مقالات

9.6: حل التطبيقات مع المعادلات المنطقية


أهداف التعلم

  • حل النسب
  • حل تطبيقات الشكل المتشابهة
  • حل تطبيقات الحركة الموحدة
  • حل تطبيقات العمل
  • حل مسائل الاختلاف المباشر
  • حل مسائل التباين العكسي

كن مستعدا

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

    مثال 2.2.13. مثال 2.5.13. مثال 2.2.9.

حل النسب

عندما يتساوى تعبيران منطقيان ، فإن المعادلة المتعلقة بهما تسمى أ حجم.

حجم

النسبة هي معادلة بالصيغة ( dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} ) ، حيث (b neq 0، d neq 0 ).

تتم قراءة النسبة " (أ ) إلى (ب ) مثل (ج ) إلى (د )."

المعادلة ( dfrac {1} {2} = dfrac {4} {8} ) هي نسبة لأن الكسرين متساويين. تتم قراءة النسبة ( dfrac {1} {2} = dfrac {4} {8} ) "1 إلى 2 مثل 4 إلى 8."

نظرًا لأن النسبة هي معادلة ذات تعبيرات عقلانية ، فسنحل النسب بنفس الطريقة التي حلنا بها المعادلات المنطقية. سنضرب طرفي المعادلة في شاشة LCD لمسح الكسور ثم حل المعادلة الناتجة.

مثال ( PageIndex {1} )

حل: ( dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} ).

حل

[ dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} ، quad n neq-14 nonumber ]

اضرب كلا الجانبين بواسطة LCD.

[7 (n + 14) left ( dfrac {n} {n + 14} right) = 7 (n + 14) left ( dfrac {5} {7} right) nonumber ]

إزالة العوامل المشتركة من كل جانب.

[7 n = 5 (n + 14) بلا رقم ]

تبسيط.

[7 n = 5 n + 70 non number ]

حل من أجل (n ).

[ start {align} 2n & = 70 n & = 35 end {align} nonumber ]

الشيك.

[ dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} nonumber ]

البديل (n = 35 )

[ dfrac {35} {35 + 14} overet {؟} {=} dfrac {5} {7} nonumber ]

تبسيط.

[ dfrac {35} {49} overset {؟} {=} dfrac {5} {7} nonumber ]

اعرض العوامل المشتركة.

[ dfrac {5 cdot 7} {7 cdot 7} overset {؟} {=} dfrac {5} {7} nonumber ]

تبسيط.

[ dfrac {5} {7} = dfrac {5} {7} ؛ الجذور غير العدد ]

تمرين ( PageIndex {1} )

حل النسبة: ( dfrac {y} {y + 55} = dfrac {3} {8} ).

إجابه

(ص = 33 )

تمرين ( PageIndex {2} )

حل النسبة: ( dfrac {z} {z-84} = - dfrac {1} {5} ).

إجابه

(ض = 14 )

لاحظ في المثال الأخير أنه عندما قمنا بمسح الكسور عن طريق الضرب في شاشة LCD ، فإن النتيجة هي نفسها كما لو كنا قد قمنا بالضرب التبادلي.

[ start {align} dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} quad quad quad dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7 } 7 (n + 14) left ( dfrac {n} {n + 14} right) = 7 (n + 14) left ( dfrac {5} {7} right) quad quad quad dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} 7n = 5 (n + 14) quad quad quad 7n = 5 (n + 14) end {align} لا يوجد رقم ]

لأي نسبة ، ( dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} ) ، نحصل على نفس النتيجة عندما نزيل الكسور عن طريق الضرب في شاشة LCD كما هو الحال عند الضرب التبادلي.

[ start {align} dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} quad quad quad dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} bd left ( dfrac {a} {b} = frac {c} {d} right) bd quad quad quad frac {a} {b} = frac {c} {d} ad = bc quad quad quad ad = bc end {align} nonumber ]

لحل التطبيقات ذات النسب ، سوف نتبع استراتيجيتنا المعتادة لحل التطبيقات ولكن عندما نقوم بإعداد النسبة ، يجب أن نتأكد من صحة الوحدات - يجب أن تتطابق الوحدات الموجودة في البسط مع بعضها البعض ويجب أيضًا أن تتطابق الوحدات الموجودة في المقامات تطابق بعضها البعض.

عندما يصف أطباء الأطفال عقار الاسيتامينوفين للأطفال ، فإنهم يصفون 5 مليلتر (مل) من الأسيتامينوفين لكل 25 رطلاً من وزن الطفل. إذا كان وزن زوي 80 رطلاً ، فكم عدد المليلتر من عقار الاسيتامينوفين الذي سيصفه طبيبها؟

حل

حدد ما يطلب منا إيجاده ، واختر متغيرًا لتمثيله.

كم مل من عقار الاسيتامينوفين سيصفه الطبيب؟

دع (أ = مل ) من عقار الاسيتامينوفين.

اكتب جملة تعطي المعلومات لإيجادها.

إذا تم وصف 5 مل لكل 25 جنيها ، فكم سيتم وصفها مقابل 80 جنيها؟

ترجم إلى نسبة — كن حذرًا من الوحدات.

الخطوة 1. اكتب المتباينة في صورة خارج القسمة على اليسار وصفر على اليمين. لدينا عدم المساواة في هذا الشكل.

[ dfrac {x-1} {x + 3} geq 0 nonumber ]

الخطوة 2. حدد النقاط الحرجة - النقاط التي يكون فيها التعبير المنطقي صفرًا أو غير معرّف.

سيكون المقدار المنطقي صفرًا عندما يكون البسط صفرًا. بما أن (x-1 = 0 ) عندما (x = 1 ) ، فإن 1 هي نقطة حرجة. سيكون المقدار المنطقي غير معرّف عندما يكون المقام صفرًا. بما أن (x + 3 = 0 ) عندما (x = -3 ) ، فإن -3 هي نقطة حرجة.

الخطوه 3. استخدم النقاط الحرجة لتقسيم خط الأعداد إلى فترات.

الخطوة 4. فوق خط الأعداد تظهر علامة كل عامل من عوامل التعبير المنطقي في كل فترة. تظهر أسفل خط الأعداد علامة حاصل القسمة.

استخدم القيم في كل فترة لتحديد قيمة كل عامل في الفترة. في الفاصل الزمني (-3،1) ، يعد الصفر قيمة جيدة للاختبار. على سبيل المثال ، عندما (x = 0 ) ثم (x-1 = -1 ) و (x + 3 = 3 ) يتم تمييز العامل (x-1 ) بالسالب و (x + 3) ) تم وضع علامة إيجابية. نظرًا لأن سالب مقسومًا على موجب هو سالب ، يتم تمييز حاصل القسمة بالسالب في تلك الفترة.

الخطوة الخامسة. حدد الفترات التي تكون فيها المتباينة صحيحة. اكتب الحل في تدوين الفترة.

نريد أن يكون حاصل القسمة أكبر من أو يساوي صفرًا ، لذا فإن الأرقام في الفترات ((- infty ، -3) ) و ((1 ، infty) ) هي حلول. نظرًا لأنه يجب استبعاد 3 لأنه يجعل التعبير المنطقي 0 ، فلا يمكننا تضمينه في الحل. يمكننا تضمين 1 في حلنا.

[(- infty، -3) كوب [1، infty) غير عدد ]

اضرب كلا الجانبين في LCD ، 400. احذف العوامل المشتركة من كلا الجانبين. بسّط ، لكن لا تضرب في الجهة اليسرى. لاحظ الخطوة التالية.

[16 cdot 5 = 5 أ بلا رقم ]

حل من أجل (أ ).

[ start {align} dfrac {16 cdot 5} {5} & = dfrac {5 a} {5} 16 & = a end {align} nonumber ]

الشيك. هل الجواب معقول؟ اكتب جملة كاملة.

سيصف طبيب الأطفال 16 مل من عقار الاسيتامينوفين لـ Zoe.

تمرين ( PageIndex {3} )

يصف أطباء الأطفال 5 مليلتر (مل) من عقار الاسيتامينوفين لكل 25 رطلاً من وزن الطفل. كم مليلتر من عقار الاسيتامينوفين سيصفه الطبيب لإميليا التي تزن 60 رطلاً؟

إجابه

سيصف طبيب الأطفال 12 مل من عقار الاسيتامينوفين لإميليا.

تمرين ( PageIndex {4} )

لكل 1 كيلوغرام من وزن الطفل ، يصف أطباء الأطفال 15 ملليجرام (مجم) من مخفضات الحمى. إذا كان وزن إيزابيلا 12 كجم ، فكم ملليغرام من خافض الحمى سيصفه طبيب الأطفال؟

إجابه

سيصف طبيب الأطفال إيزابيلا 180 ملغ من خافض الحرارة.

حل تطبيقات الشكل المتشابهة

عندما تقوم بتقليص أو تكبير صورة على هاتف أو جهاز لوحي ، أو اكتشاف مسافة على خريطة ، أو استخدام نمط لبناء خزانة كتب أو خياطة فستان ، فأنت تعمل بأشكال متشابهة. إذا كان شكلان لهما نفس الشكل تمامًا ، لكنهما يختلفان في الحجم ، فيقال إنهما متشابهان. واحد هو نموذج مصغر للآخر. جميع الزوايا المتناظرة لها نفس المقاييس وأضلاعها المقابلة لها نفس النسبة.

أرقام متشابهة

يتشابه شكلان إذا كانت قياسات زواياهما المتناظرة متساوية وكانت الأضلاع المتناظرة لها نفس النسبة.

على سبيل المثال ، المثلثان في الشكل أدناه متشابهان. كل جانب من ( Delta ABC ) يساوي أربعة أضعاف طول الجانب المقابل لـ ( Delta XYZ ).

يتلخص هذا في خاصية المثلثات المتشابهة.

خاصية المثلثات المتشابهة

إذا كان ( Delta ABC ) مشابهًا لـ ( Delta XYZ ) ، فسيكون قياس الزاوية المقابل متساويًا ولأضلاعهما المقابلة نفس النسبة.

لحل التطبيقات ذات الأرقام المتشابهة ، سوف نتبع إستراتيجية حل المشكلات للتطبيقات الهندسية التي استخدمناها سابقًا.

مثال ( PageIndex {3} )

على الخريطة ، تشكل سان فرانسيسكو ولاس فيغاس ولوس أنجلوس مثلثًا. المسافة بين المدن تقاس بالبوصة. يمثل الشكل الموجود على اليسار أدناه المثلث الذي شكلته المدن على الخريطة. إذا كانت المسافة الفعلية من لوس أنجلوس إلى لاس فيغاس هي 270 ميلاً ، فأوجد المسافة من لوس أنجلوس إلى سان فرانسيسكو.

حل

نظرًا لأن المثلثات متشابهة ، فإن الأضلاع المتناظرة متناسبة.

يقرأ المشكلة. ارسم الأشكال وقم بتسميتها بالمعلومات المقدمة. الأرقام موضحة أعلاه.

تحديد ما نبحث عنه: المسافة الفعلية من لوس أنجلوس إلى سان فرانسيسكو

اسم المتغيرات: اسمحوا (س ) = المسافة من لوس أنجلوس إلى سان فرانسيسكو.

يترجم في معادلة. بما أن المثلثات متشابهة ، فإن الأضلاع المتناظرة متناسبة. سنجعل البسط "أميال" والمقام "بوصة".

[$ dfrac {x text {miles}} {1.3 text {inches}} = dfrac {270 text {miles}} {1 text {inch}} $ nonumber ]

يحل المعادلة.

[ begin {align} 1.3 left ( dfrac {x} {1.3} right) & = 1.3 left ( dfrac {270} {1} right) x & = 351 end {align} لا يوجد رقم ]

الشيك. المسافة من لوس أنجلوس إلى سان فرانسيسكو على الخريطة هي أكثر من المسافة من لوس أنجلوس إلى لاس فيغاس. نظرًا لأن 351 أكثر من 270 ، فإن الإجابة منطقية.

تحقق من (x = 351 ) في النسبة الأصلية. استخدم الآلة الحاسبة.

[ start {align} dfrac {x text {miles}} {1.3 text {inches}} & = dfrac {270 text {miles}} {1 text {inch}} dfrac { 351 text {miles}} {1.3 text {inches}} & overet {؟} {=} dfrac {270 text {miles}} {1 text {inch}} dfrac {270 text {miles}} {1 text {inch}} & = dfrac {270 text {miles}} {1 text {inch}} surd end {align} nonumber ]

إجابه السؤال: المسافة من لوس أنجلوس إلى سان فرانسيسكو 351 ميلاً.

على الخريطة ، تشكل سياتل وبورتلاند وبويز مثلثًا. المسافة الفعلية من سياتل إلى بويسي 400 ميل.

تمرين ( PageIndex {5} )

أوجد المسافة الفعلية من سياتل إلى بورتلاند.

إجابه

المسافة 150 ميلا.

تمرين ( PageIndex {6} )

أوجد المسافة الفعلية من بورتلاند إلى بويز.

إجابه

المسافة 350 ميلا.

يمكننا استخدام أرقام متشابهة لإيجاد ارتفاعات لا يمكننا قياسها بشكل مباشر.

مثال ( PageIndex {4} )

يبلغ طول تايلر 6 أقدام. في وقت متأخر من بعد ظهر أحد الأيام ، كان طول ظله 8 أقدام. في الوقت نفسه ، كان طول ظل الشجرة 24 قدمًا. أوجد ارتفاع الشجرة.

حل

اقرأ المشكلة وارسم شكلاً. نحن نبحث عن ارتفاع الشجرة.

سنستخدم مثلثات متشابهة لكتابة معادلة. المثلث الصغير يشبه المثلث الكبير.

[ dfrac {h} {24} = dfrac {6} {8} nonumber ]

حل النسبة.

[ start {align} 24 left ( dfrac {6} {8} right) & = 24 left ( dfrac {h} {24} right) 18 & = h end {align} لا يوجد رقم ]

تبسيط. الشيك.

ارتفاع تايلر أقل من طول ظله ، لذا فمن المنطقي أن يكون ارتفاع الشجرة أقل من طول ظلها. تحقق من (ح = 18 ) في النسبة الأصلية.

[ begin {align} & dfrac {6} {8} = dfrac {h} {24} & dfrac {6} {8} overset {؟} {=} dfrac {18} { 24} & dfrac {3} {4} = dfrac {3} {4} surd end {align} nonumber ]

تمرين ( PageIndex {7} )

عمود الهاتف يلقي بظلاله بطول 50 قدمًا. في الجوار ، هناك إشارة مرور طولها 8 أقدام تلقي بظلالها التي يبلغ طولها 10 أقدام. كم يبلغ ارتفاع عمود الهاتف؟

إجابه

يبلغ ارتفاع عمود الهاتف 40 قدمًا.

تمرين ( PageIndex {8} )

تلقي شجرة الصنوبر بظلالها على ارتفاع 80 قدمًا بجوار مبنى يبلغ ارتفاعه 30 قدمًا يلقي بظلاله على ارتفاع 40 قدمًا. كم يبلغ ارتفاع شجرة الصنوبر؟

إجابه

يبلغ طول شجرة الصنوبر 60 قدمًا.

حل تطبيقات الحركة الموحدة

لقد حللنا مشاكل الحركة الموحدة باستخدام الصيغة (D = r t ) في الفصول السابقة. استخدمنا جدولًا مثل الجدول أدناه لتنظيم المعلومات وقيادتنا إلى المعادلة.

معدل ( cdot ) الوقت = المسافة

تفترض الصيغة (D = r t ) أننا نعرف (r ) و (t ) ونستخدمها لإيجاد (D ). إذا علمنا (D ) و (r ) وأردنا إيجاد (t ) ، فسنحل معادلة (t ) ونحصل على الصيغة (t = dfrac {D} {r } ).

لقد أوضحنا أيضًا كيف يؤثر الطيران مع الريح أو عكسها على سرعة الطائرة. سنعيد النظر في هذه الفكرة في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {5} )

يمكن للطائرة أن تطير 200 ميل في سرعة 30 ميل في الساعة في نفس الوقت الذي تستغرقه للطيران 300 ميل مع رياح خلفية 30 ميل في الساعة. ما هي سرعة الطائرة؟

حل

هذه حالة حركة موحدة. سيساعدنا الرسم التخطيطي على تصور الموقف.

نقوم بملء المخطط لتنظيم المعلومات.

نحن نبحث عن سرعة الطائرة. دع (r ) = سرعة الطائرة.

عندما تطير الطائرة مع الريح ، تزيد الرياح من سرعتها وبالتالي يكون المعدل (r + 30 ).

عندما تطير الطائرة عكس الريح ، تقل سرعتها وتكون السرعة (ص - 30 ).

اكتب في الأسعار. اكتب في المسافات. منذ (D = r cdot t ) ، قمنا بالحل من أجل (t ) والحصول على (t = dfrac {D} {r} ). نقسم المسافة على المعدل في كل صف ، ونضع التعبير في عمود الوقت.

معدل ( cdot ) الوقت = المسافة
رياح معاكسة (ص -30 ) ( dfrac {200} {r-30} )200
الريح الخلفية (ص + 30 ) ( dfrac {300} {r + 30} )300

نعلم أن الأوقات متساوية ، لذا نكتب المعادلة.

[ dfrac {200} {r-30} = dfrac {300} {r + 30} nonumber ]

نضرب كلا الجانبين في شاشة LCD.

[(r + 30) (r-30) يسار ( frac {200} {r-30} يمين) = (r + 30) (r-30) يسار ( frac {300} {r + 30} right) nonumber ]

بسّط وحل.

[ start {align} (r + 30) (200) & = (r-30) 300 200 r + 6000 & = 300 r-9000 15000 & = 100 r end {align} nonumber ]

الشيك.

هل (150 mathrm {mph} ) سرعة معقولة للطائرة؟ نعم. إذا كانت الطائرة تسافر (150 mathrm {mph} ) وكانت الرياح (30 mathrm {mph} ) ،

[ text {Tailwind} quad 150 + 30 = 180 mathrm {mph} quad dfrac {300} {180} = dfrac {5} {3} text {hours} nonumber ]

[ text {Headwind} 150-30 = 120 mathrm {mph} dfrac {200} {120} = dfrac {5} {3} text {hours} nonumber ]

الأوقات متساوية ، لذلك يتحقق. كانت الطائرة مسافرة (150 mathrm {mph} ).

تمرين ( PageIndex {9} )

يمكن لـ Link ركوب دراجته 20 ميلاً في رياح معاكسة تبلغ 3 أميال في الساعة في نفس الوقت الذي يمكنه فيه ركوب 30 ميلاً مع رياح خلفية تبلغ 3 أميال في الساعة. ما هي سرعة ركوب الدراجات في Link؟

إجابه

سرعة ركوب الدراجات في Link هي 15 ميلاً في الساعة.

تمرين ( PageIndex {10} )

يمكن لدانيكا أن تبحر بقاربها مسافة 5 أميال في سرعة 7 أميال في الساعة في نفس الوقت الذي تستطيع فيه الإبحار 12 ميلاً مع رياح خلفية تبلغ 7 أميال في الساعة ما هي سرعة قارب دانيكا بدون ريح؟

إجابه

سرعة قارب دانيكا 17 ميلاً في الساعة.

في المثال التالي ، سنعرف الوقت الإجمالي الناتج عن السفر مسافات مختلفة بسرعات مختلفة.

مثال ( PageIndex {6} )

تدربت جزمين لمدة 3 ساعات يوم السبت. ركضت 8 أميال ثم قطعت دراجة 24 ميلا. سرعة ركوب دراجتها أسرع بـ 4 ميل في الساعة من سرعة ركضها. ما هي سرعتها في الجري؟

حل

هذه حالة حركة موحدة. سيساعدنا الرسم التخطيطي على تصور الموقف.

نقوم بملء المخطط لتنظيم المعلومات. نحن نبحث عن سرعة تشغيل Jazmine. دعونا (r ) = سرعة تشغيل Jazmine.

سرعة ركوب دراجتها أسرع بـ 4 أميال من سرعة ركضها. (r + 4 ) = سرعة ركوب الدراجة

تم إعطاء المسافات ، أدخلها في المخطط. منذ (D = r cdot t ) ، قمنا بالحل من أجل (t ) والحصول على (t = dfrac {D} {r} ).نقسم المسافة على المعدل في كل صف ، ونضع التعبير في عمود الوقت.

معدل ( cdot ) الوقت = المسافة
يركض (ص ) ( dfrac {8} {r} )8
دراجة هوائية (ص + 4 ) ( dfrac {24} {r + 4} )24
3

اكتب جملة كلمة: وقتها بالإضافة إلى وقت ركوب الدراجة 3 ساعات.

ترجم الجملة للحصول على المعادلة.

[ dfrac {8} {r} + dfrac {24} {r + 4} = 3 nonumber ]

يحل.

[ ابدأ {محاذاة}
r (r + 4) left ( dfrac {8} {r} + dfrac {24} {r + 4} right) & = 3 cdot r (r + 4)
8 (ص + 4) +24 ص & = 3 ص (ص + 4)
8 ص + 32 + 24 ص & = 3 ص ^ {2} +12 ص
32 + 32 ص & = 3 ص ^ {2} +12 ص
0 & = 3 ص ^ {2} -20 ص -32
0 & = (3 ص + 4) (ص 8)
نهاية {محاذاة} غير رقم ]

[ start {array} {lc} {(3 r + 4) = 0} & {(r-8) = 0} إلغاء {r = dfrac {4} {3}} quad & { r = 8} نهاية {مجموعة} غير رقم ]

الشيك.

السرعة السالبة لا معنى لها في هذه المشكلة ، لذا (r = 8 ) هو الحل.

8 ميلا في الساعة هي سرعة تشغيل معقولة؟ نعم.

إذا كان معدل تشغيل Jazmine هو 4 ، فإن معدل ركوبها للدراجة (r + 4 ) ، وهو (8 + 4 = 12 ).

[ text {Run} 8 mathrm {mph} quad dfrac {8 mathrm {miles}} {8 mathrm {mph}} = 1 text {hour} nonumber ]

[ text {Bike} 12 text {mph} quad dfrac {24 text {miles}} {12 mathrm {mph}} = 2 text {hours} nonumber ]

سرعة تشغيل Jazmine هي 8 ميل في الساعة.

تمرين ( PageIndex {11} )

ذهب دينيس للتزلج الريفي على الثلج لمدة 6 ساعات يوم السبت. تزلج 20 ميلا صعودا ثم 20 ميلا إلى أسفل المنحدر ، والعودة إلى نقطة البداية. كانت سرعته الشاقة 5 ميل في الساعة أبطأ من سرعة الانحدار. ماذا كانت سرعة دينيس صعودًا وسرعته تنخفض؟

إجابه

كانت سرعة صعود دينيس 10 ميل في الساعة وسرعة انحدارها كانت 5 ميل في الساعة.

تمرين ( PageIndex {12} )

قاد جون السيارة لمدة 4 ساعات إلى منزله ، حيث قطع 208 أميال على الطريق السريع و 40 ميلًا على الطرق الريفية. إذا كان يقود سيارته بسرعة 15 ميلاً في الساعة على الطريق السريع مقارنةً بالطرق الريفية ، فما هو معدله على الطرق الريفية؟

إجابه

معدل جون على الطرق الريفية هو 50 ميلاً في الساعة.

مرة أخرى ، سنستخدم صيغة الحركة الموحدة التي تم حلها للمتغير (t ).

مثال ( PageIndex {7} )

ركب هاملتون دراجته على المنحدر 12 ميلاً على درب النهر من منزله إلى المحيط ثم ركب صعودًا للعودة إلى المنزل. كانت سرعته الشاقة 8 أميال في الساعة أبطأ من سرعة الانحدار. استغرق وصوله إلى المنزل ساعتين أكثر مما استغرقه للوصول إلى المحيط. اكتشف سرعة انحدار هاملتون.

حل

هذه حالة حركة موحدة. سيساعدنا الرسم التخطيطي على تصور الموقف.

نقوم بملء المخطط لتنظيم المعلومات.

نحن نبحث عن سرعة انحدار هاملتون. دعونا (ح ) = سرعة انحدار هاميلتون.

سرعته الشاقة أبطأ بمقدار 8 أميال في الساعة. (h-8 ) = سرعة صعود هاميلتون.

أدخل الأسعار في الرسم البياني.

المسافة هي نفسها في كلا الاتجاهين: 12 ميلاً.

منذ (D = r cdot t ) ، قمنا بالحل من أجل (t ) والحصول على (t = dfrac {D} {r} ). نقسم المسافة على المعدل في كل صف ، ونضع التعبير في عمود الوقت.

معدل ( cdot ) الوقت = المسافة
انحدار (ح ) ( dfrac {12} {h} )12
شاق (ح -8 ) ( dfrac {12} {h-8} )12

اكتب جملة كلمة عن السطر: لقد استغرق ساعتين أطول من المنحدر. وقت الصعود هو 2 أكثر من وقت الانحدار.

ترجم الجملة للحصول على المعادلة.

[ dfrac {12} {h-8} = dfrac {12} {h} +2 nonumber ]

يحل.

[ ابدأ {محاذاة}
h (h-8) left ( dfrac {12} {h-8} right) & = h (h-8) left ( dfrac {12} {h} +2 right)
12 ساعة & = 12 (ح -8) +2 ساعة (ح -8)
12 ساعة & = 12 ساعة -96 + 2 ساعة ^ {2} -16 ساعة
0 & = 2 ساعة ^ {2} -16 ساعة -96
0 & = 2 يسار (ح ^ {2} -8 س -48 يمين)
0 & = 2 (ح -12) (ح + 4)
نهاية {محاذاة} غير رقم ]

[ start {array} {lc} h-12 = 0 & h + 4 = 0 h = 12 & cancell {h = 4} end {array} nonumber ]

الشيك. هل (12 mathrm {mph} ) سرعة معقولة لركوب الدراجات في المنحدرات؟ نعم.

[ text {Downhill} 12 mathrm {mph} quad dfrac {12 text {miles}} {12 mathrm {mph}} = 1 text {hour} nonumber ]

[ text {Uphill} 12-8 = 4 mathrm {mph} quad dfrac {12 text {miles}} {4 mathrm {mph}} = 3 text {hours} nonumber ]

وقت الصعود هو ساعتان أكثر من وقت الانحدار.

سرعة انحدار هاميلتون هي (12 mathrm {mph} ).

تمرين ( PageIndex {13} )

ركبت كايلا دراجتها على بعد 75 ميلاً من الكلية إلى المنزل في عطلة نهاية أسبوع واحدة ثم استقلت الحافلة عائدة إلى الكلية. استغرقت عودتها إلى الكلية في الحافلة ساعتين أقل مما استغرقته للوصول إلى المنزل على دراجتها ، وكان متوسط ​​سرعة الحافلة 10 أميال في الساعة أسرع من سرعة ركوب كايلا للدراجات. اكتشف سرعة ركوب الدراجات في كايلا.

إجابه

كانت سرعة ركوب الدراجات في كايلا 15 ميلاً في الساعة.

تمرين ( PageIndex {14} )

تهرول فيكتوريا مسافة 12 ميلاً إلى المنتزه على طول ممر مسطح ثم تعود بالركض على درب منحدر يبلغ طوله 20 ميلاً. ركضت مسافة ميل واحد في الساعة على درب التلال أبطأ مما كانت عليه في المسار المسطح ، وتستغرق رحلة عودتها ساعتين أطول. ابحث عن معدل ركضها على الطريق المسطح.

إجابه

ركضت فيكتوريا 6 ميل في الساعة على الطريق المسطح.

حل تطبيقات العمل

تحتوي مجلة الشائعات الأسبوعية على قصة كبيرة عن طفل الأميرة ويريد المحرر طباعة المجلة في أسرع وقت ممكن. لقد طلبت من الطابعة تشغيل مطبعة إضافية لإنجاز الطباعة بسرعة أكبر. اضغط على # 1 يستغرق 6 ساعات للقيام بالمهمة ، ثم اضغط على # 2 يستغرق 12 ساعة للقيام بالمهمة. كم من الوقت ستستغرق الطابعة حتى تطبع المجلة مع تشغيل كلتا المطابع معًا؟

هذا هو تطبيق "عمل" نموذجي. هناك ثلاث كميات متضمنة هنا - الوقت الذي ستستغرقه كل من المطابعين لأداء المهمة بمفردها والوقت الذي سيستغرقه كل منهما لأداء المهمة معًا.

إذا كان بإمكان الضغط على # 1 إكمال المهمة في 6 ساعات ، فسيتم إكمال ( dfrac {1} {6} ) المهمة خلال ساعة واحدة.

إذا كان بإمكان الضغط على # 2 إكمال المهمة في 12 ساعة ، فسيتم إكمال ( dfrac {1} {12} ) المهمة خلال ساعة واحدة.

سنجعل (t ) عدد الساعات التي ستستغرقها المطابع لطباعة المجلات مع تشغيل كلتا المطابع معًا. لذلك في ساعة واحدة من العمل معًا ، أكملوا ( dfrac {1} {t} ) المهمة.

يمكننا نمذجة هذا باستخدام معادلة الكلمة ثم ترجمتها إلى معادلة منطقية. للعثور على الوقت الذي ستستغرقه المطابع لإكمال المهمة إذا عملوا معًا ، قمنا بالحل من أجل (t ).

اتبع الخطوات لتنظيم المعلومات. نحن نبحث عن عدد الساعات التي سيستغرقها إكمال المهمة مع تشغيل كلتا المطابع معًا.

الخطوة 1: اسمحوا (t ) = عدد الساعات اللازمة لإكمال المهمة معًا.

الخطوة 2: أدخل الساعات لكل مهمة من أجل Press # 1 ، Press # 2 ، وعندما يعملان معًا.

إذا كانت المهمة في Press # 1 تستغرق 6 ساعات ، فسيتم إكمال ( dfrac {1} {6} ) خلال ساعة واحدة.

وبالمثل ، ابحث عن جزء المهمة المكتملة / ساعات لـ Press # 2 وعندما يكونا معًا.

عدد الساعات لانجاز العمل.جزء من العمل مكتمل / ساعة
اضغط على # 16 ( dfrac {1} {6} )
اضغط على # 212 ( dfrac {1} {12} )
سويا (ر ) ( dfrac {1} {t} )

اكتب جملة كلمة. الجزء المكتمل بالضغط على رقم 1 بالإضافة إلى الجزء المكتمل بالضغط على رقم 2 يساوي المبلغ المكتمل معًا.

الخطوه 3: ترجم إلى معادلة.

[ text {اكتمل العمل بواسطة} underbrace { text {Press} # 1 + text {Press} # 2 = text {Together}} dfrac {1} {6} qquad + qquad dfrac {1} {12} qquad = qquad dfrac {1} {t} nonumber ]

الخطوة 4: يحل. تبسيط.

[ dfrac {1} {6} + dfrac {1} {12} = dfrac {1} {t} nonumber ]

اضرب في LCD ، (12t ) وبسّط.

[ ابدأ {محاذاة}
12 t left ( dfrac {1} {6} + dfrac {1} {12} right) & = 12 t left ( dfrac {1} {t} right)
2 ر + ر & = 12
3 ر & = 12
ر & = 4
نهاية {محاذاة} غير رقم ]

عندما يتم تشغيل كلتا المطابع ، يستغرق الأمر 4 ساعات للقيام بالمهمة.

ضع في اعتبارك أنه يجب أن يستغرق الأمر وقتًا أقل لضغطتين لإكمال مهمة تعمل معًا مقارنة بأي من الضغطتين للقيام بذلك بمفردهما.

مثال ( PageIndex {8} )

افترض أن بيت يمكنه رسم غرفة في 10 ساعات. إذا كان يعمل بوتيرة ثابتة ، فسوف يرسم ( dfrac {1} {10} ) في غضون ساعة واحدة. إذا استغرقت أليسيا 8 ساعات لطلاء نفس الغرفة ، فستقوم بعد ساعة بطلاء ( dfrac {1} {8} ) من الغرفة. كم من الوقت سيستغرق بيت وأليسيا لطلاء الغرفة إذا عملوا معًا (ولم يتدخل كل منهما في تقدم الآخر)؟

حل

هذا تطبيق "عمل". ستساعدنا الخطوات أدناه في تنظيم المعلومات. نحن نبحث عن عدد الساعات التي سيستغرقها طلاء الغرفة معًا.

في غضون ساعة واحدة ، أجرى بيت ( dfrac {1} {10} ) المهمة. قامت أليسيا ( dfrac {1} {8} ) بالمهمة. وقاموا معًا ( dfrac {1} {t} ) بالمهمة.

الخطوة 1: اسمحوا (t ) أن يكون عدد الساعات اللازمة لطلاء الغرفة معًا.

الخطوة 2: أدخل الساعات لكل وظيفة لـ Pete و Alicia ووقت العمل معًا. في ساعة واحدة من العمل معًا ، أكملوا ( dfrac {1} {t} ) المهمة. وبالمثل ، ابحث عن جزء من الوظيفة أكمله / ساعة بواسطة Pete ثم Alicia.

عدد الساعات لانجاز العمل.جزء من العمل مكتمل / ساعة
بيت10 ( dfrac {1} {10} )
أليسيا8 ( dfrac {1} {8} )
سويا (ر ) ( dfrac {1} {t} )

اكتب جملة كلمة. العمل الذي أنجزه بيت بالإضافة إلى العمل الذي أنجزته أليسيا يساوي إجمالي العمل المنجز.

الخطوه 3: ترجم إلى معادلة.

[ text {اكتمل العمل بواسطة} underbrace { text {Pete} + text {Alicia} = text {Together}} dfrac {1} {10} qquad + qquad dfrac {1 } {8} qquad = qquad dfrac {1} {t} nonumber ]

الخطوة 4: تبسيط. يحل.

اضرب في LCD ، (40t ).

[40 t left ( dfrac {1} {10} + dfrac {1} {8} right) = 40 t left ( dfrac {1} {t} right) nonumber ]

نشر.

[40 t cdot dfrac {1} {10} +40 t cdot dfrac {1} {8} = 40 t left ( dfrac {1} {t} right) nonumber ]

بسّط وحل.

[ ابدأ {مجموعة} {r}
{4 طن + 5 طن = 40}
{9 ر = 40}
{t = dfrac {40} {9}}
نهاية {مجموعة} غير رقم ]

سنكتب في صورة عدد كسري حتى نتمكن من تحويله إلى ساعات ودقائق.

[t = 4 dfrac {4} {9} text {hours} nonumber ]

تذكر ، 1 ساعة = 60 دقيقة.

[t = 4 text {hours} + dfrac {4} {9} (60 text {minutes}) nonumber ]

اضرب ثم قرّب لأقرب دقيقة.

[t = 4 text {hours} +27 text {minutes} nonumber ]

سيستغرق طلاء الغرفة من بيت وأليكا حوالي 4 ساعات و 27 دقيقة.

تمرين ( PageIndex {15} )

يمكن لبستاني واحد جز ملعب الجولف في 4 ساعات ، بينما يمكن لبستاني آخر جز ملعب الجولف نفسه في 6 ساعات. كم من الوقت سيستغرق إذا عمل البستانيان معًا لقص ملعب الجولف؟

إجابه

عندما يعمل البستانيان معًا ، يستغرق الأمر ساعتين و 24 دقيقة.

تمرين ( PageIndex {16} )

تستطيع داريا إزالة الأعشاب الضارة من الحديقة في 7 ساعات ، بينما يمكن لأمها أن تفعل ذلك في 3 ساعات. كم من الوقت سيستغرق عملهما معًا؟

إجابه

عندما تعمل داريا ووالدتها معًا ، يستغرق الأمر ساعتين و 6 دقائق.

مثال ( PageIndex {9} )

يمكن لرشون تنظيف المنزل في 7 ساعات. عندما تساعده أخته ، يستغرق الأمر 3 ساعات. كم تستغرق أخته من الوقت عندما تقوم بتنظيف المنزل بمفردها؟

حل

هذه مشكلة عمل. نحن نبحث عن عدد الساعات التي ستستغرقها أخت روشون لإكمال الوظيفة بنفسها.

الخطوة 1: لنحدد عدد الساعات التي تستغرقها أخت روشون لتنظيف المنزل وحدها.

الخطوة 2: أدخل عدد الساعات لكل وظيفة لأخته روشون ، وعندما يعملان معًا. إذا استغرقت رعشون 7 ساعات ، فسيتم إكمال ( dfrac {1} {s} ) خلال ساعة واحدة. إذا استغرقت أخت روشون (s ) ساعات ، فسيتم إكمال ( dfrac {1} {s} ) خلال ساعة واحدة.

عدد الساعات لانجاز العمل.جزء من العمل مكتمل / ساعة
رشون7 ( dfrac {1} {7} )
أخته(س) ( dfrac {1} {s} )
سويا3 ( dfrac {1} {3} )

اكتب جملة كلمة. الجزء الذي أكمله روشون والجزء الذي أكملته أخته يساوي المبلغ المكتمل معًا.

الخطوه 3: ترجم إلى معادلة.

[ text {اكتمل العمل} underbrace { text {Ra'shon} + text {His sister} = text {Together}} dfrac {1} {7} qquad + qquad dfrac {1} {s} qquad = qquad dfrac {1} {3} nonumber ]

الخطوة 4: تبسيط. يحل.

[ dfrac {1} {7} + dfrac {1} {5} = dfrac {1} {3} nonumber ]

اضرب في شاشة LCD ، 21 ثانية.

[ ابدأ {محاذاة}
21 ثانية يسار ( dfrac {1} {7} + dfrac {1} {s} right) & = left ( dfrac {1} {3} right) 21 ثانية
3 ق + 21 & = 7 ث
نهاية {محاذاة} غير رقم ]

تبسيط.

[ ابدأ {محاذاة}
-4 ق & = - 21
s & = frac {-21} {- 4} = frac {21} {4}
نهاية {محاذاة} غير رقم ]

اكتب كرقم كسري لتحويله إلى ساعات ودقائق.

[s = 5 dfrac {1} {4} text {hours} nonumber ]

هناك 60 دقيقة في 1 ساعة.

[s = 5 text {hours} + dfrac {1} {4} (60 text {minutes}) s = 5 text {hours} +15 text {minutes} nonumber ]

سيستغرق تنظيف المنزل بمفردها 5 ساعات و 15 دقيقة.

تمرين ( PageIndex {17} )

يمكن لأليس أن ترسم غرفة في 6 ساعات. إذا ساعدتها كريستينا ، يستغرق الأمر 4 ساعات لطلاء الغرفة. كم من الوقت ستستغرق كريستينا لطلاء الغرفة بنفسها؟

إجابه

يمكن أن ترسم كريستينا الغرفة في 12 ساعة.

تمرين ( PageIndex {18} )

يمكن لـ Tracy وضع بلاطة من الخرسانة في 3 ساعات ، وبمساعدة جوردان يمكنهم القيام بذلك في غضون ساعتين. إذا كان الأردن يعمل بمفرده ، فكم من الوقت سيستغرق؟

إجابه

سوف يستغرق الأردن 6 ساعات.

حل مشاكل التباين المباشر

عندما ترتبط كميتان بنسبة ما ، نقول إنهما متناسبان مع بعضهما البعض. هناك طريقة أخرى للتعبير عن هذه العلاقة وهي التحدث عن تباين الكميتين. سنناقش الاختلاف المباشر والاختلاف العكسي في هذا القسم.

تحصل Lindsay على 15 دولارًا لكل ساعة في وظيفتها. إذا سمحنا أن يكون راتبها و h هو عدد الساعات التي عملت بها ، فيمكننا نمذجة هذا الموقف بالمعادلة

[الصورة = 15 ساعة عدد غير محدد ]

راتب Lindsay هو نتاج ثابت ، 15 ، وعدد ساعات عملها. نقول إن راتب Lindsay يختلف بشكل مباشر مع عدد ساعات عملها. يختلف متغيرين بشكل مباشر إذا كان أحدهما ناتجًا عن ثابت والآخر.

اختلاف مباشر

لأي متغيرين (س ) و (ص ) ، (ص ) يختلف مباشرة مع (س ) إذا

(y = kx ) حيث (k neq 0 )

يسمى الثابت (ك ) بثابت التباين.

في التطبيقات التي تستخدم الاختلاف المباشر ، سنعرف عمومًا قيم زوج واحد من المتغيرات وسيُطلب منا إيجاد المعادلة التي تتعلق (x ) و (y ). ثم يمكننا استخدام هذه المعادلة لإيجاد قيم (y ) لقيم أخرى لـ (س ).

سنقوم بسرد الخطوات هنا.

كيفية حل مشاكل الاختلاف المباشر

الخطوة 1. اكتب معادلة الاختلاف المباشر.

الخطوة 2. عوّض بالقيم المعطاة للمتغيرات.

الخطوه 3. حل من أجل ثابت التباين.

الخطوة 4. اكتب المعادلة التي تتعلق بـ (س ) و (ص ) باستخدام ثابت التباين.

سنحل الآن تطبيق الاختلاف المباشر.

مثال ( PageIndex {10} )

عندما يركض راؤول على جهاز الجري في صالة الألعاب الرياضية ، فإن عدد السعرات الحرارية ، (ج ) ، يحترق بشكل مباشر مع عدد الدقائق ، (م ) ، يستخدم جهاز المشي. أحرق 315 سعرة حرارية عندما استخدم جهاز المشي لمدة 18 دقيقة.

  1. اكتب المعادلة التي تتعلق (ج ) و (م ).
  2. كم عدد السعرات الحرارية التي سيحرقها إذا ركض على جهاز المشي لمدة 25 دقيقة؟

حل

    عدد السعرات الحرارية ، (ج ) ، يختلف بشكل مباشر مع عدد الدقائق ، (م ) ، على جهاز المشي ، و (ج = 315 ) عندما (م = 18 ).

    اكتب معادلة الاختلاف المباشر.

    [y = kx nonumber ]

    سنستخدم (ج ) بدلاً من (ص ) و (م ) بدلاً من (س ).

    [c = k m nonumber ]

    عوّض بالقيم المعطاة للمتغيرات.

    [315 = ك cdot 18 غير رقم ]

    حل من أجل ثابت التباين.

    [ ابدأ {محاذاة}
    & dfrac {315} {18} = dfrac {k cdot 18} {18}
    & 17.5 = ك
    نهاية {محاذاة} غير رقم ]

    اكتب المعادلة التي تتعلق (ج ) و (م ).

    [c = k m nonumber ]

    عوّض في ثابت التباين.

    [ج = 17.5 م غير رقم ]

      اكتب المعادلة التي تتعلق (ج ) و (م ).

      [ج = 17.5 م غير رقم ]

      استبدل القيمة المعطاة لـ (m ).

      [c = 17.5 (25) nonumber ]

      تبسيط.

      [ج = 437.5 بدون رقم ]

      سيحرق راؤول 437.5 سعرة حرارية إذا استخدم جهاز المشي لمدة 25 دقيقة.

      تمرين ( PageIndex {19} )

      عدد السعرات الحرارية ، (ج ) ، المحروقة يختلف بشكل مباشر مع مقدار الوقت ، (t ) ، الذي يقضيه في التمرين. أرنولد أحرق 312 سعرة حرارية في 65 دقيقة من التمرين.

      1. اكتب المعادلة التي تتعلق (ج ) و (تي ).
      2. كم عدد السعرات الحرارية التي سيحرقها إذا تمرن لمدة 90 دقيقة؟
      إجابه
      1. (ج = 4.8 طن )
      2. سيحرق 432 سعرة حرارية.

      تمرين ( PageIndex {20} )

      المسافة التي يقطعها الجسم المتحرك ، (د ) ، تختلف بشكل مباشر مع الوقت ، (t ) ، يتحرك. قطار يسافر 100 ميل في ساعتين.

      1. اكتب المعادلة التي تتعلق (د ) و (تي ).
      2. كم ميلا ستقطعه في 5 ساعات؟
      إجابه
      1. (د = 50 ر )
      2. سوف يسافر 250 ميلا.

      حل مسائل التباين العكسي

      تتضمن العديد من التطبيقات متغيرين يختلفان عكسيًا. كلما زاد أحد المتغيرات ، انخفض الآخر. المعادلة التي تربطهم هي (y = dfrac {k} {x} )

      التباين العكسي

      لأي متغيرين (س ) و (ص ) ، (ص ) يختلف عكسيًا مع (س ) إذا

      (y = dfrac {k} {x} ) ، حيث (k neq 0 )

      يسمى الثابت (ك ) بثابت التباين.

      تشير كلمة "معكوس" في التباين العكسي إلى معكوس الضرب. المعكوس الضربي لـ (x ) هو ( dfrac {1} {x} ).

      نحن نحل مشاكل التباين العكسي بنفس الطريقة التي حلنا بها مشاكل التباين المباشر. فقط الشكل العام للمعادلة قد تغير. سننسخ مربع الإجراء هنا ونغير "مباشر" إلى "معكوس".

      كيفية حل مسائل التباين العكسي

      الخطوة 1. اكتب صيغة التباين العكسي.

      الخطوة 2. اكتب المعادلة التي تتعلق بـ (س ) و (ص ) باستخدام ثابت التباين.

      مثال ( PageIndex {11} )

      يختلف تردد وتر الغيتار عكسيًا مع طوله. يبلغ تردد سلسلة 26 بوصة 440 اهتزازًا في الثانية.

      1. اكتب معادلة الاختلاف.
      2. كم عدد الاهتزازات في الثانية إذا تم تقليل طول الوتر إلى 20 بوصة عن طريق وضع إصبع على الحنق؟

      حل

        التردد يختلف عكسيا مع الطول.

        اسم المتغيرات. اسمحوا (f ) = التردد. (L ) = الطول

        اكتب صيغة التباين العكسي.

        [y = dfrac {k} {x} nonumber ]

        سنستخدم (f ) بدلاً من (y ) و (L ) بدلاً من (x ).

        [f = dfrac {k} {L} nonumber ]

        [f = 440 text {when} L = 26 nonumber ]

        عوّض بالقيم المعطاة للمتغيرات.

        [440 = dfrac {k} {26} nonumber ]

        حل من أجل ثابت التباين.

        [ ابدأ {محاذاة}
        & 26 (440) = 26 يسار ( dfrac {k} {26} يمين)
        & 11،440 = ك
        نهاية {محاذاة} غير رقم ]

        Write the equation that relates (f) and (L).

        [f=dfrac{k}{L} onumber ]

        Substitute the constant of variation.

        [f=dfrac{11,440}{L} onumber ]

          Find (f) when (L=20).

          Write the equation that relates (f) and (L).

          [f=dfrac{11,440}{L} onumber ]

          Substitute the given value forL.

          [f=dfrac{11,440}{20} onumber ]

          Simplify.

          [f=572 onumber ]

          A 20''-guitar string has frequency 572 vibrations per second.

          تمرين ( PageIndex {21} )

          The number of hours it takes for ice to melt varies inversely with the air temperature. Suppose a block of ice melts in 2 hours when the temperature is 65 degrees Celsius.

          1. Write the equation of variation.
          2. How many hours would it take for the same block of ice to melt if the temperature was 78 degrees?
          إجابه
          1. (h=dfrac{130}{t})
          2. (1 dfrac{2}{3}) hours

          تمرين ( PageIndex {22} )

          Xander’s new business found that the daily demand for its product was inversely proportional to the price, (p). When the price is $5, the demand is 700 units.

          1. Write the equation of variation.
          2. What is the demand if the price is raised to $7?
          إجابه
          1. (x=dfrac{3500}{p})
          2. 500 units

          Access this online resource for additional instruction and practice with applications of rational expressions

          • Applications of Rational Expressions

          New numerical solutions for solving Kidder equation by using the rational Jacobi functions

          In this paper, a new method based on rational Jacobi functions (RJ) is proposed that utilizes quasilinearization method to solve non-linear singular Kidder equation on unbounded interval. The Kidder equation is a second order non-linear two-point boundary value ordinary differential equation on unbounded interval ([0,infty )) . The equation is solved without domain truncation and variable changing. First, the quasilinearization method is used to convert the equation to sequence of linear ordinary differential equations. Then, by using RJ collocation method equations are solved. For the evaluation, comparison with some numerical solutions shows that the proposed solution is highly accurate. Using 200 collocation points, the value of initial slope that is important is calculated as (-1.1917906497194217341228284 ) for (kappa =0.5) .

          هذه معاينة لمحتوى الاشتراك ، والوصول عبر مؤسستك.


          Solving linear equation online

          أ first-degree equation is an equation of the form `ax=b`. This type of equation is also called a linear equation. To solve these equations we use the following formula `x=b/a`.

          linear equation solving of the form ax=b s is done very quickly, when the variable is not ambiguous, just enter معادلة ل solve and then click solve, then the result is returned by solver. Details of calculations that led to the resolution of the linear equation are also displayed. To solve the linear equation following 3x+5=0, just type the expression 3x+5=0 in the calculation area, then click on "solve" button, result is returned `[x=-5/3]`. it is also possible to solve equations the form of `(ax+c)/g(x)=0` or equations that may be in this form , g(x) represents a function. When you enter an expression without '=' sign the function returns when possible values ​​for which expression is zero. For example, enter x+5 and resolve back to x+5=0 and solve.

          Equations with variables on both sides

          The calculator can solve equations with variables on both sides like this: `3x+5=2x`, just enter 3x+5=2x to get the result.

          Equations with parentheses

          The calculator can solve equations with parentheses like this: `6*(3x+5)=5*(2x+3)`, just enter 6*(3x+5)=5*(2x+3) to get the result.

          Equation with the variable in the denominator

          • `(x-1)/(x^2-1)=0` returns the message no solution, domain definition is taken into account for the calculation, the numerator admits x = 1 as the root but the denominator is zero for x = 1 , 1 can't be a equation solution. The equation does not admit a solution.
          • equation_solver`(1/(x+1)=3)` returns `[-2/3]`

          9.6: Solve Applications with Rational Equations

          I want to thank you for all you help. Your spport in resolving how do a problem has helped me understand how to do the problems, and actually get the right result. Thanks So Much.
          Brian Phillips, WI

          The Algebrator Software is marvelous. Complex numbers always scared me and I wanted a way out. The step-by-step way of your software really cleared my concepts and now I look forward to solve other types of algebra problems.
          Laura Keller, MD

          I just wanted to tell you that I just purchased your program and it is unbelievable! Thank you so much for developing such a program. By the way, I recently sent you an email telling you that I had purchased PAT (personal algebra tutor) and am very unhappy with it.
          Tina Washington, TX

          We bought it for our daughter and it seems to be helping her a whole bunch. It was a life saver.
          Jeff Galligan, AR

          My daughter is dyslexic and has always struggled with math. Your program gave her the necessary explanations and step-by-step instructions to not only survive grade 11 math but to thrive in it. Thanks.
          George Miller, LA


          MA001: College Algebra

          First, read the course syllabus. Then, enroll in the course by clicking "Enroll me in this course". Click Unit 1 to read its introduction and learning outcomes. You will then see the learning materials and instructions on how to use them.

          Unit 1: Basic Algebra Concepts

          We begin by quickly reviewing the basic concepts you will need to understand as you begin your study of algebra. If you have taken a pre-algebra course, you may be familiar with some of these concepts. With practice, every student, regardless of background, can grasp these concepts.

          Completing this unit should take you approximately 26 hours.

          Unit 2: Solving Linear Inequalities and Graphing

          In this unit, you will learn to apply the concept of solving equations to solve problems involving linear inequalities. You will also learn how to graph a straight line, use different methods to find the slope and intercept of a line, and interpret slope and intercept. You will learn more about types of straight lines.

          Completing this unit should take you approximately 20 hours.

          Unit 3: Exponents and Polynomials

          This section introduces you to the concept of evaluating exponents, converting scientific notations to decimal notations, and vice versa. You will apply these concepts to evaluating polynomial expressions.

          Completing this unit should take you approximately 19 hours.

          Unit 4: Factoring Polynomials

          This unit expands on what you learned in Unit 3. In Unit 4, you will learn to factor the greatest common factor by grouping and other factoring methods. Because factoring and distribution are opposite actions, you will be able to determine whether you have factored correctly by going in the opposite direction, which is distributing through multiplication.

          Completing this unit should take you approximately 19 hours.

          Unit 5: Rational Expressions

          In this unit, you will learn how to evaluate rational expressions and perform operations such as addition, multiplication, and division involving rational expressions. You will apply the concept of multiplying rational expressions to dimensional analysis, where you will convert units from single/dual unit of measurement to another.

          Completing this unit should take you approximately 17 hours.

          Course Feedback Survey

          Please take a few minutes to give us feedback about this course. We appreciate your feedback, whether you completed the whole course or even just a few resources. Your feedback will help us make our courses better, and we use your feedback each time we make updates to our courses.

          If you come across any urgent problems, email [email protected] or post in our discussion forum.

          Certificate Final Exam

          Take this exam if you want to earn a free Course Completion Certificate.

          To receive a free Course Completion Certificate, you will need to earn a grade of 70% or higher on this final exam. Your grade for the exam will be calculated as soon as you complete it. If you do not pass the exam on your first try, you can take it again as many times as you want, with a 7-day waiting period between each attempt.

          Once you pass this final exam, you will be awarded a free Course Completion Certificate.

          Saylor Direct Credit

          Take this exam if you want to earn college credit for this course. This course is eligible for college credit through Saylor Academy's Saylor Direct Credit Program.

          The Saylor Direct Credit Final Exam requires a proctor and a proctoring fee of $25. To pass this course and earn a Proctor-Verified Course Certificate and official transcript, you will need to earn a grade of 70% or higher on the Saylor Direct Credit Final Exam. Your grade for this exam will be calculated as soon as you complete it. If you do not pass the exam on your first try, you can take it again a maximum of 3 times, with a 14-day waiting period between each attempt.

          Once you pass this final exam, you will be awarded a Credit-Recommended Course Completion Certificate and an official transcript.


          9.6: Solve Applications with Rational Equations

          Rational Equation Calculator

          Compute peak discharge from a drainage basin using the Rational Equation Method

          Units in Rational Equation calculation: ft 3 =cubic foot, m 3 =cubic meter, mm=millimeter, s=second

          Rational Method Equation
          The Rational equation is the simplest method to determine peak discharge from drainage basin runoff. It is not as sophisticated as the SCS TR-55 method, but is the most common method used for sizing sewer systems.

          Rational Equation: Q=ciA
          The Rational equation requires the following units:
          Q = Peak discharge, cfs
          c = Rational method runoff coefficient
          i = Rainfall intensity, inch/hour
          A = Drainage area, acre

          Note that our calculation allows you to use a variety of units.

          The Rational method runoff coefficient (c) is a function of the soil type and drainage basin slope. A simplified table is shown below. See the references at the bottom of the page for more complete tables including impact of slope.

          The Rainfall intensity (i) is typically found from Intensity/Duration/Frequency curves for rainfall events in the geographical region of interest. The duration is usually equivalent to the time of concentration of the drainage area. The storm frequency is typically stated by local authorities depending on the impact of the development. A 10-yr, 25-yr, 50-yr, or even 100-yr storm frequency may be specified.


          Simplified Table of Rational Method Runoff Coefficients (see references below)

          Ground Cover Runoff Coefficient, c
          Lawns 0.05 - 0.35
          Forest 0.05 - 0.25
          Cultivated land 0.08-0.41
          Meadow 0.1 - 0.5
          Parks, cemeteries 0.1 - 0.25
          Unimproved areas 0.1 - 0.3
          Pasture 0.12 - 0.62
          Residential areas 0.3 - 0.75
          Business areas 0.5 - 0.95
          Industrial areas 0.5 - 0.9
          Asphalt streets 0.7 - 0.95
          Brick streets 0.7 - 0.85
          Roofs 0.75 - 0.95
          Concrete streets 0.7 - 0.95

          Error Messages given by calculation
          "Need 0<c<1", "Need i>0" "Need A>0". Input values must be in these ranges.


          References and Bibliography
          Chin, David A. 2000. Water-Resources Engineering. Prentice-Hall.

          Chow, Ven Te, David R. Maidment, and Larry W. Mays. 1988. Applied Hydrology. McGraw-Hill.

          Corbitt, Robert A. 1999. Standard Handbook of Environmental Engineering. McGraw-Hill. 2ed.

          Lindsley, Ray K., Joseph B. Franzini, David L. Freyberg, and George Tchobanoglous. 1992. Water-Resources Engineering. McGraw-Hill. 4ed.

          McCuen, Richard H. 1998. Hydrology Analysis and Design. Prentice-Hall. 2ed.

          Singh, Vijay P. 1992. Elementary Hydrology. Prentice-Hall.

          © 2003-2015 LMNO Engineering, Research, and Software, Ltd. (All Rights Reserved)

          Please contact us for consulting or questions about the rational equation for peak discharge.


          MDTP Learning Modules

          MDTP Learning Modules are designed to support students’ independent practice in the identified MDTP topics.

          The Learning Modules were written by MDTP workgroup members using diagnostic data from MDTP assessments. Students can use these modules to review content before or after an assessment, prior to entering a new course, and at the direction of a math instructor.

          To access the Learning Modules, select a topic listed in the menu above, and work through appropriate Modules at the level(s) identified by the student’s MDTP results.

          Each Module is divided into lessons, and each lesson consists of Learning Experiences, which include exploration (Explore), guided examples (Try This!), instructional videos (Watch), making connections (Making Connections) and practice (ممارسة). The conclusion of each lesson contains an interactive assessment to inform your level of understanding of the content.

          The different components of each lesson are identified by the following icons:

          Explore

          Try This!

          Watch

          Making Connections

          Making Connections

          ممارسة


          9.6: Solve Applications with Rational Equations

          If you are not pleased with this calculator, you can choose out of huge collections of elementary and powerful complex variants.


          A handy calculator appearing in a small window. It containts only a single input line, but it understands (almost) as many statements as the JavaCalc calculator refered to above.


          The computer algebra system Mathematica carries out the necessary computations exactly and numerically. (The equation may contain symbolic constants. Although the page offers only the solution of polynomial equations, some more general equations are admissible too). The symbol * for multiplication may be omitted. The result appears at the bottom of a web document which otherwise looks like the input page.


          The computer algebra system Mathematica carries out the necessary computations exactly. (The equations may contain symbolic constants). The symbol * for multiplication may be omitted. The result appears at the bottom of a web document which otherwise looks like the input page.


          The computer algebra system Mathematica carries out the necessary computations. (The matrix may contain symbolic constants). The symbol * for multiplication may be omitted. The result appears at the bottom of a web document which otherwise looks like the input page.


          After entering one or more functional expressions, the graphs are drawn. Using the zoom option, you may study the graphs from a very "close" viewpoint and read off coordinates of interesting points with an accuracy of about 10 -14 . (Java applet part of the program is the parser by Darius Bacon).


          After typing in one or more functional expressions, the respective graphs are plotted. The necessary calculations are taken over by the computer algebra system Mathematica . The action of functions may be denoted by square brackets ( Mathematica sytnax) or round brackets. Funktion names must be denoted as Sin or sin. The symbol * for multiplication may be omitted.
          Example: Sqrt[x] + x^2 Exp[-x] or sqrt(x) + x^2 exp(-x).

          By the way: the plot is a gif-file and can be saved on your PC by a right mouse click. It may be printed or included in other documents. For a new plot, click the "Back"-button of your browser.

          After typing in an expression for a n , an initial value, an upper bound and a step-width, the items of the sequence are represented numerically.

          After typing in an expression for a k , the items of the sequence of partial sums are represented numerically.


          Type in an expression defining a function and get its derivarive (or derivatives up to the order required) in closed form. The expression may contain symbolic constants. The computation is taken over by the computer algebra systen Mathematica . The action of functions may be denoted by square brackets ( Mathematica sytnax) or round brackets. Funktion names must be denoted as Sin or sin. The symbol * for multiplication may be omitted.
          Example: Sin[x] + x^2 Exp[-x] or sin(x) + x^2 exp(-x).

          This page is a bit difficult to survey: The result is a web document looking exactly like the input page. On its bottom side, below the heading "The derivatives are:", you find the required list of derivatives. In case of long expressions, the symbol > means "to be continued next line".


          A very useful tool: Type in an expression defining a function and get its (indefinite) integral in closed form. The expression may contain symbolic constants. The computation is taken over by the computer algebra systen Mathematica . Here, the action of functions must - according to the Mathematica syntax, be denoted by square brackets ! Inputs are case-insensitive (in Mathematica standard functions are written with capital first letter), the symbol * for multiplication may be omitted.
          Example: Tan[x] + x^2 Exp[-x], not tan(x) + x^2 exp(-x).


          Type in an expression defining a function and get its (exact) definite integral over the required interval. The expression may contain symbolic constants. The computation is taken over by the computer algebra systen Mathematica . The action of functions may be denoted by square brackets ( Mathematica sytnax) or round brackets. Funktion names must be denoted as Sin or sin. The symbol * for multiplication may be omitted.
          Example: Cos[x] + x^2 Exp[-x] or cos(x) + x^2 exp(-x).
          The program recognizes divergent integrals quite well (e.g. over 1/x if 0 is in the integration domain), but a little bit of caution is in place! The result appears at the bottom of a web document which otherwise looks like the input page.


          Computations with Mathematica
          in the framework of the Maths & Fun project at the BHAK und BHAS Grazbachgasse in Graz (Austria): This is the first Austrian server taking over your Mathematica job. You can choose between The action of functions must be denoted by square brackets ! Funktions must be denoted as Sin or sin (in Mathematica standard functions are written with capital first letter), the symbol * for multiplication may be omitted.
          Example: Cos[x] + x^2 Exp[-x], not Cos(x) + x^2 Exp(-x). --> This tool may help you to get mathematical symbols on a web page, provided you know a little bit about HTML. It comes with a detailled description. You may download it and use it on a local computer (without web connection).
          Further information on this topic may be found on the page Formulae and the web.


          How To Solve Similar Right Triangles

          In the figure below, we are being asked to find the altitude, using the geometric mean and the given lengths of two segments:

          Using Similar Right Triangles

          In the video below, you’ll learn how to deal with harder problems, including how to solve for the three different types of problems:


          How to Get Rid of Exponents in an Algebraic Equation

          Few things strike fear into the beginning algebra student like seeing exponents – expressions such as ​ذ​ 2 , ​x​ 3 or even the horrifying ​y x ​ – pop up in equations. In order to solve the equation, you need to somehow make those exponents go away. But in truth, that process isn't so difficult once you learn a series of simple strategies, most of which are rooted in the basic arithmetic operations you've been using for years.

          Simplify and Combine Like Terms

          Sometimes, if you're lucky, you might have exponent terms in an equation that cancel each other out. For example, consider the following equation:

          With a keen eye and a little practice, you might spot that the exponent terms actually cancel each other out, thusly:

          Once you simplify the right side of the sample equation, you'll see that you have identical exponent terms on both sides of the equals sign:

          Subtract 2​x​ 2 from both sides of the equation. Because you performed the same operation on both sides of the equation, you haven't altered its value. But you have effectively removed the exponent, leaving you with:

          If desired, you can finish solving the equation for ​ذ​ by adding 5 to both sides of the equation, giving you:

          Often problems won't be this simple, but it's still an opportunity worth looking out for.

          Look for Opportunities to Factor

          With time, practice and lots of math classes, you'll collect formulas for factoring certain types of polynomials. It's a lot like collecting tools that you keep in a toolbox until you need them. The trick is learning to identify which polynomials can be easily factored. Here are some of the most common formulas you might use, with examples of how to apply them:

          If your equation contains two squared numbers with a minus sign between them – for example, ​x​ 2 − 4 2 – you can factor them using the formula ​أ​ 2 − ​ب​ 2 ​= (a + b)(a − b)​. If you apply the formula to the example, the polynomial ​x​ 2 − 4 2 factors to (​x​ + 4)(​x​ − 4).

          The trick here is learning to recognize squared numbers even if they aren't written as exponents. For example, the example of ​x​ 2 − 4 2 is more likely to be written as ​x​ 2 − 16.

          If your equation contains two cubed numbers that are added together, you can factor them using the formula

          Consider the example of ​ذ​ 3 + 2 3 , which you're more likely to see written as ​ذ​ 3 + 8. When you substitute ​ذ​ and 2 into the formula for ​أ​ and ​ب​ respectively, you have:

          Obviously the exponent isn't gone entirely, but sometimes this type of formula is a useful, intermediate step toward getting rid of it. For example, factoring thusly in the numerator of a fraction might create terms that you can then cancel with terms from the denominator.

          If your equation contains two cubed numbers with one ​subtracted​ from the other, you can factor them using a formula very similar to that shown in the previous example. In fact, the location of the minus sign is the only difference between them, as the formula for the difference of cubes is:

          Consider the example of ​x​ 3 − 5 3 , which would more likely be written as ​x​ 3 − 125. Substituting ​x​ for ​أ​ and 5 for ​ب​, you get:

          As before, although this doesn't eliminate the exponent entirely, it can be a useful intermediate step along the way.

          Isolate and Apply a Radical

          If neither of the above tricks works and you have just one term containing an exponent, you can use the most common method for "getting rid of" the exponent: Isolate the exponent term on one side of the equation, and then apply the appropriate radical to both sides of the equation. Consider the example of

          Isolate the exponent term by adding 25 to both sides of the equation. This gives you:

          The index of the root you apply – that is, the little superscript number before the radical sign – should be the same as the exponent you're trying to remove. So because the exponent term in the example is a cube or third power, you must apply a cube root or third root to remove it. This gives you:


          شاهد الفيديو: حل مسائل البوابات المنطقية باستخدام الآلة الحاسبة مع مستر محمد عنتر (كانون الثاني 2022).