مقالات

بيتا - الرياضيات


يعمل Remixer بشكل أفضل على متصفحات Chrome ؛ إذا كنت لا ترى أي شيء أسفل هذا النص في غضون 15 ثانية ، فيرجى التبديل إلى Chrome.

تسمح أداة OER Remixer بالتجميع السريع لعمليات إعادة المزج المخصصة من المصادر الموجودة في مكتباتنا الشاملة والمتنامية باستمرار. راجع البرنامج التعليمي الخاص بـ Remixer في الفصل 7 من دليل البناء لمزيد من التفاصيل للحصول على شرح لواجهة Remixer ومقاطع الفيديو لمقاطع فيديو تفصيلية حول كيفية القيام بالمهام الأساسية باستخدام OER Remixer. يتم تخزين خريطة Remixing Map تلقائيًا على جهاز الكمبيوتر الخاص بك أثناء الإنشاء ، لذلك لن تضطر إلى إكمال Remix في إعداد واحد. إذا قمت بالتبديل إلى جهاز كمبيوتر مختلف ، فستحتاج إلى حفظ الخريطة.


بيتا - الرياضيات

مقدمة :

افترض أن حدثًا ما يمكن أن يحدث عدة مرات خلال وحدة زمنية معينة. عندما يكون العدد الإجمالي لوقائع الحدث غير معروف ، يمكننا اعتباره متغيرًا عشوائيًا. عندما يكون متغير عشوائي X يأخذ القيم على الفاصل الزمني من 0 إلى 1 ، خيار واحد لكثافة الاحتمال هو توزيع بيتا الذي تعطى دالة كثافة الاحتمال على النحو التالي.

تمثيل دالة كثافة الاحتمال & # 8211

سيكون قابلاً للتطبيق فقط عندما يمر الشرط المعطى أدناه.

هنا ، سترى معنى الوظيفة كما أظهرت في تمثيل دالة كثافة الاحتمال حيث ، ب (مليون ن) هي قيمة دالة بيتا.

تمثيل B (m.n) & # 8211

بدمجها بأجزاء ، سنحصل على التعبير التالي كما هو موضح أدناه.

حيث ، Γ (x) هي دالة جاما لـ x ، محسوبة كـ & # 8211

المتغير العشوائي X يتم تمثيلها على النحو التالي.

تمثيل المتغير العشوائي X & # 8211

القيمة المتوقعة:

يمكن العثور على القيمة المتوقعة لتوزيع بيتا من خلال تلخيص منتجات القيم مع الاحتمالات الخاصة بكل منها.

عند استخدام قيمة دالة بيتا ، سنحصل على التعبير التالي التالي.

عند استخدام خاصية دالة جاما ، أي Γ (x) = (x-1)! ، سنحصل على التعبير التالي على النحو التالي.

حيث يتم توفير m و n أعداد صحيحة.

التباين والانحراف المعياري :

يمكن العثور على تباين توزيع بيتا باستخدام صيغة التباين.

عند استخدام قيمة دالة بيتا ، سنحصل على التعبير التالي على النحو التالي.

عند استخدام خاصية دالة جاما ، أي Γ (x) = (x-1)! ، سنحصل على التعبير التالي على النحو التالي.

يتم إعطاء الانحراف المعياري على النحو التالي.

في مقاطعة معينة ، تكون نسبة أقسام الطرق السريعة التي تتطلب إصلاحات في أي سنة معينة متغيرًا عشوائيًا له توزيع بيتا مع m = 3 و n = 2.

(أ) في المتوسط ​​، ما هي النسبة المئوية لأقسام الطرق السريعة التي تتطلب إصلاحات في أي سنة معينة؟

(ب) أوجد احتمال أن يتطلب نصف أقسام الطرق السريعة على الأكثر إصلاحًا في أي سنة معينة.

مما يعني أن 60٪ في المتوسط ​​من أقسام الطرق السريعة تتطلب إصلاحات في أي سنة معينة.

سنحصل على التعبير التالي على النحو التالي.

وبالتالي ، يتم إعطاء الاحتمال المطلوب على النحو التالي.

القارئ الانتباه! لا تتوقف عن التعلم الآن. احصل على جميع المفاهيم المهمة لنظرية CS لمقابلات SDE مع دورة نظرية CS بسعر مناسب للطلاب وأصبح جاهزًا للعمل.


كيف تحسب بيتا

لحساب بيتا للأوراق المالية ، يجب معرفة التباين بين عودة الورقة المالية وعودة السوق ، وكذلك تباين عوائد السوق.

التغاير يقيس كيفية تحرك سهمين معًا. يعني التغاير الإيجابي أن الأسهم تميل إلى التحرك معًا عندما ترتفع أسعارها أو تنخفض. التغاير السلبي يعني أن الأسهم تتحرك عكس بعضها البعض.

التباين، من ناحية أخرى ، يشير إلى مدى تحرك السهم بالنسبة لمتوسطه. على سبيل المثال ، يتم استخدام التباين في قياس تقلب سعر السهم الفردي بمرور الوقت. يستخدم التغاير لقياس الارتباط في تحركات الأسعار لسهمين مختلفين.

صيغة حساب بيتا هي التغاير في عائد الأصل مع عائد المعيار ، مقسومًا على تباين عائد المعيار خلال فترة معينة.


بيتا للرياضيات

تم تطوير هذه المجموعة من موارد Beta Mathematics ، التي نشرتها Schofield & amp Sims ، لتلبية احتياجات الطلاب ذوي القدرات المتوسطة أو الأقل من المتوسط ​​والذين قد يواجه العديد منهم صعوبات في القراءة. يتم تغطية الدورة بوتيرة أبطأ من سلسلة Alpha Mathematics. كما تستخدم الأجهزة المناسبة والأجهزة التعليمية بالإضافة إلى الاحتفاظ بكميات أقل والتأكيد على أهمية المفردات واللغة. هناك روابط بين السلسلتين تسمح للطالب بالانتقال بينهما.

يتم إبراز الأنشطة العملية بشكل بارز في جميع مراحل سلسلة بيتا ، حيث كان هناك شعور بأن هذه هي الوسائل التي يمكن للطلاب من خلالها:

* اكتشاف مفاهيم وعلاقات الأرقام

* تنمية تقدير المال والطول والكتلة والقدرة والوقت

* ممارسة طرق القياس والتقدير في الوحدات المختلفة

* دراسة الخطوط والزوايا والأشكال المستوية والصلبة والأسطح والمساحات

خلال سلسلة Beta ، يتم إجراء المراجعة بشكل منهجي من خلال العودة إلى التمارين المختارة على فترات منتظمة لممارستها في فترات قصيرة ولكن مركزة ، من أجل تعزيز المعرفة والمهارات الأساسية وزيادة الدقة والسرعة.


كتاب بيتا للرياضيات ، 3e

$ و $ X _ <2> $ مستقلان ولهما توزيعات جاما (راجع توزيع غاما) مع المعلمات الخاصة $ m $ و $ n $ ، ثم المتغير العشوائي $ X _ <1> / (X _ <1 > + X _ <2>) $ سيكون له توزيع بيتا بكثافة $ beta _ (x) $. تشرح هذه الحقيقة إلى حد كبير الدور الذي تلعبه توزيعات بيتا في تطبيقات مختلفة ، لا سيما في الإحصاء الرياضي: يمكن اختزال توزيعات العديد من الإحصائيات المهمة إلى توزيعات بيتا. على سبيل المثال ، دالة التوزيع لعلاقة $ F $

(المتغير العشوائي $ chi _ ^ <2> $ لديه $ chi ^ <2> $ - التوزيع مع $ k $ درجات الحرية) يتم التعبير عنه بواسطة الصيغة

(عادةً ما يتم حساب قيم التوزيع $ F $ بمساعدة جداول وظائف بيتا). تسمح وظيفة توزيع بيتا للفرد أيضًا بحساب قيم وظائف التوزيع ذات الحدين ، في ضوء العلاقة

مليار دولار _ (1 - ع) = مجموع _ ^ <م> يسار ( ابدأ n k end حق) ص ^ (1 - ص) ^ . $

تُستخدم توزيعات بيتا في مجالات أخرى غير الإحصاء الرياضي ، وبالتالي فإن كثافة توزيع بيتا هي دالة الوزن لنظام جاكوبي متعدد الحدود المتعامد.


بيتا رمز في الأبجدية اليونانية

بيتا (حرف كبير Β ، حرف صغير β) هو الحرف الثاني من الأبجدية اليونانية. في نظام الأرقام اليونانية ، لها قيمة اثنين. بيتا تتم ترجمتها صوتيًا إلى b (تجريبي) في اليونانية الكلاسيكية. من ناحية أخرى ، في اليونانية الحديثة ، يتم ترجمتها إلى حرف v (víta). اشتقاق بيتا جاء من بيتا (الحرف الثاني من الأبجدية الفينيقية) ، وهذا يعني "البيت". الحرف اليوناني بيتا يستخدم بشكل خاص في التمويل والعلوم والرياضيات والإحصاء والطباعة.

الأحرف الكبيرة بيتا (Β) يستخدم لتمثيل الصوت الاحتكاكي ثنائي اللغة في الأبجدية الصوتية الدولية. إلى جانب Alpha ، يتم استخدام Beta أيضًا في نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM) في مجال التمويل. يمكنك العثور على استخدامات مختلفة لهذا الرمز في الإحصاء والطباعة والرياضيات وعلوم الكمبيوتر ورحلات الفضاء المدارية والكيمياء والعلوم. بالإضافة إلى ذلك ، يتم استخدام الرمز β كمعامل سرعة في النسبية. تستخدم الأحرف الصغيرة بيتا (β) للإشارة إلى شعاع بيتا أو جسيم بيتا مما يعني إلكترونًا عالي الطاقة وعالي السرعة في الفيزياء. أخيرًا ، هناك إعصار اسمه بيتا. كان إعصار بيتا إعصارًا استوائيًا أثر على جنوب غرب البحر الكاريبي ، وكان هو العاصفة الثالثة والعشرون والإعصار السابع الرئيسي في موسم أعاصير المحيط الأطلسي لعام 2005. يستخدم المصطلح Beta أيضًا في لغة التسلق والتي تقدم أحيانًا معلومات حول صعوبة النهج ، وجودة الصخور ، والمعدات ، فضلاً عن النقطة الأكثر تحديًا في تسلق الجبال.


تحدث إلى واحد أو أكثر من شركائنا المعتمدين في IM للتعرف على الطرق المختلفة التي يمكنك من خلالها الوصول إلى المنهج الدراسي.

تعرف على سبب حب المعلمين للرياضيات IM K – 5.

لقد أخذ هذا المنهج جميع الإجراءات الروتينية التعليمية الرائعة التي كان المعلمون يسحبونها من مصادر متعددة وربطوها بقوس كبير في مورد منهج صارم ومتماسك! يتحدث الطلاب عن الرياضيات كما لم يحدث من قبل ، والطلاب الذين لا يتحدثون عادةً في فصل الرياضيات ينضمون الآن إلى المحادثة.

- كاثرين كاستيلو ، منسقة الحساب الابتدائي لمدارس سبرينغفيلد العامة ، ميزوري

بصفتي مدرسًا لمدة 25 عامًا ، عملت دائمًا على إنشاء مجتمع صف قوي. لم أفكر مطلقًا ولم أمتلك الأدوات اللازمة لتطوير مجتمع رياضي آمن وداعم وشامل حتى استخدمت IM K-5 في إصدارات ألفا وبيتا التجريبية. غيّرت IM K-5 تعليمي في الرياضيات وغيرت الطريقة التي يرى بها طلابي أنفسهم. إنهم يرون أنفسهم علماء رياضيات يستمتعون بفعل الرياضيات والتحدث عنها.

- Maureen O & # 8217Connell ، أخصائية رياضيات ، مدارس Ipswich العامة ، MA

هذا ما قاله طلاب الصف الرابع في مدرسة واندا جراي الابتدائية:

& # 8220 الكسور ممتعة للغاية. & # 8221

& # 8220 الجزء المفضل لدي من الرياضيات هذا العام هو كل شيء. & # 8221

& # 8220 أحب العمل مع شريك & # 8221

& # 8220 أحب معرفة الخطأ الذي ارتكبه الطلاب في الكتاب (تحليل الأخطاء). & # 8221

& # 8220 العمل مع شريك يساعدني في التعرف عليهم بشكل أفضل ونفهم أكثر عندما نعمل معًا. & # 8221

- الطلاب في مدرسة واندا جراي الابتدائية ، سبرينغفيلد ، ميزوري

باستخدام IM K-5 ، يمكن لكل طالب الوصول إلى الرياضيات على مستوى الصف. لا يتم سحب الطلاب & # 8217t للرياضيات بعد الآن. يصبحون جزءًا من الفصل الدراسي لأن المنهج مصمم لدعوة جميع المتعلمين إلى الدرس بفرص متعددة لاستخدام الوسائل اليدوية ، وإجراء المحادثات ، ومشاركة تفكيرهم ، واستكشاف الرياضيات. إنه المناهج الأكثر جاذبية وصارمة وإثارة التي قمت بتدريسها على الإطلاق ، ومن المذهل مدى قدرة الطلاب على التعلم والشعور بالنجاح في الرياضيات.

- نانسي سيرويس ، مدرب الرياضيات من رياض الأطفال إلى الصف الخامس ، مدرسة جيرالد إي تالبوت المجتمعية في بورتلاند ، مينيسوتا

ما يجعل IM K-5 فريدًا بالنسبة للمعلمين هو أنه منهج تعليمي. يتعلم المعلمون الكثير بشكل صحيح جنبًا إلى جنب مع طلابهم. هناك الكثير من الطبقات لذلك. . . المجتمع والإنصاف ، والتفاهمات الرياضية ، والممارسات الخمس ، وإجراءات اللغة ، والمزيد. أشعر أن هناك سنوات من التعلم والتطوير المهني مدمجة في ما يتم تقديمه ، ويمكننا وضعه موضع التنفيذ بينما نتعلم معًا. شيء مذهل.

- آن نيلي ، منسقة البرنامج الابتدائي ، الرياضيات ، جنوب ويليامسبورت ، بنسلفانيا

تم تطوير IM K-5 Math بواسطة مؤلفينا الخبراء ، استنادًا إلى مبادئ البحث ومسارات التعلم بالإضافة إلى خبرتنا في كيفية استخدام المعلمين للمواد ، وهو صارم ويستند إلى حل المشكلات ويتوافق تمامًا مع المعايير ، مع الاتساق عبر نطاقات الصف.


مقدمة ومقدمات

وظيفة بيتا

ال دالة بيتا B (α ، β) هي دالة لمتغيرين معقدين α و β ، المعرفة بواسطة

الذي يتبع من (39) عند ضبط t = sin 2 θ.

تُعرف التكاملات في (39) و (1) باسم تكاملات Eulerian من النوع الأول والثاني ، على التوالي.

بوضع t = u ∕ (1 + u) في (39) ، نحصل على التمثيل التالي لـ B (α ، β) كتكامل لا نهائي:

ترتبط وظيفة بيتا ارتباطًا وثيقًا بوظيفة جاما في الواقع ، لدينا

الذي لا يؤكد فقط خاصية التناظر في (39) ، ولكنه يواصل أيضًا وظيفة بيتا بشكل تحليلي لجميع القيم المعقدة لـ α و β ، إلا عندما تكون α ، β ∈ ℤ 0 -. وهكذا ، قد نكتب

بعد ذلك نقوم بدمج العلاقة (42) مع (40) و (41) ، ونحصل على الصيغ المتكاملة المفيدة التالية:

يجب ملاحظة أن التكامل (44) يوفر تعميمًا لصيغة Wallis & # x27s لحساب التفاضل والتكامل الأولي وأن (45) ، مع μ = 1 ، ينتج التكامل اللامتناهي المألوف:

والتي يتم تقييمها عادة في الأدبيات عن طريق التكامل الكنتوري (انظر ، على سبيل المثال ، Copson [341 ، ص 139 ، مثال 1]).

بالإضافة إلى (41) و (45) ، عن طريق الاستبدالات المناسبة ، يمكن التعبير عن عدد من التكاملات المحددة بدلالة دالة بيتا:

يمكن استنتاج المعادلات الوظيفية التالية لوظيفة بيتا بسهولة من (39) و (42):


وظائف جاما وبيتا

سننظر الآن في استخدام التكاملات المزدوجة خارج إيجاد الأحجام. سننظر في اثنتين من أكثر الوظائف المعروفة في الرياضيات والمعروفة باسم وظيفة جاما ووظيفة بيتا التي نحددها أدناه.

تعريف: ال وظيفة جاما يتم تعريفها على أنها دالة المتغير الفردي $ Gamma (x) = int_0 ^ < infty> t ^e ^ <-t> : dt $ لـ $ x & gt 0 $ و وظيفة بيتا يتم تعريفها على أنها الدالة المتغيرة $ B (x، y) = int_0 ^ 1 t ^ (1 - ر) ^ : dt $ مقابل $ x و y & gt 0 $.

دالة جاما مهمة لأنها امتداد لوظيفة العوامل $ f (n) = n! $ لكل $ n in mathbb$ ، وبالتالي ، $ Gamma (n + 1) = n! $. لإظهار هذا ، دع $ n in mathbb$. ثم:

الآن دع $ u = t ^ n $ و $ dv = e ^ <-t> : dt $. ثم $ du = nt ^ : dt $ and $ v = -e ^ <-t> $ ، لذا عند تطبيق تقنية التكامل بالأجزاء ، لدينا ما يلي:

إذا واصلنا المضي قدمًا من خلال تطبيق التكامل بالأجزاء مرارًا وتكرارًا ، فسيكون لدينا في النهاية:

خاصية أخرى رائعة لوظيفة جاما هي أنه لأي $ x & gt 0 $ ، لدينا $ Gamma (x + 1) = x Gamma (x) $ منذ ذلك الحين (عن طريق تطبيق التكامل بالأجزاء مرة أخرى):

خاصية أخرى أنيقة لوظيفة جاما هي أن $ Gamma left ( frac <1> <2> right) = sqrt < pi> $. هذا مثير للاهتمام نظرًا لأن التكامل الخاص بنا لا يحتوي على مصطلح يمكن أن يفترضه المرء بطبيعة الحال للقيمة $ pi $ التي ستظهر. التحقق من هذه الخاصية سهل نسبيًا بمجرد إجراء استبدال مناسب. دع $ t = s ^ 2 $. ثم $ dt = 2s : ds $ ولذا لدينا ما يلي:

الآن قم بتوصيل $ x = frac <1> <2> $ والتذكر من صفحة تقييم التكاملات المزدوجة في الإحداثيات القطبية أن $ int _ <- infty> ^ < infty> e ^ <-x ^ 2> : dx = sqrt < pi> $ وهكذا $ int_0 ^ < infty> e ^ <-x ^ 2> : dx = frac < sqrt < pi >> <2> $ ، لدينا ما يلي:

الآن وظيفة بيتا هي أيضًا وظيفة مثيرة جدًا للاهتمام في كيفية ارتباطها بوظيفة جاما. إحدى خصائص الدالة بيتا هي أن $ B (x، y) = frac < Gamma (x) Gamma (y)> < Gamma (x + y)> $ لـ $ x، y & gt 0 $. لإظهار ذلك ، سنحتاج إلى إجراء استبدال لوظيفة بيتا. دع $ t = cos ^ 2 theta $. ثم $ dt = -2 sin theta cos theta : d theta $. الآن علينا إيجاد حدود التكامل. لاحظ أن $ t = cos ^ 2 theta $ مع $ t = 0 $ يعني أن $ theta = frac < pi> <2> $ ، و $ t = cos ^ 2 theta $ مع $ t = 1 $ يعني أن $ theta = 0 $ ، وهكذا:

الآن سننتقل إلى إظهار أن $ B (x، y) = frac < Gamma (x) Gamma (y)> < Gamma (x + y)> $:

الآن دع $ D = <(s، m) in mathbb^ 2: 0 ≤ s ≤ infty، 0 ≤ m ≤ infty > $. ثم يمكن تكثيف التكاملات أعلاه في تكامل مزدوج على النحو التالي:

سنقوم الآن بتحويل التكامل المزدوج باستخدام الإحداثيات القطبية. دع $ s = r cos theta $ و $ m = r sin theta $. ثم $ - s ^ 2 - m ^ 2 = -r ^ 2 $. علاوة على ذلك ، $ D = left <(r، theta): 0 ≤ r ≤ infty، 0 ≤ theta ≤ frac < pi> <2> right > $ وهكذا:

وبالتالي لدينا هذا $ Gamma (x) Gamma (y) = B (x، y) Gamma (x + y) $ لذا $ B (x، y) = frac < Gamma (x) Gamma ( y)> < Gamma (x + y)> $. كما ترى ، كان استخدام التكاملات المزدوجة مفيدًا في استنباط هذه الحقيقة.


شاهد الفيديو: دوال خاصة دالة بيتا 1 Betafunction (كانون الثاني 2022).