مقالات

5.2: تصور المشكلة - الرياضيات


يمكننا تصور حل نظام المعادلات الخطية في رسم بياني. إذا صنعنا (ب ) " (ص )" - المحور و (ج ) المحور " (س )". لكل معادلة ، نحسب قيمة (ب ) لكل (ج ) ، وتعطينا معادلتين سطرين.

ملحوظة

يسمى هذا أحيانًا "صورة الصف". سوف أسألك عن سبب وجود هذا الاسم في الفصل ، لذا فكر في الأمر.

سؤال

وصف الفيديو أعلاه ثلاثة (3) عوامل أولية يمكن تطبيقها على نظام المعادلات الخطية وعدم تغيير إجابتهم. ما هي هذه العوامل الثلاثة؟

صورة صف

الآن ، ضع في اعتبارك المجموعة التالية من المعادلات التي ليس لها حل

[- 2x + y = 3 بلا رقم ]

[- 4x + 2y = 2 nonumber ]

ضع في اعتبارك المجموعة التالية من المعادلات التي تحتوي على عدد لا نهائي من الحلول

[4x-2y = 6 بلا رقم ]

[6x-3y = 9 بلا رقم ]

افعل هذا

ارسم المعادلات التالية من -100 إلى 100

[18x + 21y = 226 nonumber ]

[72x-3y = 644 nonumber ]

سؤال

باستخدام الرسم البياني ، ما هو التقدير المرئي لحل هاتين المعادلتين؟ تلميح ، قد ترغب في تغيير نطاق (س ) إلى "تكبير" في التقاطع.

صورة العمود

أعتقد أن المبرمج الجيد هو شخص كسول. دعنا نتجنب كتابة جميع الأحرف في euqation أعلاه عن طريق تغييرها إلى تنسيق متجه للعمود على النحو التالي.

[ start {split} c left [ begin {matrix} 1 20 end {matrix} right] + b left [ begin {matrix} 1 5 end {matrix} right] = left [ start {matrix} 30 330 end {matrix} right] end {split} nonumber ]

لاحظ أن هذا لا يزال يمثل نفس نظام المعادلات. نكتب فقط الثوابت كمتجهات أعمدة وعلينا فقط كتابة المجهول مرة واحدة (نظرًا لأنها متماثلة لجميع المعادلات).

دعنا نرسم "صورة العمود" هذه ، والتي توضح كيف أن المعادلة أعلاه هي "تركيبة خطية" من متجهي عمودين.

تتمثل إحدى طرق التفكير في هذا في أنه لا يمكننا التحرك إلا في خطوط مستقيمة في اتجاهين. الاتجاه الأول (1،20) والثاني (1،5). حل المشكلة هو إلى أي مدى نحتاج إلى التحرك في كل اتجاه للوصول إلى وجهتنا النهائية (30،330).

العمود الأول متجه في الاتجاه (1،20). المتغير (c ) هو المدى الذي نريد الذهاب إليه في الاتجاه (1،20). ثم (b ) هو المسافة التي نريد الوصول إليها في الاتجاه (1،5) للوصول إلى النقطة (30،330).

سوف نستخدم ملفmatplotlibوظيفةسهملرسم النواقل. تأخذ وظيفة السهم نقطة بداية ([x، y] ) واتجاه ([dx، dy] ) كمدخلات وترسم سهمًا من نقطة البداية في الاتجاه المحدد.

أول شيء يجب فعله هو رسم العمود الأول كمتجه. من الأصل (0،0) إلى (c left [ begin {matrix} 1 20 end {matrix} right] )

أو (س = ج ) و (ص = 20 ج ) مع (ج = 12 )

الشيء التالي الذي يجب فعله هو رسم العمود الثاني كمتجه عن طريق إضافته إلى الأول. هذاسهمسيبدأ في نهاية المتجه السابق و "إضافة" متجه العمود الثاني:

والخلاصة إلى هذا الشكل هي أن هذين المتجهين العمودين ، عند إضافتهما معًا ، ينتهي بهما الحال عند النقطة التي تمثل الجانب الأيمن من المعادلة أعلاه (أي (30 ، 330)).

نقول أن متجهي العمودين "امتدادالطائرة (س ص ). هذا يعني أن أي نقطة على المستوى x ، y يمكن تمثيلها كمجموعة خطية من المتجهين.

سؤال

أعط مثالا لمتجهي عمودين اللذين يعملان ليس تمتد على (س ص ) - الطائرة


تصور وظائف عدة متغيراتوالأسطح

وظيفة F من متغيرين هو أ قاعدة التي تنتج من مدخلين عدديين ، على سبيل المثال x و ذ، ناتج رقمي مكتوب F(x, ذ). في بعض الأحيان سيكون من الأفضل التفكير F كما أخذ إدخال متجه واحد بدلا من اثنين من المدخلات العددية. الآن هناك طريقتان رئيسيتان لتصور مثل هذه الوظيفة:

  1. مؤامرة كفاف ، أو صورة ثنائية الأبعاد لـ منحنيات المستوى من السطح ، والتي لها معادلات الشكل F(x, ذ) = ج، أين ج ثابت.
  2. الرسم البياني للوظيفة ، وهو مجموعة النقاط (x, ذ, ض) في مساحة ثلاثية الأبعاد مرضية F(x, ذ) = ض.

نبدأ بتوضيح كيفية إنتاج هذين الطفلين من الصور في MATLAB ، باستخدام أوامر MATLAB سهلة الاستخدام للتخطيط ، و ezcontour و ezsurf. سوف نأخذ F معقدة بما يكفي لتكون ذات فائدة. لاحظ أن أوامر التخطيط لدينا تأخذ حقًا مدخلات التعبير تحدد الوظيفة ، بدلاً من الوظيفة نفسها. (بمعنى آخر ، نحن لا نستخدم ملف m أو دالة مضمنة كمدخل لأمر التخطيط.

نبدأ بالمؤامرة الكنتورية. كل ما نحتاجه كوسيطات لـ ezcontour هو التعبير ، الذي يجب رسم محيطه ، ونطاقات قيم x و y.

يخبرنا الترميز اللوني في مخطط الكنتور كيف قيم الثابت ج متفاوتة. إحدى الصور في هذه الحالة هي تضليل المحيط باللون الأزرق الداكن في المنتصف يجب أن يكون في الحقيقة شكل رقم ثمانية. سنرى لاحقًا سبب حدوث ذلك وكيفية اكتشافه.

لكن في الوقت الحالي دعونا ننتقل. الآن للحصول على صورة من الرسم البياني F:

إذا فعلنا ذلك من سطر الأوامر ، لكان بإمكاننا تدوير الشكل في الفضاء لنتمكن من رؤيته من زوايا مختلفة. لاحظ أن الرسم البياني عبارة عن سطح ، بمعنى آخر ، كائن هندسي ثنائي الأبعاد يجلس في مساحة ثلاثية. كل رسم بياني لدالة متغيرين هو سطح ، لكن ليس العكس. لاحظ أن MATLAB مرة أخرى تقوم بترميز الإخراج بالألوان ، حيث يشير اللون الأزرق إلى أصغر قيم للوظيفة ، ويشير اللون الأحمر إلى أكبرها.


مبتدئين الفكر

  1. لماذا من المفيد للطلاب مناقشة الصور الذهنية التي شكلوها؟
  2. تأخذ السيدة لاتيمر إجابات متعددة من الطلاب على نفس السؤال. ما هو تأثير هذا على ذلك؟
  3. كيف يمكن ربط هذا الدرس بالجمع والطرح؟
  4. راجع أيضًا معيار الممارسة الرياضية 7 في CCSS؟

40 تعليقات

تم إحضار هذا الدرس إلى صفي التعليمي 320 هذا العام. يدور الفصل حول تدريس الرياضيات بشكل منصف لجميع الطلاب. لقد تعلمت الكثير من الفيديو الخاص بك. شكرا جزيلا لك.

يتيح هذا الدرس للطلاب أن يكونوا في مجموعة وأن يقولوا إجاباتهم ، ولكنهم يعرفون أيضًا أنه لا بأس إذا لم يكونوا صحيحين ويحتاجون إلى مراجعة إجابتهم. إن مطالبة الطلاب بشرح إجاباتهم هي دائمًا طريقة رائعة لجعلهم يفهمون كيف توصلوا إلى هذا الاستنتاج وأيضًا السماح للمعلم برؤية كيف وصلوا إلى هناك. كما أن جعل الطلاب يكررون الطلاب يحافظ على مشاركتهم والاستماع إلى أقرانهم. إن سؤال الطلاب عما إذا كانوا قد رأوا ذلك بطريقة أخرى يسمح لهم أيضًا بفهم أنه لا توجد إجابة خاطئة حول كيفية معرفة عددهم.

مواد

النصوص

نسخ برنامج الصور السريعة v2

اسمي ستيفاني لاتيمر ودرس اليوم عبارة عن صور سريعة مع أطفال روضة الأطفال

نسخ برنامج الصور السريعة v2

اسمي ستيفاني لاتيمر ودرس اليوم عبارة عن صور سريعة مع أطفال روضة الأطفال

[00:00:15]
الصور السريعة نشاط سريع جدًا لإظهار مجموعات مختلفة من الأرقام ودرس اليوم كان يعمل على مجموعات حتى ثمانية.
[00:00:24]
المعلم: اليوم لدي ثلاث صور لك وسأعرضها لك بسرعة كبيرة وستعطيني إبهامًا هنا إذا كانت لديك فكرة عن عدد الصور التي رأيتها ومن ثم قد أسألك كيف رايتها. هل أنت جاهز؟ ها نحن.
[00:00:43]
في المرة الأولى التي أعرض فيها إحدى الصور التي أقوم عادةً بعملها حوالي ثلاث ثوانٍ. سيحسب الكثير من أطفالي ولا أريدهم أن يحسبوا حقًا ، أريدهم أن يروا مجموعات.

المعلم: أنا أبحث عن إبهام ، جي تي؟

المعلم: ثمانية. أبحث عن الإبهام ، إشعياء

[00:01:07]
المعلم: حسنًا ، لقد سمعت الكثير من الثمانينيات ، وسأعرض عليك مرة أخرى ولا بأس إذا كنت بحاجة إلى مراجعة إجابتك أو إذا كان لديك نفس الإجابة. هل أنت جاهز؟ حسنًا ، ها نحن ذا مرة أخرى.

[00:01:19]
كنت أعرض الصور على الشاشة من كاميرا المستندات وكان ذلك كثيرًا بالنسبة لهم. المغناطيسات على الإطار 10 ، على السبورة البيضاء ، كان ذلك أسهل بالنسبة لي.

[00:01:43]
المعلم: لقد رأيت ثمانية. هل يمكن أن تخبرني كيف رأيت ثمانية؟ سأقوم بطرحه مرة أخرى حتى تتمكن من رؤيته.

الطالب: هناك 5 في الأعلى و 30 في الأسفل

[00:01:53]
المعلم: لقد قلت أن هناك 5 في الأعلى و 3 في الأسفل. هل يمكن لأحد أن يخبرني بما قالته ميشيل للتو. كورتني ، ماذا قالت ميشيل للتو

الطالب: هناك 5 في الأعلى و 3 في الأسفل

[00:02:04]
المعلم: خمسة في الأعلى و 3 في الأسفل. هل رأى أي شخص آخر ذلك بهذه الطريقة؟ هل يمكنك القيام بذلك إذا رأيت 5 في الأعلى و 3 في الأسفل. حسنًا ، سنقوم بعمل واحد آخر ، هل أنت مستعد لذلك؟

المعلم: أنت محق _____ ، هل سمعته؟

[00:02:23]
المعلم: قال إنها ستظل ثمانية. حتى الآن أنت تعرف كم هو ، أليس كذلك.

المعلم: كم ستكون؟

المعلم: سنكون ثمانية. لذلك لا أريد أن أعرف بعد الآن كم عددهم. اريد ان اعرف كيف تراهم هل أنت جاهز؟ نعم.

[00:02:41]
المعلم: لم تعد تخبرني كم مرة ، أنت تخبرني كيف رأيتهم. K___ ، هل يمكن أن تخبرني كيف رأيتهم؟

الطالب: رأيت 2 في الأسفل و 1 في الأعلى و 4 هناك و 1 هناك

[00:03:03]
المعلم: حسنًا ، أنت ترى 2 و 1 ، ثم 4 ، و 1. حسنًا. هل يرى أحدهم بطريقة مختلفة؟ هل يرى أي شخص ذلك بطريقة مختلفة؟ جيلين ، هل يمكن أن تخبرني كيف رأيت ذلك؟

الطالب: هناك 4 في الأسفل و 4 في الأعلى

[00:03:19]
المعلم: أوه ، إذن أنت تنظر إلى الأسفل هنا ، هكذا ، وإلى الأعلى هنا هكذا. هل يمكن لأحد أن يخبرني بما قاله جيلين للتو ، لورا جان ، ماذا قال؟

الطالب: لقد قال للتو أن هناك 4 في الأعلى و 4 في الأسفل

[00:03:32]
المعلم: أربعة في الأعلى ، و 4 في الأسفل ، أي شخص آخر يراها بهذه الطريقة؟

[00:03:36]
أعتقد أن القطعة الأكثر قيمة هذا العام لأطفالي كانت مجرد رؤية مجموعات ، يمكن أن تكون الأرقام في العديد من الأنواع المختلفة من التوليفات. لذلك بدأنا بالرقم 5 ورأينا فقط حسنًا هناك 5 لذا 5 وصفر. أو بالنظر إليها في مجموعة أخرى ، حسنًا هناك 4 و 1 أو 1 و 4 ، وهم يجيدون حقًا فهم أن 4 و 1 يمكن أن تكون 5 ، و 1 و 4 يمكن أن تكون 5 ، فقط 5 تتكون من الكل هذه الارقام.

[00:04:05]
المعلم: لكني أعتقد أنني أرى بعض الأيدي بطريقة مختلفة. أشعياء ، هل رأيت الأمر بطريقة مختلفة؟

[00:04:11]
المعلم: أوه ، لقد عدت بمقدار 2 ثانية. هل يمكنك أن تأتي وتفعل ذلك من أجلي بسرعة كبيرة حتى نعرف ما تقصده؟

[00:04:20]
المعلم: حسنًا ، هذه طريقة سريعة للعد ، أحب ذلك.

[00:04:23]
الشيء الذي كان صفي يعمل عليه على وجه التحديد هو مجرد إجراء محادثات حول الرياضيات.

المعلم: من الواضح ____ أن الكثير من الأشخاص يفعلون ذلك ، لقد رأيتم الأمر بنفس الطريقة….

[00:04:33]
لذا بدلاً من مجرد إعطاء إجابة أخبرت أطفالي بها كثيرًا ، لا أريد أن أعرف إجابتك ، أريد أن أعرف كيف توصلت إليها أو كيف تعرفها.

الطالب: هناك 5 في الأعلى و 2 في الأسفل وهذه هي نفس الطريقة الأولى ولكن هناك 5 هناك وهناك واحد ، اثنان ، ثلاثة هناك

[00:04:51]
المعلم: إذن أنت تقول أن هذه هي نفس الصورة الأولى التي شاهدناها؟ خمسة و 3 و 5 في الأعلى و 3 في الأسفل. أوه ، أنا أحب الطريقة التي جعلت بها هذا الاتصال ، عمل جيد.

[00:05:00]
لاختتام الصور السريعة ، فأنا دائمًا ما أذكر نوعًا ما الغرض من ذلك اليوم. لذلك كان الغرض اليوم هو مجموعات مختلفة إلى 8.

المعلم: كم عدد الموجودين هنا مرة أخرى؟

[00:05:11]
المعلم: وقد رأينا اليوم 8 بعدة طرق مختلفة. رأينا 8 مثل 5 و 3 ورأينا 8 ، إشعياء عد 2 ، 4 ، 6 ، 8. الكثير من 2s. ورأينا 8 4 و 4. لذلك رأينا 8 طرق مختلفة اليوم. عمل رائع.

[00:05:28]
الصور السريعة بالنسبة لنا هي مثال جيد لما تعنيه في النواة المشتركة من خلال تقسيم الصور إلى أجزاء فرعية أو القدرة على فرز الصور لأشياء حتى 10 ، في أي نوع من التكوين.


الموجه المرئي رقم 2: فصل بنية الطرح

هنا & # 8217s المشكلة الثانية في الفيديو:

أوقف الفيديو مؤقتًا أو اعرض الصورة التالية للسماح للطلاب باستخدام أدواتهم اليدوية لتمثيل حل.

في كثير من الأحيان ، قد نشعر أنه من المفيد وضع الكلمة & # 8220غادر& # 8221 على حائط أو مخطط ربط لكلمات الطرح. ومع ذلك ، ما يمكن أن يكون أقوى بكثير من هذا هو جعل الطلاب يفهمون السياق الكامل لهذه المشكلة التي تتضمن:

لذلك بدلاً من النظر إلى الطرح على أنه شيء لا علاقة له تمامًا بالإضافة ، يمكننا الاستفادة من العلاقة الجوهرية الموجودة بين الجمع والطرح من خلال الاستفادة من التمثيلات المرئية والملموسة ذات المظهر المتشابه للغاية:

لاحظ أن هذا التمثيل يبدو مطابقًا تقريبًا لمشكلة الإضافة السابقة في الموجه المرئي الأول ، ولكن البداية هي المجموعة الكبيرة والنتيجة هي المجموعة الأصغر. نظرًا لأن الجمع والطرح عمليتان متعاكستان ، فمن المنطقي أن يكون عكس ذلك انضمام سيتم استدعاء بنية السؤال يفصل.


5.2: تصور المشكلة - الرياضيات

مجموعة المشاكل 5.2

المشكلة 5.2.1. في الشكل ، ABCD عبارة عن حوض سباحة مستطيل. أنت في نقطة محددة جيدًا P في المسبح ، وتحتاج إلى السباحة إلى الضفة BC ، ثم إلى القرص المضغوط ، ثم إلى DA ، وأخيرًا العودة إلى النقطة الأصلية P. تريد تقليل إجمالي مسافة السباحة حول المسار من P والعودة إلى P. ويقترح الشكل كيفية تحقيق هذا الهدف وتبرير المسار PQST هو الأقصر. افتح ملف GSP إذا كنت بحاجة إليه.

أ. صف كيفية بناء المسار المطلوب PQST

بناء انعكاس لـ P في BC.

بناء انعكاس P 'في القرص المضغوط

بناء انعكاس لـ P '' في AD

أنشئ P '' P لتحديد موقع T على AD. قم بإنشاء TP '' لتحديد موقع S على القرص المضغوط. إنشاء SP 'لتحديد موقع Q.

ارسم PQST.

ب. أثبت أن المسار PQST أقصر من أي مسار من P إلى النقطة X على BC ، ثم إلى النقطة Y على القرص المضغوط ، ثم إلى النقطة Z على AD ، والعودة إلى P.

سيكون كافيًا لإثبات ذلك لـ PXST. هذا يتبع نتيجة المشكلة 5.1.5.

ج. إذا كانت P '' هي صورة P '' تحت الانعكاس في السطر AD ، فأثبت أن تقاطع الخطين PP '' و AD هو النقطة T.

نظرًا لأن P '' هي انعكاس لـ P '' في AD ، إذن في المسألة 5.1.5 ، T هي النقطة التي من شأنها أن تعطي الحد الأدنى من المسار من P إلى P ''. لكن P '' هي صورة P 'في القرص المضغوط وستكون s هي النقطة الموجودة على القرص المضغوط للمسار الأدنى من T إلى P'. أخيرًا ، P 'هو انعكاس P في BC ولذا فإن Q ستكون النقطة على BC للحد الأدنى من المسار من S إلى Q إلى P.

PQ = P'Q ،

P'S = P'Q + QS ،

P'S = P''S ،

P''S + ST = P 'T ،

P '' T = P '' T ،

و PT + TP '' = PP ''

إذن ، PP '' = PT + TP ''

= PT + TP "

= PT + ST + P''S

= PT + ST + P'S

= PT + ST + QS + P'Q

= PT + ST + QS + PQ

نظرًا لأن PP '' عبارة عن خط مستقيم يساوي طوله PT + ST + QS + PQ ، فإن Q و S و T هي نقاط الانعكاس المرغوبة.

د. إثبات أن PQST متوازي أضلاع.

من المشكلة 5.1.6 الجزء أ ، نحن الآن أنه إذا كان الخط يعكس سطحين متعامدين ، فإن الخط إلى السطح الأول والخط من السطح الثاني يكونان متوازيان. لذلك فإن PQ موازية لـ ST و QS موازية لـ PG.

ه. افترض أن جانبي المستطيل ABCD لهما أطوال أ و ب ، حيث BC = a و CD = b و a & gt b. ارسم رسمًا بيانيًا لنظام إحداثيات بحيث يكون A في الأصل ، و AD على المحور x ، و AB على المحور y. إثبات أن PQST مستطيل إذا وفقط إذا كانت P داخل المستطيل على مسافة a - b من الجانب AB أو القرص المضغوط الجانبي

إذا كان PQST عبارة عن مستطيل ، فإن كل من المثلثات القائمة على جانبي أحد جوانب PQRS هي مثلثات متساوية الساقين قائمة. لنفترض أن x و y هما أطوال المثلثين المختلفين الحجم. ثم x + y = b والخط العمودي المار بـ P يقطع مربعًا من ABCD. إذن ، يجب أن تكون مسافة P من AB مساوية لـ a - b.

على العكس من ذلك ، إذا كانت P هي المسافة من AB إلى AB ، فسيتم قطع مربع ، والمثلثات متساوية الساقين ، و PQST مستطيل.

F. باستخدام نظام الإحداثيات من الجزء e ، لنفترض أن P تكون (x 0 ، y 0) وتكون P a - b وحدات بعيدة عن AB. إذا كان PQST مستطيلًا ، فأوجد إحداثيات Q و S و T بدلالة a و b و x 0 و y 0.

P = (س 0 ، ص 0)

س = (أ - ص 0 ، ب)

S = (أ ، ب - ص 0)

T = (س 0 + ص 0 ، 0)

ز. أظهر أن هناك نقطة واحدة فقط في الجزء الداخلي من ABCD بحيث يكون المسار PQST مربعًا. أين هذه النقطة؟

نظرًا لأن PQST يجب أن يكون مستطيلًا ، x 0 = a - b. الآن إذا كان PQST مربعًا ، فإن PQ = QS ومثلثات الزوايا الأربعة متطابقة. يجب أيضًا أن تكون متساوية الساقين وبالتالي y 0 = b / 2.

ح. افترض أن حمام السباحة كان على شكل مربع. لأي نقطة سيكون PQST مستطيلًا ولأي نقطة سيكون مربعًا. يبرر. . . (لاحظ وجود خطأ مطبعي في النص..)

لدينا a - b = 0 وبالتالي لكي تكون PQST مستطيلة ، يجب أن تكون النقطة P على طول AB. لكي تكون مربعًا P ، يجب أن تكون نقطة منتصف AB.

أنا. أثبت أنه إذا كانت P على المسافة من a - b من الضلع AB من المستطيل ABCD ، وتم رسم خط يمر عبر P وهو عمودي على الجانب AD ، فإن حدود المنطقة المظللة تكون مربعًا.

الأصفر له ارتفاع = ب

العرض = أ - (أ - ب) = ب

لذلك فهو مربع.

في الشكل التالي ، B عبارة عن كرة و H حفرة في ملعب غولف مصغر. إذا كنت تريد أن ترتد الكرة عن الجدران الثلاثة ، فقم بوصف كيفية إيجاد النقاط P و Q و S في الرسم التخطيطي. افترض أن زاوية السقوط تساوي زاوية الانعكاس. أثبت أن المسار B-P-Q-S-H هو أقصر مسار يربط B بـ H عبر النقاط الموجودة على الجدران الثلاثة.

الحل هو شيء من هذا القبيل:

هل افترضت أن زوايا الشكل كانت زوايا قائمة؟ إذا كان الأمر كذلك ، فهل استخدمت هذا الافتراض في أي مكان في الحل؟

جرب نفس المشكلة مع هذا التصميم الثاني. انقر هنا للحصول على ملف GSP لاستكشاف هذا التصميم.

ماذا عن هذا الجدار الثاني على شكل قوس دائري؟ إنه في الصفحة 2 من ملف GSP.

يكون المشكال على شكل منشور وله قاعدة على شكل مثلث متساوي الأضلاع ضلعه عبارة عن وحدة. يتم إرسال شعاع من الضوء من النقطة P على قاعدة المنشور بزاوية 60 درجة وينعكس من الجوانب العاكسة ، والتي تكون عمودية على القاعدة.

أ) قم ببناء المسار الذي يتبعه شعاع الضوء.

ب) ابحث ، من حيث أ ، عن طول المسار الذي يتبعه شعاع الضوء من P إلى اللحظة التي يصل فيها إلى P مرة أخرى.

تعليق: لقد وجدت الصورة في الكتاب محيرة بعض الشيء لذا قمت ببناء صورة لمنشور مثلثي بقواعد مثلثات متساوية الأضلاع كما هو موضح هنا. ملف GSP لهذه الإنشاءات.

يخطط: يمكننا أن نعتبر مسار الحزمة في المثلث متساوي الأضلاع الذي يشكل القاعدة سيكون هو نفسه بالنسبة لأي مقطع عرضي للمنشور. فيما يلي وصف للخطوات القليلة الأولى.

سيتعرف بعضكم على أن هذه حالة خاصة (مثلث متساوي الأضلاع) لمشكلة Barney Bouncing من EMAT 6680 و Project Intermath. تمامًا كما هو الحال مع Bouncing Barney ، هناك حاجة لإثبات أن المسار سيرجع النقطة P (الجزء أ) ويعثر على طول الرحلة. هل سيكون طول الرحلة هو نفسه لجميع النقاط P على جانب المثلث؟

لماذا تفترض أن هذه المشكلة قد تم تضمينها في مجموعة مشكلة حول استخدام التوازنات في التركيبات الهندسية؟ هل استخدمت المقاييس المتساوية؟

انظر ملف GSP للحلول

قد يكون & quotmotivation & quot للخطوات الرئيسية على النحو التالي. إذا كانت النقطة Y على الدائرة على مسافة متساوية من P حيث أن النقطة X على الخط هي من P ، فإن قياس تساوي H P سيعين X على Y أو العكس. لا نعرف موقع X أو Y ، لذا استخدم H P لتعيين الخط على صورة. ستتقاطع الصورة مع الدائرة ويكون كل تقاطع نقطة Y. ثم ستحدد خريطة هذه النقاط بواسطة H P نقاط X على الخط.

أو . . . يمكننا استخدام HP لتعيين دائرة على صورتها. ستكون التقاطعات هي نقاط X المطلوبة. ارسمها بواسطة H P لتحديد نقاط Y على الدائرة.

اجعلك تملك ملف GSP لتراه منتهيًا.

من الممكن أنه لا يوجد حل. متى؟

تحت أي شرط سيكون هناك حل واحد فقط إذا كان خط الصورة ل مماس الدائرة. ما علاقة الخط المستقيم P والدائرة في هذه الحالة؟

المشكلة 5.2.5

ABCD عبارة عن طاولة بلياردو مستطيلة مكونة من وحدة ب وحدة. ضربت كرة موضوعة على الجانب AB باتجاه الجانب BC بزاوية 45 درجة. يرتد كما هو موضح في الشكل ويعود إلى موضعه الأصلي P.

أ. أوجد كل قيم a و b التي تحدث لها هذه الظاهرة لكل نقطة على الجانب AB. (تلميح: دع P (0، h) ، حيث 0 & lt h & lt b ، واحسب إحداثيات Q و S و T و U و V بدلالة a و b و h.

ب. افترض أن P عند (ك ، ح) في داخل المستطيل. استخدم النتيجة من (أ) لإيجاد حالة ضرورية وكافية (تتعلق بـ k و h و a و b) بحيث تتبع الكرة المرسلة من نقطة بزاوية 45 درجة باتجاه الجانب BC مسارًا مشابهًا لتلك الموضحة في الشكل والعودة إلى P.

ملف GSP

يجب إنشاء طريق سريع يربط بين مدينتين A و B بحيث يكون جزء من الطريق السريع على جسر عمودي على ضفتي النهر a1 و a2 وجزء آخر من الطريق السريع على جسر ثانٍ عمودي على الضفاف المتوازية b1 و b2 من النهر الثاني. أين يجب بناء الجسور بحيث يكون الطريق السريع أقصر ما يمكن؟ صِف البناء ، وأنشئ الجسور والطريق السريع ، وأثبت أن الطريق السريع الذي شيدته هو الخيار الأقصر.

يوجد ملف GSP لتستخدمه في البناء الخاص بك.

ملف حل GSP بواسطة Mike Walliser.

يجب إنشاء طريق جديد يربط بين الشارعين A و B. يجب أن يكون الطريق ، الذي يحمل علامة XY في الشكل في الكتاب ، موازيًا لـ PQ ونفس طول PQ. ابني الطريق. حفز بناءك وأثبت صحته.

الخطة: ستحدد إما ترجمة الشارع A بواسطة المتجه QP أو ترجمة Street B بواسطة المتجه PQ أحد التقاطعين. ستحدد الترجمة العكسية على التقاطع التي تم تحديدها الأخرى.

دليل:

نظرًا لأن الترجمة هي قياس متساوي القياس ، يتم تعيين كل نقطة في الشارع B إلى خط صورة موازٍ للشارع B. تقاطع خط الصورة والشارع A هو النقطة Y. نظرًا لأن Y هي نقطة صورة لبعض الصور الأولية في الشارع B ، فإن ستقوم الترجمة العكسية بتعيين Y إلى صورتها السابقة X. نظرًا لأن Y يتم تعيينها إلى X بواسطة ترجمة تحددها PQ ، فإن الجزء XY يكون موازيًا لـ PQ من خلال تعريف الترجمة.

افتح ملف GSP إذا لزم الأمر.

يمكن أن يكون لدينا أيضًا حالة يولد فيها هذا الإجراء عددًا لا حصر له من الحلول - إذا كان للدائرتين نفس نصف القطر وتم تحديد موقع P ، فإن صورة O 1 تحت H P كانت O 2 .

في حالة وجود دائرتين ، كيف يمكنك تحديد المنطقة التي يمكن تحديد موقعها؟

اقتراح واحد: العمل إلى الوراء. لنأخذ دائرتين معطيتين ، ونوجد A على واحدة و B على الأخرى. بناء الجزء AB. حدد موقع نقطة المنتصف P. الآن حرك الحركة A و B في دوائر كل منهما وتتبع موقع P. ماذا تتوقع؟ قم بإنشاء نظام الأفضليات المعمم أو جربه هذا.

قد لا يكون البناء ممكنًا لبعض التباعد بين الدوائر متحدة المركز. هل يمكنك تحديد متى سيكون هذا هو الحال؟ أعتقد أن التكوين الوارد في الكتاب المدرسي قد يكون تكوينًا لا وجود له في البناء.

أعط ثلاث دوائر متحدة المركز يمكن بناءها ، فهناك 24 طريقة على الأقل للقيام بالبناء. يتم عرض اثنين هنا.

انظر ملف GSP للمناقشة والمزيد من التركيبات في الصفحة 2.


تمارين 5.2

المثال 5.2.1 افترض أن الرسم البياني المتصل $ G $ به تسلسل درجات $ d_1، d_2، ldots، d_n $. ما هو عدد الأضلاع التي يجب إضافتها إلى $ G $ بحيث يحتوي الرسم البياني الناتج على دائرة أويلر؟ يشرح.

المثال 5.2.2 ما هي الرسوم البيانية الكاملة $ K_n $ ، $ n ge 2 $ ، التي بها دوائر أويلر؟ الذي يمشي أويلر؟ برر إجاباتك.

المثال 5.2.3 أثبت أنه إذا تم ربط الرؤوس $ v $ و $ w $ بجولة تم ربطها بمسار.

المثال 5.2.4 وضح أنه إذا كان $ G $ متصلاً وله بالضبط 2k $ رؤوس من الدرجة الفردية ، $ k ge1 $ ، يمكن تقسيم حوافه إلى $ k $ مناحي. هل هذا صحيح بالنسبة إلى $ G $ غير المتصل؟


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


الرياضيات

برنامج روزيث للتفكير
في برنامج Rosyth Thinking (RTP) هذا ، يواجه طلاب المرحلة P3 تحديات في مهام التفكير التي تم وضعها في سياقات مثيرة للاهتمام وحقيقية ، وتم إنشاؤها باستخدام سؤال مفتوح أو تطور. هذه المهام قائمة على المحتوى ، وعادة ما تكون مفتوحة ومتعددة الأبعاد. وبالتالي ، فإنها تثير فضول الطلاب وتقودهم بشكل طبيعي للبحث عن حلول. أثناء بحثهم عن إجابات خارجة عن المألوف ، سيحتاجون إلى التفكير بشكل نقدي وإبداعي في المشكلات والحلول الممكنة لها. يستخدمون مهارات مثل صنع التخمينات والتحليل والتوليف وتقييم المعلومات التي تم جمعها من الملاحظات والتجارب والاستدلال والتواصل.

المدرسة تدمج متباينة "التحدي - إثراء - الدعم" نهج في مهامها وأنشطتها. يواجه الطلاب ذوو القدرات العالية تحديًا في تفكيرهم ، بينما توجد هياكل دعم لتشجيع الأقل قدرة.

حل المشاكل

يعد حل المشكلات الرياضية أمرًا أساسيًا لتعلم الرياضيات. إنه ينطوي على اكتساب وتطبيق مفاهيم ومهارات الرياضيات في مجموعة واسعة من المواقف ، بما في ذلك المشاكل غير الروتينية والمفتوحة وفي العالم الحقيقي.

يتمثل أحد أهداف تعليم الرياضيات في تطوير التفكير الرياضي ومهارات حل المشكلات وتطبيق هذه المهارات لصياغة وحل المشكلات.

يمكن تسهيل حل المشكلات عندما يكون الأطفال مجهزين عقليًا بمجموعة جاهزة من مهارات التفكير والاستدلال.

مهارات التفكير الأساسية هي:

  • التصنيف - ترتيب قطع المعلومات في مجموعات ذات مغزى
  • المقارنة - عمل مقارنات بين المجموعات أو أجزاء من المعلومات
  • التسلسل - ترتيب المعلومات في ترتيب ذي مغزى / منطقي
  • تحليل الأجزاء والكلمات - مقارنة وتصور وتوليف أجزاء مختلفة من المعلومات وفهمها ككل
  • تحديد الأنماط والعلاقات
  • الاستقراء - عمل تعميمات باستخدام أمثلة محددة
  • الاستنتاج - استنتاج أمثلة محددة مختلفة من تعميمات معينة
  • التصور المكاني - التلاعب عقليًا ("الخيال المنطقي") بشيء / مشكلة بدون مواد ملموسة
  • الاستدلال هو الأدوات التي يستخدمها الأطفال بناءً على الخطة التي قاموا بإنشائها من مهارات التفكير لديهم.
  • المدرجة أدناه هي الاستدلال ، مصنفة إلى 4 مجموعات ، والتي يمكن للأطفال توظيفها في مساعدتهم على حل المشاكل.

المصدر: منهج الرياضيات الابتدائي 2007 (انقر)

  • لتقديم تمثيل - على سبيل المثال ارسم مخططًا ، وقم بعمل قائمة ، واستخدم المعادلات
  • لعمل تخمين محسوب - على سبيل المثال التخمين والتحقق ، والبحث عن الأنماط ، والافتراضات
  • لمتابعة العملية - على سبيل المثال اعمل بها ، اعمل بشكل عكسي ، قبل المفهوم وبعده
  • لتغيير المشكلة - على سبيل المثال أعد صياغة المشكلة ، وتبسيط المشكلة ، وحل جزء من المشكلة


خطوات حل المشكلات

تعد معرفة كيفية حل المشكلات مهارة مهمة وجزءًا أساسيًا من حياتنا. بذل عالم الرياضيات جورج بوليا جهدًا كبيرًا في محاولة وصف الأساليب التي يستخدمها الناس لحل المشكلات ، ووصف كيفية تدريس حل المشكلات وتعلمه.

ابتكرت بوليا نهجًا عامًا يمكن للمرء اتباعه لحل مشكلة ما.

4 خطوات لحل المشكلات

الخطوة 1: افهم المشكلة

  • اقرأ المشكلة بعناية لفهم ما هو مطلوب في المشكلة.
  • قسّم المشكلة إلى أقسام أصغر وافهم كل قسم جيدًا قبل الانتقال لفهم القسم التالي.
  • ارسم أو اكتب المعلومات الواردة في المسألة بصيغة أبسط لمساعدتك على الفهم بشكل أفضل.

الخطوة 2: خطط لما يجب القيام به / ضع خطة

الخطوة 3: قم بذلك / نفذ الخطة

  • استخدم المهارات الحسابية والمهارات الهندسية والتفكير المنطقي لتنفيذ خطتك لحل المشكلة.

الخطوة 4: التحقق من الحل / المراجعة

  • تحقق من معقولية الحل الخاص بك
  • تحسين الطريقة المستخدمة
  • ابحث عن حلول بديلة
  • قم بتوسيع الطريقة لتشمل مشاكل أخرى

باختصار ، الخطوات الأربع لحل المشكلات هي

للآباء: مساعدة طفلك في أداء واجباته المدرسية

حل مشاكل الكلمات

تابع خطوات حل المشكلات معًا.

الخطوة 1: افهم المشكلة

ساعد طفلك على فهم المشكلة من خلال جعله يقرأ بصوت عال جملة واحدة في كل مرة. اطلب من طفلك أن يشرح فهمه للجملة التي قرأها بكلماته الخاصة. بمجرد أن يفهم طفلك الجملة ، انتقل إلى الجملة التالية.

بعد فهم المشكلة ، حث طفلك على التفكير في كيفية حل المشكلة. امنح طفلك الوقت لاستكشاف طرق مختلفة لحل المشكلة. شجعه على الحديث عما يفكر فيه. تحدى طفلك لإيجاد طرق بديلة لحل المشكلة.

اطرح أسئلة إرشادية مثل.

انصح طفلك بكتابة جمل رياضية مناسبة لإظهار عملية حل المشكلة. طور عادة إظهار جميع الأعمال بوضوح حيث سيتم منح علامات الطريقة في الامتحانات.

يجب على طفلك قراءة السؤال مرة أخرى والإجابة حسب ما هو مطلوب. قراءة السؤال وكتابة بيان الإجابة النهائية هي آلية تدقيق للتأكد من إعطاء الإجابة الصحيحة. (على سبيل المثال ، إعطاء الإجابة في الوحدة المطلوبة)

الخطوة 4: تحقق من الحل

اطلب من طفلك التحقق من إجابته. اطرح أسئلة إرشادية مثل.

  • "كيف حصلت على هذه الإجابة؟"
  • "هل إجابتك معقولة؟"
  • كيف تعرف أن إجابتك صحيحة؟ "
  • "هل استخدمت طريقة أخرى للتحقق مما إذا كانت إجابتك صحيحة؟"

إن اتباع خطوات حل المشكلات سيساعد طفلك على أن يصبح مفكرًا مستقلاً وحل المشكلات.

مساعدة طفلك عندما تكون إجابته خاطئة

إذا حصل طفلك على إجابة خاطئة ، فاطلب من طفلك أن يشرح كيف حل المشكلة. قد يساعدك تفسيره في اكتشاف ما إذا كان يحتاج إلى مساعدة في المهارات الحسابية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة أو مع المفاهيم التي ينطوي عليها حل المشكلة.

تذكر:
لا تقدم الإجابات على الفور. إعطاء الإجابات لن يساعد طفلك. تعلم الرياضيات هو أكثر من مجرد إيجاد الإجابة الصحيحة. إنها عملية حل المشكلات وتطبيق المعرفة الرياضية على المشكلات الجديدة.

Common reasons why some children do not do well for long structured questions

Using a tedious method

The key to doing well in Mathematics is learning when to apply the methods learnt. There is a basic set of methods which children have learnt that can be used for all questions e.g. unitary method, listing, working backwards.

Although children know how to use various different problem-solving methods, they have difficulty knowing when to apply them effectively. Many children often choose the wrong (and often more difficult) methods instead of the ones mentioned above. If children choose the wrong or more time-consuming methods (e.g. Guess and Check), they may not have enough time to sufficiently complete and check their solutions during an examination.

Poor time management

Sometimes children spend too much time on questions that they cannot solve easily. If they encounter difficulty solving a question, they should skip that question and continue to solve the remaining questions. They can come back to attempt the question again when all the other questions have been completed.

Spending too much time on a question may result in less time or insufficient time for other questions that could be solved easily.


4 steps to solve even the toughest math problem and improve your math skills

There are multiple ways to solve math problems however, a simplified method that can help everyone to solve even the toughest problem is a three-step process.

The process is:

1. Visualize the problem
2. Approach to be followed for that problem
3. Lastly, solve the problem

This three-step process could probably help you to improve your overall math skills.

Here are four steps to help solve any math problems easily:

1. Read carefully, understand, and identify the type of problem

When you first start studying math, check the type of problem -- whether it is a word problem, of concerning fractions, quadratic equations, or any other type.

Define the category in which your math problem fits in before you move forward as it will help with the best solution to solve it.

Reading the problem carefully and ensuring that you have understood the problem correctly is extremely important for taking the next steps.

2. Draw and review your problem

Once you have understood the problem, the next step could be to draw the problem as it will help you with the way forward. The drawing can be simple in form of shapes or shapes with numbers.

Here you could also probably look for patterns or make use of graphs. Once this entire process of understanding, reading and drawing is conducted you need to review the analysis you have made out of it.

This will help you to decide the type of problem and the method to solve it.

3. Develop the plan to solve it

There are four simple steps which one needs to go through in order to develop a plan to solve it. The steps are as mentioned below:

  • Firstly one needs to figure out the formula you will need to solve the problem. Here you need to spend some time reviewing the concepts in your textbooks which will help you solve the problem
  • You need to write down your need in order to get the answer to your problem. For this, you need to make a step-by-step list of the things which you need to solve the problem and also help you to stay organised
  • In case there is an easier problem which is available then you could probably work on that first to solve it. Sometimes, the formulas are repetitive for solving both the problems. This will give you some more time to solve the difficult problem
  • You can make an educated guess about the answer so that you can try and get the estimate the answer before you start to solve it. Here you can identify the number and other factors as well that will contribute to the same. Lastly, review the estimate and then check if you haven't left out on anything

4. Solve the problem

Once your strategy and method to solve the problem are ready you could start solving it. The steps are as below:

  • Ensure that all the steps which you had listed to solve the problem are completed. Cross check each of your answers to ensure that the accuracy is perfect
  • Compare the answer with the estimates which you have listed after completion of each and every step. This will have you to save time in case the end result is not what you were looking for. Also check if you have completed all the steps carefully
  • In case you realize in the middle that your plan isn't working then you can always go back to the planning stage and make a new plan. Sometimes due to common mistakes, this happens but you should learn to accept it and be ready with Plan B to solve it
  • Once you have solved the problem correctly, you should go back and look at the process. Take a moment to reflect on the problem and the method through which you have solved it. This will help in identifying concepts that you need to learn while practicing.

- Article by Sudhanshu Sinhal, Managing Director, Sinhal Classes Pvt. Ltd.


The Standard Algorithm is the Same As Multiplying Two Binomials

You may recall the acronym “FOIL” which is commonly used for students to remember how to multiply two binomials. While I am guilty for teaching this memorization tool in my math class until only a few years ago, I now understand that using tricks like “FOIL” to teach important math concepts is not helpful (and maybe even harmful).

What if instead of simply teaching students “FOIL” or “double-distribution”, which is a skill limited to the very specific case of multiplying two polynomials with two terms, we actually helped students to visualize what multiplying binomials really looks like?

What we see in the previous example is:

9 x 12
= (5 + 4)(10 + 2)
= 5 x 10 + 5 x 2 + 4 x 10 + 4 x 2
= 50 + 10 + 40 + 8
= 108

It might not be obvious to those who have never worked to make a connection, but what the standard algorithm we teach in grade 5 is actually the same procedure we teach students when multiplying binomials in grade 10.

As we head into grade 9 and 10, the thinking becomes more abstract due to the use of variables.

Some Expectations from Grade 9 Academic:

  • multiply a polynomial by a monomial involving the same variable [e.g., 2x(x + 4), 2x^2(3x^2 – 2x + 1)], using a variety of tools (e.g., algebra tiles, diagrams, computer algebra systems, paper and pencil)
  • expand and simplify polynomial expressions involving one variable [e.g., 2x(4x + 1) – 3x(x + 2)], using a variety of tools (e.g., algebra tiles, computer algebra systems, paper and pencil)

And here’s a couple examples of what these might look like if we use arrays and area models from grade 3 onwards:

An Expectation from Grade 10 Academic:

  • expand and simplify second-degree polynomial expressions [e.g., (2x + 5)^2,
    (2x – y)(x + 3y)], using a variety of tools (e.g., algebra tiles, diagrams, computer algebra systems, paper and pencil) and strategies (e.g., patterning)

Here’s an example of what this might look like:

If we are helping students understand what math looks like whenever and wherever possible as I have tried to do in this post for the progression of multiplication, then it would seem logical that some of these quite challenging expectations would be much less complex if we use arrays and area models prior to rushing to the algorithm.

How are you learning in order to better understand what math looks like concretely and visually?

Be sure to check out our problem based multiplication lessons to teach through task so all students can access rich mathematical experiences!


شاهد الفيديو: تعرف على مشكلة علا الفارس مع مادة الرياضيات موقع جي كلاس (كانون الثاني 2022).