ه2,ه3 are constant, reference frame E. It also can be shown that the second term on the right hand side is equal to the relative angular velocity of the two reference frames cross multiplied with the vector أ بحد ذاتها. [ 1 ] Thus, after substitution, the formula relating the derivative of a vector function in two reference frames is [ 1 ]

where N ω E is the angular velocity of the reference frame E relative to the reference frame N.

One common example where this formula is used is to find the velocity of a space-borne object, such as a rocket, in the inertial reference frame using measurements of the rocket's velocity relative to the ground. The velocity N الخامس R in inertial reference frame N of a rocket R located at position ص R can be found using the formula

where N ω E is the angular velocity of the Earth relative to the inertial frame N. Since velocity is the derivative of position, N الخامس R and E الخامس R are the derivatives of ص R in reference frames N and E, respectively. By substitution,

where E الخامس R is the velocity vector of the rocket as measured from a reference frame E that is fixed to the Earth.

Derivative and vector multiplication

The derivative of the products of vector functions behaves similarly to the derivative of the products of scalar functions. [ 2 ] Specifically, in the case of scalar multiplication of a vector, if ص is a scalar variable function of ف, [ 1 ]

In the case of dot multiplication, for two vectors أ و ب that are both functions of ف, [ 1 ]

Similarly, the derivative of the cross product of two vector functions is [ 1 ]


Level and Sub-level Sets

Level and sub-level sets correspond to the notion of contour of a function. Both are indexed on some scalar value .

Level sets

أ level set is simply the set of points that achieve exactly some value for the function . ل ، ال -level set of the function is defined as

x in mathbf^n, t = f(x) right> . " />

Sub-level sets

A related notion is that of sub-level set. This is now the set of points that achieve at most a certain value for , or below:

x in mathbf^n, t ge f(x) right> . " />

Level and sub-level sets of a function , with domain itself, and values on the domain given by


Infinite-dimensional vector functions

If the values of a function F lie in an infinite-dimensional vector space X, such as a Hilbert space, then F may be called an infinite-dimensional vector function.

Functions with values in a Hilbert space

If the argument of F is a real number and X is a Hilbert space, then the derivative of F at a point ر can be defined as in the finite-dimensional case:

Most results of the finite-dimensional case also hold in the infinite-dimensional case too, mutatis mutandis. Differentiation can also be defined to functions of several variables (e.g., or even ، أين ص is an infinite-dimensional vector space).

ملحوظة. إذا X is a Hilbert space, then one can easily show that any derivative (and any other limit) can be computed componentwise: if

(i.e., ، أين is an orthonormal basis of the space X), and exists, then

.

However, the existence of a componentwise derivative does not guarantee the existence of a derivative, as componentwise convergence in a Hilbert space does not guarantee convergence with respect to the actual topology of the Hilbert space.


Plotly.subplots .make_subplots¶

Return an instance of plotly.graph_objects.Figure with predefined subplots configured in ‘layout’.

صفوف (int (default 1)) – Number of rows in the subplot grid. Must be greater than zero.

cols (int (default 1)) – Number of columns in the subplot grid. Must be greater than zero.

Assign shared (linked) x-axes for 2D cartesian subplots

  • True or ‘columns’: Share axes among subplots in the same column

  • ’rows’: Share axes among subplots in the same row

  • ’all’: Share axes across all subplots in the grid.

Assign shared (linked) y-axes for 2D cartesian subplots

  • ’columns’: Share axes among subplots in the same column

  • True or ‘rows’: Share axes among subplots in the same row

  • ’all’: Share axes across all subplots in the grid.

Choose the starting cell in the subplot grid used to set the domains_grid of the subplots.

  • ’top-left’: Subplots are numbered with (1, 1) in the top

    left corner

  • ’bottom-left’: Subplots are numbererd with (1, 1) in the bottom

    left corner

print_grid (boolean (default True):) – If True, prints a string representation of the plot grid. Grid may also be printed using the Figure.print_grid() method on the resulting figure.

Space between subplot columns in normalized plot coordinates. Must be a float between 0 and 1.

Applies to all columns (use ‘specs’ subplot-dependents spacing)

Space between subplot rows in normalized plot coordinates. Must be a float between 0 and 1.

Applies to all rows (use ‘specs’ subplot-dependents spacing)

Title of each subplot as a list in row-major ordering.

Empty strings (“”) can be included in the list if no subplot title is desired in that space so that the titles are properly indexed.

Per subplot specifications of subplot type, row/column spanning, and spacing.

Indices of the outer list correspond to subplot grid rows starting from the top, if start_cell=’top-left’, or bottom, if start_cell=’bottom-left’. The number of rows in ‘specs’ must be equal to ‘rows’.

Indices of the inner lists correspond to subplot grid columns starting from the left. The number of columns in ‘specs’ must be equal to ‘cols’.

Each item in the ‘specs’ list corresponds to one subplot in a subplot grid. (N.B. The subplot grid has exactly ‘rows’ times ‘cols’ cells.)

Use None for a blank a subplot cell (or to move past a col/row span).

Note that specs[0][0] has the specs of the ‘start_cell’ subplot.

The available keys are: * type (string, default ‘xy’): Subplot type. One of

  • ’xy’: 2D Cartesian subplot type for scatter, bar, etc.

  • ’scene’: 3D Cartesian subplot for scatter3d, cone, etc.

  • ’polar’: Polar subplot for scatterpolar, barpolar, etc.

  • ’ternary’: Ternary subplot for scatterternary

  • ’mapbox’: Mapbox subplot for scattermapbox

  • ’domain’: Subplot type for traces that are individually

    positioned. pie, parcoords, parcats, etc.

  • trace type: A trace type which will be used to determine

    the appropriate subplot type for that trace

y-axis positioned on the right side of the subplot. Only valid if type=’xy’.

l (float, default 0.0): padding left of cell

r (float, default 0.0): padding right of cell

t (float, default 0.0): padding right of cell

b (float, default 0.0): padding bottom of cell

Note: Use ‘horizontal_spacing’ and ‘vertical_spacing’ to adjust the spacing in between the subplots.

Inset specifications. Insets are subplots that overlay grid subplots

    Each item in ‘insets’ is a dictionary.

    cell (tuple, default=(1,1)): (row, col) index of the

subplot cell to overlay inset axes onto.

type (string, default ‘xy’): Subplot type

in fraction of cell width

in fraction of cell width (‘to_end’: to cell right edge)

in fraction of cell height

in fraction of cell height (‘to_end’: to cell top edge)

list of length cols of the relative widths of each column of suplots. Values are normalized internally and used to distribute overall width of the figure (excluding padding) among the columns.

For backward compatibility, may also be specified using the column_width keyword argument.

list of length rows of the relative heights of each row of subplots. If start_cell=’top-left’ then row heights are applied top to bottom. Otherwise, if start_cell=’bottom-left’ then row heights are applied bottom to top.

For backward compatibility, may also be specified using the row_width kwarg. If specified as row_width , then the width values are applied from bottom to top regardless of the value of start_cell. This matches the legacy behavior of the row_width argument.

column_titles (list of str أو None (default None)) – list of length cols of titles to place above the top subplot in each column.

row_titles (list of str أو None (default None)) – list of length rows of titles to place on the right side of each row of subplots. If start_cell=’top-left’ then row titles are applied top to bottom. Otherwise, if start_cell=’bottom-left’ then row titles are applied bottom to top.

x_title (str أو None (default None)) – Title to place below the bottom row of subplots, centered horizontally

y_title (str أو None (default None)) – Title to place to the left of the left column of subplots, centered vertically

figure (go.Figure أو None (default None)) – If None, a new go.Figure instance will be created and its axes will be populated with those corresponding to the requested subplot geometry and this new figure will be returned. If a go.Figure instance, the axes will be added to the layout of this figure and this figure will be returned. If the figure already contains axes, they will be overwritten.

This is the format of your plot grid: [ (1,1) xaxis1,yaxis1 ] [ (2,1) xaxis2,yaxis2 ]


5.1: Vector-Valued Functions and Space Curves

    Recall that a parameterized curve in the plane is the image of a straight line segment "bent" by some mapping ص(t) = (x(ر),ذ(ر)). For example, the vector-valued function ص(t) = (ر,ر 2 ) describes a parameterized parabola in the plane. Write down a vector-valued function that describes a circle in the plane. Plot your parametric curve in your worksheet to confirm that it represents a circle.

Often the two parameters are labeled ش و الخامس. The parameterized surface is a vector valued function ص(ش,الخامس) of two variables, whether written in ijk vector notation or as an ordered triple of functions of ش و الخامس. Since each of the variables ش و الخامس ranges over an interval, the domain for ص(ش,الخامس) is a coordinate rectangle, say [أ,ب] x [ج,د], in the uv-طائرة. (Either or both intervals may be infinitely long.)

  1. Every surface that is the graph of a function f(x,ذ) can also be described parametrically by letting the parameters be x و ذ. In you r worksheet, confirm that the saddle surface which is the graph of f(x,ذ) = س ص is the same as the graph of ص(ش,الخامس) = شأنا + الخامسي + uvك.

Just as we can use Cartesian coordinates as parameters, we can use other coordinate systems as well. The next two steps illustrate this.

    Use the cylindrical coordinates ش = and الخامس = ض to construct a parametric representation of a circular cylinder of radius 2 and height 3. Plot your parametric surface in your worksheet.

Now we consider a parameterization of the torus pictured above before step 1. We can visualize this surface by first imagining a circle of radius أ in the س ص-plane that runs through the center of the "tube". From each point on this circle, we can reach a circle of points on the surface by making it the center of a circle of radius ب، أين b < أ. This second circle is drawn in a vertical plane that includes the z-axis. In the figure at the right, we show the horizontal circle of radius أ in blue and a typical circle of radius ب in red. As the red circle travels around the blue one, it sweeps out the entire torus. We take as parameters ش و الخامس, respectively, the central angles for the blue and red circles. Then we can construct the parameterization for each point ص(ش,الخامس) on the surface by adding a vector from the origin to a point on the blue circle and a vector from that point to a point on the corresponding red circle.

    Explain why the construction just described leads to the parameterization


Abtahi, M.: Vector-valued characters on vector-valued function algebras. Banach J. Math. شرجي. 10(3), 608–620 (2016)

Bade, W.G., Curtis Jr., P.C., Dales, H.G.: Amenability and weak amenability for Beurling and Lipschitz algebras. بروك. لوند. رياضيات. Soc. 55(3), 359–377 (1987)

Bland, W.J., Feinstein, J.F.: Completions of normed algebras of differentiable functions. Stud. رياضيات. 170, 89–111 (2005)

Cao, H.X., Zhang, J.H., Xu, Z.B.: Characterizations and extensions of Lipschitz- (alpha ) operators. اكتا ماث. Sin. Engl. Ser. 22(3), 671–678 (2006)

Dales, H.G.: Banach algebras and automatic continuity, London Math. Soc. Monographs 24. The Clarendon Press, Oxford (2000)

Dales, H.G., Davie, A.M.: Quasianalytic Banach function algebras. J. Funct. شرجي. 13, 28–50 (1973)

Dales, H.G., Feinstein, J.F.: Normed algebras of differentiable functions on compact plane sets. Indian J. Pure Appl. رياضيات. 41, 153–187 (2010)

de Leeuw, K.: Banach spaces of Lipschitz functions, Studia Math. 21, 55–66 (1961/1962)

Esmaeili, K.: Weighted composition operators on vector-valued Lipschitz function spaces and on Zygmund type spaces. Ph.D. Thesis, Kharazmi University, Tehran, Iran (2013)

Esmaeili, K., Mahyar, H.: Weighted composition operators between vector-valued Lipschitz function spaces. Banach J. Math. شرجي. 7(1), 59–72 (2013)

Esmaeili, K., Mahyar, H.: The character spaces and the Šilov boundaries of vector-valued Lipschitz function algebras. Indian J. Pure Appl. رياضيات. 45(6), 977–988 (2014)

Gamelin, T.W.: Uniform Algebras. Chelsea Publishing Company, New York (1984)

Hatori, O., Oi, S., Takagi, H.: Peculiar homomorphisms on algebras of vector valued maps. Stud. رياضيات. 242(2), 141–163 (2018)

Hausner, A.: Ideals in a certain Banach algebra. بروك. أكون. رياضيات. Soc. 8, 246–249 (1957)

Honary, T.G.: Relations between Banach function algebras and their uniform closures. بروك. أكون. رياضيات. Soc. 109(2), 337–342 (1990)

Honary, T.G., Mahyar, H.: Approximation in Lipschitz algebras of infinitely differentiable functions. ثور. Korean Math. Soc. 36, 629–636 (1999)

Honary, T.G., Mahyar, H.: Approximation in Lipschitz algebras. J. Quaest. رياضيات. 23, 13–19 (2000)

Jarosz, K.: (<< m Lip>>_(X,alpha )) . بروك. أكون. رياضيات. Soc. 125, 3129–3130 (1997)

Johnson, J.A.: Banach spaces of Lipschitz functions and vector-valued Lipschitz functions. عبر. أكون. رياضيات. Soc. 148, 147–169 (1970)

Mahyar, H. Approximation in Lipschitz algebras and their maximal ideal space. Ph.D. Thesis, University For Teacher Education, Tehran, Iran (1994)

Mahyar, H.: Compact endomorphisms of infinitely differentiable Lipschitz algebras. Rocky Mt. J. الرياضيات. 39, 193–217 (2009)

Nikou, A., O’Farrell: Banach algebras of vector-valued functions. Glasgow Math. ج. 56(2), 419–426 (2014)

Sherbert, D.R.: Banach algebras of Lipschitz functions. Pac. J. الرياضيات. 13, 1387–1399 (1963)

Sherbert, D.R.: The structure of ideals and point derivations in Banach algebras of Lipschitz functions. عبر. أكون. رياضيات. Soc. 111, 240–272 (1964)

Weaver, N.: Lipschitz Algebras. World Scientific Publishing Co. Inc, River Edge (1999)

Żelazko, W.: Banach Agebras. Elsevier Publishing Company, New York (1973)


أمثلة

The examples below show how OFFSET can be configured to return different kinds of ranges. These screens were taken with Excel 365, so OFFSET returns a dynamic array when the result is more than one cell. In older versions of Excel, you can use the F9 key to check results returned from OFFSET.

Example #1

In the screen below, we use OFFSET to return the third value (March) in the second column (West). The formula in H4 is:

Example #2

In the screen below, we use OFFSET to return the last value (June) in the third column (North). The formula in H4 is:

Example #3

Below, we use OFFSET to return all values in the third column (North). The formula in H4 is:

Example #4

Below, we use OFFSET to return all values for May (fifth row). The formula in H4 is:

Example #5

Below, we use OFFSET to return April, May, and June value for the West region. The formula in H4 is:

Example #6

Below, we use OFFSET to return April, May, and June value for West and North. The formula in H4 is:


Bringmann, K., Kane, B.: Second-order cusp forms and mixed mock modular forms. رامانوجان ج. 31(1–2), 147–161 (2013)

Candelori, L., Franc, C.: Vector bundles and modular forms for fuchsian groups of genus zero (2017). arXiv:1707.01693 [math.AG.NT]

Candelori, L., Franc, C.: Vector-valued modular forms and the modular orbifold of elliptic curves. كثافة العمليات J. Number Theory. نظرية الأعداد 13(1), 39–63 (2017)

Cummins, C.J., Pauli, S.: Congruence subgroups of (< m PSL>(2,>)) of genus less than or equal to 24. Exp. رياضيات. 12(2), 243–255 (2003)

Eichler, M., Zagier, D.: The Theory of Jacobi Forms, Volume 55 of Progress in Mathematics. Birkhäuser Boston Inc., Boston (1985)

Farkas, H.M., Kra, I.: Riemann Surfaces, Volume 71 of Graduate Texts in Mathematics. Springer, New York (1980)

Franc, C., Mason, G.: Fourier coefficients of vector-valued modular forms of dimension 2. Can. رياضيات. ثور. 57(3), 485–494 (2014)

Franc, C., Mason, G.: Hypergeometric series, modular linear differential equations and vector-valued modular forms. Ramanujan J., 1–35 (2014)

Knopp, M., Mason, G.: Generalized modular forms. J. Number Theory. نظرية الأعداد 99(1), 1–28 (2003)

Manin, J.I.: Parabolic points and zeta functions of modular curves. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 36, 19–66 (1972)

Mason, G.: Vector-valued modular forms and linear differential operators. كثافة العمليات J. Number Theory. نظرية الأعداد 3(3), 377–390 (2007)

Mason, G.: 2-dimensional vector-valued modular forms. رامانوجان ج. 17(3), 405–427 (2008)

Marks, C., Mason, G.: Structure of the module of vector-valued modular forms. J. Lond. رياضيات. Soc. (2) 82(1), 32–48 (2010)

Mertens, M.H., Raum, M.: Modular forms of virtually real-arithmetic type (2017). arXiv:1712.03004 [math.NT]

Newman, M.: A complete description of the normal subgroups of genus one of the modular group. أكون. J. الرياضيات. 86, 17–24 (1964)

Selberg, A: On the estimation of Fourier coefficients of modular forms. In: Proc. Sympos. Pure Math., Vol. VIII, pp. 1–15. American Mathematical Society, Providence (1965)

Thompson, J.G.: Hecke operators and noncongruence subgroups. In: Group theory (Singapore, 1987), pp. 215–224. de Gruyter, Berlin (1989). Including a letter from J.-P. Serre

Zhu, Y.: Modular invariance of characters of vertex operator algebras. جيه. رياضيات. Soc. 9(1), 237–302 (1996)


شاهد الفيديو: -الفضاء المتري ماهيته وشروطهالدالة المترية. فضاءات مترية شائعة. (كانون الثاني 2022).