مقالات

12.3: القطع المكافئ - الرياضيات


أهداف التعلم

  • ارسم قطعًا مكافئًا برؤوس عند نقطة الأصل.
  • اكتب معادلات القطع المكافئ في الشكل القياسي.
  • ارسم قطعًا مكافئًا برؤوس ليست في الأصل.
  • حل المسائل التطبيقية التي تتضمن قطع مكافئ.

هل تعلم أن الشعلة الأولمبية أضاءت قبل عدة أشهر من بدء الألعاب؟ الطريقة الاحتفالية لإضاءة اللهب هي نفسها كما في العصور القديمة. يقام الاحتفال في معبد هيرا في أولمبيا باليونان ، وهو متجذر في الأساطير اليونانية ، تكريمًا لبروميثيوس ، الذي سرق النار من زيوس لتقديمها لجميع البشر. تقوم إحدى الكاهنات الإحدى عشرة بالتمثيل بوضع الشعلة في بؤرة مرآة مكافئة (الشكل ( PageIndex {1} )) ، والتي تركز أشعة الضوء القادمة من الشمس لإشعال اللهب.

المرايا المكافئة (أو العاكسات) قادرة على التقاط الطاقة وتركيزها على نقطة واحدة. تتضح مزايا هذه الخاصية من خلال القائمة الواسعة من الأجسام المكافئة التي نستخدمها كل يوم: أطباق الأقمار الصناعية ، والجسور المعلقة ، والتلسكوبات ، والميكروفونات ، والمصابيح الكاشفة ، والمصابيح الأمامية للسيارات ، على سبيل المثال لا الحصر. تُستخدم العواكس المكافئة أيضًا في أجهزة الطاقة البديلة ، مثل المواقد الشمسية وسخانات المياه ، لأنها غير مكلفة في التصنيع وتحتاج إلى القليل من الصيانة. في هذا القسم سوف نستكشف القطع المكافئ واستخداماته ، بما في ذلك التصميمات الشمسية منخفضة التكلفة والموفرة للطاقة.

رسم القطع المكافئ بالرسم البياني مع الرؤوس عند الأصل

في السابق ، رأينا أن القطع الناقص يتكون عندما تخترق طائرة مخروطًا دائريًا قائمًا. إذا كان المستوى موازيًا لحافة المخروط ، يتشكل منحنى غير محدود. هذا المنحنى هو أ القطع المكافئ (الشكل ( PageIndex {2} )).

مثل القطع الناقص والقطع الزائد ، يمكن أيضًا تحديد القطع المكافئ من خلال مجموعة من النقاط في مستوى الإحداثيات. القطع المكافئ هو مجموعة جميع النقاط ((س ، ص) ) في مستوى والتي هي على نفس المسافة من خط ثابت ، يسمى الدليل، ونقطة ثابتة (ملف التركيز) ليس في الدليل.

في السابق ، علمنا برأس القطع المكافئ ومحور التناظر. نقوم الآن بتوسيع المناقشة لتشمل الميزات الرئيسية الأخرى للقطع المكافئ (الشكل ( PageIndex {3} )). لاحظ أن محور التناظر يمر عبر البؤرة والرأس وعمودي على الدليل. الرأس هو نقطة المنتصف بين الدليل والبؤرة. يسمى الجزء المستقيم الذي يمر عبر البؤرة ويوازي الدليل المستقيم العريض. تقع نقاط نهاية المستقيم العريض على المنحنى. بحكم التعريف ، فإن المسافة d من التركيز إلى أي نقطة (P ) على القطع المكافئ تساوي المسافة من (P ) إلى الدليل.

للعمل مع القطع المكافئ في خطة تنسيق، فنحن نأخذ في الاعتبار حالتين: تلك التي لها قمة في الأصل وتلك التي بها قمة الرأس في نقطة غير الأصل. نبدأ بالأول.

لنفترض ((س ، ص) ) أن تكون نقطة على القطع المكافئ برأس ((0،0) ) ، والتركيز ((0 ، ف) ) ، ودليل (ص = − ص ) مثل الموضح في الشكل ( PageIndex {4} ). المسافة d من النقطة ((x، y) ) إلى النقطة ((x، −p) ) على الدليل هي الفرق بين ذ- القيم: (د = ص + ع ). المسافة من التركيز ((0، p) ) إلى النقطة ((x، y) ) تساوي أيضًا (d ) ويمكن التعبير عنها باستخدام صيغة المسافة.

[ begin {align *} d & = sqrt {{(x − 0)} ^ 2 + {(y − p)} ^ 2} [4pt] & = sqrt {x ^ 2 + {( y − p)} ^ 2} end {align *} ]

ضع تعبيرين من أجل (d ) متساويين مع بعضهما البعض وحل من أجل (y ) لاشتقاق معادلة القطع المكافئ. نقوم بذلك لأن المسافة من ((x، y) ) إلى ((0، p) ) تساوي المسافة من ((x، y) ) إلى ((x، −p) ) .

[ sqrt {x ^ 2 + {(y − p)} ^ 2} = y + p ]

بعد ذلك ، نربّع طرفي المعادلة ، ونفكّك الحدود التربيعية ، ونبسطها بدمج الحدود المتشابهة.

[ start {align *} x ^ 2 + {(y − p)} ^ 2 & = {(y + p)} ^ 2 [4pt] x ^ 2 + y ^ 2−2py + p ^ 2 & = y ^ 2 + 2py + p ^ 2 [4pt] x ^ 2−2py & = 2py [4pt] x ^ 2 & = 4py end {align *} ]

معادلات القطع المكافئ ذات الرأس ((0،0) ) هي (y ^ 2 = 4px ) عندما x-المحور هو محور التناظر و (x ^ 2 = 4py ) عندما يكون ذ- المحور هو محور التناظر. هذه النماذج القياسية موضحة أدناه ، جنبًا إلى جنب مع الرسوم البيانية العامة والميزات الرئيسية.

النماذج القياسية من بارابولا مع VERTEX ((0،0) )

يلخص الجدول ( PageIndex {1} ) والشكل ( PageIndex {5} ) الميزات القياسية للقطوع المكافئة التي يكون رأسها في الأصل.

جدول ( PageIndex {1} )
محاور التماثلمعادلةركزالدليلنقاط نهاية لاتوس المستقيم
x-محور (ص ^ 2 = 4 بكسل ) ((ص ، 0) ) (س = − ص ) ((ص ، م 2 ص) )
ذ-محور (س ^ 2 = 4 بنس ) ((0 ، ف) ) (ص = − ص ) (( pm 2p، p) )

الملامح الرئيسية للقطع المكافئ هي رأسه ، ومحور التناظر ، والتركيز ، والدليل ، و المستقيم العريض (الشكل ( PageIndex {5} )). عند إعطاء معادلة قياسية للقطع المكافئ المتمركز في الأصل ، يمكننا بسهولة تحديد الميزات الرئيسية لرسم القطع المكافئ. يُقال أن الخط يكون مماسًا لمنحنى إذا تقاطع مع المنحنى عند نقطة واحدة بالضبط. إذا رسمنا خطوطًا مماسة للقطع المكافئ عند نقاط نهاية المستقيم العريض، تتقاطع هذه الخطوط على محور التناظر ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {6} ).

الكيفية: بإعطاء معادلة النموذج القياسي للقطع المكافئ المتمركز في ((0،0) ) ، ارسم الرسم البياني

  1. حدد أيًا من النماذج القياسية ينطبق على المعادلة المحددة: (y ^ 2 = 4px ) أو (x ^ 2 = 4py ).
  2. استخدم النموذج القياسي المحدد في الخطوة 1 لتحديد محور التناظر والتركيز ومعادلة الدليل ونقاط نهاية المستقيم العريض.
    • إذا كانت المعادلة بالصيغة (y ^ 2 = 4px ) ، إذن
      • محور التناظر هو (س ) - المحور (ص = 0 )
      • ضع (4 ع ) مساويًا لمعامل (س ) في المعادلة المعطاة لحل (ع ). إذا (p> 0 ) ، يفتح القطع المكافئ يمينًا. إذا (p <0 ) ، يفتح القطع المكافئ لليسار.
      • استخدم (p ) للعثور على إحداثيات التركيز ، ((ص ، 0) )
      • استخدم (p ) لإيجاد معادلة الدليل ، (x = −p )
      • استخدم (p ) للعثور على نقاط نهاية المستقيم الطولي ، ((p، pm 2p) ). بالتناوب ، استبدل (x = p ) في المعادلة الأصلية.
    • إذا كانت المعادلة بالصيغة (x ^ 2 = 4py ) ، إذن
      • محور التناظر هو (ص ) - المحور (س = 0 )
      • ضع (4 ع ) مساويًا لمعامل (ص ) في المعادلة المعطاة لحل (ع ). إذا (p> 0 ) ، يفتح القطع المكافئ. إذا (p <0 ) ، يفتح القطع المكافئ لأسفل.
      • استخدم (p ) للعثور على إحداثيات التركيز ، ((0، p) )
      • استخدم (p ) لإيجاد معادلة الدليل ، (y = −p )
      • استخدم (p ) للعثور على نقاط نهاية المستقيم العريض ، (( pm 2p ، p) )
  3. ارسم البؤرة والدليل وطبقة المستقيم وارسم منحنى سلسًا لتشكيل القطع المكافئ.

- المحور كمحور التناظر

رسم بياني (y ^ 2 = 24x ). تحديد وتسمية التركيز والدليل ونقاط النهاية لملف المستقيم العريض.

حل

الصيغة القياسية التي تنطبق على المعادلة المعطاة هي (y ^ 2 = 4px ). وبالتالي ، فإن محور التناظر هو x-محور. إنه يتبع هذا:

  • (24 = 4 ف ) لذا (ع = 6 ). منذ (p> 0 ) ، يفتح القطع المكافئ على اليمين
  • إحداثيات التركيز هي ((ص ، 0) = (6،0) )
  • معادلة الدليل هي (س = − ص = −6 )
  • نهايات المستقيم العريض لها نفس الشيء x-تنسيق في التركيز. لإيجاد نقاط النهاية ، استبدل (x = 6 ) في المعادلة الأصلية: ((6، pm 12) )

بعد ذلك ، نرسم البؤرة والدليل والمستقيم العريض ، ونرسم منحنىًا سلسًا لتشكيل القطع المكافئ (الشكل ( PageIndex {7} )).

تمرين ( PageIndex {1} )

رسم بياني (y ^ 2 = −16x ). تحديد وتسمية التركيز والدليل ونقاط النهاية لملف المستقيم العريض.

إجابه
  • التركيز: ((- 4،0) )
  • الدليل: (س = 4 )
  • نهايات المستقيم العريض: ((- 4 ، م 8) )

- المحور كمحور التناظر

رسم بياني (x ^ 2 = −6y ). تحديد وتسمية التركيز والدليل ونقاط النهاية لملف المستقيم العريض.

حل

الصيغة القياسية التي تنطبق على المعادلة المعطاة هي (x ^ 2 = 4py ). وبالتالي ، فإن محور التناظر هو محور (ص ). إنه يتبع هذا:

  • (- 6 = 4p ) ، لذلك (p = - dfrac {3} {2} ). منذ (p <0 ) ، يفتح القطع المكافئ لأسفل.
  • إحداثيات التركيز هي ((0، p) = (0، - dfrac {3} {2}) )
  • معادلة الدليل هي (y = −p = dfrac {3} {2} )
  • يمكن إيجاد نقاط نهاية المستقيم العريض باستبدال (y = dfrac {3} {2} ) في المعادلة الأصلية ، (( pm 3، - dfrac {3} {2}) )

بعد ذلك نرسم البؤرة والدليل و المستقيم العريض، وارسم منحنى سلس لتشكيل القطع المكافئ.

تمرين ( PageIndex {2} )

رسم بياني (x ^ 2 = 8y ). تحديد وتسمية التركيز والدليل ونقاط النهاية لملف المستقيم العريض.

إجابه
  • التركيز: ((0،2) )
  • الدليل: (ص = −2 )
  • نهايات المستقيم العريض: (( pm 4،2) ).

كتابة معادلات القطع المكافئ في شكل قياسي

في الأمثلة السابقة ، استخدمنا معادلة النموذج القياسي للقطع المكافئ لحساب مواقع ميزاته الرئيسية. يمكننا أيضًا استخدام العمليات الحسابية في الاتجاه المعاكس لكتابة معادلة للقطع المكافئ عند إعطاء ميزاته الرئيسية.

الكيفية: نظرًا لتركيزها ودليلها ، اكتب معادلة القطع المكافئ في الشكل القياسي

  1. حدد ما إذا كان محور التناظر هو المحور (x ) - أو (y ) -.
    1. إذا كانت إحداثيات التركيز المحددة لها الشكل ((ص ، 0) ) ، فإن محور التناظر هو محور (س ). استخدم النموذج القياسي (y ^ 2 = 4px ).
    2. إذا كانت إحداثيات التركيز المحددة لها الشكل ((0 ، ف) ) ، فإن محور التناظر هو (ص ) - المحور. استخدم النموذج القياسي (x ^ 2 = 4py ).
  2. اضرب (4p ).
  3. استبدل القيمة من الخطوة 2 بالمعادلة المحددة في الخطوة 1.

مثال ( PageIndex {3} ): كتابة معادلة القطع المكافئ في شكل قياسي نظرًا لتركيزها ودليلها

ما هي معادلة القطع المكافئ مع التركيز ((- dfrac {1} {2}، 0) ) والدليل (x = dfrac {1} {2} )؟

حل

يكون التركيز على الشكل ((p ، 0) ) ، لذلك سيكون للمعادلة الشكل (y ^ 2 = 4px ).

  • بضرب (4p ) ، لدينا (4p = 4 (- dfrac {1} {2}) = - 2 ).
  • بالتعويض عن (4p ) ، لدينا (y ^ 2 = 4px = −2x ). =

لذلك ، فإن معادلة القطع المكافئ هي (y ^ 2 = −2x ).

تمرين ( PageIndex {3} )

ما هي معادلة القطع المكافئ مع التركيز ( left (0، dfrac {7} {2} right) ) والدليل (y = - dfrac {7} {2} )؟

إجابه

(س ^ 2 = 14 ص ).

رسم القطع المكافئ بالرسم ليس في الأصل

مثل الرسوم البيانية الأخرى التي عملنا معها ، يمكن ترجمة الرسم البياني للقطع المكافئ. إذا تمت ترجمة القطع المكافئ (ح ) الوحدات أفقيًا و (ك ) عموديًا ، فسيكون الرأس ((ح ، ك) ). ينتج عن هذه الترجمة الصيغة القياسية للمعادلة التي رأيناها سابقًا مع استبدال (x ) بـ ((x − h) ) واستبدال (y ) بـ ((y − k) ).

لرسم قطع مكافئ برأس ((h، k) ) بخلاف الأصل ، نستخدم النموذج القياسي ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ) للقطوع المكافئة التي تحتوي على محور التناظر الموازي للمحور (x ) و ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) ) للقطوع المكافئة التي لها محور تناظر موازٍ لـ (y )-محور. هذه النماذج القياسية موضحة أدناه ، جنبًا إلى جنب مع الرسوم البيانية العامة والميزات الرئيسية.

النماذج القياسية من بارابولا مع VERTEX ((H، K) )

يلخص الجدول ( PageIndex {2} ) والشكل ( PageIndex {11} ) الميزات القياسية للقطع المكافئ برأس عند نقطة ((h، k) ).

جدول ( PageIndex {2} )
محاور التماثلمعادلةركزالدليلنقاط نهاية لاتوس المستقيم
(ص = ك ) ({(ص − ك)} ^ 2 = 4 ص (س − ح) ) ((ح + ف ، ك) ) (س = ح − ع ) ((ح + ص ، ك م 2 ص) )
(س = ح ) ({(س − ح)} ^ 2 = 4 ص (ص − ك) ) ((ح ، ك + ع) ) (ص = ك − ف ) ((h pm 2p، k + p) )

الكيفية: بإعطاء معادلة النموذج القياسي للقطع المكافئ المتمركز في ((ح ، ك) ) ، ارسم الرسم البياني

  1. حدد أيًا من النماذج القياسية ينطبق على المعادلة المعطاة: ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ) أو ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k ) ).
  2. استخدم النموذج القياسي المحدد في الخطوة 1 لتحديد الرأس ومحور التناظر والتركيز ومعادلة الدليل ونقاط نهاية المستقيم العريض.
    • إذا كانت المعادلة بالصيغة ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ) ، إذن:
      • استخدم المعادلة المعطاة لتحديد (ح ) و (ك ) للرأس ، ((ح ، ك) )
      • استخدم قيمة (ك ) لتحديد محور التناظر ، (ص = ك )
      • ضع (4p ) مساويًا لمعامل ((x − h) ) في المعادلة المعطاة لحل (p ). إذا (p> 0 ) ، يفتح القطع المكافئ يمينًا. إذا (p <0 ) ، يفتح القطع المكافئ لليسار.
      • استخدم (h ) و (k ) و (p ) للعثور على إحداثيات التركيز ، ((h + p ، k) )
      • استخدم (h ) andp p لإيجاد معادلة الدليل ، (x = h − p )
      • استخدم (h ) و (k ) و (p ) للعثور على نقاط نهاية المستقيم العريض ، ((h + p ، k pm 2p) )
    • إذا كانت المعادلة بالصيغة ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) ) ، إذن:
      • استخدم المعادلة المعطاة لتحديد (ح ) و (ك ) للرأس ، ((ح ، ك) )
      • استخدم قيمة (ح ) لتحديد محور التناظر ، (س = ح )
      • ضع (4p ) مساويًا لمعامل ((y − k) ) في المعادلة المعطاة لحل (p ). إذا (p> 0 ) ، يفتح القطع المكافئ. إذا (p <0 ) ، يفتح القطع المكافئ لأسفل.
      • استخدم (h ) و (k ) و (p ) للعثور على إحداثيات التركيز ، ((h، k + p) )
      • استخدم (ك ) و (ع ) لإيجاد معادلة الدليل ، (ص = ك − ع )
      • استخدم (h ) و (k ) و (p ) للعثور على نقاط نهاية المستقيم العريض ((h pm 2p، k + p) )
  3. ارسم الرأس ومحور التناظر والتركيز والدليل والمستقيم العريض وارسم منحنى سلسًا لتشكيل القطع المكافئ.

مثال ( PageIndex {4} ): رسم شكل قطع مكافئ باستخدام Vertex ((h، k) ) ومحور التناظر الموازي للمحور (x ) -

رسم بياني ({(y − 1)} ^ 2 = 16 (x + 3) ). تحديد وتسمية الرأس ومحور التناظر والتركيز والدليل ونقاط نهاية المستقيم العريض.

حل

الصيغة القياسية التي تنطبق على المعادلة المعطاة هي ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ). وبالتالي ، فإن محور التناظر موازٍ لمحور (س ). إنه يتبع هذا:

  • الرأس هو ((ح ، ك) = (- 3،1) )
  • محور التناظر هو (y = k = 1 )
  • (- 16 = 4 ف ) ، لذلك (ع = −4 ). منذ (p <0 ) ، يفتح القطع المكافئ لليسار.
  • إحداثيات التركيز هي ((h + p، k) = (- 3 + (- 4)، 1) = (- 7،1) )
  • معادلة الدليل هي (س = ح − ع = −3 - (- 4) = 1 )
  • نقاط نهاية المستقيم العريض هي ((h + p ، k pm 2p) = (- 3 + (- 4) ، 1 pm 2 (−4)) ) ، أو ((- 7 ، −7 ) ) و ((- 7،9) )

بعد ذلك ، نرسم الرأس ، ومحور التناظر ، والتركيز ، والدليل ، والمستقيم العريض ، ونرسم منحنىًا سلسًا لتشكيل القطع المكافئ (الشكل ( PageIndex {10} )).

تمرين ( PageIndex {4} )

رسم بياني ({(y + 1)} ^ 2 = 4 (x − 8) ). حدد وقم بتسمية الرأس ومحور التناظر والتركيز والدليل ونقاط النهاية الخاصة بـ المستقيم العريض.

إجابه
  • الرأس: ((8 ، −1) )
  • محور التناظر: (y = 1 )
  • التركيز: ((9، −1) )
  • الدليل: (س = 7 )
  • نقاط نهاية ملف المستقيم العريض: ((9، −3) ) و ((9،1) ).

مثال ( PageIndex {5} ): رسم قطع مكافئ من معادلة مقدمة في شكل عام

رسم بياني (x ^ 2−8x − 28y − 208 = 0 ). حدد وقم بتسمية الرأس ومحور التناظر والتركيز والدليل ونقاط النهاية الخاصة بـ المستقيم العريض.

حل

ابدأ بكتابة معادلة القطع المكافئ في الشكل القياسي. الصيغة القياسية التي تنطبق على المعادلة المعطاة هي ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) ). وبالتالي ، فإن محور التناظر موازٍ لمحور (ص ). للتعبير عن معادلة القطع المكافئ في هذا الشكل ، نبدأ بعزل المصطلحات التي تحتوي على المتغير (x ) لإكمال المربع.

[ start {align *} x ^ 2−8x − 28y − 208 & = 0 [4pt] x ^ 2−8x & = 28y + 208 [4pt] x ^ 2−8x + 16 & = 28y + 208 + 16 [4pt] (x − 4) ^ 2 & = 28y + 224 [4pt] (x − 4) ^ 2 & = 28 (y + 8) [4pt] (x − 4) ^ 2 & = 4⋅7⋅ (ص + 8) نهاية {محاذاة *} ]

إنه يتبع هذا:

  • الرأس هو ((ح ، ك) = (4 ، −8) )
  • محور التناظر هو (س = ع = 4 )
  • منذ (ع = 7 ) ، (ص> 0 ) وهكذا يتم فتح القطع المكافئ
  • إحداثيات التركيز هي ((ح ، ك + ع) = (4 ، −8 + 7) = (4 ، −1) )
  • معادلة الدليل هي (y = k − p = −8−7 = −15 )
  • نقاط نهاية المستقيم العريض هي ((h pm 2p، k + p) = (4 pm 2 (7)، - 8 + 7) )، أو ((- 10، −1) ) و ((18، −1) )

بعد ذلك ، نرسم الرأس ، ومحور التناظر ، والتركيز ، والدليل ، والمستقيم العريض ، ونرسم منحنىًا سلسًا لتشكيل القطع المكافئ (الشكل ( PageIndex {14} )).

تمرين ( PageIndex {5} )

رسم بياني ({(x + 2)} ^ 2 = −20 (y − 3) ). حدد وقم بتسمية الرأس ومحور التناظر والتركيز والدليل ونقاط النهاية الخاصة بـ المستقيم العريض.

إجابه
  • الرأس: ((- 2،3) )
  • محور التناظر: (س = −2 )
  • التركيز: ((- 2، −2) )
  • الدليل: (ص = 8 )
  • نقاط نهاية ملف المستقيم العريض: ((- 12، −2) ) و ((8، −2) ).

حل المشكلات التطبيقية التي تتضمن القطع المكافئ

كما ذكرنا في بداية القسم ، يتم استخدام القطع المكافئ لتصميم العديد من الأشياء التي نستخدمها كل يوم ، مثل التلسكوبات والجسور المعلقة والميكروفونات وأجهزة الرادار.المرايا المكافئة ، مثل تلك المستخدمة لإضاءة الشعلة الأولمبية ، لها خاصية انعكاس فريدة للغاية. عندما يتم توجيه أشعة الضوء الموازية لمحور تناظر القطع المكافئ نحو أي سطح من المرآة ، ينعكس الضوء مباشرةً على البؤرة (الشكل ( فهرس الصفحة {16} )). هذا هو سبب إشعال الشعلة الأولمبية عندما تكون مثبتة في بؤرة المرآة المكافئة.

تتمتع المرايا المكافئة بالقدرة على تركيز طاقة الشمس على نقطة واحدة ، ورفع درجة الحرارة مئات الدرجات في غضون ثوانٍ. وبالتالي ، تظهر المرايا المكافئة في العديد من منتجات الطاقة الشمسية منخفضة التكلفة والموفرة للطاقة ، مثل المواقد الشمسية ، والسخانات الشمسية ، وحتى مقبلات الحرائق بحجم السفر.

مثال ( PageIndex {6} ): حل المشكلات التطبيقية التي تتضمن القطوع المكافئة

يظهر المقطع العرضي لتصميم جهاز بدء حريق يعمل بالطاقة الشمسية بحجم السفر في الشكل ( PageIndex {17} ). تنعكس أشعة الشمس عن المرآة المكافئة تجاه جسم متصل بالمُشعل. نظرًا لأن المشعل يقع في بؤرة القطع المكافئ ، فإن الأشعة المنعكسة تتسبب في احتراق الكائن في ثوانٍ فقط.

  1. أوجد معادلة القطع المكافئ التي تشكل نموذج بداية النار. افترض أن قمة المرآة المكافئة هي أصل مستوى الإحداثيات.
  2. استخدم المعادلة الموجودة في الجزء (أ) للعثور على عمق بادئ الحريق.

حل

  1. رأس الطبق هو أصل المستوى الإحداثي ، لذلك سيأخذ القطع المكافئ الشكل القياسي (x ^ 2 = 4py ) ، حيث (p> 0 ). الشاعل ، وهو البؤرة ، على ارتفاع (1.7 ) بوصة فوق قمة الطبق. وهكذا لدينا (ع = 1.7 ).

[ begin {align *} x ^ 2 & = 4py qquad text {الشكل القياسي للقطع المكافئ المتجه لأعلى مع قمة الرأس} (0،0) x ^ 2 & = 4 (1.7) y qquad text {البديل } 1.7 text {for} p x ^ 2 & = 6.8y qquad text {Multiply.} end {align *} ]

  1. يمتد الطبق ( dfrac {4.5} {2} = 2.25 ) بوصة على جانبي المنشأ. يمكننا استبدال (2.25 ) بـ (x ) في المعادلة من الجزء (أ) لإيجاد عمق الطبق.

[ begin {align *} x ^ 2 & = 6.8y qquad text {تم العثور على المعادلة في جزء} (a) {(2.25)} ^ 2 & = 6.8y qquad text {البديل} 2.25 text { لـ} x y & almost 0.74 qquad text {Solve for} y end {align *} ]

يبلغ عمق الطبق حوالي 0.74 بوصة.

تمرين ( PageIndex {6} )

تم تصميم المواقد الشمسية بحجم الشرفة للعائلات التي تعيش في الهند. يبلغ قطر الجزء العلوي من الطبق (1600 ) مم. تنعكس أشعة الشمس عن المرآة المكافئة باتجاه "الطباخ" الذي يقع على (320 ) مم من القاعدة.

  1. ابحث عن معادلة تشكل مقطعًا عرضيًا للطباخ الشمسي. افترض أن قمة المرآة المكافئة هي أصل المستوى الإحداثي ، وأن القطع المكافئ يفتح إلى اليمين (أي ، لديه x-المحور كمحور تناظره).
  2. استخدم المعادلة الموجودة في الجزء (أ) لمعرفة عمق الطباخ.
الإجابة أ

(ص ^ 2 = 1280x )

الجواب ب

عمق البوتاجاز (500 ) مم

المعادلات الرئيسية

القطع المكافئ ، الرأس عند الأصل ، محور التناظر على x-محور (ص ^ 2 = 4 بكسل )
القطع المكافئ ، الرأس عند الأصل ، محور التناظر على ذ-محور (س ^ 2 = 4 بنس )
القطع المكافئ ، قمة الرأس عند ((ح ، ك) ) ، محور التناظر x-محور ({(ص − ك)} ^ 2 = 4 ص (س − ح) )
القطع المكافئ ، قمة الرأس عند ((ح ، ك) ) ، محور التناظر ذ-محور ({(س − ح)} ^ 2 = 4 ص (ص − ك) )

المفاهيم الرئيسية

  • القطع المكافئ هو مجموعة جميع النقاط ((س ، ص) ) في مستوى والتي هي على نفس المسافة من خط ثابت ، يسمى الدليل ، ونقطة ثابتة (التركيز) ليست على الدليل.
  • الشكل القياسي للقطع المكافئ برأس ((0،0) ) و x- يمكن استخدام المحور كمحور التناظر لرسم القطع المكافئ. إذا (p> 0 ) ، يفتح القطع المكافئ يمينًا. إذا (p <0 ) ، يفتح القطع المكافئ لليسار. راجع المثال ( PageIndex {1} ).
  • الشكل القياسي للقطع المكافئ برأس ((0،0) ) و ذ- يمكن استخدام المحور كمحور التناظر لرسم القطع المكافئ. إذا (p> 0 ) ، يفتح القطع المكافئ. إذا (p <0 ) ، يفتح القطع المكافئ لأسفل. راجع المثال ( PageIndex {2} ).
  • عند إعطاء بؤرة ودليل القطع المكافئ ، يمكننا كتابة معادلته في الصورة القياسية. راجع المثال ( PageIndex {3} ).
  • يمكن استخدام الشكل القياسي للقطع المكافئ ذي الرأس ((ح ، ك) ) ومحور التناظر الموازي للمحور (س ) لرسم بياني للقطع المكافئ. إذا (p <0 ) ، يفتح القطع المكافئ لليسار. راجع المثال ( PageIndex {4} ).
  • يمكن استخدام الشكل القياسي للقطع المكافئ ذي الرأس ((ح ، ك) ) ومحور التناظر الموازي للمحور (ص ) لرسم بياني للقطع المكافئ. راجع المثال ( PageIndex {5} ).
  • يمكن نمذجة مواقف العالم الحقيقي باستخدام المعادلات القياسية للقطوع المكافئة. على سبيل المثال ، بالنظر إلى قطر وتركيز المقطع العرضي لعاكس مكافئ ، يمكننا إيجاد معادلة تشكل جوانبها. راجع المثال ( PageIndex {6} ).

الدرس 12

تمثل الرسوم البيانية A و B و C 3 معادلات خطية: (y = 2x + 4 ) و (y = 3-x ) و (y = 3x-2 ). أي رسم بياني يتوافق مع أي معادلة؟ اشرح أسبابك.

قم بتوسيع الصورة

12.2: الرسوم البيانية التربيعية وافرة

باستخدام تقنية الرسوم البيانية ، رسم بياني (y = x ^ 2 ) ، ثم جرب كل من التغييرات التالية على الوظيفة. سجل ملاحظاتك (بما في ذلك الرسومات التخطيطية ، إذا كانت مفيدة).

1. إضافة مصطلحات ثابتة مختلفة إلى (x ^ 2 ) (على سبيل المثال: (x ^ 2 + 5 ) ، (x ^ 2 + 10 ) ، (x ^ 2-3 ) ، إلخ. )

2. ضرب (x ^ 2 ) في معاملات موجبة مختلفة أكبر من 1 (على سبيل المثال: (3x ^ 2 ) ، (7.5x ^ 2 ) ، إلخ.)

3. ضرب (x ^ 2 ) في معاملات سلبية مختلفة أقل من أو تساوي -1 (على سبيل المثال: ( text- x ^ 2 ) ، ( text-4x ^ 2 ) ، إلخ.)

4. ضرب (x ^ 2 ) في معاملات مختلفة بين -1 و 1 (على سبيل المثال: ( frac <1> <2> x ^ 2 ) ، ( text- 0.25x ^ 2 ) ، إلخ.)

قم بتوسيع الصورة

فيما يلي الرسوم البيانية لثلاث وظائف تربيعية. ماذا يمكنك أن تقول عن معاملات (x ^ 2 ) في التعبيرات التي تحدد (f ) (باللون الأسود في الأعلى) ، (g ) (باللون الأزرق في المنتصف) ، و (h ) (باللون الأصفر في الأسفل)؟ هل يمكنك التعرف عليهم؟ كيف يقارنون؟

12.3: ماذا تكشف هذه الجداول؟

    1. أكمل الجدول بقيم (x ^ 2 + 10 ) و (x ^ 2-3 ) بقيم مختلفة لـ (x ). (يمكنك أيضًا استخدام أداة جداول البيانات ، إن وجدت.)
      (س )-3-2-10123
      (س ^ 2 )9410149
      (س ^ 2 + 10 )
      (س ^ 2-3 )
    2. في وقت سابق ، لاحظت التأثيرات على الرسم البياني لإضافة أو طرح حد ثابت من (x ^ 2 ). ادرس القيم في الجدول. استخدمها لشرح سبب تغير الرسوم البيانية بالطريقة التي تغيرت بها عند إضافة مصطلح ثابت أو طرحه.
    1. أكمل الجدول بقيم (2x ^ 2 ) و ( frac12x ^ 2 ) و ( text-2x ^ 2 ) بقيم مختلفة من (x ). (يمكنك أيضًا استخدام أداة جداول البيانات ، إن وجدت.)
      (س )-3-2-10123
      (س ^ 2 )9410149
      (2x ^ 2 )
      ( frac12 x ^ 2 )
      ( نص -2x ^ 2 )
    2. لقد لاحظت أيضًا التأثيرات على الرسم البياني لضرب (x ^ 2 ) بمعاملات مختلفة. ادرس القيم في الجدول. استخدمها لشرح سبب تغيير الرسوم البيانية بالطريقة التي تغيرت بها عندما ضرب (x ^ 2 ) في رقم أكبر من 1 ، ورقم سالب أقل من أو يساوي -1 ، وبأرقام بين -1 و 1.

    12.4: فرز البطاقة: تمثيلات الوظائف التربيعية

    سيعطي معلمك مجموعتك مجموعة من البطاقات. تحتوي كل بطاقة على رسم بياني أو معادلة.

    • قم بالتناوب مع شريكك لفرز البطاقات إلى مجموعات بحيث تحتوي كل مجموعة على معادلتين ورسم بياني يمثلان جميعًا نفس الوظيفة التربيعية.
    • لكل مجموعة من البطاقات التي وضعتها معًا ، اشرح لشريكك كيف تعرف أنهم ينتمون معًا.
    • لكل مجموعة يضعها شريكك معًا ، استمع جيدًا لشرحهم. إذا كنت لا توافق ، ناقش تفكيرك واعمل للتوصل إلى اتفاق.
    • بمجرد فرز جميع البطاقات ومناقشتها ، قم بتسجيل المعادلات المكافئة ، ورسم الرسم البياني المقابل ، واكتب ملاحظة موجزة أو شرحًا عن سبب تجميع التمثيلات معًا.

    قم بتوسيع الصورة

    قم بتوسيع الصورة

    قم بتوسيع الصورة

    قم بتوسيع الصورة

    ملخص

    تذكر أن الرسم البياني الذي يمثل أي دالة تربيعية هو شكل يسمى أ القطع المكافئ. غالبًا ما يقول الناس أن القطع المكافئ "يفتح لأعلى" عندما تكون أدنى نقطة على الرسم البياني هي الرأس (حيث يتغير اتجاه الرسم البياني) ، و "يفتح لأسفل" عندما تكون أعلى نقطة على الرسم البياني هي الرأس. يخبرنا كل معامل في تعبير تربيعي مكتوب بالصيغة القياسية (ax ^ 2 + bx + c ) بشيء مهم حول الرسم البياني الذي يمثله.

    الرسم البياني لـ (y = x ^ 2 ) هو قطع مكافئ يفتح لأعلى مع قمة عند ((0،0) ). إضافة حد ثابت 5 يعطي (y = x ^ 2 + 5 ) ويرفع الرسم البياني بمقدار 5 وحدات. بطرح 4 من (x ^ 2 ) يعطي (y = x ^ 2-4 ) وينقل الرسم البياني 4 وحدات لأسفل.

    قم بتوسيع الصورة

    يمكن أن يساعدنا جدول القيم في رؤية أن إضافة 5 إلى (x ^ 2 ) تزيد جميع قيم الإخراج لـ (y = x ^ 2 ) بمقدار 5 ، وهو ما يفسر سبب تحرك الرسم البياني لأعلى بمقدار 5 وحدات. يؤدي طرح 4 من (x ^ 2 ) إلى تقليل جميع قيم الإخراج لـ (y = x ^ 2 ) بمقدار 4 ، وهو ما يفسر سبب انزياح الرسم البياني لأسفل بمقدار 4 وحدات.

    بشكل عام ، يؤثر المصطلح الثابت للتعبير التربيعي في الشكل القياسي على الوضع الرأسي للرسم البياني. تعبير بدون حد ثابت (مثل (x ^ 2 ) أو (x ^ 2 + 9x )) يعني أن الحد الثابت هو 0 ، لذا فإن تقاطع الرسم البياني موجود على (س ) -المحور. لم يتم إزاحته لأعلى أو لأسفل بالنسبة لمحور (س ).

    يخبرنا أيضًا معامل الحد التربيعي في دالة تربيعية بشيء عن التمثيل البياني الخاص به. معامل الحد التربيعي في (y = x ^ 2 ) هو 1. الرسم البياني الخاص به عبارة عن قطع مكافئ يفتح لأعلى.

    • ضرب (x ^ 2 ) في رقم أكبر من 1 يجعل الرسم البياني أكثر انحدارًا ، وبالتالي فإن القطع المكافئ أضيق من ذلك الذي يمثل (x ^ 2 ).
    • ضرب (x ^ 2 ) في رقم أقل من 1 ولكن أكبر من 0 يجعل الرسم البياني أقل انحدارًا ، وبالتالي فإن القطع المكافئ أكبر من ذلك الذي يمثل (x ^ 2 ).
    • ضرب (x ^ 2 ) في رقم أقل من 0 يجعل القطع المكافئ يفتح لأسفل.

    قم بتوسيع الصورة

    وصف: & ltp & gt مستوى منسق ، 4 رسوم بيانية للوظائف التربيعية ، جميعها بحد أقصى أو أدنى في الأصل. أولًا ، y = 2 x تربيع ، يفتح. ثانيًا ، y = x تربيع ، يفتح لكن أعرض من الأول. ثالثًا ، y = الكسر 1 على 2 x تربيع ، يفتح أعرض من الأول 2. رابعًا ، y = سالب 2 x تربيع ، يفتح لأسفل. & lt / p & gt

    إذا قارنا قيم الإخراج (2x ^ 2 ) و ( text-2x ^ 2 ) ، فإننا نرى أنهما متضادان ، مما يشير إلى أن أحد الرسوم البيانية سيكون انعكاسًا للآخر عبر (x ) -محور.

    لا يخضع اسم وشعار الرياضيات التوضيحية لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز استخدامهما بدون موافقة كتابية مسبقة وصريحة من الرياضيات التوضيحية.

    يتضمن هذا الكتاب صورًا ذات ملكية عامة أو صورًا مرخصة بشكل علني محمية بحقوق الطبع والنشر لأصحابها. تظل الصور المرخصة بشكل علني خاضعة لشروط التراخيص الخاصة بكل منها. راجع قسم إحالة الصورة لمزيد من المعلومات.


    نبراسكا - الرياضيات: الصف الثاني عشر

    معايير الاستعداد للكلية والوظيفي المعتمدة: 2015

    ماجستير 12.1: سيقوم الطلاب بتوصيل مفاهيم إحساس الأرقام باستخدام تمثيلات متعددة للعقل وحل المشكلات وإنشاء روابط داخل الرياضيات وعبر التخصصات.

    MA 12.1.1.a: ارسم أرقامًا مركبة على المستوى المركب.

    MA 12.1.1.f: اشتق واستخدم الصيغ للمصطلح العام وجمع المتسلسلات الحسابية والهندسية المحدودة.

    ماجستير 12.1.2: سيقوم الطلاب بالحساب باستخدام المصفوفات.

    MA 12.1.2.b: جمع وطرح وضرب المصفوفات ذات الأبعاد المناسبة.

    ماجستير 12.2: سيقوم الطلاب بتوصيل المفاهيم الجبرية باستخدام تمثيلات متعددة للتفكير وحل المشكلات وإنشاء روابط داخل الرياضيات وعبر التخصصات.

    ماجستير 12.2.1: سيوضح الطلاب ويمثلون ويظهرون العلاقات مع الدوال غير الخطية والمثلثية.

    MA 12.2.1.a: تحليل ورسم الدوال غير الخطية (على سبيل المثال ، التربيعية ، المثلثية ، الجذر التربيعي ، اللوغاريتمي ، العقلاني ، كثيرات الحدود ذات الترتيب الأعلى ، الأسي ، القيمة المطلقة ، الجزئية ، والجيبية)

    MA 12.2.1.b: استخدم دائرة الوحدة لتحديد الدوال المثلثية على جميع الأعداد الحقيقية.

    MA 12.2.1.c: قم بتقييم دوال الجيب وجيب التمام والظل عند المضاعفات الموجبة والسالبة لـ 30 و 45 درجة.

    MA 12.2.1.d: إنشاء وظائف جديدة من الوظائف الحالية باستخدام الجمع والطرح والضرب والقسمة والترجمة والتمدد والتكوين.

    MA 12.2.1.g: التحويل بين راديان وقياسات درجة زاوية.

    ماجستير 12.2.2: سيطبق الطلاب الهويات عند تقييم وحل المعادلات المثلثية.

    MA 12.2.2.d: أوجد الفترة والسعة والخط الوسط للدالة المثلثية بالصيغة y = A + Bsin (Cx) ، حيث A و B و C هي معلمات ، وحدد هذه الخصائص على الرسم البياني لـ وظيفة.

    ماجستير 12.3: سيقوم الطلاب بتوصيل المفاهيم الهندسية ومفاهيم القياس باستخدام تمثيلات متعددة للتفكير وحل المشكلات وإقامة روابط داخل الرياضيات وعبر التخصصات.

    ماجستير 12.3.2: سيحدد الطلاب الموقع والتوجه والعلاقات على المستوى الإحداثي.

    MA 12.3.2.a: تحديد سمات الوظيفة (على سبيل المثال ، الحدود القصوى والصغرى المحلية والعالمية ، التقعر ، المواقع التقريبية لنقاط الانعطاف والخطوط المقاربة الرأسية والأفقية) من الرسم البياني الخاص بها.

    MA 12.3.2.b: تحديد خصائص التناظر لوظيفة ما (على سبيل المثال ، محور تناظر القطع المكافئ) ومعرفة العلاقة بين خصائص التناظر والتحولات المحددة.

    MA 12.3.2.c: التعرف على أن الكميات المتجهة لها حجم واتجاه ويمكن تمثيلها بواسطة مقاطع خطية موجهة.

    MA 12.3.2.d: جمع وطرح المتجهات بيانيًا وجبريًا.

    MA 12.3.2.f: اشتقاق معادلات القطع المكافئ والقطع الناقص والقطع الزائد من رسم بياني أو معلمات معينة.

    ماجستير 12.3.3: سيقوم الطلاب بإجراء ومقارنة القياسات وتطبيق الصيغ.

    MA 12.3.3.a: استخدم مبدأ كافالييري لتحديد حجم الكرة والأشكال الصلبة الأخرى.

    MA 12.3.3.b: تحديد فترة التفاوت ونسبة الخطأ في القياس.

    ماجستير 12.4: سيقوم الطلاب بتوصيل مفاهيم تحليل البيانات / الاحتمالات باستخدام تمثيلات متعددة للتفكير وحل المشكلات وإقامة روابط داخل الرياضيات وعبر التخصصات.

    ماجستير 12.4.2: التحليل والتطبيقات: سيقوم الطلاب بتحليل البيانات لمعالجة الموقف.

    MA 12.4.2.a: تقديم الاستنتاجات وتبرير الاستنتاجات من استطلاعات العينة والتجارب والدراسات القائمة على الملاحظة.

    ماجستير 12.4.3: الاحتمال: سيقوم الطلاب بتفسير وتطبيق مفاهيم الاحتمال.

    MA 12.4.3.a: حساب القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي وتفسيرها على أنها متوسط ​​التوزيع الاحتمالي.

    MA 12.4.3.b: تحديد النتائج المحتملة لقرار من خلال تعيين الاحتمالات لقيم النتائج وإيجاد القيم المتوقعة.


    حلول NCERT للفصل 10 الرياضيات الفصل 12 المجالات المتعلقة بالدوائر المثال 12.3

    حلول NCERT للفصل 10 الرياضيات الفصل 12 المجالات المتعلقة بالدوائر Ex 12.3 هي جزء من حلول NCERT للرياضيات للصف 10. هنا قدمنا ​​حلول NCERT للفصل 10 الرياضيات الفصل 12 المجالات المتعلقة بالدوائر المثال 12.3

    [ما لم يُذكر خلاف ذلك ، استخدم ( pi = frac <22> <7> ).]

    المثال 12.3 الصف 10 رياضيات السؤال 1.
    أوجد مساحة المنطقة المظللة في الشكل الآتي ، إذا كان PQ = 24 cm ، و PR = 7 cm ، و O هي مركز الدائرة.

    حل:

    مثال 12.3 للصف 10 رياضيات السؤال 2.
    أوجد مساحة المنطقة المظللة في الشكل الآتي ، ¡f نصف قطر الدائرتين متحدة المركز مع مركز O هما 7 سم و 14 سم على التوالي و AOC = 40 °.

    حل:

    مثال 12.3 للصف 10 رياضيات سؤال 3.
    أوجد مساحة المنطقة المظللة في الشكل الآتي ، إذا كان ABCD هو مربع ضلع 14 سم و APD و BPC عبارة عن أنصاف دائرة.

    حل:

    مثال 12.3 للصف 10 رياضيات سؤال 4.
    أوجد مساحة المنطقة المظللة في الشكل ، حيث تم رسم قوس دائري نصف قطره 6 cm بحيث يكون الرأس O لمثلث متساوي الأضلاع OAB ضلع 12 cm كمركز.

    حل:

    مثال 12.3 للصف 10 رياضيات سؤال 5.
    من كل ركن من أركان مربع من الضلع 4 سم يتم قطع ربع دائرة نصف قطرها 1 سم وأيضًا يتم قطع دائرة قطرها 2 سم كما هو موضح في الشكل. أوجد مساحة الجزء المتبقي من المربع.

    حل:

    مثال 12.3 للصف 10 رياضيات سؤال 6.
    في غطاء طاولة دائري (نصف قطره 32 سم ، تم تشكيل التصميم وترك مثلثًا متوازنًا ABC في المنتصف كما هو موضح في الشكل. أوجد مساحة التصميم (المنطقة المظللة).

    حل:

    مثال 12.3 للصف 10 رياضيات سؤال 7.
    في الشكل ، ABCD مربع طول ضلعه 14 سم. مع المراكز A و B و C و D ، يتم رسم أربع دوائر بحيث تلمس كل دائرة خارجيًا اثنتين من الدوائر الثلاث المتبقية. أوجد مساحة المنطقة المظللة.
    حل:

    مثال 12.3 للصف 10 رياضيات السؤال 8.
    الشكل الموضح يصور مضمار سباق تكون نهايته اليسرى واليمنى نصف دائرية. تبلغ المسافة بين مقطعي الخط المتوازيين الداخليين 60 مترًا وطول كل منهما 106 مترًا. إذا كان عرض المسار 10 أمتار ، فابحث عن:

    (ط) المسافة حول المسار على طول الحافة الداخلية.
    (2) منطقة المسار.
    حل:

    المثال 12.3 الصف 10 رياضيات السؤال 9.
    في الشكل ، AB و CD هما قطران من دائرة (مع مركز O) متعامدين مع بعضهما البعض و OD هو قطر الدائرة الأصغر. إذا كانت OA = 7 سم ، فأوجد مساحة المنطقة المظللة.

    حل:

    مثال 12.3 للصف 10 رياضيات السؤال 10.
    مساحة مثلث متساوي الأضلاع ABC تساوي 17320.5 سم 2. مع وجود كل رأس في المثلث كمركز ، يتم رسم دائرة نصف قطرها يساوي نصف طول ضلع المثلث (انظر الشكل). أوجد مساحة المنطقة المظللة.
    (استخدم π = 3.14 و √ 3 = 1.73205).

    حل:

    مثال 12.3 للصف 10 رياضيات السؤال 11.
    على منديل مربع ، تم عمل تسعة تصميمات دائرية كل نصف قطر 7 سم (انظر الشكل). جد مساحة الجزء المتبقي من المنديل.

    حل:

    مثال 12.3 للصف 10 رياضيات السؤال 12.
    في الشكل ، OACB عبارة عن ربع دائرة مركزها O ونصف قطرها 3.5 سم. إذا كانت OD = 2 سم ، فأوجد مساحة
    (ط) رباعي OACB ،
    (2) المنطقة المظللة.

    حل:

    مثال 12.3 للصف 10 رياضيات السؤال 13.
    في الشكل ، يتم تسجيل مربع OABC في ربع OPBQ. إذا كانت OA = 20 سم ، فأوجد مساحة المنطقة المظللة. (استخدم π = 3.14)

    حل:

    مثال 12.3 للصف 10 رياضيات السؤال 14.
    AB و CD عبارة عن أقواس على التوالي لدائرتين متحدة المركز من نصف قطر 21 سم و 7 سم والمركز O (انظر الشكل). إذا كانت ZAOB = 30 ° ، فأوجد مساحة المنطقة المظللة.

    حل:

    مثال 12.3 للصف 10 رياضيات السؤال 15.
    في الشكل ، ABC عبارة عن ربع دائرة نصف قطرها 14 سم ونصف دائرة مرسوم عليها BC كقطر. أوجد مساحة المنطقة المظللة.

    حل:

    مثال 12.3 للصف 10 رياضيات سؤال 16.
    احسب مساحة المنطقة المصممة في الشكل المشترك بين رباعي دوائر نصف القطر 8 سم لكل منهما.

    حل:

    حلول NCERT للفصل 10 الرياضيات الفصل 12 المجالات المتعلقة بالدوائر (الوسيط الهندي) مثال 12.3

    حلول NCERT للرياضيات للصف 10

    نأمل أن تساعدك حلول NCERT للفصل 10 الرياضيات الفصل 12 المجالات المتعلقة بالدوائر Ex 12.3. إذا كان لديك أي استفسار بخصوص NCERT Solutions للفصل 10 الرياضيات الفصل 12 المجالات المتعلقة بتمرين الدوائر 12.3 ، قم بإسقاط تعليق أدناه وسنعاود الاتصال بك في أقرب وقت ممكن.


    يقع الحد الأدنى من القطع المكافئ في (–1 ، –3). النقطة (0 ، 1) موجودة أيضًا على الرسم البياني. ما هي المعادلة التي يمكن حلها لتحديد قيمة دالة تمثل القطع المكافئ؟ 1 = أ (0 + 1) 2 - 3 1 = أ (0-1) 2 + 3 0 = أ (1 + 1) 2 - 3 0 = أ (1 - 1) 2 + 3

    المعادلة التي يمكن استخدامها لحل a هي 1 = a (0 = 1) ²-3.

    في هذه الحالة ، سأقوم بنمذجة القطع المكافئ في شكل رأس. صورة الرأس هي y = a (x-h) ² + k ، حيث (h، k) هي رأس القطع المكافئ. باستخدام المعلومات من السؤال ، يمكننا التعويض بالقيم للحصول على 1 = أ (0 + 1) ²-3. (يمكن تبسيط ذلك على النحو التالي: 1 = a (1) ²-3 ⇒ 1 = a-3 ⇒ a = 4 ، لكننا مهتمون فقط بإيجاد المعادلة التي يمكن حلها من أجل a.)

    ☛ نعلم أن (-1 ، -3) هي الرأس.
    ☛ قم بإعداد القطع المكافئ على النحو y = k (x + 1) ²-3
    ☛ 1 = ك (0 + 1) ² -3
    ☛ ك = 4
    ☛ y = 4 (x + 1) ²-3 هي المعادلة

    امل ان يساعد! ★ إذا كانت لديك أسئلة أخرى حول هذا السؤال أو كنت بحاجة إلى مزيد من المساعدة ، فلا تتردد في التعليق أدناه أو اترك لي رسالة. -يونيكورن فودج الملقب نادية


    12.3: القطع المكافئ - الرياضيات

    بواسطة كريستينا دنبار ، UGA

    استكشافات الرسم البياني

    في هذا التمرين ، سنستكشف الرسوم البيانية المكافئة للصيغة y = أ× 2 + بx + ج، أين أ, ب، و ج هي أرقام منطقية. على وجه الخصوص ، سوف نفحص ما يحدث للرسم البياني عندما نصلح 2 من قيمتي أ, ب، أو جوتختلف الثالثة.

    لقد قسمناها إلى ثلاثة أجزاء:

    يترك أ تختلف حين ب و ج تبقى ثابتة.

    مثال 1: Let ب = 0 و ج = 0.

    بالتالي ماذا حدث؟ يظهر الرسم البياني التقليدي لـ y = x 2 باللون الأرجواني. لقد رأينا أن زيادة قيمة المعامل أ يضيق القطع المكافئ ويغير علامة المعامل أ يغير اتجاه القطع المكافئ.

    مثال 2: Let ب= 1 و ج= 0 بينما لا تزال متغيرة أ.

    إذن ، ما الذي يحدث الآن؟ لا تزال كل هذه القطع المكافئة تمر عبر الأصل ، لكن قواعد القطع المكافئ قد تحركت.

    مثال 3: Let أ يتغير، ب = -1 و ج = 0.

    بناءً على الصورة أعلاه ، أتوقع أن يبدو مشابهًا للمثال 2 ، باستثناء أن الرسم البياني سوف يتحول إلى اليمين للقطوع المكافئة ذات الشكل الصاعد وإلى اليسار للقطع المكافئ المتجه لأسفل. دعونا نرى ما إذا كنا على حق.

    رسم الرسم البياني ما توقعناه بالضبط ، بناءً على ملاحظاتنا في الرسم البياني السابق.

    مثال 4: متنوع أ واسمحوا ب = 1 و ج =1.

    نرى أن القطع المكافئ لم يعد يمر عبر نقطة الأصل ، ولكن من خلال النقطة (0،1) بدلاً من ذلك.

    العودة إلى قائمة المهام الخاصة بي.

    يترك ب تختلف حين أ و ج تبقى ثابتة.

    مثال 1: Let أ = 0 و ج = 0.

    لا أعتقد أن هناك أي شيء يثير الدهشة حقًا في الصورة أعلاه. مع كلاهما أ و ج يساوي صفرًا ، يتبقى لنا دالة خطية. متي ب موجب ، الخط يبقى في الربعين الأول والثالث ، الأرباع حيث كلاهما x و ذ لها نفس العلامة / الاتجاه. متي ب سلبي ، الخط في الربعين الثاني والرابع. لاحظ أن هذه الخطوط تمر دائمًا بالأصل ، وذلك عندما تزداد ب، الخط يصبح أكثر حدة.

    مثال 2: Let أ = 0 و ج = 1.

    يبدو الرسم البياني تمامًا مثل الرسم أعلاه ، باستثناء حقيقة أنه قد نقل وحدة واحدة في الاتجاه الإيجابي. الرسوم البيانية لم تعد تمر من خلال الأصل ، ولكن من خلال النقطة (0،1). لاحظ أيضًا أن معادلات الرسوم البيانية هي المعادلات الخطية العادية للصيغة y = مx + ب، أين م هو المنحدر و ب هو تقاطع ص.

    مثال 3: Let أ = 1 و ج = 0.

    لدينا الآن القطع المكافئ مرة أخرى. لاحظ أن قواعد القطع المكافئ تقع كلها أسفل المحور السيني وأنها لا تزال تمر من خلال الأصل. الرسوم البيانية ذات القيم الموجبة لـ ب انتقلوا إلى الأسفل وإلى اليسار ، أولئك الذين لديهم قيم سالبة لـ ب انتقلت إلى أسفل وإلى اليمين.

    مثال 4: Let أ = 1 و ج = 1.

    يبدو الرسم البياني مثل الرسم الموجود في المثال 4 ، باستثناء حقيقة أنه قد إزاحة وحدة واحدة لأعلى وأن جميع القطع المكافئة تمر عبر النقطة (0،1).

    العودة إلى قائمة المهام الخاصة بي.

    يترك ج تختلف حين أ و ب تبقى ثابتة.

    مثال 1: Let أ = 0 و ب = 0.

    هذه كلها خطوط أفقية تعبر المحور y عند ج القيمة.

    مثال 2: Let أ = 1 و ب = 0.

    لدينا قطع مكافئ عادي مع قاعدة القطع المكافئ على المحور y بقيمة ج.

    مثال 3: Let أ = 0 و ب = 1.

    ميل كل هذه الرسوم البيانية هو 1 ( ب value) واعبر المحور الصادي في ج القيمة.

    مثال 4: Let أ = 1 و ب = 1.

    لدينا سلسلة من القطع المكافئة التي تقع قواعدها على يسار المحور y والتي تعبر المحور y عند المحور ج القيمة.


    & # 160 الرسم البياني للمعادلة y = ax ^ 2 + bx + c ، حيث a و b و c ثوابت ، هو قطع مكافئ مع محور التناظر x = -3. ابحث عن ب / أ.

    الرسم البياني للمعادلة y = ax ^ 2 + bx + c ، حيث a و b و c ثوابت ، هو قطع مكافئ مع محور التناظر x = -3. ابحث عن ب / أ.

    من الناحية الهندسية ، يتم تعريف القطع المكافئ على أنه مجموعة من النقاط التي هي نفس المسافة من نقطة معينة وخط معين. تسمى النقطة بؤرة القطع المكافئ ويسمى الخط دليل القطع المكافئ. افترض أن P عبارة عن قطع مكافئ مع التركيز (4،3) والدليل y = 1. النقطة (8،6) تقع على P لأن (8،6) تبعد 5 وحدات عن كل من التركيز والدليل. إذا كتبنا المعادلة التي يكون رسمها البياني P بالصيغة y = ax ^ 2 + bx + c ، فما هو a * b * c؟

    أوجد مساحة المنطقة المحاطة بالرسم البياني للمعادلة x ^ 2 + y ^ 2 = 4x + 6y + 13.

    0 المستخدمون يؤلفون الإجابات ..

    2 +0 إجابات

    لقد أجبت على أول سؤال في مكان آخر اليوم.

    من الناحية الهندسية ، يتم تعريف القطع المكافئ على أنه مجموعة من النقاط التي هي نفس المسافة من نقطة معينة وخط معين. تسمى النقطة بؤرة القطع المكافئ ويسمى الخط دليل القطع المكافئ. افترض أن P عبارة عن قطع مكافئ مع التركيز (4،3) والدليل y = 1. النقطة (8،6) تقع على P لأن (8،6) تبعد 5 وحدات عن كل من التركيز والدليل. إذا كتبنا المعادلة التي يكون رسمها البياني P بالصيغة y = ax ^ 2 + bx + c ، فما هو a * b * c؟

    يمكن إيجاد الرأس عند (4،2) ويمكننا كتابة ما يلي:

    (y - 2) = (a) (x - 4) ^ 2 وبما أن (8،6) تقع على المنحنى ، فيمكننا إيجاد قيمة a

    نظرًا لأن إحداثي x للرأس معطى بواسطة -b / (2a) لدينا ذلك -b / [2 (1/4)] = 4 → -b / (1/2) = 4 → -b = 2 → b = -2

    وباستخدام حقيقة أن (4،2) على التمثيل البياني ، يمكننا إيجاد c ، وبالتالي:

    ثم أ * ب * ج = (1/4) (-2) (6) = (1/4) (- 12) = -3

    إليك الرسم البياني للوظيفة: https://www.desmos.com/calculator/1hi34pnvzw

    أوجد مساحة المنطقة المحاطة بالرسم البياني للمعادلة x ^ 2 + y ^ 2 = 4x + 6y + 13.

    ستكون هذه دائرة. علينا إيجاد نصف القطر لإيجاد المساحة التي تحيط بها الدائرة

    لنكتب هذا بالصيغة x ^ 2 -4x + y ^ 2 -6y - 13 = 0 أكمل المربع في x و y


    العلاقات التربيعية والمقاطع المخروطية

    للتمييز بين العلاقات التربيعية والوظائف التربيعية ، فإن المعادلة العامة للدالة التربيعية تتبع:
    ص = فأس 2 + ب س + ج.

    الصيغة أعلاه ، على شكل قطع مكافئ. قد نرغب في التحقق لمعرفة ما إذا كان يجتاز اختبار الخط العمودي وهو في الواقع دالة. لإجراء مثل هذا الاختبار ، ما عليك سوى اختيار قيمة "x" ورسم خط عمودي خلالها. إذا تجاوز أي خط الرسم البياني أكثر من مرة ، يُقال إن اختبار الخط العمودي قد فشل والعلاقة ليست دالة. نظرًا لأن جميع كثيرات الحدود هي وظائف ، وهذه كثيرة الحدود ، نتوقع أن تجتاز اختبار الخط الرأسي.

    ضع في اعتبارك العلاقة التالية:
    ص 2 = س
    نا & # 239 ، يمكن للمرء إعادة كتابة هذا على النحو التالي: y = (x). ومع ذلك ، فقدنا فرعًا واحدًا وسيتم كتابته بشكل صحيح: y = & # 177 (x) ، ثم سيكون فتحًا مكافئًا في اتجاه x. لكنه لا يجتاز اختبار الخط العمودي وهذه ليست سوى علاقة وليست دالة.

    صيغة المسافة:
    صيغة المسافة مشتقة من نظرية فيثاغورس التي تنص على أن مجموع مربعي ضلعي المثلث القائم الزاوية يساوي مربع الوتر. وبالتالي فإن المسافة (د) بين نقطتين معروفتين ، (س 1 ، ص 1) و (س 2 ، ص 2) هي الجذر التربيعي لما يلي:
    د 2 = (س 2 - س 1) 2 + (ص 2 - ص 1) 2. غالبًا ما تُستخدم هذه العلاقة للعثور على أنصاف الأقطار المختلفة المعنية.

    استكمال الساحة:
    إذا كان معامل الحد التربيعي يساوي واحدًا ، كما في x 2 + bx ، فيمكن إيجاد الرقم الذي سيكمل المربع عن طريق تقسيم المعامل الخطي إلى النصف ، (b) ، وتربيعه ، وإضافة النتيجة: x 2 + bx + (b / 2) 2 = (x + b / 2) 2. عندما لا يكون معامل المصطلح التربيعي مساويًا لمعامل واحد ، يجب أن تحسبه أولاً كما هو موضح في بعض الأمثلة أدناه.

    فيرتكس:
    في القطع المكافئ ، يُعطى إحداثي x للرأس بالصيغة التالية: h = - (b / 2a). يتم إعطاء إحداثي y بواسطة k = y (h) أو k = c - b 2 / (4 a). يجب أن يكون من السهل تذكر معادلة إحداثيات x نظرًا لأن الجذور (الأصفار ، وتقاطع x ، والحلول) في المعادلة التربيعية متماثلة حول الرأس ويتم إعطاء هذه الجذور بواسطة الصيغة التربيعية. h = - (b / 2a) هو بالتالي جزء من الصيغة التربيعية بدون جزء & # 177. يمكن اشتقاق صيغة إحداثيات y بالتعويض عن h بهذه الصورة x في y (x).

    عدم المساواة:
    "" يشير إلى المنطقة خارج المقطع المخروطي.

    الدائرة عبارة عن مجموعة من النقاط (x ، y) في مستوى إحداثيات ، بحيث تكون كل نقطة على مسافة متساوية من نقطة ثابتة (h ، k) تُعرف بالمركز. بالنسبة للدوائر ، تكون معاملات حدي x 2 و y 2 في العلاقة التربيعية العامة متساوية (أي A = C).

    رسم بياني لدائرة س 2 + ص 2 = 25 باستخدام نافذة عرض مربع

    تكون معادلة الدائرة في الصورة القياسية كما يلي: (x-h) 2 + (y-k) 2 = r 2

      تذكر:
  1. (ح ، ك) هي النقطة المركزية.
  2. r هو نصف القطر من المركز إلى إحداثيات الدائرة (x، y).
  3. مثال: س 2 + ص 2 + 6 س - 4 ص - 12 = 0

    الخطوة 1 - نقل وربط المصطلحين المضافين x و y معكوسًا: (x 2 + 6 x) + (y 2-4 y) = 12

    الخطوة 2 - أكمل المربعات ، (ما تفعله على أحد الجانبين تأكد من القيام به على الجانب الآخر): (x 2 + 6 x + 9) + (y 2-4 y + 4) = 12 + 9 + 4

    الخطوة 3 - العامل: (x + 3) 2 + (y - 2) 2 = 25 = 5 2

      ملاحظات
    1. سيكون القسم المخروطي دائرة لأن حدي x 2 و y 2 لهما نفس الإشارة ومعاملات متساوية.
    2. المركز (ح، ك) هو (-3،2). لاحظ أن هذه هي قيم x و y التي تجعل المصطلح المقابل يساوي صفرًا.
    3. سيكون نصف قطر الدائرة 5 وحدات ، لأن الجذر التربيعي لـ 25 هو 5.
    4. يمكن رسم دائرة ببوصلة أو دبوس طبعة وخيط.
    5. الانحراف اللامركزي في الدائرة هو صفر (e = 0).
    القطع الناقص هو أيضًا مجموعة من النقاط (س ، ص) في مستوى إحداثيات. إنها تشبه إلى حد بعيد الدائرة ، ولكنها إلى حد ما "خارج الدائرة" أو بيضاوية. بالنسبة للقطع الناقص ، فإن حدي x 2 و y 2 لهما معاملات غير متساوية ، ولكن نفس العلامة (A C ، و AC> 0). (جمع القطع الناقص هو قطع ناقص ، وهو أيضًا:. كلاهما ينبع من نفس المعنى الأساسي للجذر الذي يجب استبعاده.)

                       
    رسم بياني للقطع الناقص 2 × 2 + ص 2 = 25 باستخدام نافذة عرض مربع

      تذكر:
    • (ح ، ك) هي النقطة المركزية.
    • r x هو طول نصف القطر في الاتجاه & # 177 x.
    • r y هو طول نصف القطر في الاتجاه & # 177 y.

    مثال:
    س 2 + 4 ص 2 = 16
    الخطوة 1 - قسّم كلا الجانبين على 16: (x 2) / 16 + (4 y 2) / 16 = 1.

    الخطوة 2 - بسّط المصطلح الثاني: (x 2) / 16 + (y 2) / 4 = 1.

    الخطوة 3 - العامل / إعادة الكتابة في الشكل القياسي: (x / 4) 2 + (y / 2) 2 = 1.

      ملاحظات
    1. تخبرنا العلامة نفسها ولكن المعاملات المختلفة لمصطلح x 2 و y 2 أن الرسم البياني سيكون قطع ناقص.
    2. يخبرنا المقامان ، 4 و 2 ، (الموجودان في الخطوة 3) أن رؤوس القطع الناقص تم العثور عليها 4 وحدات من المركز (0،0) في & # 177 x الاتجاه ، وهناك نقطتان حرجتان أخريان تقعان على وحدتين من المركز في الاتجاه & # 177 ذ.
    3. r x = 4 يسمى x -radius وهي المسافة من المركز إلى القطع الناقص في اتجاه x.
    4. r y = 2 يسمى y -radius وهي المسافة من المركز إلى القطع الناقص في الاتجاه y.
    5. المحور شبه الرئيسي هو الأكبر من r x و r y ، في هذه الحالة 4.
    6. المحور شبه الأصغر هو الأصغر من r x و r y ، في هذه الحالة 2.
    7. نصف يعني النصف. وبالتالي فإن المحاور الرئيسية والثانوية هي ضعف المحاور شبه الرئيسية وشبه الصغيرة.
    8. يمكن أيضًا وصف القطع الناقص بأنه مجموعة من النقاط في المستوى بحيث يكون مجموع مسافة كل نقطة ، d 1 + d 2 ، من نقطتين ثابتتين F 1 و F 2 ثابتًا. وبالتالي يمكن رسم القطع الناقص باستخدام مسامير تثبيت وخيط.
    9. F 1 و F 2 بؤرتان ، كل منهما عبارة عن بؤرة. تقع في (h & # 177 c ، k) أو (h ، k & # 177 c)
    10. المسافة من المركز إلى البؤرة هي نصف القطر البؤري.
    11. إذا كان a هو المحور شبه الرئيسي و b هو المحور شبه الصغير ، فإن c هو نصف القطر البؤري ، حيث d 1 + d 2 = 2 a و c 2 = a 2 -b 2. في هذه الحالة ، ج 2 = 16-4 = 12.
    12. يتم إعطاء الانحراف المركزي e للقطع الناقص بواسطة النسبة: e = c / a. نظرًا لأن c a وكلاهما موجب ، فسيكون هذا بين 0 و 1. يتوافق الانحراف المركزي بالقرب من الصفر مع شكل بيضاوي على شكل دائرة ، في حين أن الانحراف القريب من واحد يتوافق أكثر مع السيجار.
    13. مساحة القطع الناقص هي: A = ab. يجب تقريب المحيط بشكل عام.
    14. المستقيم العريض للقطع الناقص عبارة عن مقاطع خطية من خلال التركيز مع نقاط نهاية على القطع الناقص وعمودي على المحور الرئيسي. طولها 2 ب 2 / أ.
    يحتوي القطع المكافئ على معادلة تحتوي على حد مربع واحد فقط. إذا تم استبعاد مصطلح x 2 ، فسيتم فتح الرسم البياني في اتجاه x. إذا تم استبعاد المصطلح y 2 ، فسيتم فتح الرسم البياني في اتجاه y. الرسوم البيانية التي تفتح في الاتجاه & # 177 y هي وظائف تربيعية ، وبالتالي فإن تلك التي تفتح في & # 177 x-Direction هي علاقات تربيعية.

    رسم بياني للقطع المكافئ س = ص 2-25 في نافذة عرض مشوهة

    وظائف القطع المكافئ لها المعادلة العامة:
    ص = فأس 2 + ب س + ج

    علاقة القطع المكافئ العامة لها معادلة العلاقة التربيعية العامة الموجودة في الصفحة الافتتاحية ، باستثناء إما A = 0 أو C = 0.

      ملاحظات
    1. سيكون القسم المخروطي قطعًا مكافئًا لأنه يوجد حد تربيع واحد فقط ، وهو y 2.
    2. نظرًا لأن الحد x 2 مفقود ، سيتم فتح الرسم البياني في اتجاه x ، وتحديدًا - x حيث تم العثور على تنسيق الرأس C y بالصيغة: k = -b / 2a. لذا فإن k = -12/2 (-2) = 3.
    3. المحور x للرأس هو: & # 160 & # 160 & # 160 h = -2 (3 2) + 12 (3) - 10 = 8.
    4. الانحراف اللامركزي للقطع المكافئ هو واحد (e = 1).
    5. يمكن وصف القطع المكافئ على أنه مجموعة من النقاط المستوية التي يكون كل منها على نفس المسافة من تركيز ثابت كما هو الحال من خط مستقيم ثابت يسمى الدليل.
    6. نقطة المنتصف بين البؤرة والدليل هي الرأس. الخط الذي يمر عبر البؤرة والرأس هو محور القطع المكافئ.
    7. الوتر البؤري هو قطعة خطية تمر عبر التركيز بنقاط نهاية على القطع المكافئ.
    8. المستقيم العريض هو الوتر البؤري العمودي على محور القطع المكافئ.
    9. شكل قياسي آخر للقطع المكافئ هو: & # 160 (x - h) 2 = 4 p (y - k) أو & # 160 & # 160 (y - k) 2 = 4 p (x - h)
    10. يقع التركيز على وحدات المحور ص من الرأس: (ح ، ك + ع) أو (ح + ص ، ك).
    11. الدليل هو الخط y = k - p أو x = h - p
    القطع الزائد له فرعين متماثلين وغير متصلين. يقترب كل فرع من الخطوط المقاربة القطرية *. يمكن الكشف عن القطوع الزائدة من خلال الإشارات المعاكسة للحدود x 2 و y 2. (AC * (الخطوط المقاربة هي خطوط يقترب منها الرسم البياني بشكل تعسفي ، ولكنها لا تلامس أبدًا في الواقع حيث يستمر المتغير في التحرك في الاتجاه الموجب أو السلبي.)

    رسم بياني للقطع الزائد - س 2 + ص 2 = 25 في نافذة عرض مشوهة

    تحتوي القطوع الزائدة على المعادلات المحددة:

    ((xh) / rx) 2 - ((yk) / ry) 2 = 1 & # 160 & # 160 OR & # 160 & # 160 - ((xh) / rx) 2 + ((yk) / ry) 2 = 1
    إذا كانت الإشارة قبل الحد x 2 إيجابية (A> 0) ، سيتم فتح القطع الزائد باتجاه & # 177 x - الاتجاه. ولكن إذا كانت الإشارة قبل الحد y 2 إيجابية (C> 0) ، سيتم فتح القطع الزائد باتجاه & # 177 y -direction.

      تذكر:
    • (ح ، ك) هي النقطة المركزية.
    • r x هي المسافة من المركز إلى رأس اتجاه القطع الزائد & # 177 x (أو خط مقارب).
    • r y هي المسافة من المركز إلى رأس اتجاه القطع الزائد & # 177 y (أو خط مقارب).
    • الخطوط المقاربة لها منحدرات r y / r x و - (r y / r x)
    • القطع الزائد هو مجموعة النقاط في المستوى بحيث يكون الفرق بين المسافة بين البؤرتين الثابتتين ثابتًا لكل نقطة (س ، ص) على القطع الزائد.
    • المحور شبه الرئيسي ، a ، هو الأكبر من r x و r y.
    • المحور شبه الصغير ، b هو الأصغر من r x و r y.
    • يربط المحور العرضي بين الرأسين.
    • المحور المترافق عمودي على المحور العرضي.
    • وبالتالي فإن المحور العرضي هو ضعف المحور شبه الرئيسي ، أ = القيمة المطلقة (د 1 - د 2).
    • ص 2 = أ 2 + ب 2.
    • يتم إعطاء الانحراف المركزي e للقطع الزائد بواسطة النسبة: e = c / a. نظرًا لأن c> a وكلاهما موجب ، فسيكون هذا أكبر من 1. إذا كانت e قريبة من واحد ، فسيكون القطع الزائد ضيقًا ومدببًا بينما إذا كان e كبيرًا ، فسيكون القطع الزائد مسطحًا تقريبًا.

    مثال:
    - (س / 4) 2 + (ص / 3) 2 = 1

      ملاحظات
    1. سيكون القسم المخروطي قطعًا زائدًا لأن حدي x 2 و y 2 لهما إشارات مختلفة.
    2. يتم فتح الرسوم البيانية في الاتجاه & # 177 y حيث أن الإشارة قبل المصطلح y موجبة.
    3. سيكون ميل الخطوط المقاربة 3/4 أو - (3/4).

    2 2 ((س -3) 2 + (ص -0) 2) = (س -3) 2 + (ص -0) 2

    يأتي هذا من تطبيق صيغة المسافة ، لكن تم تربيع كلا الطرفين. هذا يؤدي إلى العلاقات التالية:
    4 (× 2 -6 × +9+ ص 2) = × 2 +6 × +9+ ص 2

    3 × 2-30 × + 27 + 3 ص 2 = 0 & # 160 & # 160 أو & # 160 & # 160 (س -5) 2 + ص 2 = 4 2.

    إذن لدينا دائرة مركزها (5،0) ونصف قطرها 4.

    مثال آخر قد يكون على النحو التالي: كل نقطة على مسافة متساوية من النقطة (3 ، -4) والخط ص = 2. هكذا:

    (س -3) 2 + (ص +4) 2 = (س - س) 2 + (ص -2) 2.

    س 2 -6 س +9 + ص 2 +8 ص + 16 = 0 + ص 2 -4 ص +4.

    x 2 -6 x +12 y + 21 = 0 & # 160 & # 160 أو & # 160 & # 160 y +1 = - (x -3) 2/12.

    لدينا بالتالي قطع مكافئ برأس عند (3 ، -1) يفتح في اتجاه - y.

    مثال أخير هو كما يلي: لكل نقطة ، المسافة بينها وبين النقطة (0،3) هي 3/2 ضعف المسافة من الخط y = -3.

    4 ((x -0) 2 + (y -3) 2) = 9 ((x - x) 2 + (y +3) 2)

    4 (س 2 + ص 2-6 ص +9) = 9 (ص 2 +6 ص +9)

    لدينا بالتالي افتتاح القطع الزائد في اتجاه x.

    تم حذف العديد من الخطوات من الاشتقاقات المذكورة أعلاه ويتعين على الطالب التحقق منها والتحقق منها وإتقانها ، لأن العديد من الأخطاء الجبرية الشائعة تحدث غالبًا.

    إذا كان المميز أقل من صفر ، فلدينا دائرة (إذا كان A = C) أو قطع ناقص
    إذا كان المميز يساوي صفرًا ، فلدينا القطع المكافئ
    إذا كان المميز أكبر من الصفر ، فلدينا القطع الزائد.

    يمكن إعادة كتابة معادلتنا بـ B '= 0 عن طريق تدوير محاور الإحداثيات بزاوية 0 ، حيث cot (2 0) = (A - C) / B. لاحظ أن F = F 'ثابت عند الدوران. لاحظ أيضًا A + C = A '+ C' و B 2 -4 AC = (B ') 2 -4 A'C'. نختار B '= 0.

    أبسط القطع الزائد يأتي من الرسم البياني: & # 160 & # 160 y = 1 / x أو xy = 1. بالنسبة لهذه العلاقة ، نلاحظ أن أ = 0 ، ب = 1 ، ج = 0. هكذا cot 2 0 = 0 أو 0 = / 4. وبالتالي في نظام إحداثيات x'y '، والذي يتم تدويره بمقدار 45 & # 176 من نظام إحداثيات xy العادي ، ستكون معادلتنا:


    حل

    قد يحاول الطلاب استخدام صيغة الميل والمقطع أو صيغة نقطة الميل لمعادلة الخط المستقيم. نظرًا لأنه تم إعطاء نقطتين ، فسيجدون المنحدر أولاً في صورة صعود فوق الجري أو $ m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) = (12-0) / (- 1 - (- 4)) = 12/3 = 4. $

    إذا استخدموا صيغة الميل والمقطع ، فسيقومون بعد ذلك بتعويض نقطة واحدة في المعادلة ، $ y = 4x + b $ وإيجاد $ b = 16 $ ، لذا $ y = 4x + 16 $.

    إذا استخدموا صيغة نقطة الميل ، فسيقومون بتوصيل نقطة إلى $ y-y_1 = 4 (x-x_1) $ للحصول على أي من الأشكال المكافئة $ y = 4 (x + 4) $ أو $ y-12 = 4 (x + 1) $.

    لمعرفة أن $ R $ على نفس السطر ، يقرر الطلاب ما إذا كانت النقطة $ (x، y) = (4،32) $ تفي بمعادلتهم من الجزء السابق. على سبيل المثال ، بالنظر إلى $ y = 4x + 16 $ ، يمكن للطلاب التحقق من أن $ 32 = 4 (4) + 16 $. نستنتج أن $ R $ على نفس السطر مثل $ P $ و $ Q $.

    تكثر طرق الحلول الأخرى: قد يقوم الطلاب ، على سبيل المثال ، بالتحقق أيضًا من أن المنحدر بين $ R $ وإما $ P $ أو $ Q $ هو 4 ، لذلك يجب عليهم الاستلقاء على نفس الخط.

    يمكننا أن نجادل هندسيًا على النحو التالي: يتقاطع الخط المستقيم مع القطع المكافئ مرتين على الأكثر ، لذلك نظرًا لأن $ P $ و $ Q $ و $ R $ هي خطوط خطية ، فلا يمكن أن تكون جميعها على أي قطع مكافئ. (لاحظ أن هذه الإجابة تتطلب اصطلاحًا مفاده أن الأسطر لا تعد قطعًا مكافئًا. وبدون هذا الاصطلاح ، فإن "القطع المكافئ المتدهور" الذي يتكون من السطر $ y = 4x + 16 $ نفسه يحتوي على النقاط الثلاث.)

    جبريًا ، يمكننا المضي قدمًا عن طريق حل نظام المعادلات التي نحصل عليها عن طريق تقييم التعبير $ y = ax ^ 2 + bx + c $ عند إحداثيات $ x $ - و $ y $ - $ P $ و $ Q $ و $ R $. هذا يعطي start 0 & amp = & ampa (-4) ^ 2 + b (-4) + c 12 & amp = & ampa (-1) ^ 2 + b (-1) + c 32 & amp = & ampa (4) ^ 3 + b (4) ) + c end يعطي حل النظام الناتج $ a = 0 و b = 4 $ و $ c = 16 $.

    قد يكون من الجدير بالملاحظة أنه في هذه الحالة ، يُثبت النهج الهندسي بيانًا أكثر عمومية ، لأنه ينطبق على جميع القطع المكافئ ، وليس فقط تلك الموجودة في النموذج $ y = ax ^ 2 + bx + c $.


    الأحداث القادمة في MoMath

    التحولات2021 - المعسكر الصيفي MoMath & # 8217s - التسجيل مفتوح الآن!
    28 يونيو حتى 3 سبتمبر

    هل تفكر في صيف 2021؟ هكذا هو MoMath! في التحولات، المعسكر الصيفي في MoMath ، سيختبر الطلاب في الصفوف من الأول إلى التاسع ثراء الرياضيات في أمريكا & # 8217s المتحف الوحيد المخصص للرياضيات. من خلال الأنشطة التفاعلية لكامل الجسم ، والجلسات التعليمية العملية ، والمشاريع الإبداعية ، ستصبح الرياضيات حية لكل مشارك. هذا الصيف، التحولات يقدم 2021 عشر جلسات عبر الإنترنت لمدة أسبوع واحد من 28 يونيو حتى 3 سبتمبر ، والتي تتميز بمواضيع مثيرة ، مثل فيبوناتشي وما بعدها!, الأعاجيب الرياضية, لغز لي هذا, ماهي الفرص؟، و اللانهائيات اللانهائية. الوظائف الإضافية الشخصية المتاحة لمن هم في المدينة. تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في Summercamp.momath.org.

    التوسعات: برنامج إثراء مسائي لطلاب الرياضيات الموهوبين - قبول الطلبات لفترات محدودة
    إعادة اختراع فئة الرياضيات مع التوسعاتبرنامج الموهوبين بعد الظهر MoMath & # 8217s. يضم برامج للطلاب المحبين للرياضيات المسجلين في الصفوف من الأول إلى الثاني عشر ، و التوسعات تم تصميم ورش العمل من قبل الفريق التعليمي MoMath & # 8217s لإلقاء الضوء على عجائب الرياضيات ، وتحدي الطلاب وإلهامهم ، وتوسيع آفاقهم الرياضية. مع موضوعات تتراوح من الفركتلات إلى الأوتوماتا الخلوية ، توفر فصول ما بعد الظهر هذه فرصة للمشاركين لتعلم موضوعات متقدمة ورائعة غير مدرجة في منهج K إلى 12 القياسي. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن للطلاب الاستفادة من الاستمتاع بالرياضيات مع مجموعات صغيرة من العلماء الشباب الموهوبين والمركزين. تقبل MoMath حاليًا طلبات الحصول على أماكن محدودة في العام الدراسي 2020-2021 ، والتي يتم إجراؤها عبر الإنترنت. لمعرفة المزيد ، قم بزيارة expansions.momath.org.

    البرامج الجارية

    قم بزيارة MoMath
    يسر MoMath أن تعلن عن إعادة فتح أبوابها في 1 يوليو! تذاكر زيارة MoMath شخصيًا معروضة للبيع الآن على موقع visit.momath.org.

    ارسم الشبكةالرياضيات الحدث) - تم تمديده حسب الطلب الشعبي
    لقد أخذناه إلى الشوارع! انضم إلى زملائك في نيويورك من أجل المتعة والتعاون الرياضيات حدث. ساعد في إنشاء رسم بياني بشري عبر شبكة مانهاتن بأن تصبح نقطة على طول منحنى قطع مكافئ أنيق. شارك موقعك على وسائل التواصل الاجتماعي وشاهد السحر يتكشف بينما نبني معًا رسمًا بيانيًا للمقياس البشري لهذه الوظيفة التربيعية الجذابة. يأتي هذا الحدث من خلال الجهود المشتركة لـ MoMath ، المتحف الوحيد للرياضيات في البلاد ، و Mathigon ، مبتكر مناهج الرياضيات الجديدة عبر الإنترنت ، ويعد هذا الحدث بتوفير لحظة من التعاون والمجتمع للجميع. نظرًا للطلب الشائع ، سيظل هذا النشاط الممتع متاحًا - لا تفوت فرصتك في المساعدة في إنشاء أكبر قطع مكافئ بشري على الإطلاق لتزيين شوارع مانهاتن (وإلى النقاط الشمالية ، بما في ذلك برونكس وويستشيستر وكونيتيكت). تعلم المزيد والتسجيل في مجانا في الشبكة.

    الرياضيات في المنزل - قم بالتسجيل في القائمة البريدية ليتم إعلامك بالبرامج المجانية
    يسر MoMath أن تقدم الرياضيات في المنزل، قائمة بريدية لاستلام رواد المتحف الكرام مجانا تذاكر اللحظة الأخيرة لأحداث محددة ، عندما يكون المكان متاحًا. للاشتراك ، قم بزيارة mathonthehouse.momath.org.

    ادعم MoMath أثناء التسوق في أمازون!
    يدعوك MoMath للتسوق في AmazonSmile واختيار & # 8220National Museum of Mathematics & # 8221 كمؤسسة خيرية من اختيارك. ستتبرع أمازون بنسبة 0.5٪ من إجمالي سعر الشراء إلى MoMath! انقر هنا لدعم الأمة & # 8217s متحف الرياضيات فقط وأنت تتسوق!

    جلسات كبار
    قم بتمرين عضلاتك الذهنية في جلسات حسابية مدتها 45 دقيقة! انضم إلى مقدمي العروض المحترفين في MoMath للحصول على دروس شيقة حول مجموعة متنوعة من الموضوعات المحفزة ، بما في ذلك الطوبولوجيا والألغاز والتشفير. استمتع بالاكتشاف والتحديات في هذه الأنشطة التفاعلية التفاعلية مع مجموعة جماعية من العقول الناضجة. لكبار السن / البالغين الناضجين. تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في seniorsessions.momath.org.

    شارك هدية الرياضيات! تسجيلات الهدايا لـ جلسات كبارمتوفرة: mathgift.momath.org.

    شريحة باي - نادي اجتماعي لمدة شهر يتضمن أنشطة مستمرة للمراهقين والمراهقين الذين يحبون الرياضيات
    انضم إلى زملائك الشباب المتحمسين للرياضيات أثناء تناول الغداء أو تناول وجبة خفيفة للدردشات الممتعة حول موضوعات الرياضيات المفضلة لديك وعرض مقاطع الفيديو والمزيد ، والتي يستضيفها معلم خبير في الرياضيات. عضوية لمدة شهر في شريحة باي يتضمن الوصول إلى MoMath & # 8217s غير محدود خلاط و توين برايمز نادي الكتاب ، واجتماعات الغداء الأسبوعية ، بالإضافة إلى البرامج الخاصة الأخرى. كوِّن أصدقاء رياضيين من جميع أنحاء العالم يشاركونك اهتمامك بالألغاز والألعاب وحل المشكلات في هذا الاجتماع الفريد للعقول (الشابة). لمزيد من المعلومات وللتسجيل ، قم بزيارة sliceofpi.momath.org.

    منظور عالمي: الرياضيات والفن والعمارة حول العالم
    كل منحوتة من أعمال أنطون باكر تدعو - وتكافئ - للفحص من زوايا متعددة. الآن ، يستخدم باكر تقنية مخصصة قائمة على الكمبيوتر لنشر منحوتاته المثيرة للاهتمام حول العالم. كل شهر طوال عام 2021 ، شاهد منحوتات Bakker & # 8217s - تقريبًا - في مدن في جميع أنحاء العالم ، بما في ذلك نيويورك ولندن وباريس وبرلين وأمستردام في معرض خاص عالمي للواقع المعزز يتيح لك وضع نفسك حرفيًا في الصورة على طول مع بعض الفن والعمارة الأكثر جاذبية في العالم. تعرف على المزيد - بما في ذلك كيفية إحضار هذا البرنامج إلى مدينتك - على موقع globalperspective.momath.org. الأعضاء المميزون (العضوية الإضافية أو أعلى) ، أحضروا هذه المنحوتات الافتراضية المثيرة إلى مدينتك أو منزلك مجانًا!

    متصلرحلات ميدانية
    المعلمون ، اجمعوا فصلكم معًا في الفصل الافتراضي لدينا! قد تكون المدارس مغلقة ، لكن MoMath يسمح لمجموعتك بالاتصال بمغامرة رياضية مشتركة. اجمع طلابك مع معلم MoMath ذو الخبرة للحصول على جلسة رحلة ميدانية تفاعلية عبر الإنترنت ، يمكن الوصول إليها بالكامل من المنزل أو الفصل الدراسي. لمزيد من المعلومات ولتسجيل فصلك الدراسي ، تفضل بزيارة fieldtrips.momath.org. (تتوفر رحلات مجانية لمدارس العنوان الأول العرض محدود ، لذا تقدم بطلبك اليوم.)

    الجولات والرحلات الميدانية على الإنترنت إلى مركب، معرض MoMath
    قم بجولة مع الفنان أنطون باكر واستكشف ما هو مذهل وجهات نظر بديلة معرض

    يسر MoMath تقديم عرض فني جديد رائد في مركب، معرض MoMath - تقريبًا! في وجهات نظر بديلةيأخذنا الفنان أنطون باكر في رحلة إلى عالم من الجمال الرياضي مع لمسة إضافية: يبدو أن التغيير في المنظور يغير حقيقة الشيء الذي أمامك. منحوتات أنطون - المنفذة من الفولاذ أو البرونز أو كمواد تفاعلية رقمية - تثبت نقاطًا في الفضاء ، عندما تربطها العين ، تكشف عن محاذاة متناغمة كمسارات ثلاثية الأبعاد. الخطوط ، والمنحنيات ، والعقد ، واللوالب ، وشرائط موبيوس ، والأوهام البصرية ، والفركتلات - كلها تم استكشافها في هذا العرض الافتراضي الجذاب للغاية. يُستكمل عمل باكر بقطعتين خاصتين: عمل غير عادي ومدهش للمهندسين الذين تحولوا إلى فنانين والت فان باليجويجين وهانس كايبر ونحت رياضي إبداعي لعالم مختبرات بيل السابق آلان وايت. تعرف على المزيد حول أحدث معرض مؤقت MoMath & # 8217s في composite.momath.org وحجز رحلتك الميدانية في fieldtrips.momath.org أو جولتك في composite.momath.org اليوم! ملحوظة: وجهات نظر بديلة سيفتح في مركب، معرض MoMath ، هذا الصيف. مجانًا مع دخول المتحف!

    حر العقل المضطرون للحجر الصحي!
    الوصول إلى أكثر من 10000 شخص في ما يقرب من 90 دولة ، العقل المشحونون للحجر الصحي! لقد كانت ضربة سريعة أشركت الناس في جميع أنحاء العالم خلال إغلاق عالمي غير مسبوق. كل يوم أحد ، سيرسل لك MoMath لغزًا رياضيًا صعبًا من مجموعة سيد الألغاز الخاص بنا ، الدكتور بيتر وينكلر. يوم الثلاثاء ، ستتلقى & # 8217ll تلميحًا خفيًا يوم الخميس ، دفعة جادة يوم السبت ، الحل. وفي اليوم التالي ، بالطبع ، لغز جديد. تعلم المزيد وسجل في mindbenders.momath.org.

    MoMath Online: جلسات الطلاب للصفوف ما قبل الروضة حتى الصف 12
    جارية ، من الاثنين إلى الجمعة

    سواء كان طفلك متحمسًا بالفعل للرياضيات أو بدأ للتو في استكشاف عجائبها ، MoMath Online: جلسات الطلاب سيعرض طفلك لمجالات الرياضيات الباردة التي لا تغطيها المدرسة ويؤجج النيران لتقدير الرياضيات مدى الحياة. تتوفر الفصول الدراسية بدون حجز بإرشاد من معلم متمرس كل يوم من أيام الأسبوع ، ويكون التسجيل دائمًا مجانيًا للعائلات المحتاجة. لمزيد من المعلومات وللتسجيل ، قم بزيارة موقع studentsessions.momath.org.

    شارك هبة الرياضيات! تسجيلات الهدايا لـ جلسات الطلابمتوفرة: mathgift.momath.org.

    دروس الرياضيات
    هل يكافح طفلك في الرياضيات؟ نستطيع المساعدة! تقدم MoMath دروسًا خصوصية محدودة للصفوف من الروضة حتى الصف الثاني عشر مع مدرسين معتمدين لديهم خبرة واسعة في تدريس الطلاب بنجاح عبر الإنترنت وفي الفصل الدراسي. سواء كان طفلك بحاجة إلى المساعدة في أداء الواجب المنزلي أو التحضير للاختبار ، فإن معلمو MoMath مستعدون للمساعدة. لمزيد من المعلومات ، يرجى إرسال بريد إلكتروني إلى tut[email protected]

    حفلات أعياد الميلاد الآن مع خيار اوريغامي!
    هل تتطلع إلى استضافة حفلة عيد ميلاد فريدة من نوعها عبر الإنترنت مليئة بالمرح الرائع القابل للطي؟ يمكنك أنت وضيوفك استكشاف فن طي الورق الرائع مع خبير في فن الأوريغامي! من خلال اختيارك للأنشطة المخصصة ، يمكن تخصيص الحفلات لجميع الأعمار من الفتيان والفتيات في أعياد الميلاد - بدءًا من الأطفال وحتى البالغين ، بدءًا من الأعمال الفنية الورقية البسيطة إلى المعقدة. تتوفر أيضًا خيارات عيد ميلاد مثيرة أخرى عبر الإنترنت. لمزيد من المعلومات ، يرجى إرسال بريد إلكتروني إلى [email protected]

    الأحداث القادمة

    جلسات كبار: & # 8220Cryptarithmetic & # 8221
    الثلاثاء 6 يوليو ، 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    الحساب ممتع ، لكن الحساب بالحروف أفضل! باستخدام عملية الحذف وبعض المنطق الذكي ، سوف نستكشف الخصائص الأساسية لحساب القاعدة 10 بطريقة فريدة وصعبة. انضم إلينا في CRYPT4R1THM3T1C! لكبار السن / البالغين الناضجين. تعلم المزيد وسجل في seniorsessions.momath.org.

    محبة الرياضياتالقصص والألعاب والضحك في ساعة الأطفال المرحة والمضحكة
    الثلاثاء 6 يوليو ، الساعة 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك) للصفوف من رياض الأطفال وحتى الصف الأول
    الثلاثاء ، 6 يوليو ، الساعة 4:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك) للصفوف 2-3

    انضم إلى الحكواتي الرئيسي ستيف شيرمان لحضور جلسات مثيرة مصممة لرياض الأطفال حتى طلاب الصف الثالث. إذا كان طفلك يحب القصص والألعاب والضحك ، فلا تفوّت هذا الحدث الجامح والغريب! تعلم المزيد وسجل في موقع love.momath.org.

    لقاءات الرياضيات المجانية: & # 8220 هيكل الفضاء: قياس شكل الكون & # 8221 مع ديفيد سبيرجيل (شخصيًا ومتدفق عبر الإنترنت)
    الأربعاء ، 7 تموز (يوليو) ، الساعة 4:00 مساءً والساعة 7:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    هل الكون لانهائي أم محدود؟ هل ستتوسع إلى الأبد أم ستنهار في أزمة كبيرة ساخنة؟ وما هو شكله؟ انضم إلى David Spergel ، مدير مركز الفيزياء الفلكية الحاسوبية ، معهد فلاتيرون ، حيث يقدم الهندسة والطوبولوجيا ، المفاهيم الرياضية المستخدمة للإجابة على هذه الأسئلة. تعلم كيف كشفت ملاحظات خلفية الميكروويف (الحرارة المتبقية من الانفجار العظيم) عن شكل الكون ويمكن أن تساعد في التنبؤ بمصيره. مقدمة خاصة من جانا ليفين ، أستاذة كلير للفيزياء والفلك في كلية بارنارد بجامعة كولومبيا. تعلم المزيد والتسجيل لهذا مجانا حدث في mathencounters.org.

    مجاني للأعضاء اسأل عالم رياضيات - أي شيء!
    الخميس 8 يوليو ، 4:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    هل أردت يومًا أن تسأل عالم رياضيات شيئًا ما ، ربما عن فكرة جديدة غريبة لديك ، أو مفهوم ترغب في فهمه بشكل أفضل؟ لا تعرف من تسأل؟ هنا & # 8217s فرصتك! MoMath & # 8217s 2020-2021 سيستضيف البروفيسور الزائر المتميز أليكس كونتوروفيتش هذه الجلسة عبر الإنترنت لمدة ساعة واحدة. تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في askmath.momath.org.

    جلسات كبار: & # 8220Sensational Puzzles & # 8221
    الجمعة ، 9 تموز (يوليو) ، الساعة 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    اكتشف الألغاز الرياضية التي احتلت العناوين الرئيسية! تعلم كيفية حل الألغاز المذهلة والمثيرة للجدل باستخدام المنطق والاحتمالية ونظرية الرسم البياني الأساسية. طور استراتيجيات حل الألغاز أثناء الغوص في هذه الألغاز الرياضية لصنع الأخبار. تعلم المزيد وسجل في seniorsessions.momath.org.

    الجمعة قابلة للطي
    الجمعة ، 9 تموز (يوليو) ، الساعة 4:30 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    انضم إلى خبيرة الأوريجامي كاثلين شيريدان الجمعة قابلة للطي. هذا الأسبوع ، قم بطي قبعة من Atomu Yamanashi. اكتشف عجائب طي الورق - هناك & # 8217s الرياضيات في كل طية! تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في foldfridays.momath.org.

    أساسيات الجسر: دورة مدتها ستة أسابيع
    أيام الأحد الساعة 2:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    11 و 18 و 25 يوليو
    تم استدعاء Bridge & # 8220 من أكثر ألعاب بطاقات الشراكة شهرة في العالم. & # 8221 إذا كنت تريد دائمًا تعلم اللعب ، فإن MoMath موجود هنا لمساعدتك. انضم إلى American Contract Bridge League (ACBL) مدرس الجسر المعتمد الدكتورة سوزان ج. فيشبين في برنامج مدته ستة أسابيع مصمم لتوضيح الأساسيات لك. لماذا تحظى اللعبة بمثل هذا الجاذبية الواسعة؟ يحفز Bridge كلا جانبي الدماغ ، من استخدام لغة العطاء إلى تطبيق الحساب والاحتمالات والمنطق والاستدلال. انضم إلينا لمدة ستة أسابيع ، واستمتع بممارسة هواية لمدى الحياة! تعلم المزيد وقم بالتسجيل في bridge.momath.org.

    جلسات كبار: & # 8220 استكشافات العرض: Pythagorean Puzzlers & # 8221
    الاثنين 12 يوليو ، 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    تعتبر نظرية فيثاغورس واحدة من أهم النتائج في كل الرياضيات. هناك أكثر من 120 دليلًا هندسيًا معروفًا حاليًا! استكشف البراهين الهندسية في ورشة العمل العملية هذه استنادًا إلى MoMath's جداول الوقت سؤال محير. تعلم المزيد وسجل في seniorsessions.momath.org.

    محبة الرياضياتالقصص والألعاب والضحك في ساعة أطفال مرحة ومضحكة
    الثلاثاء 13 يوليو ، الساعة 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك) للصفوف من رياض الأطفال وحتى الصف الأول
    الثلاثاء 13 يوليو ، الساعة 4:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك) للصفوف 2-3

    انضم إلى الحكواتي الرئيسي ستيف شيرمان لحضور جلسات مثيرة مصممة لرياض الأطفال حتى طلاب الصف الثالث. إذا كان طفلك يحب القصص والألعاب والضحك ، فلا تفوّت هذا الحدث الجامح والغريب! تعلم المزيد وسجل في موقع love.momath.org.

    قابل الفنان (شخصيا!)
    الثلاثاء 13 يوليو ، 6:30 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    قابل الفنان أنطون باكر لمناقشة حية عن فنه وما يلهمه. منذ طفولته في هولندا إلى مسيرته المهنية في مجال التكنولوجيا العالية في الولايات المتحدة ، كان الانبهار بالتقاطع بين الشكل والتكنولوجيا والجمال مصدر إلهام لعمله. لا تفوت فرصتك لمقابلة أنطون شخصيًا والتعرف على رجل عصر النهضة غير العادي هذا. تعلم المزيد وسجل في meetartist.momath.org.

    جلسات كبار: & # 8220 طبولوجيا Tic-Tac-Toe & # 8221
    الخميس 15 يوليو ، الساعة 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    تصبح لعبة tic-tac-toe المألوفة ممتعة وصعبة عند لعبها على أسطح طوبولوجية بديلة.تم تحسين لوحة الألعاب النموذجية 3 × 3 من خلال لصق أزواج من الحواف المعاكسة معًا بطرق مختلفة ، مما يجعل الألعاب أكثر تشويقًا ومساحات اللعب المثيرة للانحناء. يتعلم المشاركون تقدير خصوصيات وعموميات هذه الكائنات الجديدة أثناء تطويرهم لاستراتيجيات لإتقان الألعاب المحسّنة رياضياً. تعلم المزيد وسجل في seniorsessions.momath.org.

    قابل عالم رياضيات: نيكولاس كاتز
    الخميس 15 يوليو ، 4:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    انضم إلى المضيف Alex Kontorovich حيث نجلب ضيوفًا متنوعين وموهوبين إلى مرحلة MoMath لمشاركة تجاربهم وقصصهم وحبهم للرياضيات. هذا الشهر ، قابل نيكولاس كاتز. نيكولاس أستاذ الرياضيات بجامعة برينستون ومحرر جريدة حوليات الرياضيات، واحدة من المجلات الرائدة في هذا المجال. وهو عضو في الأكاديمية الأمريكية للفنون والعلوم والأكاديمية الوطنية للعلوم ، وحاصل على جائزة ليفي إل كونانت من الجمعية الأمريكية للرياضيات ، من بين العديد من الجوائز الأخرى. تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في meetmath.momath.org.

    الجمعة قابلة للطي
    الجمعة ، 16 تموز (يوليو) ، الساعة 4:30 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    انضم إلى خبيرة الأوريجامي كاثلين شيريدان الجمعة قابلة للطي. هذا الأسبوع ، قم بطي ملف مروحة كرين بواسطة هيرومي تاكاجي. اكتشف عجائب طي الورق - هناك & # 8217s الرياضيات في كل طية! تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في foldfridays.momath.org.

    أيام الجمعة العائلية المجانية: & # 8220 اللعب مع أفلاطون & # 8221 مع أليكس كونتوروفيتش
    الجمعة ، 16 يوليو ، 6:30 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    يمكن أن يكون اللعب بالمضلعات العادية (الأشكال من جميع الزوايا متساوية وجميع الجوانب متساوية) متعة كبيرة! هناك مثلثات (ثلاثة جوانب) ، مربعات (أربعة جوانب) ، خماسي (خمسة جوانب) ، سداسيات (ستة جوانب) ... وهكذا ، إلى الأبد. لكن ماذا لو انتقلت إلى البعد الثالث؟ فجأة ، القصة مختلفة بشكل صادم! احصل على بعض أعواد الأسنان ، وقم بتخزين أعشاب من الفصيلة الخبازية ، وربطها في رحلة برية من خلال الانتظام. من يدري ، يمكننا حتى زيارة القليل من الفضاء الزائدي! تعلم المزيد والتسجيل في مجانا في familyfridays.momath.org.

    مهرجان الرياضيات بمدينة نيويورك (على الإنترنت الآن شخصيًا في شهر أغسطس!)
    السبت ، 17 تموز (يوليو) ، الساعة 2:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    يسر MoMath أن تقدم مهرجان الرياضيات السنوي الثاني في مدينة نيويورك عبر الإنترنت. في متناول الجميع في جميع أنحاء العالم ، يوفر عرض MoMath الحصري هذا الجدول الكامل للمشاركة في الجلسات المصغرة. انضم إلى بعض مقدمي MoMath & # 8217 الأكثر شهرة للحصول على سلسلة من الترفيه الرياضي المستمر ، بما في ذلك الألعاب الرياضية والألغاز والمسابقات الذهنية والموسيقى والسحر والمشروعات العملية التي يمكنك القيام بها في المنزل وغير ذلك الكثير - متعة لجميع أفراد العائلة! تعلم المزيد وسجل في nycmathfestival.momath.org.

    توين برايمز، نادي كتاب MoMath للشباب والمراهقين: لعبة Phantom Tollbooth بواسطة نورتون جستر
    الأحد 18 يوليو ، الساعة 5:30 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    تحكي لعبة Phantom Tollbooth قصة صبي صغير يشعر بالملل يُدعى ميلو يتلقى بشكل غير متوقع كشكًا سحريًا لرسوم المرور بعد ظهر أحد الأيام ، وليس لديه ما يفعله أفضل ، يقود سيارته في سيارته اللعبة وينقله إلى مملكة الحكمة. يتتبع الكتاب بطلنا من خلال عالم خيالي مع العديد من التوقفات الرياضية على طول الطريق. مع بيع ما يقرب من خمسة ملايين نسخة بعد 60 عامًا من نشرها الأصلي ، رحبت هذه النسخة الكلاسيكية المحببة بأجيال من القراء في رحلة مع ميلو إلى لاندس بيوند. انضم توين برايمز لمناقشة الكتاب والشروع في هذه الرحلة الرياضية المذهلة. تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في tweenprimes.momath.org.

    غير محدود، برنامج Mix-n-Mingle من MoMath للطلاب في المدارس الإعدادية والثانوية
    الأحد 18 يوليو ، الساعة 6:30 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    يأتي طلاب المدارس المتوسطة والثانوية لقضاء ساعة أو أكثر مع زملائك ، والاستمتاع بالأنشطة الرياضية الشيقة والألعاب الاجتماعية التفاعلية والموسيقى الرائعة ، وكل ذلك بقيادة معلم MoMath ذو الخبرة. تعلم المزيد وقم بالتسجيل في unlimited.momath.org.

    جلسات كبار: “جعل الرياضيات صلبة: رباعي السطوح & # 8221
    الثلاثاء 20 يوليو ، 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    استكشف الهندسة واكتشف البنية الجميلة لمتعددات الوجوه! باستخدام تقنيات الأوريغامي المعيارية التي تتضمن طي أوراق متعددة ، سيقوم المشاركون بإنشاء رباعي السطوح الخاص بهم. جعل الرياضيات صلبة هي سلسلة تركز على متعددات الوجوه المختلفة ، وتسلط الضوء على خصائصها الرائعة. تعلم المزيد وسجل في seniorsessions.momath.org.

    محبة الرياضياتالقصص والألعاب والضحك في ساعة أطفال مرحة ومضحكة
    الثلاثاء 20 يوليو ، الساعة 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك) للصفوف من رياض الأطفال وحتى الصف الأول
    الثلاثاء 20 يوليو ، الساعة 4:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك) للصفوف 2-3

    انضم إلى الحكواتي الرئيسي ستيف شيرمان لحضور جلسات مثيرة مصممة لرياض الأطفال حتى طلاب الصف الثالث. إذا كان طفلك يحب القصص والألعاب والضحك ، فلا تفوّت هذا الحدث الجامح والغريب! تعلم المزيد وسجل في موقع love.momath.org.

    نادي الرياضيات المجاني ،تمرين لعقلك
    الأربعاء ، 21 تموز (يوليو) ، الساعة 3:30 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    يقضي الطلاب ساعة في العمل بشكل مستقل على حل مسائل حسابية جذابة وجميلة ، يتم اختيارها يدويًا من قبل المجلس الاستشاري لطلاب الدكتوراه في الرياضيات التابع لوزارة الرياضيات. اختر التحديات التي تريدها واستكشفها بتوجيه وتوجيه عالم رياضيات خبير. إذا كنت تحب الرياضيات وترغب في تجربة المتعة المذهلة لاكتشاف الرياضيات ، فلن ترغب في تفويت هذا البرنامج الشهري الممتع. تعلم المزيد والتسجيل في مجانا في workout.momath.org.

    رياضيات الموسيقى الهندية
    الخميس ، 22 تموز (يوليو) ، الساعة 6:30 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    انضم إلى البروفيسور الزائر المتميز أليكس كونتوروفيتش ، مع الموسيقيين المشهورين ديب سينغ وفرانك لندن ، لأمسية من الرياضيات والموسيقى ، تضم أصوات وإيقاعات وتناغم الهند الكلاسيكية والحديثة. تعرف على المزيد وسجل في الجلسة عبر الإنترنت أو وجهًا لوجه على mathmusic.momath.org.

    جلسات كبار: & # 8220 استكشافات العرض: ساحة الرياضيات
    الجمعة 23 يوليو ، 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    التفاعلية ساحة الرياضيات الأرضية هي حجر الزاوية في الطابق السفلي للمتحف ، ومن بين برامجه المتنوعة مخطط فورونوي ، الذي ينشئ مضلعات ملونة تحت أقدام الزوار. تعرف على تفاصيل مثيرة حول معرض المتحف هذا وأيضًا كيفية إنشاء مخطط Voronoi الخاص بك. تعلم المزيد وسجل في seniorsessions.momath.org.

    الجمعة قابلة للطي
    الجمعة 23 يوليو ، الساعة 4:30 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    انضم إلى خبيرة الأوريجامي كاثلين شيريدان الجمعة قابلة للطي. هذا الأسبوع ، قم بطي نموذج عمل رائع: دائرة سحرية بواسطة هيروشي كوماساكا. اكتشف عجائب طي الورق - هناك & # 8217s الرياضيات في كل طية! تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في foldfridays.momath.org.

    كريزي كاهوت مع ستيف شيرمان
    السبت 24 يوليو ، الساعة 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    انضم إلى معلم الرياضيات المفضل لدى MoMath & # 8217s ستيف شيرمان للحصول على لعبة مليئة بالمرح العائلي مليئة بمجموعة واسعة من الأسئلة المسلية لجميع الأعمار. هل عائلتك مستعدة لهذا التحدي المفعم بالحيوية ؟! تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في krazy.momath.org.

    جلسات كبار: & # 8220Math in the Corner Pocket & # 8221
    الاثنين 26 يوليو ، 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    استكشف الزوايا وقانون الانعكاس أثناء تتبع مسار كرة البلياردو وهي ترتد عن جدران طاولة البلياردو. استخدم الأنماط لاكتشاف طريقة بسيطة للتنبؤ بالجيب الذي ستهبط فيه الكرة وتعلم كيفية إثبات صحة توقعك. بدأت اللعبة! تعلم المزيد وسجل في seniorsessions.momath.org.

    محبة الرياضياتالقصص والألعاب والضحك في ساعة أطفال مرحة ومضحكة
    الثلاثاء ، 27 يوليو ، الساعة 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك) للصفوف من رياض الأطفال وحتى الصف الأول
    الثلاثاء ، 27 يوليو ، الساعة 4:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك) للصفوف 2-3

    انضم إلى الحكواتي الرئيسي ستيف شيرمان لحضور جلسات مثيرة مصممة لرياض الأطفال حتى طلاب الصف الثالث. إذا كان طفلك يحب القصص والألعاب والضحك ، فلا تفوّت هذا الحدث الجامح والغريب! تعلم المزيد وسجل في موقع love.momath.org.

    جلسات كبار: & # 8220 كسر الرموز & # 8221
    الخميس ، 29 يوليو ، 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    كيف تحافظ أجهزة الكمبيوتر على سرية كلمات المرور الخاصة بك؟ كيف تحمي المواقع الإلكترونية أرقام بطاقتك الائتمانية؟ استكشف الأصفار المضاعفة ، والأكواد المعطلة ، والأرقام الأولية ، وقم بتشفير وفك تشفير رسائلك السرية ، وتعلم كيف يساعد التشفير في حماية معلوماتك الخاصة. تعلم المزيد وسجل في seniorsessions.momath.org.

    الجمعة قابلة للطي
    الجمعة ، 30 تموز (يوليو) ، الساعة 4:30 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    انضم إلى خبيرة الأوريجامي كاثلين شيريدان الجمعة قابلة للطي. هذا الأسبوع ، اطوِ الحلقات الأولمبية الأيقونية. اكتشف عجائب طي الورق - هناك & # 8217s الرياضيات في كل طية! تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في foldfridays.momath.org.

    مجاني للأعضاء حالة توازن، أمسية الكبار من الألعاب الرياضية
    الجمعة ، 30 يوليو ، 7:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    أصبحت الألعاب على الطاولة أكثر متعة من أي وقت مضى! تعال وانضم إلى الأصدقاء القدامى والجدد لقضاء أمسية مليئة بالمرح والكبار تضم مجموعة واسعة من الألعاب الغنية بالرياضيات. استمتع بالكلاسيكيات مثل SET و Connect Four ، والخيارات الحديثة من Ubongo إلى Skiwampus إلى Ricochet Robots ، وحتى لمسة MoMath الخاصة على المفضلة الرياضية مثل Hex و Nim. قم بإعداد وجبة خفيفة ، وسجل الدخول من المنزل ، وتواصل مع أشخاص جدد ومثيرين للاهتمام ، كل ذلك أثناء الاستمتاع بألعاب رياضية فريدة ، يستضيفها متحف الرياضيات الوحيد في البلاد. تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في equilibrium.momath.org.

    جلسات كبار: & # 8220 عدد الأصوات: الترتيب والدبابات & # 8221
    الثلاثاء 3 أغسطس ، 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    قد يبدو التصويت على أحد التفضيلات أمرًا بسيطًا ، ولكن عند وجود خيارات متعددة ، تصبح الرياضيات معقدة! غالبًا ما تؤدي الطرق المختلفة لعد الأصوات إلى فائزين مختلفين. استكشف الرياضيات الكامنة وراء أنظمة عد الأصوات المختلفة وقم بتطوير فهم أعمق لما يعنيه أن يكون النظام منصفًا. تعلم المزيد وسجل في seniorsessions.momath.org.

    محبة الرياضياتالقصص والألعاب والضحك في ساعة أطفال مرحة ومضحكة
    الثلاثاء 3 أغسطس ، الساعة 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك) للصفوف من رياض الأطفال وحتى الصف الأول
    الثلاثاء 3 أغسطس ، 4:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك) للصفوف 2-3

    انضم إلى الحكواتي الرئيسي ستيف شيرمان لحضور جلسات مثيرة مصممة لرياض الأطفال حتى طلاب الصف الثالث. إذا كان طفلك يحب القصص والألعاب والضحك ، فلا تفوّت هذا الحدث الجامح والغريب! تعلم المزيد وسجل في موقع love.momath.org.

    الرياضيات يلتقي دوري البيسبول
    الثلاثاء 3 أغسطس ، 6:30 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    أنهى عالم الرياضيات ماكس إيرمان درجة الدكتوراه في جامعة ييل وشرع في مهنة غير عادية - كباحث في دوري البيسبول الرئيسي في واشنطن. تعال واستمع إلى كل شيء عن هذه المهنة الفريدة التي تجمع بين الرياضيات والرياضة ، بما في ذلك كيف جلبت حلقة بطولة Max a World Series! تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في mlb.momath.org.

    لقاءات الرياضيات المجانية
    الأربعاء 4 أغسطس ، 4:00 مساءً و 7:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    لقاءات الرياضيات هو MoMath & # 8217s شعبية مجانا سلسلة عروض عامة تحتفل بعالم الرياضيات المذهل ، تم إنتاجها بدعم من مؤسسة Simons Foundation. التفاصيل والتسجيل قريبا. تعلم المزيد على mathencounters.org.

    اسأل عالم رياضيات - أي شيء!
    الخميس 5 أغسطس ، 4:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    هل أردت يومًا أن تسأل عالم رياضيات شيئًا ما ، ربما عن فكرة جديدة غريبة لديك ، أو مفهوم ترغب في فهمه بشكل أفضل؟ لا تعرف من تسأل؟ هنا & # 8217s فرصتك! MoMath & # 8217s 2020-2021 سيستضيف البروفيسور الزائر المتميز أليكس كونتوروفيتش هذه الجلسة عبر الإنترنت لمدة ساعة واحدة. تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في askmath.momath.org.

    جلسات كبار: & # 8220 النرد الديناميكي & # 8221
    الجمعة ، 6 أغسطس ، 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    ما هو احتمال دحرجة مبلغ معين بزوج من النرد القياسي؟ اكتشف كيفية تحديد هذا الاحتمال ثم تحدي نفسك لإيجاد طريقة مختلفة لترقيم النرد للحصول على نفس الاحتمالات. تعال ورمي النرد معنا! تعلم المزيد وسجل في seniorsessions.momath.org.

    الجمعة قابلة للطي
    الجمعة ، 6 أغسطس ، 4:30 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    انضم إلى خبيرة الأوريجامي كاثلين شيريدان الجمعة قابلة للطي. اكتشف عجائب طي الورق - هناك & # 8217s الرياضيات في كل طية! تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في foldfridays.momath.org.

    MOVES لقاء
    الأحد 8 أغسطس ، الساعة 3:00 مساءً
    ET (نيويورك)
    تم نقل مؤتمر MOVES - من أغسطس 2021 إلى يناير 2022. ولكن بالنسبة لأولئك الذين كانوا يعقدون تاريخ أغسطس ، انضم إلينا في حدث مثير عبر الإنترنت بعد ظهر يوم 8 أغسطس. يقوم المتحدثون العامون من المؤتمر بتصميم ألغاز وأنشطة لـ تجمع Zoom تعاونيًا واجتماعيًا ، مع "غرفة & # 8221 منفصلة للأطفال. تعلم المزيد وقم بالتسجيل في augustmoves.momath.org.

    جلسات كبار: & # 8220 رقع البلاط & # 8221
    الاثنين 9 أغسطس ، الساعة 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    تعال واكتشف مربعات التكرار الرياضية ، والأشكال الهندسية التي يمكن أن تتراكم في تكرارها. تعرف على معلومات حول القياس والفسيفساء الخاصة والبراهين الرياضية أثناء حل ألغاز المربعات الممتعة. تعلم المزيد وسجل في seniorsessions.momath.org.

    محبة الرياضياتالقصص والألعاب والضحك في ساعة أطفال مرحة ومضحكة
    الثلاثاء 10 أغسطس ، الساعة 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك) للصفوف من رياض الأطفال وحتى الصف الأول
    الثلاثاء 10 أغسطس ، الساعة 4:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك) للصفوف 2-3

    انضم إلى الحكواتي الرئيسي ستيف شيرمان لحضور جلسات مثيرة مصممة لرياض الأطفال حتى طلاب الصف الثالث. إذا كان طفلك يحب القصص والألعاب والضحك ، فلا تفوّت هذا الحدث الجامح والغريب! تعلم المزيد وسجل في موقع love.momath.org.

    قابل الفنان (شخصيا!)
    الثلاثاء 10 أغسطس ، 6:30 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    قابل الفنان أنطون باكر لمناقشة حية عن فنه وما يلهمه. منذ طفولته في هولندا إلى مسيرته المهنية في مجال التكنولوجيا العالية في الولايات المتحدة ، كان الانبهار بالتقاطع بين الشكل والتكنولوجيا والجمال مصدر إلهام لعمله. لا تفوت فرصتك لمقابلة أنطون شخصيًا والتعرف على رجل عصر النهضة غير العادي هذا. تعلم المزيد وسجل في meetartist.momath.org.

    جلسات كبار: & # 8220 عدد الأصوات: التعبئة والتغليف والتكسير & # 8221
    الخميس ، 12 أغسطس ، الساعة 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    احصل على لمحة عن رياضيات الانتخابات من خلال أن تصبح "مشرّعًا" ليوم واحد. استكشف كيفية ترسيم الدوائر الانتخابية ، بما في ذلك "التعبئة" و "التصدع" ومعنى الأصوات الضائعة ، من أجل تحليل نزاهة التمثيل في الانتخابات. تعلم المزيد وسجل في seniorsessions.momath.org.

    قابل عالم رياضيات
    الخميس 12 أغسطس ، 4:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    هل تساءلت يومًا عما يفعله عالم الرياضيات طوال اليوم؟ أو ما الذي جعل المرء يقرر أن يصبح عالم رياضيات؟ أو حتى ، ما الذي يفعله عالم الرياضيات من أجل المتعة؟ قد تتفاجأ ببعض الإجابات! انضم إلى المضيف Alex Kontorovich حيث نجلب ضيوفًا متنوعين وموهوبين إلى مرحلة MoMath لمشاركة تجاربهم وقصصهم وحبهم للرياضيات. تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في meetmath.momath.org.

    مطوية حماقة
    الخميس 12 أغسطس ، 6:30 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    أثناء الانغماس في حماقة محاولة إنشاء شكل مستحيل باستخدام الورق المطوي ، عثرت الفنانة والمعلمة باولا كريج على مرن جديد لا يتغير شكله لفضح الوجوه المخفية فحسب ، بل يخفي ويكشف أيضًا جيوبًا صغيرة ومقابض مجنحة ، مضيفة المزيد البعد لهذا السطح الغامض بالفعل. انضم إلى باولا وهي توضح طريقة الطي الأنيقة بشكل مذهل والمستخدمة لبناء هذه اللعبة الرياضية المرحة ، ثم اصنعها بنفسك مطوية حماقة فليكساجون كتذكار لهذا المساء الجذاب بشكل فريد. التسجيل قريبا. تعرف على المزيد على موقع flexagon.momath.org.

    الجمعة قابلة للطي
    الجمعة ، 13 أغسطس ، الساعة 4:30 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    انضم إلى خبيرة الأوريجامي كاثلين شيريدان الجمعة قابلة للطي. اكتشف عجائب طي الورق - هناك & # 8217s الرياضيات في كل طية! تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في foldfridays.momath.org.

    توين برايمز، نادي كتاب MoMath للشباب والمراهقين: رسم ثلاثي الأبعاد: مقدمةبواسطة فاريت رسام
    الأحد ، 15 أغسطس ، الساعة 5:30 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    هل تساءلت يومًا كيف يصنع فنانو الشوارع تلك الرسومات المذهلة التي تبدو ثلاثية الأبعاد من المنظور الصحيح؟ اتضح أن الجواب هو الرياضيات! أصدر المؤلف والفنان فاريت رسام دليله المنشور ذاتيًا مجانًا على Kindle وشاركه مع MoMath. حتى لو لم ترسم ، ستستمتع بالقصة الرياضية لكيفية ظهور هذه الرسومات. تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في tweenprimes.momath.org.

    غير محدود، برنامج Mix-n-Mingle من MoMath للطلاب في المدارس الإعدادية والثانوية
    الأحد ، 15 أغسطس ، الساعة 6:30 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    يأتي طلاب المدارس المتوسطة والثانوية لقضاء ساعة أو أكثر مع زملائك ، والاستمتاع بالأنشطة الرياضية الشيقة والألعاب الاجتماعية التفاعلية والموسيقى الرائعة ، وكل ذلك بقيادة معلم MoMath ذو الخبرة. تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في unlimited.momath.org.

    جلسات كبار: & # 8220 سحر كسورية & # 8221
    الثلاثاء 17 أغسطس ، الساعة 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    الفركتلات هي كائنات جميلة وغامضة لها خصائص تتحدى القواعد العادية للهندسة ، وغالبًا ما تتكون من نسخ مصغرة متكررة لنفسها. تعرف على أشهر الفركتلات وما يجعلها غير عادية. تعلم المزيد وسجل في seniorsessions.momath.org.

    نادي الرياضيات المجاني ،تمرين لعقلك
    الأربعاء ، 18 أغسطس ، الساعة 3:30 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    يقضي الطلاب ساعة في العمل بشكل مستقل على حل مسائل حسابية جذابة وجميلة ، يتم اختيارها يدويًا من قبل المجلس الاستشاري لطلاب الدكتوراه في الرياضيات التابع لوزارة الرياضيات. اختر التحديات التي تريدها واستكشفها بتوجيه وتوجيه عالم رياضيات خبير. إذا كنت تحب الرياضيات وترغب في تجربة المتعة المذهلة لاكتشاف الرياضيات ، فلن ترغب في تفويت هذا البرنامج الشهري الممتع. تعلم المزيد والتسجيل في مجانا في workout.momath.org.

    جلسات كبار: “جعل الرياضيات صلبة: سداسي الوجوه & # 8221
    الجمعة ، 20 آب (أغسطس) ، الساعة 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    استكشف الهندسة واكتشف البنية الجميلة لمتعددات الوجوه! باستخدام تقنيات الأوريغامي المعيارية التي تتضمن طي عدة أوراق ، سيقوم كل مشارك بإنشاء سداسي السطوح الخاص به. جعل الرياضيات صلبة هي سلسلة تركز على متعددات الوجوه المختلفة ، وتسلط الضوء على خصائصها الرائعة. تعلم المزيد وسجل في seniorsessions.momath.org.

    الجمعة قابلة للطي
    الجمعة ، 20 أغسطس ، الساعة 4:30 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    انضم إلى خبيرة الأوريجامي كاثلين شيريدان الجمعة قابلة للطي. اكتشف عجائب طي الورق - هناك & # 8217s الرياضيات في كل طية! تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في foldfridays.momath.org.

    جلسات كبار: & # 8220 عدد الأصوات: برج القوة & # 8221
    الاثنين 23 أغسطس ، الساعة 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    اكتشف الطرق المختلفة التي يمكن من خلالها توزيع السلطة في أنظمة التصويت المرجحة. هذه الأنظمة هي تلك التي تمتلك فيها المجموعات المختلفة كميات مختلفة من الأصوات ، مثل وفود المقاطعات واللجان الحكومية وحتى الهيئة الانتخابية في الولايات المتحدة.هل يجب أن يكون لأكبر عدد من السكان أكبر قوة؟ هل يجب أن يكون للمجموعات الأصغر صوت؟ تعد الإجابة على هذه الأسئلة أكثر تعقيدًا بكثير من قاعدة الأغلبية البسيطة ، ولكن لا تخف ، يوفر التحليل الرياضي الحديث عدسة مفيدة يمكن من خلالها تحليل قوة التصويت غير المتوازنة. تعلم المزيد وسجل في seniorsessions.momath.org.

    جلسات كبار: “جعل الرياضيات صلبة: Octahedron & # 8221
    الخميس 26 أغسطس ، الساعة 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    استكشف الهندسة واكتشف البنية الجميلة لمتعددات الوجوه! باستخدام تقنيات الأوريغامي المعيارية التي تتضمن طي أوراق متعددة ، سيُنشئ كل مشارك مثمن السطوح الخاص به. جعل الرياضيات صلبة هي سلسلة تركز على متعددات الوجوه المختلفة ، وتسلط الضوء على خصائصها الرائعة. تعلم المزيد وسجل في seniorsessions.momath.org.

    الجمعة قابلة للطي
    الجمعة ، 27 أغسطس ، الساعة 4:30 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    انضم إلى خبيرة الأوريجامي كاثلين شيريدان الجمعة قابلة للطي. اكتشف عجائب طي الورق - هناك & # 8217s الرياضيات في كل طية! تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في foldfridays.momath.org.

    حالة توازن، أمسية الكبار من الألعاب الرياضية
    الجمعة ، 27 أغسطس ، 7:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    أصبحت الألعاب على الطاولة أكثر متعة من أي وقت مضى! تعال وانضم إلى الأصدقاء القدامى والجدد لقضاء أمسية مليئة بالمرح والكبار تضم مجموعة واسعة من الألعاب الغنية بالرياضيات. استمتع بالكلاسيكيات مثل SET و Connect Four ، والخيارات الحديثة من Ubongo إلى Skiwampus إلى Ricochet Robots ، وحتى لمسة MoMath الخاصة على المفضلة الرياضية مثل Hex و Nim. قم بإعداد وجبة خفيفة ، وسجل الدخول من المنزل ، وتواصل مع أشخاص جدد ومثيرين للاهتمام ، كل ذلك أثناء الاستمتاع بألعاب رياضية فريدة ، يستضيفها متحف الرياضيات الوحيد في البلاد. تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في equilibrium.momath.org.

    جلسات كبار: & # 8220 ألواح الشطرنج والدومينو & # 8221
    الثلاثاء ، 31 آب (أغسطس) ، الساعة 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)

    ما الأشكال التي يمكنك وضعها معًا لتغطية رقعة الشطرنج؟ الدومينو؟ ترومينوز؟ تعرف على البراهين الرياضية أثناء استكشاف أنماط الأرقام الفردية والزوجية وتجربة الدومينو وألواح الشطرنج الحقيقية. تعلم المزيد وسجل في seniorsessions.momath.org.

    لقاءات الرياضيات المجانية
    الأربعاء ، 1 سبتمبر ، 4:00 مساءً و 7:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك)
    لقاءات الرياضيات هو MoMath & # 8217s شعبية مجانا سلسلة عروض عامة تحتفل بعالم الرياضيات المذهل ، تم إنتاجها بدعم من مؤسسة Simons Foundation. التفاصيل والتسجيل قريبا. تعلم المزيد على mathencounters.org.

    MATRIX x IMAGINARY Online Gathering
    الأربعاء 8 سبتمبر حتى الخميس 9 سبتمبر 2021, من 10:00 صباحًا إلى 3:00 مساءً بالتوقيت الشرقي (نيويورك) كل يوم
    يسر MoMath أن تعلن عن انضمامها إلى معهد Henri Poincaré وفريق IMAGINARY لتقديم MATRIX x IMAGINARY 2021. سيكون ملتقى MATRIX x IMAGINARY عبر الإنترنت تمهيدًا لمؤتمر مادي في باريس في أبريل 2022. التسجيل قريبًا. تعرف على المزيد على matrix.momath.org.

    التحركات: & # 8220 سحر الألغاز & # 8221
    الجمعة 14 يناير حتى الأحد 16 يناير 2022

    سيضم المؤتمر الخامس MOVES (رياضيات مختلف الموضوعات الترفيهية) ، الذي تستضيفه MoMath وبرعاية Two Sigma ، مجموعة رائعة من المتحدثين الرئيسيين ، بما في ذلك Scott Kim و Maki Kaji و Tanya Khovanova و Oskar van Deventer و Peter Winkler. من المقرر الآن عقد المؤتمر شخصيًا في 15 يناير و 16 يناير ، مع حفل استقبال افتتاحي في MoMath مساء يوم 14 يناير. لمعرفة المزيد عن MOVES ، أو التسجيل في الاجتماع ، أو تقديم حديث أو نشاط ، من فضلك قم بزيارة move.momath.org.

    مؤتمر MATRIX x IMAGINARY في باريس
    من الاثنين 4 أبريل إلى الأربعاء 6 أبريل 2022
    يسر MoMath أن تعلن أنها تتعاون مع معهد Henri Poincaré وفريق IMAGINARY لتقديم MATRIX x IMAGINARY 2021. حدد التقويمات الخاصة بك الآن لمدة ثلاثة أيام من المشاركة والتواصل والتعلم بينما نجتمع في مؤتمر MATRIX الرابع الذي يعقد كل سنتين في باريس. التسجيل قريبا. تعرف على المزيد على matrix.momath.org.

    توقعات - وجهات نظر: البرنامج التطوعي للكلية الصيفية MoMath
    كل صيف ، يقدم MoMath توقعات - وجهات نظر، برنامج تطوعي للطلاب الجامعيين. الطلاب الذين يكملون توقعات - وجهات نظر اكتساب مستوى قوي من المعرفة والخبرة فيما يتطلبه الأمر لتشغيل عمل تجاري ناجح ، بالإضافة إلى التعرف على مجموعة متنوعة من البرامج والمحاضرات والأشخاص الشيقة. الالتزام المتوقع هو خمسة أيام في الأسبوع لمدة ثمانية إلى اثني عشر أسبوعًا ، ويتضمن عادةً مهام في أرضية المتحف وفي متجر البيع بالتجزئة وفي المكتب الإداري لـ MoMath. توقعات - وجهات نظر هو برنامج تطوعي غير مدفوع الأجر. تقبل MoMath حاليًا الطلبات لصيف 2021 وستقبل المرشحين على أساس دوري. تعرف على المزيد وقم بالتقديم على Persectives.momath.org.

    التكامل: برنامج المتطوعين في المدرسة الثانوية MoMath
    تقبل MoMath عددًا محدودًا من طلاب المدارس الثانوية للقيام بأدوار تطوعية مستمرة خلال العطلة الصيفية و / أو العام الدراسي. ال التكامل يقدم البرنامج فرصة فريدة لتحسين مهارات التعامل مع الآخرين والتواصل ، واستكشاف المفاهيم الرياضية ، وتعلم مهارات وظيفية قيمة. يتفاعل طلاب MoMath مع الزوار (في أرضية المتحف أو عبر الإنترنت) ويتدربون مع المعلمين والمترجمين الفوريين والمديرين المحترفين. الطلاب الذين يشاركون خلال الإجازة الصيفية يلتزمون بخمسة أيام في الأسبوع. خلال العام الدراسي ، تتطلب هذه الفرصة التزامًا تقريبًا بيوم واحد في الأسبوع ، عادةً يوم السبت أو الأحد ، من سبتمبر حتى يونيو. تقدم الآن لصيف 2021 (عبر الإنترنت و / أو شخصيًا) أو العام الدراسي 2021-2022. سيتم قبول الطلبات على أساس متجدد. تعلم المزيد وتقدم على موقع Volunteers.momath.org.

    البدائل: معلم (بدوام جزئي) وبديل (لكل يوم) مناصب متاحة
    إذا كنت تستمتع بمرونة وسرعة التعليم اليومي في الفصول الدراسية ، ففكر في التقدم إلى برنامج المعلم البديل MoMath & # 8217s ، البدائل. تبحث MoMath عن مدرسين بدلاء متحمسين وذوي خبرة يمكنهم إشراك غرفة مليئة بالطلاب ومشاركة حبهم لإثراء الرياضيات - يتم توفير التدريب! يوفر هذا البرنامج جدولة مرنة لاستيعاب احتياجاتك ، والأجور التنافسية ، وإمكانية المشاركة المنتظمة. تعرف على المزيد حول مناصب المعلم وتقدم على موقع jobs.momath.org.

    برامج عطلة نهاية الأسبوع للعائلات
    قم بجولة مع MoMath & # 8217s المشتقات برنامج (derivatives.momath.org) أو انضم إلى أحد المعلمين المدربين خصيصًا لـ MoMath & # 8217s في الاستكشافات، وهي تجربة فصول دراسية عملية لاكتشاف عجائب الرياضيات (explorations.momath.org). لا تفوت فرصتك في رؤية الرياضيات في ضوء جديد تمامًا ، فقط في MoMath.

    الملخصات: برنامج التعليم المنزلي MoMath & # 8217s
    يمكن لطلاب Homeschool تجربة الإثارة في رحلة ميدانية MoMath! مع ال الملخصات في البرنامج ، يمكن للمدرسين المنزليين قضاء فترة ما بعد الظهيرة في تعلم الرياضيات وراء MoMath & # 8217s من خلال المشاركة في المعارض التفاعلية أو المشاركة في تجربة الفصل الاستكشافية العملية جنبًا إلى جنب مع عائلات التعليم المنزلي الأخرى. تعرف على المزيد على Summations.momath.org.

    الأحداث وحفلات أعياد الميلاد والمزيد
    هل تتطلع إلى استضافة حدث فريد من نوعه حيث يمكن لضيوفك التفاعل مع أكثر من 40 معرضًا جذابًا؟ أدخل عالمًا من المؤامرات الرياضية ، ولكن لا تقلق: وسط كل هذا النشاط ، هناك مساحة كبيرة لحفلات العشاء الجديرة بالاحتفال ، وحفلات أعياد الميلاد الرائعة ، وحفلات القطع بالليزر ، وحفلات البار / الخفافيش. من كان يعلم أن الرياضيات يمكن أن تكون بهذا القدر من المرح؟ لمزيد من المعلومات ، قم بإرسال بريد إلكتروني إلى [email protected]

    الزيارات المدرسية والجماعية
    لدى MoMath أكثر من عشرة برامج رائعة ، من تلوين الرسوم البيانية إلى فرق موبيوس ، للمجموعات المدرسية التي تزور المتحف ، شخصيًا وعبر الإنترنت. أحضر طلابك إلى MoMath - افتراضيًا! - لإلقاء نظرة خاطفة على عالم الرياضيات المثير ، ومعرفة سبب حب الطلاب والمعلمين من جميع الأعمار للمتحف. تعرف على المزيد وقم بالتسجيل في fieldtrips.momath.org.

    رحلات مجانية لمدارس العنوان الأول
    بفضل مساهمات الأفراد والمنظمات بما في ذلك Adams & amp Company و Con Edison و The Scripps Family Fund for Education and the Arts و Two Sigma وأعضاء مجلس مدينة نيويورك مارك ليفين (المنطقة السابعة) وكارولينا ريفيرا (المنطقة الثانية) ، بالإضافة إلى العديد من السخية أصدقاء MoMath ، يتوفر الآن الدعم لمدارس Title I. هذا البرنامج مدعوم جزئيًا بالأموال العامة من إدارة الشؤون الثقافية بمدينة نيويورك بالشراكة مع مجلس المدينة. للتقدم بطلب للحصول على مجانا رحلة (عبر الإنترنت) خلال العام الدراسي 2020-2021 ، قم بزيارة titleone.momath.org. مهتم برعاية رحلة ميدانية؟ Email [email protected]

    الرياضيات الجميلة
    تعرف على ما يعتقده علماء الرياضيات أنه جميل في الرياضيات على الموقع beautiful.momath.org.

    انشروا كلمة MoMath
    مثل MoMath؟ دع العالم يعرف! شارك بتعليقاتك على:


    شاهد الفيديو: القطوع المخروطية - القطع المكافئ - بند 1-7 - المحاضرة الأولى (كانون الثاني 2022).