مقالات

6.4: أعمدة مزخرفة - رياضيات


الهدف من هذا القسم هو إظهار كيف يمكننا إنشاء فئة رسم بياني تشكيلي تكون أشكالها عبارة عن دوائر كهربائية. سيؤدي القيام بكل هذا إلى ربط الكثير من النهايات السائبة: colimits و cospans والدوائر وفئات hypergraph.

مفاعلات أحادية متماثلة

التعريف التقريبي 6.68.

دع (C ، أنا (_ {C} ) و ⊗ (_ {C} )) و (D ، أنا (_ {D} ) ، ⊗ (_ {D} )) تكون مجموعات أحادية متماثلة. لتحديد أ ممتلئ أحادي متماثل (F، φ) بينهما ،

(ط) يحدد أحد الممثلين F : C → D ؛

(2) يحدد المرء التشكل φ (_ {I} ): أنا (_ {د} ) → F(أنا (_ {C} )).

(ثالثا) لكل منهما ج(_{1}), ج (_ {2} ) ( in ) Ob (C) ، أحدهما يحدد التشكل

φ (_ {c1، c2} ): F(ج (_ {1} )) ⊗ (_ {D} ) F(ج(_{2})) → F(ج (_ {1} ) ⊗ (_ {C} ) ج(_{2})),

طبيعي في ج (_ {1} ) و ج(_{2}).

نسمي الخرائط المختلفة φ خرائط التماسك.

نحن نطلب خرائط التماسك للامتثال لبديهيات مسك الدفاتر التي تضمن حسن التصرف فيما يتعلق بالبنى الأحادية المتماثلة على C و D. إذا كانت φ (_ {I} ) و φ (_ {c1، c2} ) التماثل للجميع ج(_{1}), ج (_ {2} ) نقول أن (F، φ) هو قوي.

مثال 6.69.

ضع في اعتبارك عامل مجموعة الطاقة P: جلس جلس. يعمل على الأشياء عن طريق إرسال مجموعة س (في) جلس إلى مجموعتها من المجموعات الفرعية P (س) := {ص ( مجموعة فرعية ) س}. يعمل على التشكل عن طريق إرسال وظيفة F : س تي إلى خريطة الصورة imF : ف (س) → ف (تي) ، أي الخرائط ص ( مجموعة فرعية ) س ل {F (ص) | ص (في) ص} ( مجموعة فرعية ) تي.

الآن ضع في اعتبارك البنية الأحادية المتماثلة ({1} ، ×) جلس من المثال 4.49. لجعل P عاملًا أحاديًا متماثلًا ، نحتاج إلى تحديد دالة φ (_ {I} ): {1} → P ({1}) ولكل المجموعات س و تيممتلئ φ (_ {S، T} ): P (س) × ف (تي) → ف (س × تي). أحد الاحتمالات هو تعريف φ (_ {I} ) (1) لتكون أقصى مجموعة فرعية {1} ( مجموعة فرعية ) {1} ، ومجموعات فرعية معينة أ ( مجموعة فرعية ) س و ب ( مجموعة فرعية ) تي، لتعريف φ (_ {S، T} ) (أ, ب) لتكون مجموعة المنتج الفرعية أ × ب ( مجموعة فرعية ) س × تي. مع هذه التعريفات ، (P ، φ) هو ممتلئ أحادي متماثل.

تمرين 6.70.

تأكد من أن الخرائط φ (_ {S، T} ) المحددة في المثال 6.69 طبيعية في س و تي. بعبارة أخرى ، معطى F : س س' و ز: تي تي′ ، أظهر أن الرسم البياني أدناه ينتقل:

أعمدة مزينة

الآن بعد أن قدمنا ​​لفترة وجيزة استخدامات أحادية أحادية متماثلة ، نعود إلى المهمة التي نحن بصددها: إنشاء فئة تخطيط فائق للدوائر. للقيام بذلك ، نقدم طريقة cospans المزخرفة.

تحتوي الدوائر على الكثير من الهياكل الداخلية ، ولكن لديها أيضًا بعض المنافذ الخارجية تسمى أيضًا "محطات" يمكن من خلالها ربطها بالآخرين. الأجنحة المزخرفة هي طرق لمناقشة ذلك بالضبط: الأشياء مع المنافذ الخارجية والبنية الداخلية.

لنرى كيف يعمل هذا ، دعونا نبدأ بالمثال التالي للدائرة:

قد نعتبر هذا رسمياً رسمًا بيانيًا على مجموعة من أربعة منافذ ، حيث يتم تمييز كل حافة بنوع من مكونات الدائرة (على سبيل المثال ، سيتم تسمية الحافة العلوية بأنها مقاومة للمقاومة 2Ω). لكي تكون هذه الدائرة عبارة عن شكل من أشكال التشكل في بعض الفئات ، أي للسماح بالتوصيل البيني ، يجب أن نجهز الدائرة ببعض مفهوم الواجهة. نقوم بذلك عن طريق تعليم المنافذ في الواجهة باستخدام وظائف من مجموعات محدودة:

يترك ن تكون مجموعة عقد الدائرة. هنا المجموعات المحدودة أ, ب، و ن هي مجموعات تتكون من عنصر واحد ، واثنين ، وأربعة عناصر على التوالي ، مرسومة كنقاط ، وقيم الوظائف أ ن و ب ن يشار إليها بالسهام الرمادية. هذا يشكل cospan في فئة المجموعات المحدودة ، والتي تم تعيين القمة لها ن كان مزين من خلال دائرتنا المعينة.

لنفترض أنه تم إعطاء cospan مزخرف آخر مع إدخال ب

بما أن إخراج الأول يساوي مدخلات الثانية (كلاهما ب) ، يمكننا لصقها معًا في مخطط واحد:

يتم إعطاء التكوين عن طريق لصق الدوائر على طول التعريفات المحددة بواسطة ب، مما أدى إلى الكوسبان المزخرف

لقد رأينا هذا النوع من اللصق من قبل عندما حددنا تكوين cospans في التعريف 6.45. ولكن الآن هناك هذا الشيء "الزخرفة" كله ؛ هدفنا هو إضفاء الطابع الرسمي عليه.

التعريف 6.75.

لنفترض أن C فئة ذات كولميت منتهية ، و (F، φ): (ج ، +) → (جلس، ×) أن تكون ممتلئًا أحاديًا متماثلًا. ان F-كوسبان مزخرف هو زوج يتكون من cospan (A stackrel {i} { rightarrow} N stackrel {o} { leftarrow} B ) في C مع عنصر س F(ن) .5 نسميه (F، φ) functor الديكور و س ال زخرفة.

الحدس هنا هو استخدام C = FinSetو و لكل كائن ن (في) FinSetالممتع F يخصص مجموعة جميع الأوسمة القانونية على مجموعة ن من العقد. عندما تختار ملف F cospan مزين ، اخترت مجموعة أ من المنافذ الخارجية اليسرى ، مجموعة ب من المنافذ الخارجية اليمنى ، كل منها يرسم لمجموعة ن من العقد ، وتختار أحد الزخارف المتوفرة على ن العقد المأخوذة من المجموعة F(ن).

لذلك ، في علبة الدائرة الكهربائية لدينا ، عامل الزخرفة F يرسل مجموعة محدودة ن إلى مجموعة الرسوم البيانية للدوائر التي يتم تمييز حوافها بواسطة المقاومات والمكثفات وما إلى ذلك - التي تحتوي على ن الرؤوس. لا يزال هدفنا هو أن نكون قادرين على تكوين مثل هذه الرسوم البيانية ؛ فكيف يعمل هذا بالضبط؟

يجمع المرء بشكل أساسي طريقة تكوين الكوسبان مع الهياكل التي تحدد عامل الزخرفة لدينا: وهي F و φ.

دع ( (A stackrel {f} { rightarrow} N stackrel {g} { leftarrow} B ) ،س) و ( (B stackrel {h} { rightarrow} P stackrel {k} { leftarrow} C ) ، ر) تمثل cospans المزخرفة. يتم تمثيل مركبهم بواسطة مركب cospan (A stackrel {f} { rightarrow} N stackrel {g} { leftarrow} B ) و (B stackrel {h} { rightarrow} P stackrel {k} { leftarrow} C ) ، مقترنًا بالعنصر التالي من F(ن + (_ {ب} ) ص):

(F left ( left [ iota_ {N}، iota_ {P} right] right) left ( varphi_ {N، P} (s، t) right) ) (6.76)

هذا مضغوط إلى حد ما! سنقوم بتفكيكها ، في حالة ملموسة ، في ثانية واحدة فقط. لكن دعونا نسجل نظرية أولاً.

نظرية 6.77.1

إعطاء فئة C مع كوليمات منتهية وممروم أحادي غير متماثل (F، φ): (ج ، +) → (جلس، ×) ، توجد فئة رسم تخطيطي كوسبان (_ {F} ) التي كائناتها هي كائنات C ، وتشكلها فئات تكافؤ F- زينة مزخرفة.

يتم اشتقاق الهياكل المتناظرة الأحادية والرسم الفائق من تلك الموجودة على كوسبان (_ {C} ).

تمرين 6.78.

لنفترض أنك قلق من أن التدوين كوسبان (_ {C} ) يشبه الترميز كوسبان (_ {F} ) ، بالرغم من اختلافهما الشديد. يقول لك أحد الخبراء "إنهم ليسوا مختلفين تمامًا ؛ أحدهما حالة خاصة للآخر. فقط استخدم المميزات الثابتة F(ج): = {∗}. " ماذا يعني الخبير؟

الدوائر الكهربائية

من أجل العمل مع التجريدات المذكورة أعلاه ، سنكون أكثر دقة قليلاً حول مثال الدوائر ثم نلقي نظرة مفصلة على كيفية عمل التركيب في فئات cospan المزخرفة.

دعونا نبني بعض الدوائر. للبدء ، سنحتاج إلى اختيار المكونات التي نريدها في دائرتنا. هذه مجرد مسألة ما هو موجود في صندوق الأدوات الكهربائية لدينا. لنفترض أننا نحمل بعض المصابيح الكهربائية والمفاتيح والبطاريات والمقاومات لكل مقاومة ممكنة. هذا هو ، تحديد مجموعة

(C: = { text {light، switch، battery} } sqcup left {x Omega mid x in mathbb {R} ^ {+} right } )

لكي نكون واضحين ، فإن Ω مجرد تسميات ؛ المجموعة أعلاه متشابهة إلى {light، switch، battery} ⊔ ( mathbb {R} ) +. لكننا نكتب ج بهذه الطريقة تذكرنا أنها تتكون من مكونات دائرة. إذا أردنا ، يمكننا أيضًا إضافة محاثات ومكثفات وحتى عناصر تربط أكثر من منفذين ، مثل الترانزستورات ، ولكن دعونا نجعل الأمور بسيطة في الوقت الحالي.

نظرا لمجموعتنا ج، أ ج-الدائرة هي مجرد رسم بياني (الخامس, أ, س, ر)، أين س,ر : أ الخامس هي وظائف المصدر والهدف ، مع الوظيفة l: أ ج وسم كل حافة بمكون دائرة معين من ج.

على سبيل المثال ، قد يكون لدينا حالة بسيطة من الخامس = {1,2}, أ = {ه}, س(ه) = 1, ر(ه) = 2 هكذا ه هي حافة من 1 إلى 2 و l (ه) = 3Ω. هذا يمثل مقاومة ذات مقاومة 3Ω:

لاحظ أنه في الشكلية التي اخترناها ، لدينا طرق متعددة لتمثيل أي دائرة ، حيث تختار تمثيلاتنا بوضوح اتجاهات الحواف. يمكن أيضًا تمثيل المقاوم أعلاه بواسطة "الرسم البياني المعكوس" ، مع البيانات الخامس = {1, 2}, أ = {ه}, س(ه) = 2, ر(ه) = 1 و ل (ه) = 3F.

تمرين 6.79.

اكتب مجموعة (الخامس, أ, س, ر، ل) التي تمثل الدائرة في المعادلة. (6.71). ♦

مرح الزخرفة للدوائر. نحن نريد ج- الدوائر لتكون زينةنا ، فلنستخدمها لتعريف عامل الزخرفة كما في التعريف 6.75.

سنسمي الممول (سيرك ، ψ). نبدأ بتحديد الجزء الممتع

سيرك: (FinSet, +) → (جلس, ×)

كما يلي. على الأشياء ، ما عليك سوى إرسال مجموعة محدودة الخامس لمجموعة ج- الدوائر:

سيرك (الخامس) := {(الخامس, أ, س, ر، ل) | أين س,ر : أ الخامس، ل: ه ج}.

فيما يتعلق بالتشكيلات ، يرسل Circ دالة F : الخامس الخامس′ للوظيفة

سيرك ( F ): Circ (الخامس) → سيرك (الخامس′);

(الخامس, أ, س, ر، l) ( longmapsto ) (الخامس', مثل ; و) ، (ر ; و) ، ل).

هذا يعرف الممتلئ. دعنا نستكشفها قليلاً في التمرين.

تمرين 6.80.

لفهم هذا المنفذ بشكل أفضل ، دعنا ج ( in ) Circ ( ( underline {4} )) تكون الدائرة

واسمحوا F : ( underline {4} ) → ( underline {3} ) تكون الوظيفة

ارسم صورة للدائرة الكهربائية ( F )(ج). ♦

نحاول الحصول على ممول زخرفة (Circ، ψ) وحتى الآن لدينا Circ. لخرائط التماسك ψ (_ {V، V '} ) للمجموعات المحدودة الخامس, الخامس'، نحدد

( ابدأ {مجموعة} {ج}
psi_ {V، V ^ { prime}}: operatorname {Circ} (V) times operatorname {Circ} left (V ^ { prime} right) longrightarrow operatorname {Circ} left ( V + V ^ { prime} right)
left ((V، A، s، t، ell)، left (V ^ { prime}، A ^ { prime}، s ^ { prime}، t ^ { prime}، ell ^ { prime} right) right) longmapsto left (V + V ^ { prime} ، A + A ^ { prime} ، s + s ^ { prime} ، t + t ^ { prime} ، يسار [ ell ، ell ^ { prime} يمين] يمين)
end {array} ) (6.81)

هذا أبسط مما قد يبدو: إنه يأخذ دائرة الخامس ودائرة على الخامس′ ، وتعتبرهم معًا كدائرة على اتحاد الرؤوس المنفصل الخامس + الخامس′.

تمرين 6.82.

افترض أن لدينا دوائر

في Circ ( ( underline {2} )).

استخدم تعريف ψ (_ {V، V '} ) من (6.81) لمعرفة الدائرة ذات 4 رؤوس ψ (_ { underline {2}، underline {2}} ) (ب, س) ( in ) Circ ( ( underline {2} ) + ( underline {2} )) = Circ ( ( underline {4} )) يجب أن يكون ، وارسم صورة. ♦

فتح الدوائر باستخدام الأعمدة المزخرفة. من البيانات المذكورة أعلاه ، مجرد وظيفي أحادي (Circ ، ψ): (FinSet, +) → (جلس، ×) ، يمكننا بناء فئة دوائر الرسم البياني الموعودة!

تدويننا لهذه الفئة هو كوسبان (_ {Circ} ). باتباع النظرية 6.77 ، فإن كائنات هذه الفئة هي نفس كائنات FinSet، مجموعات محدودة فقط. سنعيد كتابة تدويننا من المقدمة والمثال 6.42 ، ونرسم هذه المجموعات المحدودة كمجموعات من الدوائر البيضاء ◦.

على سبيل المثال ، سنمثل الكائن 2 من كوسبان (_ {Circ} ) كدائرتين أبيضتين:

تحدد هذه الدوائر البيضاء نقاط الواجهة لدائرة مفتوحة.
أكثر إثارة للاهتمام من الأشياء ، ومع ذلك ، هي التشكل في كوسبان (_ {Circ} ).

هذه دوائر مفتوحة. وفقًا للنظرية 6.77 ، فإن التشكل ( تسطير {m} ) → ( تسطير {n} ) عبارة عن cospan مزين بشكل دائري: أي cospan ( underline {m} ) → ( underline {p} ) ← ( تسطير {n} ) مع عنصر ج من Circ ( ( underline {p} )).

كمثال ، ضع في الاعتبار cospan ( underline {1} stackrel {i_ {1}} { rightarrow} underline {2} stackrel {i_ {2}} { leftarrow} underline {1} ) حيث i (_ {1} ) (1) = 1 و i (_ {2} ) (1) = 2 ، مزودة بعنصر بطارية Circ ( ( underline {2} )) متصل العقدة 1 والعقدة 2. سوف نصور هذا على النحو التالي:

تمرين 6.84.

التشكل من كوسبان (_ {Circ} ) عبارة عن أقواس مزينة بشكل دائري ، على النحو المحدد في التعريف 6.75. هذا يعني (6.83) يصور cospan مع a زخرفة، وهو بعض ج-دائرة كهربائية (الخامس, أ, س, ر، l) ( in ) Circ ( ( underline {2} )). ما هذا؟ ♦

دعنا الآن نرى كيف يتم إجراء عمليات الرسم البياني كوسبانيمكن استخدام (_ {Circ} ) لإنشاء دوائر كهربائية.

تكوين في كوسبان (_ {Circ} ). أولاً سننظر في التكوين. ضع في اعتبارك cospan المزخرف التالي من ( underline {1} ) إلى ( underline {1} ):

نظرًا لأن هذا والدائرة في (6.83) كلاهما شكلان ( underline {1} ) → ( underline {1} ) ، فقد نؤلفهما للحصول على شكل آخر ( underline {1} ) → ( تسطير {1} ). كيف نفعل ذلك؟ هناك جزءان: للحصول على cospan الجديد ، نقوم ببساطة بتكوين cospans لدائرتنا ، وللحصول على الزخرفة الجديدة ، نستخدم الصيغة Circ ([ι (_ {N} ) ، ι (_ { ف} )]) (ψ (_ {N ، ف} ) (س, ر)) من (6.76). مرة أخرى ، هذا مضغوط إلى حد ما! دعونا نفكها معًا.

سنبدأ مع cospans. الكوسبان التي نرغب في تأليفها هي

نحن ببساطة نتجاهل الزخارف في الوقت الحالي.) إذا دفعنا المجموعة المشتركة 1 = {◦} ، نحصل على مربع الدفع

هذا يعني أن الكوسبان المركب هو

في غضون ذلك ، بدأنا بالفعل في تفريغ صيغة الزخرفة الجديدة. لقد أخبرتنا بما تفعله الخريطة ψ (_ { underline {2}، underline {2}} ) في التمرين 6.82. يأخذ الزخرفتين ، كلتا الدائرتين في الدائرة ( ( underline {2} )) ، وتحولهما إلى دائرة مفردة منفصلة

في Circ ( ( underline {4} )). إذن هذا هو ψ (_ {N، P} ) (س, ر) الجزء يعني. ماذا يعني [ι (_ {N} ) ، ι (_ {P} )]؟ تذكر أن هذا هو تنسيق خرائط الدفع ، كما هو موضح في المثالين 6.14 و 6.25. في حالتنا ، مربع الدفع ذي الصلة مُعطى بواسطة (6.85) ، و [ι (_ {N} ) ، ι (_ {P} )] هي في الواقع الوظيفة F من التمرين 6.80!

هذا يعني أن الزخرفة على الكوسبان المركب هي

بتجميع كل هذا معًا ، تكون الدائرة المركبة

تمرين 6.86.

الرجوع إلى المثال في بداية القسم 6.4.2. على وجه الخصوص ، ضع في اعتبارك تكوين الدوائر في المعادلة. (6.73). عبر عن الدائرتين في هذا الرسم البياني على هيئة أشكال في كوسبان (_ {Circ} ) ، واحسب مركبهم. هل تتطابق مع الصورة في Eq. (6.74)؟ ♦

منتجات أحادية في Cospan (_ {Circ} ). منتجات أحادية في كوسبان (_ {Circ} ) أبسط بكثير من التركيب. على الأشياء ، مرة أخرى نعمل فقط كما في FinSet: نأخذ الاتحاد المنفصل للمجموعات المحدودة. التشكل مرة أخرى لها cospan ، والزخرفة.

بالنسبة إلى cospans ، نعمل مرة أخرى في كوسبان (_ {FinSet} ): نظرًا لوجود جزئين أ م ب و ج ن د، نأخذ cospan منتجاتهم المشتركة أ + ج م + ن ب + د. وللحصول على الزخارف نستخدم الخريطة ψ (_ {M، N} ): Circ (م) × سيرك (ن) → سيرك (م + ن). لذلك ، على سبيل المثال ، افترض أننا نريد أن نأخذ حاصل الضرب أحادي الصيغة للدوائر المفتوحة

و

يتم إعطاء النتيجة عن طريق تكديسها. بمعنى آخر ، منتجهم أحادي الصيغة هو:

قراءة سهلة؟

نتركك لتقوم بتكوينين خاصين بك.

تمرين 6.88.

كتابة x للدائرة المفتوحة في (6.87). حدد أيضًا cospans η: 0 → 2 و η: 2 → 0 على النحو التالي:

حيث تم تزيين كل منها بدائرة فارغة (1، Ø،!،!،!) ( in ) Circ ( ( underline {1} )). (^ {6} )

احسب المركب η ؛ x ؛ ε في كوسبان (_ {Circ} ). هذا شكل ( underline {0} ) → ( underline {0} ) ؛ نسمي مثل هذه الأشياء دوائر مغلقة. ♦


شاهد الفيديو: سلسلة عمدة الاساسيات في الرياضيات - المحاضرة الثالثةالاستاذ حيدر وليد (كانون الثاني 2022).