مقالات

5: الدوال المثلثية - الرياضيات


الدوال المثلثية هي وظائف الزاوية. إنها مهمة في دراسة المثلثات ونمذجة الظواهر الدورية ، من بين العديد من التطبيقات الأخرى.

  • 5.0: مقدمة للدوال المثلثية
    تُعرف الوظيفة التي تكرر قيمها في فترات منتظمة بالوظيفة الدورية. تُظهر الرسوم البيانية لمثل هذه الوظائف شكلاً عامًا يعكس نمطًا يستمر في التكرار. هذا يعني أن الرسم البياني للدالة له نفس المخرجات في نفس المكان تمامًا في كل دورة. وهذا يترجم إلى أن جميع دورات الدالة لها نفس الطول بالضبط.
  • 5.1: الزوايا
    تتكون الزاوية من اتحاد شعاعين ، عن طريق الحفاظ على الجانب الأولي ثابتًا وتدوير الجانب النهائي. يحدد مقدار الدوران قياس الزاوية. تكون الزاوية في الوضع القياسي إذا كان رأسها عند نقطة الأصل وضلعها الأولي يقع على طول المحور x الموجب. يتم قياس الزاوية الموجبة عكس اتجاه عقارب الساعة من الضلع الأولي والزاوية السالبة في اتجاه عقارب الساعة.
  • 5.2: دائرة الوحدة - وظائف الجيب وجيب التمام
    في هذا القسم ، سنفحص هذا النوع من الحركة الدوارة حول الدائرة. للقيام بذلك ، نحتاج إلى تحديد نوع الدائرة أولاً ، ثم وضع تلك الدائرة على نظام إحداثيات. ثم يمكننا مناقشة الحركة الدائرية بدلالة أزواج الإحداثيات.
  • 5.3: الدوال المثلثية الأخرى
    تسمح لنا الدوال المثلثية بتحديد أشكال ونسب الكائنات بشكل مستقل عن الأبعاد الدقيقة. لقد حددنا بالفعل وظائف الجيب وجيب التمام لزاوية. على الرغم من أن الجيب وجيب التمام هما الدالتان المثلثيتان الأكثر استخدامًا ، إلا أن هناك أربعة وظائف أخرى. يشكلون معًا مجموعة من ست وظائف مثلثية. في هذا القسم ، سوف نتحرى عن الوظائف المتبقية.
  • 5.4: المثلث القائم الزاوية
    لقد حددنا سابقًا جيب وجيب الزاوية بدلالة إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة يتقاطع معها الضلع النهائي للزاوية. في هذا القسم ، سنرى طريقة أخرى لتعريف الدوال المثلثية باستخدام خصائص المثلثات القائمة.
  • 5.E: الدوال المثلثية (تمارين)
  • 5.R: الدوال المثلثية (مراجعة)
    لقد حددنا سابقًا جيب وجيب الزاوية بدلالة إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة يتقاطع معها الضلع النهائي للزاوية. في هذا القسم ، سنرى طريقة أخرى لتعريف الدوال المثلثية باستخدام خصائص المثلثات القائمة.

الدوال المثلثية

سيكون الطلاب بالفعل على دراية بعلم المثلثات القائم الزاوية. سيكونون قد استخدموا الجيب وجيب التمام والظل لحل زوايا وجوانب المثلث القائم. سيكون الطلاب قد لاحظوا بالفعل أن المثلثات المتشابهة تحافظ على الزوايا ، وكذلك النسب الجانبية. على سبيل المثال ، سوف يرون أن المثلث القائم 3-4-5 له نفس زوايا المثلث 6-8-10. ربما رأوا "المثلثات اليمنى الخاصة" في سياق مثلثات مماثلة. سيكون الطلاب أيضًا على دراية بنظرية فيثاغورس ، وسيستخدمونها لحل أضلاع المثلثات القائمة. سيكونون على دراية بالرسوم البيانية لأكثر من نوع واحد من الوظائف ، بما في ذلك الخطية والتربيعية والأسية. اعتمادًا على التوقيت ، قد يكونوا قد شاهدوا أيضًا رسومًا بيانية للوظائف المنطقية ومتعددة الحدود.

في هذه الوحدة ، يقوم الطلاب بانتقال كبير إلى التفكير في النسب المثلثية كوظائف بدلاً من علاقة بين الزوايا ونسب الأضلاع في مثلث قائم الزاوية. هناك خطوتان مهمتان في هذا الانتقال. أولاً ، يعيد الطلاب تصور النسب المثلثية على دائرة الوحدة ، ثم يستخدمون فكرة الزاوية كحركة حول دائرة لتوسيع التعريف ليشمل زوايا أي قياس. ثانيًا ، يستخدمون دائرة الوحدة لفهم طريقة جديدة لقياس الزوايا ، وهي قياس الراديان ، والتي تستخدم المسافة حول محيط الدائرة لقياس الزاوية ، بدلاً من التقسيم التعسفي للدائرة إلى 360 درجة. من الآن فصاعدًا ، سوف يفكر الطلاب في الجيب وجيب التمام كوظائف ذات مدخلات رقمية ، بالإضافة إلى النسب المتعلقة بالزوايا.

يتعلم الطلاب الشكل الأساسي للرسم البياني للدالة المثلثية ، ثم يفحصون الرسوم البيانية للوظائف ذات المعلمات التي تتحكم في الفترة والسعة وانزياح الطور. يدرسون تأثير تغيير هذه المعلمات وتناسب الدوال المثلثية مع البيانات. من خلال معالجة بعض المعايير (+) ، يستكشف الطلاب المزيد من عواقب تعريف دائرة الوحدة للجيب وجيب التمام. يربطون بين نظرية فيثاغورس. بعد ذلك ، يرون كيف تؤدي تناظرات الدائرة إلى تماثلات التمثيل البياني للجيب وجيب التمام ، وتمثل هذه التماثلات على أنها متطابقات.

في دورات الرياضيات اللاحقة ، قد يرى الطلاب استخدامات أكثر تعقيدًا لعلم المثلثات. على سبيل المثال ، قد يتعلمون أن مشتق دالة الجيب هو جيب التمام ، ويستخدمون الراديان لإثبات بعض خصائص المشتقات المثلثية.


الدوال المثلثية

• فهم بعض مواقف العالم الحقيقي التي تظهر سلوكًا دوريًا.
• تحديد إحداثيات دائرة الوحدة على أنها جيب وجيب زاوية زاوية (F-TF.A.2).
• فهم قياس الراديان والتحويل بين الراديان والدرجة (F-TF.A.1).
• ارسم الدوال المثلثية الأساسية باستخدام الراديان كمقياس المحور السيني (F-IF.C.7e $ ^ star $).
• فهم العلاقة بين المعلمات في دالة مثلثية والرسم البياني (F-IF.C.7e $ ^ star $).
• نموذج بدوال مثلثية ، بما في ذلك ملاءمتها للبيانات (F-TF.B.5 $ ^ star $).
• إثبات هوية فيثاغورس $ sin ^ 2 theta + cos ^ 2 theta = 1 $ (F-TF.C.8).
• استخدم دائرة الوحدة لإثبات المتطابقات المثلثية وربطها بتماثلات الرسوم البيانية للجيب وجيب التمام (F-TF.A.4 (+)).
• استخدم هوية فيثاغورس لحساب النسب المثلثية (F-TF.C.8).

عند الدخول إلى هذه الوحدة ، سيكون الطلاب على دراية بعلم المثلثات القائم الزاوية. سيكونون قد استخدموا الجيب وجيب التمام والظل لحل زوايا وجوانب المثلث القائم. سيكون الطلاب قد لاحظوا بالفعل أن المثلثات المتشابهة تحافظ على الزوايا ، وكذلك النسب الجانبية. على سبيل المثال ، سوف يرون أن المثلث القائم 3-4-5 له نفس زوايا المثلث 6-8-10. ربما رأوا "المثلثات اليمنى الخاصة" في سياق مثلثات مماثلة. سيكون الطلاب أيضًا على دراية بنظرية فيثاغورس ، وسيستخدمونها لحل أضلاع المثلثات القائمة. سيكونون على دراية بالرسوم البيانية لأكثر من نوع واحد من الوظائف ، بما في ذلك الخطية والتربيعية والأسية. اعتمادًا على التوقيت ، قد يكونوا قد شاهدوا أيضًا رسومًا بيانية للوظائف المنطقية ومتعددة الحدود.

في هذه الوحدة ، يقوم الطلاب بانتقال كبير إلى التفكير في النسب المثلثية كوظائف بدلاً من علاقة بين الزوايا ونسب الأضلاع في مثلث قائم الزاوية. هناك خطوتان مهمتان في هذا الانتقال. أولاً ، يعيد الطلاب تصور النسب المثلثية على دائرة الوحدة ، ثم يستخدمون فكرة الزاوية كحركة حول دائرة لتوسيع التعريف ليشمل زوايا أي قياس. ثانيًا ، يستخدمون دائرة الوحدة لفهم طريقة جديدة لقياس الزوايا ، وهي قياس الراديان ، والتي تستخدم المسافة حول محيط الدائرة لقياس الزاوية ، بدلاً من التقسيم التعسفي للدائرة إلى 360 درجة. من الآن فصاعدًا ، سوف يفكر الطلاب في الجيب وجيب التمام كوظائف ذات مدخلات رقمية ، بالإضافة إلى النسب المتعلقة بالزوايا.

يتعلم الطلاب الشكل الأساسي للرسم البياني للدالة المثلثية ، ثم يفحصون الرسوم البيانية للوظائف ذات المعلمات التي تتحكم في الفترة والسعة وانزياح الطور. يدرسون تأثير تغيير هذه المعلمات وتناسب الدوال المثلثية مع البيانات. من خلال معالجة بعض المعايير (+) ، يستكشف الطلاب المزيد من النتائج المترتبة على تعريف دائرة الوحدة للجيب وجيب التمام. يربطون بين نظرية فيثاغورس. بعد ذلك ، يرون كيف تؤدي تناظرات الدائرة إلى تماثلات التمثيل البياني للجيب وجيب التمام ، وتمثل هذه التماثلات على أنها متطابقات.

في دورات الرياضيات اللاحقة ، قد يرى الطلاب استخدامات أكثر تعقيدًا لعلم المثلثات. على سبيل المثال ، قد يتعلمون أن مشتق sin $ theta $ هو cos $ theta $ ، ويستخدمون الراديان لإثبات بعض خصائص المشتقات المثلثية.


محتويات

في هذا القسم ، يشير نفس الحرف الكبير إلى رأس المثلث وقياس الزاوية المقابلة يشير الحرف الصغير نفسه إلى حافة المثلث وطوله.

إذا كانت الزاوية الحادة A = θ لمثلث قائم الزاوية ، فإن الوتر c هو الضلع الذي يربط بين الزاويتين الحادتين. الجانب ب متاخم ل θ هو ضلع المثلث الذي يربط بالزاوية القائمة. ويقال أن الجانب الثالث أ يكون عكس إلى θ.

إذا أعطيت الزاوية θ ، فإن كل جوانب المثلث القائم الزاوية محددة جيدًا حتى تصل إلى عامل قياس. هذا يعني أن النسبة بين أطوال ضلعين تعتمد فقط على. وبالتالي تحدد هذه النسب الست ست وظائف لـ θ ، وهي الدوال المثلثية. بتعبير أدق ، الدوال المثلثية الست هي: [4] [5]

خطيئة الجيب ⁡ θ = أ ج = س ع ف س أنا t. ه y p o t e n u s e > = < فارك < mathrm > < mathrm >>> cosecant csc ⁡ θ = c a = h y p o t e n u s e o p p o s i t e > = < فارك < mathrm > < mathrm >>>
cos ⁡ θ = b c = a d j a c e n t h y p o t e n u s e > = < فارك < mathrm > < mathrm >>> secant sec ⁡ θ = c b = h y p o t e n u s e a d j a c e n t > = < فارك < mathrm > < mathrm >>>
tangent tan ⁡ θ = a b = o p p o s i t e a d j a c e n t > = < فارك < mathrm > < mathrm >>> cotangent cot ⁡ θ = b a = a d j a c e n t o p p o s i t e > = < فارك < mathrm > < mathrm >>>

في التطبيقات الهندسية ، تكون حجة الدالة المثلثية عمومًا هي قياس الزاوية. لهذا الغرض ، تكون أي وحدة زاوية مناسبة ، ويتم قياس الزوايا بشكل أكثر شيوعًا بالوحدات التقليدية للدرجات التي تكون فيها الزاوية اليمنى 90 درجة والانعطاف الكامل 360 درجة (خاصة في الرياضيات الأولية).

ومع ذلك ، في حساب التفاضل والتكامل والتحليل الرياضي ، يُنظر إلى الدوال المثلثية عمومًا بشكل أكثر تجريدًا على أنها وظائف لأرقام حقيقية أو معقدة ، بدلاً من الزوايا. في الواقع ، يمكن تعريف الدالتين sin و cos لجميع الأعداد المركبة من حيث الدالة الأسية عبر سلسلة القوى [7] أو كحلول للمعادلات التفاضلية مع إعطاء قيم أولية معينة [8] (انظر أدناه) ، دون الإشارة إلى أي مفاهيم هندسية. يمكن تعريف الدوال المثلثية الأربعة الأخرى (tan، cot، sec، csc) على أنها حاصل قسمة ومقلوب للجيب وجيب التمام ، إلا إذا كان الصفر موجودًا في المقام. يمكن إثبات ، للحجج الحقيقية ، أن هذه التعريفات تتطابق مع التعريفات الهندسية الأولية إذا تعتبر الوسيطة زاوية معطاة بالتقدير الدائري. [7] علاوة على ذلك ، ينتج عن هذه التعريفات تعبيرات بسيطة للمشتقات والتكاملات غير المحددة للدوال المثلثية. [9] وهكذا ، في الإعدادات التي تتجاوز الهندسة الأولية ، يُنظر إلى الراديان على أنه الوحدة الطبيعية رياضياً لوصف قياسات الزاوية.

عند استخدام الراديان (rad) ، تُعطى الزاوية على أنها طول قوس دائرة الوحدة المقابلة لها: الزاوية التي تقابل قوسًا بطول 1 على دائرة الوحدة هي 1 rad (57.3 °) ، و a الدوران الكامل (360 درجة) هو زاوية 2 2 (6.28) راد. للعدد الحقيقي x، الرموز الخطيئة x، كوس x، إلخ. تشير إلى قيمة الدوال المثلثية بزاوية x راد. إذا كانت وحدات الدرجات مقصودة ، فيجب إظهار علامة الدرجة صراحة (على سبيل المثال ، الخطيئة س °، كوس س °، إلخ.). باستخدام هذا الترميز القياسي ، الحجة x للوظائف المثلثية ترضي العلاقة x = (180x/ π) ° ، بحيث ، على سبيل المثال ، sin π = sin 180 ° عندما نأخذ x = π. بهذه الطريقة ، يمكن اعتبار رمز الدرجة ثابتًا رياضيًا مثل 1 ° = π / 180 ≈ 0.0175.

يمكن تعريف الدوال المثلثية الست على أنها قيم إحداثيات للنقاط على المستوى الإقليدي المرتبطة بدائرة الوحدة ، وهي دائرة نصف القطر التي تتمركز في الأصل O لنظام الإحداثيات هذا. بينما تسمح تعريفات المثلث القائم الزاوية بتعريف الدوال المثلثية للزوايا بين 0 و 2 < textstyle < frac < pi> <2> >> راديان (90 درجة) ، تسمح تعريفات دائرة الوحدة بمجال تمتد الدوال المثلثية لتشمل جميع الأعداد الحقيقية الموجبة والسالبة.

يتم تعريف الدوال المثلثية cos و sin ، على التوالي ، على أنهما x- و ذ- القيم المنسقة للنقطة أ. هذا هو،

يمكن إيجاد الدوال المثلثية الأخرى على طول دائرة الوحدة كـ

من خلال تطبيق هوية فيثاغورس وطرق الإثبات الهندسي ، يمكن بسهولة إظهار هذه التعريفات لتتوافق مع تعريفات الظل ، ظل التمام ، القاطع ، قاطع التمام من حيث الجيب وجيب التمام ، أي

احتفظ بأي زاوية θ وأي عدد صحيح ك. وينطبق الشيء نفسه على الدوال المثلثية الأربع الأخرى. من خلال ملاحظة الإشارة ورتابة الوظائف الجيب وجيب التمام وقاطع التمام والقاطع في الأرباع الأربعة ، يمكن للمرء أن يُظهر أن 2 هي أصغر قيمة تكون دورية بالنسبة لها (أي 2 هي الفترة الأساسية لهذه الوظائف ). ومع ذلك ، بعد الدوران بزاوية π < displaystyle pi> ، تعود النقطتان B و C بالفعل إلى موضعهما الأصلي ، بحيث يكون لدالة الظل ودالة ظل التمام فترة أساسية من π. هذا هو ، المساواة

احتفظ بأي زاوية θ وأي عدد صحيح ك.

فيما يلي التعبيرات الجبرية لأهم الزوايا:

كتابة البسط على هيئة جذور تربيعية لأعداد صحيحة متتالية غير سالبة ، مع مقام 2 ، يوفر طريقة سهلة لتذكر القيم. [12]

لا توجد مثل هذه التعبيرات البسيطة عمومًا للزوايا الأخرى التي تعد مضاعفات منطقية لزاوية مستقيمة. بالنسبة للزاوية التي تُقاس بالدرجات ، فهي من مضاعفات ثلاثة ، يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام من حيث الجذور التربيعية ، انظر الثوابت المثلثية المعبر عنها بالجذور الحقيقية. وبالتالي يمكن بناء قيم الجيب وجيب التمام بواسطة المسطرة والبوصلة.

بالنسبة لزاوية عدد صحيح من الدرجات ، يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام من حيث الجذور التربيعية والجذر التكعيبي لعدد مركب غير حقيقي. تسمح نظرية جالوا بإثبات أنه إذا لم تكن الزاوية من مضاعفات 3 درجات ، فلا مفر من وجود جذور تكعيبية غير حقيقية.

بالنسبة للزاوية التي تُقاس بالدرجات ، فهي رقم نسبي ، فإن الجيب وجيب التمام عبارة عن أرقام جبرية ، والتي يمكن التعبير عنها بدلالة الجذور n. ينتج هذا عن حقيقة أن مجموعات جالوا في كثيرات الحدود الحلقية تكون دورية.

بالنسبة للزاوية التي تُقاس بالدرجات ، فهي ليست رقمًا منطقيًا ، فإن الزاوية أو كلا من الجيب وجيب التمام هما رقمان متساميان. هذه نتيجة طبيعية لنظرية بيكر ، التي تم إثباتها عام 1966.

تحرير القيم الجبرية البسيطة

يلخص الجدول التالي أبسط القيم الجبرية للدوال المثلثية. [13] يمثل الرمز ∞ < displaystyle infty> النقطة عند اللانهاية على الخط الحقيقي الممتد بشكل إسقاطي ، لم يتم توقيعه ، لأنه عندما يظهر في الجدول ، تميل الوظيفة المثلثية المقابلة إلى + ∞ على جانب واحد ، وإلى - ∞ < displaystyle - infty> على الجانب الآخر ، عندما تميل الوسيطة إلى القيمة في الجدول.

الاتجاه الحديث في الرياضيات هو بناء الهندسة من حساب التفاضل والتكامل وليس العكس. [ بحاجة لمصدر ] لذلك ، باستثناء المستوى الأولي للغاية ، يتم تعريف الدوال المثلثية باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل.

الدوال المثلثية قابلة للتفاضل والتحليل في كل نقطة حيث يتم تعريفها ، أي في كل مكان لجيب الجيب وجيب التمام ، وبالنسبة للظل ، في كل مكان باستثناء π / 2 + ك π لكل عدد صحيح ك.

الدالة المثلثية هي دوال دورية ، ودورتها الأولية هي 2 π للجيب وجيب التمام ، و للماس ، والتي تتزايد في كل فترة مفتوحة (π / 2 + ك π ، / 2 + (ك + 1) π). في كل نقطة نهاية من هذه الفواصل الزمنية ، يكون للدالة المماس خط مقارب عمودي.

في حساب التفاضل والتكامل ، يوجد تعريفان متكافئان للوظائف المثلثية ، إما باستخدام سلسلة القدرة أو المعادلات التفاضلية. هذه التعريفات متكافئة ، بدءًا من أحدهما ، من السهل استرداد الآخر كخاصية. ومع ذلك ، فإن التعريف من خلال المعادلات التفاضلية هو أكثر طبيعية إلى حد ما ، لأنه ، على سبيل المثال ، قد يبدو اختيار معاملات سلسلة القوة تعسفيًا تمامًا ، ومن السهل جدًا استنتاج هوية فيثاغورس من المعادلات التفاضلية.

التعريف بالمعادلات التفاضلية تحرير

الجيب وجيب التمام هما وظائف فريدة قابلة للتفاضل من هذا القبيل

عند التفريق بين هذه المعادلات ، نجد أن كلا من الجيب وجيب التمام هما حلان للمعادلة التفاضلية

بتطبيق قاعدة خارج القسمة على تعريف الظل على أنه حاصل قسمة الجيب بواسطة جيب التمام ، يحصل المرء على أن دالة الظل تتحقق

تعديل سلسلة الطاقة

بتطبيق المعادلات التفاضلية على سلسلة الطاقة ذات المعاملات غير المحددة ، يمكن للمرء أن يستنتج علاقات التكرار لمعاملات سلسلة تايلور لوظائف الجيب وجيب التمام. من السهل حل علاقات التكرار هذه ، وتمنح السلسلة توسعات [14]

نصف قطر التقارب لهذه السلسلة لانهائي. لذلك ، يمكن أن يمتد الجيب وجيب التمام إلى وظائف كاملة (تسمى أيضًا "الجيب" و "جيب التمام") ، وهي (بحكم التعريف) وظائف ذات قيمة معقدة يتم تعريفها وشكلها على المستوى المعقد بأكمله.

يتم تعريف الدوال المثلثية الأخرى على أنها كسور من الوظائف بأكملها ، ويمكن توسيعها لتشمل وظائف ذات شكل متماثل ، وهي وظائف كاملة الشكل في المستوى المعقد بأكمله ، باستثناء بعض النقاط المعزولة التي تسمى الأعمدة. هنا ، الأقطاب هي أرقام النموذج (2 k + 1) π 2 <2> >> للماس والقاطع ، أو k π < displaystyle k pi> لـ cotangent و cosecant ، حيث k هو عدد صحيح تعسفي.

يمكن أيضًا حساب علاقات التكرار لمعاملات سلسلة تايلور للوظائف المثلثية الأخرى. هذه السلسلة لها نصف قطر محدود من التقارب. معاملاتهم لها تفسير اندماجي: فهي تعدد التبديلات المتناوبة للمجموعات المحدودة. [15]

واحد لديه سلسلة التوسعات التالية: [16]

توسيع الكسر الجزئي تحرير

يوجد تمثيل متسلسل كتوسيع جزئي للكسر حيث يتم تلخيص الوظائف التبادلية المترجمة فقط ، بحيث تتطابق أقطاب دالة ظل التمام والوظائف المقلوبة: [17]

يمكن إثبات هذه الهوية من خلال خدعة Herglotz. [18] الجمع بين (-ن) عشر مع ن يؤدي المصطلح إلى سلسلة متقاربة تمامًا:

وبالمثل ، يمكن للمرء أن يجد تمددًا جزئيًا للكسر للوظائف القاطعة وقاطع التمام والظل:

تحرير توسيع المنتج اللانهائي

المنتج اللانهائي التالي للجيب له أهمية كبيرة في التحليل المعقد:

لإثبات هذا التوسع ، انظر Sine. من هذا يمكن استنتاج ذلك

العلاقة بالدالة الأسية (صيغة أويلر) تحرير

تعتبر هذه الصيغة بشكل عام للقيم الحقيقية لـ x ، لكنها تظل صحيحة لجميع القيم المعقدة.

حل هذا النظام الخطي في الجيب وجيب التمام ، يمكن للمرء التعبير عنها من حيث الوظيفة الأسية:

عندما تكون x حقيقية ، يمكن إعادة كتابتها كـ

يمكن إثبات معظم الهويات المثلثية من خلال التعبير عن الدوال المثلثية من حيث الوظيفة الأسية المعقدة باستخدام الصيغ أعلاه ، ثم استخدام الهوية e a + b = e a e b < displaystyle e ^= e ^ e ^> لتبسيط النتيجة.

تعريفات باستخدام المعادلات الوظيفية تحرير

يمكن للمرء أيضًا تحديد الدوال المثلثية باستخدام معادلات وظيفية مختلفة.

على سبيل المثال ، [19] يشكل الجيب وجيب التمام الزوج الفريد من الدوال المستمرة التي تحقق معادلة الفرق

cos ⁡ (x - y) = cos ⁡ x cos ⁡ y + sin ⁡ x sin ⁡ y

في المستوى المعقد تحرير

من خلال الاستفادة من تلوين المجال ، من الممكن رسم الدوال المثلثية كوظائف ذات قيمة معقدة. يمكن رؤية الميزات المختلفة الفريدة للوظائف المعقدة من الرسم البياني على سبيل المثال ، يمكن رؤية وظائف الجيب وجيب التمام على أنها غير محدودة حيث يصبح الجزء التخيلي من z < displaystyle z> أكبر (لأن اللون الأبيض يمثل اللانهاية) ، و تتضح حقيقة أن الوظائف تحتوي على أصفار أو أعمدة بسيطة من حقيقة أن التدرج اللوني يدور حول كل صفر أو قطب مرة واحدة بالضبط. مقارنة هذه الرسوم البيانية مع تلك الخاصة بالوظائف الزائدية المقابلة يبرز العلاقات بين الاثنين.

ترتبط العديد من الهويات بالوظائف المثلثية. يحتوي هذا القسم على العناصر الأساسية لمزيد من الهويات ، راجع قائمة الهويات المثلثية. يمكن إثبات هذه الهويات هندسيًا من تعريفات دائرة الوحدة أو تعريفات المثلث القائم الزاوية (على الرغم من أنه ، بالنسبة للتعريفات الأخيرة ، يجب توخي الحذر للزوايا التي ليست في الفترة الزمنية [0 ، / 2] ، انظر البراهين من الهويات المثلثية). بالنسبة إلى البراهين غير الهندسية التي تستخدم أدوات حساب التفاضل والتكامل فقط ، يمكن للمرء استخدام المعادلات التفاضلية مباشرةً ، بطريقة مشابهة لتلك الخاصة بإثبات هوية أويلر أعلاه. يمكن للمرء أيضًا استخدام هوية أويلر للتعبير عن جميع الدوال المثلثية من حيث الأسي المعقدة واستخدام خصائص الدالة الأسية.

تحرير التكافؤ

إن جيب التمام والقاطع هما دالاتان ، أما الدوال المثلثية الأخرى فهي دوال فردية. هذا هو:

تحرير الفترات

جميع الدوال المثلثية هي وظائف دورية للفترة 2 π. هذه هي أصغر فترة ، باستثناء الظل والظل ، والتي لها π أصغر فترة. هذا يعني أنه لكل عدد صحيح ك ، واحد لديه

تحرير هوية فيثاغورس

متطابقة فيثاغورس ، هي تعبير عن نظرية فيثاغورس من حيث الدوال المثلثية. أنه

تحرير صيغ الجمع والفرق

تسمح معادلات المجموع والفرق بتوسيع الجيب وجيب التمام والظل لمجموع أو فرق بين زاويتين من حيث الجيب وجيب التمام وظلال الزوايا نفسها. يمكن اشتقاقها هندسيًا باستخدام الحجج التي تعود إلى بطليموس. يمكن للمرء أيضًا إنتاجها جبريًا باستخدام صيغة أويلر.

عندما تكون الزاويتان متساويتين ، تختزل معادلات المجموع إلى معادلات أبسط تُعرف باسم صيغ مزدوجة الزاوية.

يمكن استخدام هذه الهويات لاشتقاق هويات المنتج إلى المجموع.

هذا هو تعويض نصف الزاوية المماسي ، والذي يسمح بتقليل حساب التكاملات والمشتقات العكسية للدوال المثلثية إلى حساب الكسور المنطقية.

المشتقات والمشتقات العكسية Edit

مشتقات الدوال المثلثية تنتج من تلك الخاصة بالجيب وجيب التمام من خلال تطبيق قاعدة خارج القسمة. يمكن التحقق من القيم المعطاة للمشتقات العكسية في الجدول التالي عن طريق التمييز بينها. الرقم C هو ثابت تكامل.

بدلاً من ذلك ، يمكن الحصول على مشتقات "الوظائف المشتركة" باستخدام الهويات المثلثية وقاعدة السلسلة:

الدوال المثلثية دورية ، وبالتالي فهي ليست عن طريق الحقن ، لذلك بالمعنى الدقيق للكلمة ، ليس لها وظيفة عكسية. ومع ذلك ، في كل فترة زمنية تكون فيها الدالة المثلثية رتيبة ، يمكن للمرء تحديد دالة عكسية ، وهذا يحدد الدوال المثلثية العكسية كوظائف متعددة القيم. لتحديد وظيفة عكسية حقيقية ، يجب على المرء أن يقيد المجال بفاصل زمني حيث تكون الوظيفة رتيبة ، وبالتالي تكون حيوية من هذه الفترة إلى صورتها بواسطة الوظيفة. الاختيار الشائع لهذه الفترة الزمنية ، يسمى مجموعة القيم الأساسية ، يرد في الجدول التالي. كالعادة ، يتم الإشارة إلى الدوال المثلثية العكسية بالبادئة "القوس" قبل اسم الدالة أو اختصارها.

غالبًا ما تُستخدم الرموز sin −1 و cos −1 وما إلى ذلك في arcsin و arccos وما إلى ذلك. عند استخدام هذا الترميز ، يمكن الخلط بين الدوال العكسية والمقلوب المضاعفة. يتجنب التدوين ببادئة "القوس" مثل هذا الالتباس ، على الرغم من أنه يمكن الخلط بين كلمة "قوس ثانية" للقوس القوسي مع "ثانية قوسية".

تمامًا مثل الجيب وجيب التمام ، يمكن أيضًا التعبير عن الدوال المثلثية العكسية بدلالة المتسلسلات اللانهائية. يمكن أيضًا التعبير عنها من حيث اللوغاريتمات المعقدة.

زوايا وجوانب المثلث تحرير

في هذه الأقسام ، تشير أ ، ب ، ج إلى الزوايا الثلاث (الداخلية) للمثلث ، وتشير أ ، ب ، ج إلى أطوال الحواف المقابلة. ترتبط بصيغ مختلفة ، يتم تسميتها من خلال الدوال المثلثية التي تنطوي عليها.

قانون الجيب تحرير

ال قانون الجيب ينص على أنه بالنسبة لمثلث عشوائي به جوانب أ و ب وج وزوايا متقابلة لتلك الأضلاع أ وب وج:

حيث Δ هي مساحة المثلث ، أو على نحو مكافئ ،

يمكن إثبات ذلك بتقسيم المثلث إلى قسمين صحيحين واستخدام التعريف أعلاه للجيب. يعتبر قانون الجيب مفيدًا لحساب أطوال الأضلاع المجهولة في المثلث إذا كانت زاويتان وضلع معروفين. هذا هو الوضع الشائع الذي يحدث في التثليث، وهي تقنية لتحديد المسافات غير المعروفة عن طريق قياس زاويتين ومسافة مغلقة يمكن الوصول إليها.

تحرير قانون جيب التمام

ال قانون جيب التمام (المعروف أيضًا باسم صيغة جيب التمام أو قاعدة جيب التمام) هو امتداد لنظرية فيثاغورس:

في هذه الصيغة ، تكون الزاوية عند C مقابل الضلع c. يمكن إثبات هذه النظرية بتقسيم المثلث إلى قسمين صحيحين واستخدام نظرية فيثاغورس.

يمكن استخدام قانون جيب التمام لتحديد أحد أضلاع المثلث إذا كان الضلعان والزاوية بينهما معروفين. يمكن استخدامه أيضًا للعثور على جيب التمام لزاوية (وبالتالي الزوايا نفسها) إذا كانت أطوال جميع الأضلاع معروفة.

تحرير قانون الظل

كل ما يلي يشكل قانون الظلال [20]

قد يكون شرح الصيغ في الكلمات مرهقًا ، لكن أنماط المجاميع والاختلافات ، للأطوال والزوايا المقابلة المقابلة ، واضحة في النظرية.

تعديل قانون ظل التمام

> (نصف قطر الدائرة المنقوشة للمثلث)

> (محيط المثلث) ،

ثم كل ما يلي يشكل قانون الظل [20]

في الكلمات ، فإن النظرية هي: ظل التمام لنصف زاوية يساوي نسبة نصف المحيط ناقص الضلع المقابل للزاوية المذكورة ، إلى نصف القطر للمثلث.

الوظائف الدورية تحرير

الدوال المثلثية مهمة أيضًا في الفيزياء. تُستخدم وظائف الجيب وجيب التمام ، على سبيل المثال ، لوصف الحركة التوافقية البسيطة ، التي تمثل العديد من الظواهر الطبيعية ، مثل حركة كتلة مرتبطة بنابض ، وبالنسبة للزوايا الصغيرة ، فإن الحركة الانسيابية لكتلة معلقة بواسطة خيط. دالتا الجيب وجيب التمام عبارة عن إسقاطات أحادية البعد لحركة دائرية موحدة.

ثبت أيضًا أن الدوال المثلثية مفيدة في دراسة الوظائف الدورية العامة. تعد أنماط الموجات المميزة للوظائف الدورية مفيدة في نمذجة الظواهر المتكررة مثل الصوت أو الموجات الضوئية. [21]

في ظل ظروف عامة إلى حد ما ، وظيفة دورية F(x) كمجموع موجات جيبية أو موجات جيب التمام في سلسلة فورييه. [22] تدل على دالة الجيب أو أساس جيب التمام بواسطة φك ، توسيع الوظيفة الدورية F(ر) يأخذ النموذج:

على سبيل المثال ، يمكن كتابة الموجة المربعة على شكل سلسلة فورييه

في الرسوم المتحركة للموجة المربعة في أعلى اليمين ، يمكن ملاحظة أن عددًا قليلاً فقط من المصطلحات ينتج بالفعل تقريبًا جيدًا إلى حد ما. يظهر تراكب عدة مصطلحات في تمدد موجة سن المنشار تحتها.

في حين أن الدراسة المبكرة لعلم المثلثات يمكن إرجاعها إلى العصور القديمة ، فقد تم تطوير الوظائف المثلثية كما هي قيد الاستخدام اليوم في فترة العصور الوسطى. تم اكتشاف وظيفة الوتر من قبل هيبارخوس نيقية (180-125 قبل الميلاد) وبطليموس الروماني مصر (90–165 م). وظائف الجيب و الآية (1 - جيب التمام) يمكن إرجاعها إلى جيا و كوتي جيا الوظائف المستخدمة في علم الفلك الهندي فترة جوبتا (أرياباتيا, سوريا سيدانتا) ، من خلال الترجمة من السنسكريتية إلى العربية ثم من العربية إلى اللاتينية. [23] (انظر طاولة الجيب الخاصة بأرياباتا.)

كانت جميع الدوال المثلثية الست المستخدمة حاليًا معروفة في الرياضيات الإسلامية بحلول القرن التاسع ، كما كان قانون الجيب المستخدم في حل المثلثات. [24] باستثناء شرط الجيب (الذي تم اعتماده من الرياضيات الهندية) ، اكتشف علماء الرياضيات الفارسيون والعرب الدوال المثلثية الخمس الحديثة الأخرى ، بما في ذلك جيب التمام ، والظل ، والظل ، والقاطع ، وقاطع التمام. [24] الخوارزمي (حوالي 780 - 850) أنتج جداول من الجيب وجيب التمام والظل. حوالي 830 ، اكتشف حبش الحسيب المروزي ظل التمام ، وأنتج جداول من الظلال والظلال. [25] [26] اكتشف محمد بن جابر الحراني البطاني (853-929) الدوال التبادلية للقاطع القاطع والتمام ، وأنتج الجدول الأول من قاطعات التمام لكل درجة من 1 درجة إلى 90 درجة. [26] تمت دراسة الدوال المثلثية لاحقًا من قبل علماء الرياضيات بما في ذلك عمر الخيام ، وبهاسكارا الثاني ، وناصر الدين الطوسي ، وجمشيد الكاشي (القرن الرابع عشر) ، وألوك بيك (القرن الرابع عشر) ، وريجيومونتانوس (1464) ، وريتيكوس ، و طالب ريتيكوس فالنتينوس أوثو.

قام Madhava of Sangamagrama (حوالي 1400) بخطوات مبكرة في تحليل الدوال المثلثية من حيث السلاسل اللانهائية. [27] (انظر سلسلة Madhava وجدول الجيب Madhava.)

الشروط ظل و قاطع تم تقديمه لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الدنماركي توماس فينك في كتابه Geometria rotundi (1583). [28]

قام عالم الرياضيات الفرنسي ألبرت جيرار من القرن السابع عشر بأول استخدام منشور للاختصارات الخطيئة, كوس، و تان في كتابه مثلث. [29]

في بحث نُشر عام 1682 ، أثبت لايبنتز هذه الخطيئة x ليست دالة جبرية لـ x. [30] على الرغم من تقديمها كنسب لأضلاع مثلث قائم الزاوية ، وبالتالي تبدو وظائف عقلانية ، أثبتت نتيجة Leibnitz أنها في الواقع وظائف متجاوزة لحجتها. أنجز أويلر مهمة استيعاب الوظائف الدائرية في التعبيرات الجبرية مقدمة في تحليل اللانهائي (1748). كانت طريقته هي إظهار أن وظائف الجيب وجيب التمام هي سلسلة متناوبة مكونة من المصطلحات الفردية والزوجية على التوالي للسلسلة الأسية. قدم "صيغة أويلر" ، بالإضافة إلى الاختصارات شبه الحديثة (الخطيئة., كوس., تانغ., سرير نقال., ثانية.، و cosec.). [23]

كانت بعض الدوال شائعة تاريخيًا ، ولكنها نادرًا ما تُستخدم الآن ، مثل الوتر ، وآية النص (التي ظهرت في أقدم الجداول [23]) ، والغطاء ، والهافيرسين ، [31] والمُفْرِض والمفتوح. تظهر قائمة الهويات المثلثية المزيد من العلاقات بين هذه الوظائف.

  • crd (θ) = 2 خطيئة (
  • θ / 2 )
  • فيرين (θ) = 1 - كوس (θ) = 2 خطيئة 2 (
  • θ / 2 )
  • يغطي (θ) = 1 - الخطيئة (θ) = فيشين (
  • π / 2 - θ)
  • هافرسين (θ) =
  • 1/2 في الآية (θ) = الخطيئة 2 (
  • θ / 2 )
  • exsec (θ) = ثانية (θ) − 1
  • excsc (θ) = exsec (
  • π / 2 - θ) = CSC (θ) − 1

الكلمة شرط [32] مشتق من اللاتينية التجويف، بمعنى "بيند باي" ، وبشكل أكثر تحديدًا "الطية المعلقة للجزء العلوي من التوجة" ، "حضن الثوب" ، والتي تم اختيارها لترجمة ما تم تفسيره على أنه الكلمة العربية جايب، بمعنى "الجيب" أو "الطي" في ترجمات القرن الثاني عشر لأعمال البتاني والخوارزمي إلى اللاتينية في العصور الوسطى. [33] اعتمد الاختيار على قراءة خاطئة للشكل العربي المكتوب ي-ص-ب (جيب) ، والتي نشأت نفسها كتحويل صوتي من اللغة السنسكريتية جوفاوالتي جنبا إلى جنب مع مرادفها جيا (the standard Sanskrit term for the sine) translates to "bowstring", being in turn adopted from Ancient Greek χορδή "string". [34]

الكلمة ظل comes from Latin tangens meaning "touching", since the line اللمسات the circle of unit radius, whereas secant stems from Latin secans—"cutting"—since the line التخفيضات the circle. [35]

The prefix "co-" (in "cosine", "cotangent", "cosecant") is found in Edmund Gunter's Canon triangulorum (1620), which defines the cosinus as an abbreviation for the sinus complementi (sine of the complementary angle) and proceeds to define the cotangens similarly. [36] [37]


Class 11 RD Sharma Textbook Solutions Chapter 5 - Trigonometric Functions

In this Chapter 5 - Trigonometric Functions, several exercise questions with solutions for RD Sharma Class 11 Maths are given to help the students and understand the concepts better.

We have provided step by step solutions for all exercise questions given in the pdf of Class 11 RD Sharma Chapter 5 - Trigonometric Functions. All the Exercise questions with solutions in Chapter 5 - Trigonometric Functions are given below:

At Vedantu, students can also get Class 11 Maths Revision Notes, Formula and Important Questions and also students can refer the complete Syllabus for Class 11 Maths to prepare for their exams to score more marks.


Math and trigonometry functions (reference)

To get detailed information about a function, click its name in the first column.

ملحوظة: Version markers indicate the version of Excel a function was introduced. These functions aren't available in earlier versions. For example, a version marker of 2013 indicates that this function is available in Excel 2013 and all later versions.

Returns the absolute value of a number

Returns the arccosine of a number

Returns the inverse hyperbolic cosine of a number

ACOT function

Returns the arccotangent of a number

ACOTH function

Returns the hyperbolic arccotangent of a number

Returns the aggregate in a list or database

ARABIC function

Converts a Roman number to Arabic, as a number

Returns the arcsine of a number

Returns the inverse hyperbolic sine of a number

Returns the arctangent of a number

Returns the arctangent from x- and y-coordinates

Returns the inverse hyperbolic tangent of a number

دالة BASE

Converts a number into a text representation with the given radix (base)

Rounds a number to the nearest integer or to the nearest multiple of significance

CEILING.MATH function

Rounds a number up, to the nearest integer or to the nearest multiple of significance

Rounds a number the nearest integer or to the nearest multiple of significance. Regardless of the sign of the number, the number is rounded up.

Returns the number of combinations for a given number of objects

COMBINA function

Returns the number of combinations with repetitions for a given number of items

Returns the cosine of a number

Returns the hyperbolic cosine of a number

COT function

Returns the cotangent of an angle

COTH function

Returns the hyperbolic cotangent of a number

CSC function

Returns the cosecant of an angle

CSCH function

Returns the hyperbolic cosecant of an angle

DECIMAL function

Converts a text representation of a number in a given base into a decimal number

Converts radians to degrees

Rounds a number up to the nearest even integer

عائدات ه raised to the power of a given number

Returns the factorial of a number

Returns the double factorial of a number

Rounds a number down, toward zero

FLOOR.MATH function

Rounds a number down, to the nearest integer or to the nearest multiple of significance

Rounds a number down to the nearest integer or to the nearest multiple of significance. Regardless of the sign of the number, the number is rounded down.

Returns the greatest common divisor

Rounds a number down to the nearest integer

ISO.CEILING function

Returns a number that is rounded up to the nearest integer or to the nearest multiple of significance

Returns the least common multiple

Returns the natural logarithm of a number

Returns the logarithm of a number to a specified base

Returns the base-10 logarithm of a number

Returns the matrix determinant of an array

Returns the matrix inverse of an array

Returns the matrix product of two arrays

Returns the remainder from division

Returns a number rounded to the desired multiple

Returns the multinomial of a set of numbers

MUNIT function

Returns the unit matrix or the specified dimension

Rounds a number up to the nearest odd integer

Returns the result of a number raised to a power

Returns the integer portion of a division

Converts degrees to radians

Returns a random number between 0 and 1

Returns an array of random numbers between 0 and 1. However, you can specify the number of rows and columns to fill, minimum and maximum values, and whether to return whole numbers or decimal values.

Returns a random number between the numbers you specify

Converts an Arabic numeral to Roman, as text

Rounds a number to a specified number of digits

Rounds a number down, toward zero

Rounds a number up, away from zero

SEC function

Returns the secant of an angle

SECH function

Returns the hyperbolic secant of an angle

Returns the sum of a power series based on the formula

Returns the sign of a number

Returns the sine of the given angle

Returns the hyperbolic sine of a number

Returns a positive square root

Returns the square root of (number * pi)

Returns a subtotal in a list or database

Adds the cells specified by a given criteria

Adds the cells in a range that meet multiple criteria

Returns the sum of the products of corresponding array components

Returns the sum of the squares of the arguments

Returns the sum of the difference of squares of corresponding values in two arrays

Returns the sum of the sum of squares of corresponding values in two arrays

Returns the sum of squares of differences of corresponding values in two arrays

Returns the tangent of a number

Returns the hyperbolic tangent of a number

Truncates a number to an integer

مهم: The calculated results of formulas and some Excel worksheet functions may differ slightly between a Windows PC using x86 or x86-64 architecture and a Windows RT PC using ARM architecture. Learn more about the differences.


Solving Equations Involving Multiples of &theta

مثال 3

Solve the equation sin 2&theta = 0.8 for 0 &le &theta < 2&pi .

If the problem involved &theta only, we would expect 2 solutions one in the first quadrant and one in the second quadrant.

But here our problem involves `2&theta`, so we have to مزدوج the domain (&theta values) to account for all possible solutions.

So the values for 2&theta will be in quadrants I, II, V, VI.

2&theta = 0.9273, or &pi &minus 0.9273, or 2&pi + 0.9273, or 3&pi &minus 0.9273

But we need values for &theta, not 2&theta, so we divide throughout by 2:

Are our answers correct? As usual, we will check by graphing the original expression:

We can see from the graph that our 4 values are reasonable, since these are the only 4 values that satisfy `sin 2&theta = 0.8`.

ملحوظة: We can always check our solutions with calculator, but it is easy to "miss out" on some of the required values if we only use calculator.

Example 4

Solving for cos &theta يعطينا:

If `cos alpha=1/4`, then the reference angle is &alpha = 1.3181.

So for `cos theta=1/4`, we have &theta in the first and 4th quadrants. وبالتالي

For `cos theta=-1/4`, we have &theta in the 2nd and 3rd quadrants. وبالتالي

So ` &theta= 1.3181, 1.8235,` ` 4.4597` ` or 4.9651` radians.

We can see from the graph of `y=cos^2theta-1/16` that our answer is correct:


You can compute spherical distances, called great circle distances, by importing the great_circle_distance() function:

ال great circle distance is the shortest distance between two points on a sphere. The distance is in $rho units. The $rho is optional, it defaults to 1 (the unit sphere), therefore the distance defaults to radians.

If you think geographically the ثيتا are longitudes: zero at the Greenwhich meridian, eastward positive, westward negative -- and the فاي are latitudes: zero at the North Pole, northward positive, southward negative. ملاحظة: this formula thinks in mathematics, not geographically: the فاي zero is at the North Pole, not at the Equator on the west coast of Africa (Bay of Guinea). You need to subtract your geographical coordinates from pi/2 (also known as 90 degrees).


Radian Measure

Radian measure is a different way of measuring angle size and is passed on the number (pi). Using radians allows us to solve a wider range of mathematical problems, including differentiation of trigonometric functions, etc. As such, although degrees was previously used, radians will now be the primary format.

The size of an angle in radians is defined by the following ratio:

Using a similar method, the following formulae can be obtained:
يبدأpi=180°
frac<2>=90°
2pi=360°end

Hence, if I was to convert from radians to degrees, I would multiply my angle ( heta) by (frac<180°>).

Inversely, to convert from degrees to radians, I would multiply my angle (θ) by (frac<180°>).

Using these formulae, we can also convert our (x)-axis on trigonometric graphs to now be in radian form:

مثال


MATH 1060 | Trigonometry

These lecture videos are organized in an order that corresponds with the OER book we will be using for our Math1060 courses. We have numbered the videos for quick reference so it's reasonably obvious that each subsequent video presumes knowledge of the previous videos' material. Along with the video lecture for each topic, we have included the "pre-notes" and "post-notes" which are the notes of the lecture before we did the problems and after we worked everything out during the lecture, respectively. You may want to download the notes to use as a reference while watching the lecture video, or for later reference.

If you find an error in the lecture or a problem with the video, or if you would like to give feedback to us about these lectures, please email [email protected] to do so.


NOTE: These videos were not recorded in stereo sound. If you are listening to these videos on headphones, you may want to consider setting your sound channels to come through both sides. This document will give you an idea of how to accomplish that.

  • 1A Degrees and Radians (part 1)
  • 1B Degrees and Radians (part 2)
    • 1 Pre Notes
    • 1 Post Notes
    • 2 Pre Notes
    • 2 Post Notes
    • 3 Pre Notes
    • 3 Post Notes
    • 4 Pre Notes
    • 4 Post Notes
    • 5 Pre Notes
    • 5 Post Notes
    • 6 Pre Notes
    • 6 Post Notes
    • 7 Pre Notes
    • 7 Post Notes
    • 8 Pre Notes
    • 8 Post Notes
    • 9 Pre Notes
    • 9 Post Notes
    • 10 Pre Notes
    • 10 Post Notes
    • 11 Pre Notes
    • 11 Post Notes
    • 11.5 Pre Notes
    • 11.5 Post Notes
    • 12 Pre Notes
    • 12 Post Notes
    • 13 Pre Notes
    • 13 Post Notes
    • 14 Pre Notes
    • 14 Post Notes
    • 15 Pre Notes
    • 15 Post Notes
    • 16 Pre Notes
    • 16 Post Notes
    • 17 Pre Notes
    • 17 Post Notes
    • 18 Pre Notes
    • 18 Post Notes
    • 19 Pre Notes
    • 19 Post Notes
    • 20 Pre Notes
    • 20 Post Notes
    • 21 Pre Notes
    • 21 Post Notes
    • 22 Pre Notes
    • 22 Post Notes
    • 23 Pre Notes
    • 23 Post Notes
    • 24 Pre Notes
    • 24 Post Notes
    • 25 Pre Notes
    • 25 Post Notes
    • 26 Pre Notes
    • 26 Post Notes
    • 26.5 Pre Notes
    • 26.5 Post Notes
    • 27 Pre Notes
    • 27 Post Notes
    • 28 Pre Notes
    • 28 Post Notes


    شاهد الفيديو: #رياضيات 4 - الدوال المثلثية للزوايا - مثال 5 (كانون الثاني 2022).