مقالات

4.2: التكاملات المزدوجة على المناطق المستطيلة - الرياضيات


أهداف التعلم

  • التعرف على متى تكون دالة متغيرين قابلة للتكامل على منطقة مستطيلة.
  • التعرف على واستخدام بعض خصائص التكاملات المزدوجة.
  • احسب تكاملًا مزدوجًا على منطقة مستطيلة بكتابته في صورة تكامل متكرر.
  • استخدم تكاملًا مزدوجًا لحساب مساحة منطقة ، أو حجم أسفل سطح ، أو متوسط ​​قيمة دالة على منطقة مستوية.

في هذا القسم نتحرى عن التكاملات المزدوجة ونوضح كيف يمكننا استخدامها لإيجاد حجم مادة صلبة فوق منطقة مستطيلة في المستوى xy. تتشابه العديد من خصائص التكاملات المزدوجة مع تلك التي ناقشناها بالفعل للتكاملات الفردية.

المجلدات والتكاملات المزدوجة

نبدأ بالنظر في المساحة الموجودة فوق منطقة مستطيلة (R ). ضع في اعتبارك دالة مستمرة (f (x، y) ≥0 ) من متغيرين محددين في المستطيل المغلق (R ):

[R = [a، b] times [c، d] = big {(x، y) ∈ mathbb {R} ^ 2 | ، a ≤ x ≤ b، ، c ≤ y ≤ d big } ]

هنا ([a، b] times [c، d] ) تدل على المنتج الديكارتي للفترتين المغلقتين ([a، b] ) و ([c، d] ). يتكون من أزواج مستطيلة ((س ، ص) ) مثل (a≤x≤b ) و (c≤y≤d ). يمثل الرسم البياني لـ (f ) سطحًا فوق (س ص ) - مستوى مع المعادلة (ض = و (س ، ص) ) حيث (ض ) هو ارتفاع السطح عند النقطة ((س ، ص) ). لنفترض أن (S ) هو المادة الصلبة الموجودة أعلى (R ) وتحت الرسم البياني لـ (f ) (الشكل ( فهرس الصفحة {1} )). قاعدة المادة الصلبة هي المستطيل (R ) في (س ص ) - المستوى. نريد إيجاد حجم (V ) الصلب (S ).

نقسم المنطقة (R ) إلى مستطيلات صغيرة (R_ {ij} ) ، كل منها بمساحة (ΔA ) وجوانب (Δx ) و (Δy ) (الشكل ( PageIndex { 2} )). نقوم بذلك عن طريق تقسيم الفاصل الزمني ([a، b] ) إلى (m ) فترات فرعية وتقسيم الفاصل ([c، d] ) إلى (n ) فترات فرعية. ومن هنا ( Delta x = frac {b - a} {m} ) و ( Delta y = frac {d - c} {n} ) و ( Delta A = Delta x دلتا ذ ).

حجم صندوق مستطيل رفيع أعلى (R_ {ij} ) هو (f (x_ {ij} ^ *، ، y_ {ij} ^ *) ، Delta A ) ، حيث ( (x_ {ij} ^ *، ، y_ {ij} ^ * )) هو نموذج عشوائي في كل (R_ {ij} ) كما هو موضح في الشكل التالي ، (f (x_ {ij} ^ *، ، y_ {ij} ^ *) ) هو ارتفاع المربع الرفيع المستطيل المقابل ، و ( Delta A ) هي مساحة كل مستطيل (R_ {ij} ).

باستخدام نفس الفكرة لجميع المستطيلات الفرعية ، نحصل على الحجم التقريبي لـ S الصلب مثل

[V almost sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ n f (x_ {ij} ^ *، ، y_ {ij} ^ *) Delta A. ]

يُعرف هذا المبلغ باسم أ مبلغ ريمان مضاعف ويمكن استخدامه لتقريب قيمة حجم المادة الصلبة. هنا يعني المجموع المزدوج أنه لكل مستطيل فرعي نقوم بتقييم الوظيفة عند النقطة المختارة ، وضربها في مساحة كل مستطيل ، ثم نضيف كل النتائج.

كما رأينا في حالة المتغير الفردي ، نحصل على تقريب أفضل للحجم الفعلي إذا م و ن تصبح أكبر.

[V = lim_ {m، n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ *، ، y_ {ij} ^ *) دلتا أ ]

أو

[V = lim _ { Delta x، ، Delta y rightarrow 0} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ *، ، y_ { ij} ^ *) Delta A. ]

لاحظ أن المجموع يقترب من الحد في كلتا الحالتين والحد هو حجم المادة الصلبة مع القاعدة (R ). نحن الآن جاهزون لتحديد التكامل المزدوج.

إذا كان (f (x ، y) geq 0 ) ، فسيكون حجم (V ) الصلب (S ) ، والذي يقع أعلى (R ) في (xy ) - المستوى و تحت الرسم البياني (f ) ، هو التكامل المزدوج للدالة (f (x، y) ) فوق المستطيل (R ). إذا كانت الوظيفة سالبة ، فيمكن اعتبار التكامل المزدوج حجمًا "موقعًا" بطريقة مشابهة للطريقة التي حددنا بها صافي المساحة الموقعة في التكامل المحدد.

مثال ( PageIndex {1} ): إعداد تكامل مزدوج وتقريبه بالمجموع المزدوجة

ضع في اعتبارك الوظيفة (z = f (x، ، y) = 3x ^ 2 - y ) فوق المنطقة المستطيلة (R = [0، 2] times [0، 2] ) (الشكل ( PageIndex {4} )).

  1. قم بإعداد تكامل مزدوج لإيجاد قيمة الحجم الموقّع للحجم الصلب (S ) الذي يقع أعلى (R ) و "تحت" الرسم البياني لـ (f ).
  2. قسّم (R ) إلى أربعة مربعات بـ (m = n = 2 ) ، واختر نقطة العينة كنقطة الزاوية اليمنى العليا لكل مربع (1،1) ، (2،1) ، (1،2 ) و (2،2) (الشكل ( PageIndex {4} )) لتقريب الحجم الموقّع من المادة الصلبة (S ) التي تقع أعلى (R ) و "تحت" الرسم البياني لـ ( F).
  3. قسّم (R ) إلى أربعة مربعات بـ (م = ن = 2 ) ، واختر نقطة العينة كنقطة منتصف كل مربع: (1/2 ، 1/2) ، (3/2 ، 1/2) ) ، (1/2 ، 3/2) ، (3/2 ، 3/2) لتقريب الحجم الموقع.

الشكل ( PageIndex {4} ): الدالة (z = f (x، y) ) مرسومة على المنطقة المستطيلة (R = [0،2] × [0،2] ).

حل

  1. كما نرى ، الوظيفة (z = f (x، y) = 3x ^ 2 ) أعلى المستوى. للعثور على الحجم الموقّع لـ (S ) ، نحتاج إلى تقسيم المنطقة (R ) إلى مستطيلات صغيرة (R_ {ij} ) ، كل منها بمساحة (ΔA ) وجوانب (Δx ) ) و (Δy ) ، واختر ((x_ {ij} ^ *، y_ {ij} ^ *) ) كنماذج من النقاط في كل (R_ {ij} ). ومن ثم ، يتم إنشاء تكامل مزدوج كـ

    [V = iint_R (3x ^ 2 - y) dA = lim_ {m، n → ∞} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ n [3 (x_ {ij} ^ *) ^ 2 - y_ {ij} ^ *] Delta A. nonumber ]

  2. تقريب الحجم الموقّع باستخدام مجموع Riemann مع (m = n = 2 ) لدينا ( Delta A = Delta x Delta y = 1 times 1 = 1 ). أيضًا ، نقاط العينة هي (1 ، 1) ، (2 ، 1) ، (1 ، 2) ، (2 ، 2) كما هو موضح في الشكل التالي.

لذلك،

[ begin {align *} V & almost sum_ {i = 1} ^ 2 sum_ {j = 1} ^ 2 f (x_ {ij} ^ *، y_ {ij} ^ *) Delta A [4 نقطة]
& = sum_ {i = 1} ^ 2 (f (x_ {i1} ^ *، y_ {i1} ^ *) + f (x_ {i2} ^ *، y_ {i2} ^ *)) Delta A [4 نقطة]
& = f (x_ {11} ^ *، y_ {11} ^ *) Delta A + f (x_ {21} ^ *، y_ {21} ^ *) Delta A + f (x_ {12} ^ * ، y_ {12} ^ *) Delta A + f (x_ {22} ^ *، y_ {22} ^ *) Delta A [4pt]
& = f (1،1) (1) + f (2،1) (1) + f (1،2) (1) + f (2،2) (1) [4pt]
& = (3-1) (1) + (12-1) (1) + (3-2) (1) + (12-2) (1) [4 نقطة]
& = 2 + 11 + 1 + 10 = 24. نهاية {محاذاة *} ]

  1. تقريب الحجم الموقّع باستخدام مجموع Riemann مع (m = n = 2 ) لدينا ( Delta A = Delta x Delta y = 1 times 1 = 1 ). في هذه الحالة ، تكون نقاط العينة (1/2 ، 1/2) ، (3/2 ، 1/2) ، (1/2 ، 3/2) ، و (3/2 ، 3/2).
    لذلك،
    [ begin {align *} V & almost sum_ {i = 1} ^ 2 sum_ {j = 1} ^ 2 f (x_ {ij} ^ *، y_ {ij} ^ *) Delta A [4 نقطة]
    & = f (x_ {11} ^ *، y_ {11} ^ *) Delta A + f (x_ {21} ^ *، y_ {21} ^ *) Delta A + f (x_ {12} ^ * ، y_ {12} ^ *) Delta A + f (x_ {22} ^ *، y_ {22} ^ *) Delta A [4pt]
    & = f (1 / 2،1 / 2) (1) + f (3 / 2،1 / 2) (1) + f (1 / 2،3 / 2) (1) + f (3/2 ، 3/2) (1) [4pt]
    & = left ( frac {3} {4} - frac {1} {4} right) (1) + left ( frac {27} {4} - frac {1} {2} يمين) (1) + left ( frac {3} {4} - frac {3} {2} right) (1) + left ( frac {27} {4} - frac {3} {2} right) (1) [4pt]
    & = frac {2} {4} + frac {25} {4} + left (- frac {3} {4} right) + frac {21} {4} = frac {45} {4} = 11. end {محاذاة *} ]

تحليل

لاحظ أن الإجابات التقريبية تختلف باختلاف نقاط العينة. في كلتا الحالتين ، نقدم بعض الأخطاء لأننا نستخدم فقط بعض النقاط النموذجية. وبالتالي ، نحن بحاجة إلى التحقيق في كيفية تحقيق إجابة دقيقة.

تمرين ( PageIndex {1} )

استخدم نفس الوظيفة (z = f (x، y) = 3x ^ 2 - y ) فوق المنطقة المستطيلة (R = [0،2] × [0،2] ).

قسّم (R ) إلى نفس المربعات الأربعة باستخدام (م = ن = 2 ) ، واختر نقاط العينة كنقطة الزاوية اليسرى العلوية لكل مربع (0،1) ، (1،1) ، (0 و 2) و (1،2) (الشكل ( فهرس الصفحة {5} )) لتقريب الحجم الموقّع للمادة الصلبة (S ) التي تقع أعلى (R ) و "تحت" الرسم البياني لـ (F).

تلميح

اتبع خطوات المثال السابق.

إجابه

[V almost sum_ {i = 1} ^ 2 sum_ {j = 1} ^ 2 f (x_ {ij} ^ *، y_ {ij} ^ *) ، Delta A = 0 nonumber ]

لاحظ أننا قمنا بتطوير مفهوم التكامل المزدوج باستخدام منطقة مستطيلة (R ). يمكن أن يمتد هذا المفهوم إلى أي منطقة عامة. ومع ذلك ، عندما لا تكون المنطقة مستطيلة ، فقد لا تتناسب جميع المستطيلات الفرعية تمامًا مع (R ) ، خاصةً إذا كانت منطقة القاعدة منحنية. ندرس هذا الموقف بمزيد من التفصيل في القسم التالي ، حيث ندرس المناطق التي لا تكون دائمًا مستطيلة وقد لا تتناسب المستطيلات الفرعية تمامًا مع المنطقة (R ). أيضًا ، قد لا تكون الارتفاعات دقيقة إذا كان السطح (z = f (x، y) ) منحنيًا. ومع ذلك ، فإن الأخطاء الموجودة على الجانبين والارتفاع حيث قد لا تتناسب القطع تمامًا مع (S ) المصمت تقترب من 0 حيث (م ) و (n ) تقترب من اللانهاية. أيضًا ، التكامل المزدوج للدالة (z = f (x، y) ) موجود بشرط ألا تكون الوظيفة (f ) متقطعة جدًا. إذا كانت الوظيفة مقيدة ومستمرة على (R ) باستثناء عدد محدود من المنحنيات المتجانسة ، فإن التكامل المزدوج موجود ونقول أن ff قابل للتكامل على (R ).

منذ ( Delta A = Delta x Delta y = Delta y Delta x ) ، يمكننا التعبير عن (dA ) كـ (dx ، dy ) أو (dy ، dx ). هذا يعني أنه عندما نستخدم إحداثيات مستطيلة ، فإن التكامل المزدوج فوق منطقة يُشار إليها بـ

[ iint_R f (x، y) ، dA ]

يمكن كتابتها كـ

[ iint_R f (x، y) ، dx ، dy ]

أو

[ iint_R f (x، y) ، dy ، dx. ]

لنقم الآن بسرد بعض الخصائص التي يمكن أن تكون مفيدة في حساب التكاملات المزدوجة.

خواص التكاملات المزدوجة

تعتبر خصائص التكاملات المزدوجة مفيدة جدًا عند حسابها أو التعامل معها بأي طريقة أخرى. نذكر هنا ست خواص للتكاملات المزدوجة. يُشار إلى الخواص 1 و 2 على أنها خطية التكامل ، والخاصية 3 هي إضافة التكامل ، والخاصية 4 هي رتابة التكامل ، ويتم استخدام الخاصية 5 لإيجاد حدود التكامل. يتم استخدام الخاصية 6 إذا كان (f (x، y) ) نتاج وظيفتين (g (x) ) و (h (y) ).

نظرية: خصائص التكامل المزدوج

افترض أن الدالات (f (x، y) ) و (g (x، y) ) قابلة للتكامل على المنطقة المستطيلة (R ) ؛ (S ) و (T ) هي مناطق فرعية لـ (R ) ؛ وافترض أن (م ) و (م ) أرقام حقيقية.

  1. المجموع (f (x، y) + g (x، y) ) قابل للتكامل و

[ iint_R [f (x، y) + g (x، y)] ، dA = iint_R f (x، y) ، dA + iint_R g (x، y) ، dA. ]

  1. إذا ج ثابت ، إذن (cf (x، y) ) قابل للتكامل و

[ iint_R cf (x، y) ، dA = c iint_R f (x، y) ، dA. ]

  1. إذا (R = S∪T ) و (S∩T = ∅ ) باستثناء تداخل على الحدود ، إذن

[ iint_R f (x، y) ، dA = iint_S f (x، y) ، dA + iint_T f (x، y) ، dA. ]

  1. إذا (f (x، y) geq g (x، y) ) من أجل ((x، y) ) في (R ) ، إذن

[ iint_R f (x، y) ، dA = iint_R g (x، y) ، dA. ]

  1. إذا (m leq f (x، y) leq M ) و (A (R) = ، text {the area of} ، R ) ، إذن

[m cdot A (R) leq iint_R f (x، y) ، dA leq M cdot A (R). ]

  1. في الحالة التي يمكن فيها تحليل (f (x، y) ) كمنتج لوظيفة (g (x) ) لـ (x ) فقط ودالة (h (y) ) من (y ) فقط ، ثم فوق المنطقة (R = big {(x، y) ، | ، a leq x leq b، ، c leq y leq d big } ) ، يمكن كتابة التكامل المزدوج كـ

[ iint_R f (x، y) ، dA = left ( int_a ^ a g (x) ، dx right) left ( int_c ^ d h (y) ، dy right). ]

تستخدم هذه الخصائص في تقييم التكاملات المزدوجة كما سنرى لاحقًا. سنصبح ماهرين في استخدام هذه الخصائص بمجرد أن نتعرف على الأدوات الحسابية للتكاملات المزدوجة. لذلك دعونا نصل إلى ذلك الآن.

التكاملات المتكررة

لقد رأينا حتى الآن كيفية إعداد تكامل مزدوج وكيفية الحصول على قيمة تقريبية له. يمكننا أيضًا أن نتخيل أن تقييم التكاملات المزدوجة باستخدام التعريف يمكن أن يكون عملية طويلة جدًا إذا اخترنا قيمًا أكبر لـ (m ) و (n ). لذلك ، نحتاج إلى تقنية عملية ومريحة لحساب التكاملات المزدوجة. بعبارة أخرى ، نحتاج إلى تعلم كيفية حساب التكاملات المزدوجة دون استخدام التعريف الذي يستخدم الحدود والمجاميع المزدوجة.

الفكرة الأساسية هي أن التقييم يصبح أسهل إذا تمكنا من تقسيم التكامل المزدوج إلى تكاملات فردية عن طريق التكامل أولاً فيما يتعلق بمتغير واحد ثم فيما يتعلق بالمتغير الآخر. الأداة الرئيسية التي نحتاجها تسمى التكامل المتكرر.

التعاريف: التكاملات المتكررة

افترض أن (أ ) و (ب ) و (ج ) و (د ) أرقام حقيقية. نحدد ملف مكرر تكامل لوظيفة (f (x، y) ) فوق المنطقة المستطيلة (R = [a، b] × [c، d] ) كما

[ int_a ^ b int_c ^ d f (x، y) ، dy ، dx = int_a ^ b left [ int_c ^ d f (x، y) ، dy right] dx ]

أو

[ int_c ^ d int_a ^ b f (x، y) ، dx ، dy = int_c ^ d left [ int_a ^ b f (x، y) ، dx right] dy. ]

التدوين ( int_a ^ b left [ int_c ^ df (x، y) ، dy right] dx ) يعني أننا ندمج (f (x، y) ) فيما يتعلق بـ (y ) أثناء الضغط على (x ) ثابت. وبالمثل ، فإن الترميز ( int_c ^ d left [ int_a ^ bf (x، y) ، dx right] dy ) يعني أننا ندمج (f (x، y) ) فيما يتعلق بـ ( x ) أثناء الضغط على (y ) ثابت. يتم التعبير عن حقيقة أنه يمكن تقسيم التكاملات المزدوجة إلى تكاملات متكررة في نظرية فوبيني. فكر في هذه النظرية كأداة أساسية لتقييم التكاملات المزدوجة.

نظرية: نظرية فوبيني

افترض أن (f (x، y) ) دالة من متغيرين مستمرين على منطقة مستطيلة (R = big {(x، y) ∈ mathbb {R} ^ 2 | ، a leq x leq b ، ، c leq y leq d big } ). ثم نرى من الشكل ( PageIndex {6} ) أن التكامل المزدوج لـ (f ) فوق المنطقة يساوي تكاملًا متكررًا ،

[ iint_R f (x، y) ، dA = iint_R f (x، y) ، dx ، dy = int_a ^ b int_c ^ df (x، y) ، dy ، dx + int_c ^ d int_a ^ bf (x، y) ، dx ، dy. ]

بشكل عام ، تكون نظرية Fubini صحيحة إذا كان (f ) مقيدًا بـ (R ) و (f ) غير متصل فقط على عدد محدود من المنحنيات المستمرة. بمعنى آخر ، يجب أن يكون (f ) قابلاً للتكامل على (R ).

الشكل ( PageIndex {6} ): (أ) التكامل أولاً فيما يتعلق بـ (y ) ثم فيما يتعلق بـ (x ) للعثور على المنطقة (A (x) ) ثم المجلد (V ) ؛ (ب) التكامل أولاً فيما يتعلق بـ (x ) ثم فيما يتعلق بـ (y ) للعثور على المنطقة (A (y) ) ثم الحجم (V ).

مثال ( PageIndex {2} ): استخدام نظرية فوبيني

استخدم نظرية فوبيني لحساب التكامل المزدوج ( displaystyle iint_R f (x، y) ، dA ) حيث (f (x، y) = x ) و (R = [0، 2] times [0 ، 1] ).

حل

تقدم نظرية Fubini طريقة أسهل لتقييم التكامل المزدوج باستخدام التكامل المتكرر. لاحظ كيف تصبح قيم حدود المنطقة (R ) هي الحدود العليا والسفلى للتكامل.

[ start {align *} iint_R f (x، y) ، dA & = iint_R f (x، y) ، dx ، dy [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {x = 0} ^ {x = 2} x ، dx ، dy [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 1} left [ frac {x ^ 2} {2} bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} right] ، dy [4 نقطة]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 1} 2 ، dy = 2y bigg | _ {y = 0} ^ {y = 1} = 2 end {align *} ]

التكامل المزدوج في هذا المثال بسيط بما يكفي لاستخدام نظرية Fubini مباشرة ، مما يسمح لنا بتحويل تكامل مزدوج إلى تكامل متكرر. وبالتالي ، نحن الآن جاهزون لتحويل جميع التكاملات المزدوجة إلى تكاملات متكررة وشرح كيف يمكن للخصائص المذكورة سابقًا أن تساعدنا في تقييم التكاملات المزدوجة عندما تكون الوظيفة (f (x ، y) ) أكثر تعقيدًا. لاحظ أنه يمكن تغيير ترتيب التكامل (انظر المثال 7).

مثال ( PageIndex {3} ): توضيح الخصائص الأول والثاني

احسب التكامل المزدوج [ iint_R (xy - 3xy ^ 2) ، dA، ، text {where} ، R = big {(x، y) ، | ، 0 leq x leq 2، ، 1 leq y leq 2 big }. nonumber ]

حل

تتكون هذه الوظيفة من قطعتين: القطعة الواحدة (س ص ) والأخرى (3 س ص ^ 2 ). أيضًا ، للقطعة الثانية ثابت 3. لاحظ كيف نستخدم الخاصيتين i و ii للمساعدة في تقييم التكامل المزدوج.

[ begin {align *} iint_R (xy - 3xy ^ 2) ، dA & = iint_R xy ، dA + iint_R (-3xy ^ 2) ، dA & & text {الخاصية i: Integral of المجموع هو مجموع التكاملات.} [4pt]
& = int_ {y = 1} ^ {y = 2} int_ {x = 0} ^ {x = 2} xy ، dx ، dy - int_ {y = 1} ^ {y = 2} int_ {x = 0} ^ {x = 2} 3xy ^ 2 ، dx ، dy & & text {تحويل التكاملات المزدوجة إلى تكاملات متكررة.} [4pt]
& = int_ {y = 1} ^ {y = 2} left ( frac {x ^ 2} {2} y right) bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} ، dy - 3 int_ {y = 1} ^ {y = 2} left ( frac {x ^ 2} {2} y ^ 2 right) bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} ، dy & & text {التكامل فيما يتعلق بـ $ x $ ، مع الاحتفاظ بثابت $ y $.} [4pt]
& = int_ {y = 1} ^ {y = 2} 2y ، dy - int_ {y = 1} ^ {y = 2} 6y ^ 2 dy & & text {الخاصية ii: وضع الثابت قبل متكامل.} [4pt]
& = int_1 ^ 2 y ، dy - 6 int_1 ^ 2 y ^ 2 ، dy & & text {الدمج بالنسبة إلى y.} [4pt]
& = 2 frac {y ^ 2} {2} bigg | _1 ^ 2 - 6 frac {y ^ 2} {2} bigg | _1 ^ 2 [4pt]
& = y ^ 2 bigg | _1 ^ 2 - 2y ^ 3 bigg | _1 ^ 2 [4pt]
& = (4−1) - 2 (8−1) = 3-2 (7) = 3-14 = −11. النهاية {محاذاة *} ]

مثال ( PageIndex {4} ): توضيح الخاصية v.

على المنطقة (R = big {(x، y) ، | ، 1 leq x leq 3، ، 1 leq y leq 2 big } ) ، لدينا (2 leq x ^ 2 + y ^ 2 leq 13 ). أوجد حدين أدنى وأعلى للتكامل ( displaystyle iint_R (x ^ 2 + y ^ 2) ، dA.)

حل

للحد الأدنى ، قم بدمج الدالة الثابتة 2 فوق المنطقة (R ). للحد الأعلى ، قم بدمج الدالة الثابتة 13 فوق المنطقة (R ).

[ start {align *} int_1 ^ 2 int_1 ^ 3 2 ، dx ، dy & = int_1 ^ 2 [2x bigg | _1 ^ 3] ، dy = int_1 ^ 2 2 (2) dy = 4y bigg | _1 ^ 2 = 4 (2 - 1) = 4 [4pt] int_1 ^ 2 int_1 ^ 3 13dx ، dy & = int_1 ^ 2 [13x bigg | _1 ^ 3] ، dy = int_1 ^ 2 13 (2) ، dy = 26y bigg | _1 ^ 2 = 26 (2 - 1) = 26. end {align *} ]

ومن ثم نحصل على ( displaystyle 4 leq iint_R (x ^ 2 + y ^ 2) ، dA leq 26. )

مثال ( PageIndex {5} ): توضيح الخاصية vi

احسب التكامل ( displaystyle iint_R e ^ y cos x ، dA ) في المنطقة (R = big {(x، y) ، | ، 0 leq x leq frac { x} {2} ، ، 0 leq y leq 1 big } ).

حل

هذا مثال رائع للخاصية vi لأن الوظيفة (f (x، y) ) من الواضح أنها نتاج وظيفتين ذات متغير واحد (e ^ y ) و ( cos x ). وهكذا يمكننا تقسيم التكامل إلى جزأين ثم تكامل كل منهما كمسألة تكامل ذات متغير واحد.

[ begin {align *} iint_R e ^ y cos x ، dA & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {x / 2} e ^ y cos x ، dx ، dy [4pt]
& = left ( int_0 ^ 1 e ^ y dy right) left ( int_0 ^ { pi / 2} cos x ، dx right) [4pt]
& = (e ^ y bigg | _0 ^ 1) ( sin x bigg | _0 ^ { pi / 2}) [4pt]
& = e - 1. end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {2} )

أ. استخدم خصائص التكامل المزدوج ونظرية Fubini لتقييم التكامل

[ int_0 ^ 1 int _ {- 1} ^ 3 (3 - x + 4y) ، dy ، dx. لا يوجد رقم ]

ب. بيّن أن ( displaystyle 0 leq iint_R sin pi x ، cos pi y ، dA leq frac {1} {32} ) حيث (R = left (0، frac {1} {4} right) left ( frac {1} {4} ، frac {1} {2} right) ).

تلميح

استخدام الخصائص أنا. والثاني. ونقيم التكامل المتكرر ، ثم استخدم الخاصية v.

إجابه

أ. (26 )

ب. قد تتعدد الاجابات.

كما ذكرنا من قبل ، عندما نستخدم إحداثيات مستطيلة ، يمكن كتابة التكامل المزدوج فوق منطقة (R ) المشار إليها بواسطة ( iint_R f (x، y) ، dA ) كـ ( iint_R ، f (x، y) ، dx ، dy ) أو ( iint_R ، f (x، y) ، dy ، dx. ) يوضح المثال التالي أن النتائج هي نفسها بغض النظر عن الترتيب التكامل الذي نختاره.

مثال ( PageIndex {6} ): تقييم تكامل مكرر بطريقتين

لنعد إلى الدالة (f (x، y) = 3x ^ 2 - y ) من المثال 1 ، هذه المرة على المنطقة المستطيلة (R = [0،2] times [0،3] ). استخدم نظرية Fubini لتقييم ( iint_R f (x، y) ، dA ) بطريقتين مختلفتين:

  1. تكامل أولاً بالنسبة إلى (ص ) ثم فيما يتعلق (س ) ؛
  2. تكامل أولاً بالنسبة إلى (س ) ثم فيما يتعلق (ص ).

حل

يوضح الشكل ( PageIndex {6} ) كيفية عمل الحساب بطريقتين مختلفتين.

  1. أولًا تكامل بالنسبة إلى (y ) ثم تكامل فيما يتعلق بـ (x ):

[ begin {align *} iint_R f (x، y) ، dA & = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = 3} (3x ^ 2 - ص) ، دى ، دكس [4pt]
& = int_ {x = 0} ^ {x + 2} left ( int_ {y = 0} ^ {y = 3} (3x ^ 2 - y) ، dy right) ، dx = int_ {x = 0} ^ {x = 2} left [3x ^ 2y - frac {y ^ 2} {2} bigg | _ {y = 0} ^ {y = 3} right] ، dx [4 نقطة]
& = int_ {x = 0} ^ {x = 2} left (9x ^ 2 - frac {9} {2} right) ، dx = 3x ^ 3 - frac {9} {2} x bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} = 15. النهاية {محاذاة *} ]

  1. أولًا تكامل فيما يتعلق بـ (x ) ثم تكامل فيما يتعلق بـ (y ):
    [ begin {align *} iint_R f (x، y) ، dA & = int_ {y = 0} ^ {y = 3} int_ {x = 0} ^ {x = 2} (3x ^ 2 - ص) ، دكس ، دى [4pt]
    & = int_ {y = 0} ^ {y = 3} left ( int_ {x = 0} ^ {x = 2} (3x ^ 2 - y) ، dx right) ، dy [ 4 نقطة]
    & = int_ {y = 0} ^ {y = 3} left [x ^ 3 - xy bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} right] dy [4pt]
    & = int_ {y = 0} ^ {y = 3} (8 - 2y) ، dy = 8y - y ^ 2 bigg | _ {y = 0} ^ {y = 3} = 15. end { محاذاة *} ]

تحليل

بأي من أمري التكامل ، يعطينا التكامل المزدوج إجابة (15 ). قد نرغب في تفسير هذه الإجابة على أنها حجم بوحدات تكعيبية من المادة الصلبة (S ) أسفل الوظيفة (f (x، y) = 3x ^ 2 - y ) فوق المنطقة (R = [0، 2] مرات [0،3] ). ومع ذلك ، تذكر أن تفسير التكامل المزدوج كوحدة تخزين (غير موقعة) لا يعمل إلا عندما تكون الدالة (f ) غير سالبة على المنطقة الأساسية (R ).

تمرين ( PageIndex {3} )

يقيم

[ int_ {y = -3} ^ {y = 2} int_ {x = 3} ^ {x = 5} (2 - 3x ^ 2 + y ^ 2) ، dx ، dy. لا يوجد رقم]

تلميح

استخدم نظرية فوبيني.

إجابه

(- frac {1340} {3} )

في المثال التالي ، نرى أنه قد يكون من المفيد بالفعل تبديل ترتيب التكامل لتسهيل الحساب. سنعود إلى هذه الفكرة عدة مرات في هذا الفصل.

مثال ( PageIndex {7} ): تبديل ترتيب التكامل

ضع في اعتبارك التكامل المزدوج ( displaystyle iint_R x ، sin (xy) ، dA ) فوق المنطقة (R = big {(x، y) ، | ، 0 leq x leq 3، ، 0 leq y leq 2 big } ) (الشكل ( PageIndex {6} )).

  1. عبر عن التكامل المزدوج بطريقتين مختلفتين.
  2. حلل ما إذا كان تقييم التكامل المزدوج بطريقة ما أسهل من الآخر ولماذا.
  3. احسب التكامل.

الشكل ( PageIndex {7} ): الدالة (z = f (x، y) = x ، sin (xy) ) فوق المنطقة المستطيلة (R = [0، pi] times [1،2]. )

  1. يمكننا التعبير عن ( iint_R x ، sin (xy) ، dA ) بالطريقتين التاليتين: أولاً من خلال التكامل فيما يتعلق (y ) ثم فيما يتعلق (x ) ؛ ثانيًا بالتكامل فيما يتعلق بـ (س ) ثم فيما يتعلق (ص ).
    [ iint_R x ، sin (xy) ، dA = int_ {x = 0} ^ {x = pi} int_ {y = 1} ^ {y = 2} x ، sin (xy) ) ، دي ، دكس غير رقم ]
    التكامل أولاً بالنسبة لـ (y ).
    [= int_ {y = 1} ^ {y = 2} int_ {x = 0} ^ {x = pi} x ، sin (xy) ، dx ، dy nonumber ]
    التكامل أولاً بالنسبة لـ (x ).
  2. إذا أردنا الاندماج فيما يتعلق ذ أولاً ثم التكامل فيما يتعلق بـ (x ) ، نرى أنه يمكننا استخدام الاستبدال (u = xy ) ، والذي يعطي (du = x ، dy ). ومن ثم فإن التكامل الداخلي هو ببساطة ( int sin u ، du ) ويمكننا تغيير الحدود لتكون وظائف (x ) ،

[ iint_R x ، sin (xy) ، dA = int_ {x = 0} ^ {x = pi} int_ {y = 1} ^ {y = 2} x ، sin (xy) ) ، dy ، dx = int_ {x = 0} ^ {x = pi} left [ int_ {u = x} ^ {u = 2x} sin (u) ، du right] ، dx. nonumber ]

ومع ذلك ، فإن التكامل فيما يتعلق بـ (x ) أولاً ثم التكامل فيما يتعلق بـ (y ) يتطلب تكامل أجزاء التكامل الداخلي ، مع (u = x ) و (dv = sin (xy) dx )

ثم (du = dx ) و (v = - frac { cos (xy)} {y} ) ، لذلك

[ iint_R x sin (xy) ، dA = int_ {y = 1} ^ {y = 2} int_ {x = 0} ^ {x = pi} x sin (xy) ، dx ، dy = int_ {y = 1} ^ {y = 2} left [- frac {x ، cos (xy)} {y} bigg | _ {x = 0} ^ {x = pi} + frac {1} {y} int_ {x = 0} ^ {x = pi} cos (xy) ، dx right] ، dy. nonumber ]

نظرًا لأن التقييم يزداد تعقيدًا ، فسنقوم فقط بالحسابات التي يسهل القيام بها ، والتي من الواضح أنها الطريقة الأولى.

  1. احسب التكامل المزدوج بالطريقة الأسهل.

[ begin {align *} iint_R x ، sin (xy) ، dA & = int_ {x = 0} ^ {x = pi} int_ {y = 1} ^ {y = 2} x ، sin (xy) ، dy ، dx [4pt]
& = int_ {x = 0} ^ {x = pi} left [ int_ {u = x} ^ {u = 2x} sin (u) ، du right] ، dx = int_ { x = 0} ^ {x = pi} left [- cos u bigg | _ {u = x} ^ {u = 2x} right] ، dx [4pt]
& = int_ {x = 0} ^ {x = pi} (- cos 2x + cos x) ، dx [4pt]
& = left (- frac {1} {2} sin 2x + sin x right) bigg | _ {x = 0} ^ {x = pi} = 0. end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {4} )

احسب التكامل ( displaystyle iint_R xe ^ {xy} ، dA ) حيث (R = [0،1] times [0، ln 5] ).

تلميح

الدمج بالنسبة إلى (y ) أولاً.

إجابه

( frac {4 - ln 5} { ln 5} )

تطبيقات التكاملات المزدوجة

تعتبر التكاملات المزدوجة مفيدة جدًا في إيجاد مساحة منطقة محددة بمنحنيات وظائف. نصف هذا الموقف بمزيد من التفصيل في القسم التالي. ومع ذلك ، إذا كانت المنطقة مستطيلة الشكل ، فيمكننا إيجاد مساحتها من خلال دمج الدالة الثابتة (f (x، y) = 1 ) فوق المنطقة (R ).

تعريف

يتم تحديد مساحة المنطقة (R ) بواسطة [A (R) = iint_R 1 ، dA. ]

هذا التعريف منطقي لأن استخدام (f (x، y) = 1 ) وتقييم التكامل يجعله منتجًا للطول والعرض. دعنا نتحقق من هذه الصيغة بمثال ونرى كيف يعمل هذا.

مثال ( PageIndex {8} ): إيجاد منطقة باستخدام تكامل مزدوج

أوجد مساحة المنطقة (R = big {، (x، y) ، | ، 0 leq x leq 3، ، 0 leq y leq 2 big } ) من خلال باستخدام تكامل مزدوج ، أي بدمج (1 ) فوق المنطقة (ص ).

حل

المنطقة مستطيلة بطول (3 ) وعرض (2 ) ، لذلك نعلم أن المساحة (6 ). نحصل على نفس الإجابة عندما نستخدم تكاملًا مزدوجًا:

[A (R) = int_0 ^ 2 int_0 ^ 3 1 ، dx ، dy = int_0 ^ 2 left [x big | _0 ^ 3 right] ، dy = int_0 ^ 2 3 dy = 3 int_0 ^ 2 dy = 3y bigg | _0 ^ 2 = 3 (2) = 6 ، text {Units} ^ 2. nonumber ]

لقد رأينا بالفعل كيف يمكن استخدام التكاملات المزدوجة للعثور على حجم صلب محدد أعلاه بواسطة دالة (f (x، y) geq 0 ) فوق منطقة (R ) متوفرة (f (x، y) geq 0 ) للجميع ((x ، y) ) في (R ). هنا مثال آخر لتوضيح هذا المفهوم.

مثال ( PageIndex {9} ): حجم المكافئ الإهليلجي

ابحث عن حجم (V ) الصلب (S ) الذي يحده المكافئ البيضاوي (2x ^ 2 + y ^ 2 + z = 27 ) والمستويات (x = 3 ) و (y = 3 ) ومستويات الإحداثيات الثلاثة.

حل

لاحظ أولاً الرسم البياني للسطح (z = 27 - 2x ^ 2 - y ^ 2 ) في الشكل ( PageIndex {8} ) (أ) وفوق المنطقة المربعة (R_1 = [-3،3 ] مرات [-3،3] ). ومع ذلك ، نحتاج إلى حجم المادة الصلبة المحاط بالمكافئ البيضاوي (2x ^ 2 + y ^ 2 + z = 27 ) ، والمستويات (x = 3 ) و (y = 3 ) ، و ثلاث طائرات تنسيق.

الآن دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني للسطح في الشكل ( PageIndex {8} ) (ب). نحدد الحجم (V ) من خلال تقييم التكامل المزدوج على (R_2 ):

[ begin {align *} V & = iint_R z ، dA = iint_R (27 - 3x ^ 2 - y ^ 2) ، dA [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 3} int_ {x = 0} ^ {x = 3} (27 - 2x ^ 2 - y ^ 2) ، dx ، dy & & text { تحويل إلى تكامل حرفي.} [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 3} [27x - frac {2} {3} x ^ 3 - y ^ 2x] bigg | _ {x = 0} ^ {x = 3} ، dy & & text {تكامل مع مراعاة $ x $.} [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 3} (64 - 3y ^ 2) dy = 63 y - y ^ 3 bigg | _ {y = 0} ^ {y = 3} = 162. end {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {5} )

أوجد حجم المادة الصلبة المحددة أعلاه من خلال الرسم البياني لـ (f (x، y) = xy sin (x ^ 2y) ) وأدناه بواسطة (xy ) - المستوى على المنطقة المستطيلة (R = [0،1] times [0، pi] ).

تلميح

ارسم الدالة ، وقم بإعداد التكامل ، واستخدم التكامل المتكرر.

إجابه

( frac { pi} {2} )

تذكر أننا حددنا متوسط ​​قيمة دالة لمتغير واحد على فاصل زمني ([a، b] ) على النحو التالي

[f_ {ave} = frac {1} {b - a} int_a ^ b f (x) ، dx. ]

وبالمثل ، يمكننا تحديد متوسط ​​قيمة دالة لمتغيرين في المنطقة (ص ). الفرق الرئيسي هو أننا نقسم على مساحة بدلاً من عرض الفترة.

تعريف

متوسط ​​قيمة دالة لمتغيرين عبر منطقة (R ) هو

[F_ {ave} = frac {1} { text {Area of} ، R} iint_R f (x، y) ، dx ، dy. ]

في المثال التالي نجد متوسط ​​قيمة دالة على منطقة مستطيلة. هذا مثال جيد للحصول على معلومات مفيدة للتكامل عن طريق إجراء قياسات فردية عبر شبكة ، بدلاً من محاولة العثور على تعبير جبري لوظيفة ما.

مثال ( PageIndex {10} ): حساب متوسط ​​هطول الأمطار

تُظهر خريطة الطقس في الشكل ( PageIndex {9} ) نظام عاصفة رطب بشكل غير عادي مرتبط ببقايا إعصار كارل ، الذي ألقى 4-8 بوصات (100-200 ملم) من الأمطار في بعض أجزاء الغرب الأوسط في سبتمبر. 22-23 ، 2010. مساحة هطول الأمطار 300 ميل من الشرق إلى الغرب و 250 ميلا من الشمال إلى الجنوب. قدر متوسط ​​هطول الأمطار على المنطقة بأكملها في هذين اليومين.

حل

ضع الأصل في الركن الجنوبي الغربي من الخريطة بحيث يمكن اعتبار جميع القيم في الربع الأول ، وبالتالي تكون جميعها موجبة. قسّم الآن الخريطة بأكملها إلى ستة مستطيلات ((م = 2 ) و (n = 3) ) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {9} ). افترض (f (x، y) ) تدل على هطول الأمطار بالبوصة عند نقطة تقريبًا (x ) ميلًا إلى الشرق من الأصل و (y ) ميلًا إلى الشمال من الأصل. دع (R ) يمثل كامل مساحة (250 مرات 300 = 75000 ) ميل مربع. ثم مساحة كل مستطيل فرعي هي

[ Delta A = frac {1} {6} (75000) = 12500. nonumber ]

افترض أن ((x_ {ij} *، y_ {ij} *) ) هي نقاط المنتصف تقريبًا لكل مستطيل فرعي (R_ {ij} ). لاحظ المنطقة المشفرة بالألوان في كل نقطة من هذه النقاط ، وقم بتقدير هطول الأمطار. يمكن تقدير هطول الأمطار في كل نقطة من هذه النقاط على النحو التالي:

عند ( (x_ {11}، y_ {11} )) تساقط الأمطار 0.08.

عند ( (x_ {12}، y_ {12} )) تساقط الأمطار 0.08.

عند ( (x_ {13}، y_ {13} )) تساقط الأمطار 0.01.

في ( (x_ {21}، y_ {21} )) تساقط الأمطار 1.70.

في ( (x_ {22}، y_ {22} )) تساقط الأمطار 1.74.

في ( (x_ {23}، y_ {23} )) تساقط الأمطار 3.00.

وفقًا لتعريفنا ، كان متوسط ​​هطول الأمطار في المنطقة بأكملها خلال هذين اليومين

[ begin {align *} f_ {ave} = frac {1} {Area ، R} iint_R & = f (x، y) ، dx ، dy = frac {1} {75000} iint_R f (x، y) ، dx ، dy [4pt]
& almost frac {1} {75000} sum_ {i = 1} ^ 3 sum_ {j = 1} ^ 2 f (x_ {ij} ^ *، y_ {ij} ^ *) Delta A [4 نقطة]
& = frac {1} {75000} [f (x_ {11} ^ *، y_ {11} ^ *) Delta A + f (x_ {12} ^ *، y_ {12} ^ *) Delta A + f (x_ {13} ^ *، y_ {13} ^ *) Delta A + f (x_ {21} ^ *، y_ {21} ^ *) Delta A + f (x_ {22} ^ *، y_ {22} ^ *) Delta A + f (x_ {23} ^ *، y_ {23} ^ *) Delta A] [4pt]
& تقريبًا frac {1} {75000} [0.08 + 0.08 + 0.01 + 1.70 + 1.74 + 3.00] Delta A [4pt]
& = frac {1} {75000} [0.08 + 0.08 + 0.01 + 1.70 + 1.74 + 3.00] 12500 [4pt]
& = frac {1} {6} [0.08 + 0.08 + 0.01 + 1.70 + 1.74 + 3.00] [4pt] & almost 1.10 ؛ text {in}. النهاية {محاذاة *} ]

خلال الفترة من 22 إلى 23 سبتمبر 2010 ، بلغ متوسط ​​هطول الأمطار في هذه المنطقة حوالي 1.10 بوصة.

تمرين ( PageIndex {6} )

يتم عرض خريطة محيطية للدالة (f (x، y) ) على المستطيل (R = [-3،6] times [-1، 4] ).

أ. استخدم قاعدة النقطة المتوسطة مع (m = 3 ) و (n = 2 ) لتقدير قيمة ( displaystyle iint_R f (x، y) ، dA.)

ب. تقدير متوسط ​​قيمة الوظيفة (f (x، y) ).

تلميح

قسّم المنطقة إلى ستة مستطيلات ، واستخدم خطوط الكنتور لتقدير قيم (f (x ، y) ).

إجابه

الإجابات على كلا الجزأين أ. وب. ربما يختلف.

المفاهيم الرئيسية

  • يمكننا استخدام مجموع ريمان المزدوج لتقريب حجم مادة صلبة محدودة أعلاه بدالة من متغيرين على منطقة مستطيلة. بأخذ الحد ، يصبح هذا تكاملًا مزدوجًا يمثل حجم المادة الصلبة.
  • تفيد خصائص التكامل المزدوج في تبسيط العمليات الحسابية وإيجاد حدود لقيمها.
  • يمكننا استخدام نظرية Fubini لكتابة وتقييم تكامل مزدوج باعتباره تكاملًا متكررًا.
  • تُستخدم التكاملات المزدوجة لحساب مساحة المنطقة ، والحجم تحت السطح ، ومتوسط ​​قيمة دالة لمتغيرين على منطقة مستطيلة.

المعادلات الرئيسية

  • تكامل مزدوج

    [ iint_R f (x، y) ، dA = lim_ {m، n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ij *، y_ij *) ، ΔA غير رقم ]

  • مكرر لا يتجزأ

    [ int_a ^ b int_c ^ d f (x، y) ، dx ، dy = int_a ^ b left [ int_c ^ d f (x، y) ، dy right] dx nonumber ]

    أو

    [ int_c ^ d int_a ^ b f (x، y) ، dx ، dy = int_c ^ d left [ int_a ^ b f (x، y) ، dx right] dy nonumber ]

  • متوسط ​​قيمة دالة من متغيرين

    [f_ {ave} = frac {1} { text {Area of} ، R} iint_R f (x، y) ، dx ، dy nonumber ]

تكامل مزدوج
من الوظيفة (f (x، y) ) فوق المنطقة (R ) في (xy ) - يتم تعريف المستوى على أنه حد مجموع ريمان المزدوج ،
[ iint_R f (x، y) ، dA = lim_ {m، n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ * ، y_ {ij} ^ *) ، Delta A. nonumber ]
مبلغ ريمان مضاعف
من الوظيفة (f (x ، y) ) على منطقة مستطيلة (R ) هو
[ sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ n f (x_ {ij} ^ *، y_ {ij} ^ *) ، Delta A، nonumber ]
حيث (R ) مقسم إلى مستطيلات فرعية أصغر (R_ {ij} ) و ((x_ {ij} ^ *، y_ {ij} ^ *) ) نقطة عشوائية في (R_ {ij} )
نظرية فوبيني
إذا كانت (f (x، y) ) دالة لمتغيرين مستمرين على منطقة مستطيلة (R = big {(x، y) in mathbb {R} ^ 2 ، | ، a leq x leq b ، ، c leq y leq d big } ) ، فإن التكامل المزدوج لـ (f ) فوق المنطقة يساوي تكاملًا متكررًا ،
[ displaystyle iint_R f (x، y) ، dA = int_a ^ b int_c ^ df (x، y) ، dx ، dy = int_c ^ d int_a ^ bf (x، y) ، dx ، dy nonumber ]
مكرر تكامل
لوظيفة (f (x، y) ) فوق المنطقة (R ) هو

أ. ( displaystyle int_a ^ b int_c ^ df (x، y) ، dx ، dy = int_a ^ b left [ int_c ^ df (x، y) ، dy right] ، dx، )

ب. ( displaystyle int_c ^ d int_a ^ bf (x، y) ، dx ، dy = int_c ^ d left [ int_a ^ bf (x، y) ، dx right] ، dy، )

حيث (أ ، ب ، ج ) ، و (د ) هي أي أرقام حقيقية و (ص = [أ ، ب] مرات [ج ، د] )

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


منشورات الرياضيات 18 أ / 21 أ

أولًا ، لنتذكر التكامل المحدد من حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير.

القسم الفرعي 4.1 مراجعة التكامل المحدد ذو المتغير الفردي

في حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير ، العملية تتضمن جزئين من البيانات ، دالة ذات متغير واحد (f ) وفاصل زمني مغلق ([أ ، ب] نص <.> ) اعتدنا على التصور التكامل المحدد ( displaystyle int_a ^ bf (x) ، dx ) كمنطقة موقعة ، ولكن يتم تعريف التكامل المحدد على أنه حد لمجموع Riemann. إليك ملخص لهذا التعريف ( displaystyle int_a ^ b f (x) ، dx ) هو نتيجة العملية التالية:

شريحة الفاصل ([a، b] ) إلى قطع متساوية العرض ( Delta x text <.> )

لكل شريحة ، اختر نقطة (س ) في الشريحة 1 يمكنك القيام بذلك بشكل منهجي ، مثل دائمًا اختيار نقطة النهاية اليمنى للشريحة أو نقطة المنتصف للشريحة ، ولكن من الجيد أيضًا أن تأخذ نقطة عشوائية في شريحة. بغض النظر عن اختيارك ، سيكون الحد في الخطوة 4 هو نفسه (بافتراض أن الوظيفة (f ) متصلة على الفاصل ([a، b] )). وحساب (f (x) Delta x text <.> )

مجموع كل هذه القيم. يمكننا كتابة هذا المجموع كـ ( displaystyle sum_ < textx text <لكل شريحة >> f (x) Delta x text <.> ) (يُطلق على مجموع هذا النموذج اسم متغير واحد.)

خذ الحد من مبالغ Riemann مثل ( Delta x to 0 text <.> )

الحد الناتج هو قيمة ( displaystyle int_a ^ b f (x) ، dx text <.> )

بالطبع ، لا نحسب فعليًا التكاملات المحددة بهذه الطريقة (نستخدم بدلاً من ذلك النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل) ، لكن هذا التعريف للتكامل المحدد مهم لأنه يمكّننا من التعرف على المواقف التي قد تكون فيها التكاملات المحددة مفيدة.

القسم الفرعي 4.2 التكامل المزدوج

باختصار ، غالبًا ما نشير إلى "التكامل المحدد لمتغير واحد" ببساطة على أنه a. بشكل تحليلي ، التكامل المزدوج هو عملية تتضمن قطعتين من البيانات ، دالة ذات متغيرين (f (x ، y) ) ومنطقة ثنائية الأبعاد ( mathcal) in ( R ^ 2 text <.> ) نكتب باستخدام الرمز ( displaystyle iint _ < mathcal> f (x، y) ، dA text <.> ) مثل التكامل الفردي ، يتم تعريف التكامل المزدوج على أنه حد لمجموع Riemann. بشكل أكثر تحديدًا ، التكامل المزدوج هو نتيجة العملية التالية:

شريحة المنطقة ( mathcal) الى قطع صغيرة. على سبيل المثال ، يمكننا تقسيم ( mathcal) في مستطيلات العرض ( Delta x ) والارتفاع ( Delta y text <.> ) (بالطبع ، منذ ( mathcal) لا يلزم أن يكون لها جوانب مستقيمة ، فلن تكون كل القطع مستطيلات كاملة ، كما هو موضح أدناه.)

لكل شريحة ، اختر نقطة ((x، y) ) في الشريحة وحساب (f (x، y) Delta A text <،> ) حيث ( Delta A ) هي المنطقة من الشريحة. 2 لا بأس أيضًا إذا كان ( Delta A ) مجرد تقريب لمساحة الشريحة.

مجموع كل هذه القيم. نكتب هذا المجموع كـ ( displaystyle mathop _ < text(x، y) text <لكل شريحة >> f (x، y) ، Delta A text <.> )

خذ الحد من هذا المجموع حيث أن أحجام القطع تذهب إلى 0 (مع القطع المستطيلة ، هذا يعني أننا نأخذ الحد مثل ( Delta x to 0 ) و ( Delta y to 0 )).

الحد الناتج 3 طالما أن (f ) مستمر على ( mathcal) (وهي الحالة الوحيدة التي سنقوم بدراستها في 18a / 21a) ، هذا الحد موجود. هي قيمة ( displaystyle iint _ < mathcal> f (x، y) ، dA text <.> )

هناك بعض الأسئلة المهمة التي سنعمل على الإجابة عليها في الفصول الدراسية القليلة التالية:

من الناحية العملية ، كيف نحسب تكامل مزدوج؟ (على الرغم من تعريف التكامل المحدد ذو المتغير الفردي على أنه حد لمجموع Riemann ، عندما نحسب تكاملًا محددًا ، فإننا لا نحسب بالفعل مبالغ Riemann ونأخذ حدًا كما هو الحال مع التكاملات المزدوجة.)

القسم الفرعي 4.3 حساب التكاملات المزدوجة

لفهم كيفية حساب تكامل مزدوج ، سنلقي نظرة عميقة على أحد الأمثلة. دعونا ( mathcal) تكون المنطقة الموجودة في ( R ^ 2 ) أعلاه (y = 0 نص <،> ) أدناه (y = ln x text <،> ) وعلى يسار (x = e ^ 2 text <> ) هنا رسم تخطيطي للمنطقة:

نود أن نفهم كيفية تقييم ( displaystyle iint _ < mathcal> f (x، y) ، dA ) لوظيفة تعسفية ذات متغيرين (f text <.> ) المفتاح هو أنه يمكن إعادة كتابة هذا التكامل المزدوج من حيث التكاملات الفردية. لفهم سبب ذلك ، دعنا نعود إلى تعريف التكاملات المزدوجة ، والتي تقول ( displaystyle iint _ < mathcal> f (x، y) ، dA ) هي نتيجة عملية:

نقوم أولاً بتقسيم المنطقة ( mathcal) إلى قطع صغيرة هنا ، سنستخدم مستطيلات العرض ( Delta x ) والارتفاع ( Delta y text <:> ) 4 كما ذكرنا سابقًا ، بعض القطع ليست مستطيلات مثالية ، ولا بأس بذلك.

في كل شريحة ، نختار نقطة ((x، y) ) ونحسب (f (x، y) Delta A ) حيث ( Delta A ) هي مساحة الشريحة. نظرًا لأن معظم القطع عبارة عن مستطيلات للعرض ( Delta x ) والارتفاع ( Delta y text <،> ) لديهم ( Delta A = Delta x Delta y text <> ) حتى بالنسبة للقطع التي ليست مستطيلات كاملة ، من المعقول تقريب ( Delta A ) بواسطة ( Delta x Delta y text <،> ) لأن هذا التقريب سيصبح أكثر دقة بمجرد أن نأخذ الحد ( Delta x to 0 ) و ( Delta y to 0 text <.> )

نجمع قيم (f (x، y) Delta A text <،> ) قيمة واحدة لكل شريحة و ( displaystyle iint _ < mathcal> f (x، y) ، dA ) هو حد هذه المبالغ كـ ( Delta x to 0 ) و ( Delta y to 0 text <.> ) أي ،

الفكرة الأساسية هي أنه في مجموع Riemann المزدوج ، يمكننا إضافة القيم (f (x، y) Delta x Delta y ) بأي ترتيب نريده. لذلك ، على سبيل المثال ، يمكننا جمع القيم في كل عمود أولاً ، والحصول على نتيجة واحدة لكل عمود ، وإضافة هذه النتائج. لذلك ، يمكننا إعادة كتابة (4.1) على النحو التالي

لنفكر في المجموع الداخلي ، حيث قمنا بتثبيت قيمة (x ) ونجمع (f (x، y) Delta y ) لواحد (y ) لكل شريحة في العمود. هذه صورة لعمود من هذا القبيل:

المجموع (displaystyle sum_ y text <لكل شريحة في العمود> x> f (x، y) Delta y ) هو مجموع Riemann في (y text <،> ) لذلك عندما نأخذ حد مجموع Riemann هذا كـ ( Delta y to 0 text <،> ) سنحصل على تكامل محدد للصيغة ( displaystyle int _؟ ^؟ f (x، y) ، dy text <.> ) ماذا هي حدود التكامل؟ من الصورة ، نرى أننا قمنا بتقطيع (y ) - القيم من (y = 0 ) إلى (y = ln x ) (تذكر أننا ننظر إلى (x ) ثابت )) ، فهذه هي الحدود. هذا هو،

لكن لاحظ أن هذا هو الآن حد مجموع Riemann في (x text <،> ) لذا يمكن إعادة كتابته كجزء لا يتجزأ في (x text) ما هي حدود (x text <؟> ) نحن نجمع أكثر من (x ) لكل عمود ، والأعمدة تنتقل من (x = 1 ) إلى (x = e ^ 2 text <،> ) لذا يصبح (4.3)

وهكذا ، أعدنا كتابة ( displaystyle iint _ < mathcal> f (x، y) ، dA ) بدلالة التكاملات الفردية. دعونا نرى مثالاً على كيفية استخدام هذا.

مثال 4.1

لنحسب ( displaystyle iint _ < mathcal> (x ^ 2 + e ^ y) ، dA ) للمنطقة ( mathcal) كنا نبحث في.

كما قلنا بالفعل ، في التكامل الداخلي ، يجب اعتبار (س ) ثابتًا (لأننا نتكامل على عمود من المنطقة ، حيث (س ) ثابت) و (ص ) المتغير:

يبدأ أمبير = int_1 ^ يسار (x ^ 2 y + e ^ y كبير | _^ right) dx amp = int_1 ^ يسار (x ^ 2 ln x + x - 1 يمين) ، dx end

باستخدام التكامل بالأجزاء لدمج (x ^ 2 ln x text <،> ) يتم تقييم هذا إلى:

التعبير ( displaystyle int_1 ^ left ( int_0 ^ < ln x> f (x، y) ، dy right) ، dx ) يسمى an ، ويمكننا أيضًا كتابته بدون أقواس كـ ( displaystyle int_1 ^ int_0 ^ < ln x> f (x، y) ، dy ، dx text <.> )

إذا نظرت إلى الوراء في كيفية إعادة كتابة ( displaystyle iint _ < mathcal> f (x، y) ، dA ) كتكامل متكرر ، ستتذكر أنه جاء من جمع القيم (f (x، y) Delta A ) بترتيب معين: الأعمدة أولاً. بالطبع ، كان بإمكاننا بدلاً من ذلك اختيار إضافة صفوف أولاً. دعونا نرى ما سيحدث إذا قمنا بهذا الاختيار. بعد ذلك ، بدلاً من (4.2) ، كان من الممكن أن نكتب

هذه صورة لصف واحد (مع ثابت (ص )):

من الصورة ، يمكننا أن نرى أن هذا الصف يتضمن (x ) - قيم من (e ^ y ) (لأن الطرف الأيسر من الصف على (y = ln x text <،> ) والتي يمكن إعادة كتابتها كـ (x = e ^ y )) إلى (e ^ 2 text <،> ) لذلك عندما نأخذ الحد كـ ( Delta x to 0 ) لمجموع Riemann الداخلي ، نحصل على التكامل المحدد ( displaystyle int_^ f (x، y) ، dx text <.> ) عندما نجمع كل الصفوف ، (y ) يختلف من (0 ) إلى (2 text <،> ) لذلك ينتهي بنا الأمر إعادة الكتابة

مثال 4.2

لنحسب ( displaystyle iint _ < mathcal> (x ^ 2 + e ^ y) ، dA ) مرة أخرى باستخدام (4.6).

هذه المرة ، في التكامل الداخلي ، يُنظر إلى (ص ) على أنه ثابت و (س ) هو المتغير:

يبدأ amp = int_0 ^ 2 يسار ( يسار. frac <3> + x e ^ y right | _^ right) dy amp = int_0 ^ 2 left ( frac <3> + e ^ 2 e ^ y - frac> <3> - e ^ <2y> right) ، dy amp = left. فارك <3> y + e ^ 2 e ^ y - frac> <9> - frac> <2> حق | _^ amp = frac <5e ^ 6> <9> + frac <2> - e ^ 2 + frac <11> <18> end

هذه بالطبع هي الإجابة نفسها التي حصلنا عليها في المثال 4.1 ، لكن لاحظ أننا هذه المرة لسنا بحاجة إلى تكامل أجزاء. يوضح هذا أحد الأسباب التي تجعل من المفيد أن يكون لديك طرق متعددة لتحويل تكامل مزدوج إلى تكامل متكرر أحيانًا ، حيث يكون تقييم تكامل متكرر أسهل من الآخر.


انسايت الرياضيات

تخيل أنه كان عليك حساب التكامل المزدوج start iint_ < dlr> g (x، y) dA label نهاية حيث $ g (x، y) = x ^ 2 + y ^ 2 $ و $ dlr $ هو قرص نصف القطر 6 المتمركز في الأصل.

من حيث الإحداثيات المستطيلة (أو الديكارتية) القياسية $ x $ و $ y $ ، يتم إعطاء القرص من خلال start -6 le x le 6 - sqrt <36-x ^ 2> le y le sqrt <36-x ^ 2>. نهاية يمكننا البدء في حساب التكامل بدلالة $ x $ و $ y $ كـ start iint_ < dlr> g (x، y) dA = int_ <-6> ^ 6 int _ <- sqrt <36-x ^ 2 >> ^ < sqrt <36-x ^ 2 >> (x ^ 2 + y ^ 2) ، dy ، dx = text. نهاية

اتضح أن هذا التكامل سيكون أسهل كثيرًا إذا استطعنا متغيرات التغيير للإحداثيات القطبية. في الإحداثيات القطبية ، القرص هو المنطقة التي سنطلق عليها $ dlr ^ * $ معرف بواسطة le r le 6 $ و le theta le 2 pi $. ومن ثم فإن منطقة التكامل أسهل لوصفها باستخدام الإحداثيات القطبية.

علاوة على ذلك ، فإن التكامل و $ x ^ 2 + y ^ 2 $ بسيط في الإحداثيات القطبية لأن $ x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 $. باستخدام الإحداثيات القطبية ، ستكون حياتنا أسهل كثيرًا لأنه يبدو أن كل ما علينا فعله هو دمج $ r ^ 2 $ فوق المنطقة $ dlr ^ * $ المحددة بواسطة le r le 6 $ و le theta le 2 pi $.

لسوء الحظ ، الأمر ليس بهذه السهولة. نحن بحاجة إلى حساب نتيجة أخرى لتغيير المتغيرات ، وهي كيفية تغيير المتغيرات في المنطقة. قد تتذكر أن $ dA $ تعني مساحة صغيرة من المنطقة $ dlr $. في الإحداثيات المستطيلة ، استبدلنا $ dA $ ب $ dx ، dy $ (أو $ dy ، dx $). نحتاج إلى تحديد ما يصبح $ dA $ عندما نغير المتغيرات. كما سترى ، في الإحداثيات القطبية ، $ dA $ يفعل ليس يصبح $ dr ، d theta $.

العلاقة بين الإحداثيات المستطيلة $ (x، y) $ والقطبية $ (r، theta) $ من خلال $ x = r cos theta $، $ y = r sin theta $. لنرى كيف تتغير المنطقة ، دعنا نكتب تغيير المتغيرات على أنها الدالة تبدأ (x، y) = cvarf (r، theta) = (r cos theta، r sin theta). ضع الكلمة المناسبة نهاية تعطي الدالة $ cvarf (r، theta) $ إحداثيات مستطيلة بدلالة الإحداثيات القطبية. يعطي التحويل $ cvarf $ منظور الإحداثيات القطبية كتخطيط من المستوى القطبي إلى المستوى الديكارتي. يوضح التطبيق الصغير أدناه كيف يقوم $ cvarf $ بتعيين مستطيل $ dlr ^ * $ في المستوى القطبي إلى المنطقة $ dlr $ في المستوى الديكارتي. لجعل $ dlr ^ * $ و $ dlr $ يتوافقان مع المستطيل والقرص في مثالنا ، يمكنك شرح المستطيل $ dlr ^ * $ لأقصى حجم له.

الإحداثيات القطبية خريطة المستطيل. يمكن عرض التحويل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية $ (x، y) = cvarf (r، theta) = (r cos theta، r sin theta) $ كخريطة من الإحداثيات القطبية $ ( r، theta) $ plane (اللوحة اليسرى) إلى الإحداثيات الديكارتية $ (x، y) $ plane (اللوحة اليمنى). يقوم هذا التحويل بتعيين مستطيل $ dlr ^ * $ في المستوى $ (r، theta) $ إلى منطقة $ dlr $ في المستوى $ (x، y) $ وهو جزء من قطاع زاوي داخل الحلقة . يمكنك تغيير المناطق $ dlr ^ * $ و $ dlr $ عن طريق سحب النقاط الأرجواني أو السماوي في أي من اللوحتين. لمزيد من تصور عمل الخريطة $ (x، y) = cvarf (r، theta) $ ، يمكنك سحب النقاط الحمراء والزرقاء المعنونة في أي مكان داخل المستطيل الكبير le r le 6 $، le ثيتا

هل تفهم لماذا يبدو القرص على شكل مستطيل في الإحداثيات القطبية (أي لماذا المنطقة $ dlr ^ * $ على اليسار والتي ترسم على القرص هي مستطيل)؟ تذكر أن القرص موصوف بواسطة le r le 6 $ و le theta le 2 pi $ ، وهو مستطيل عند رسمه في الطائرة $ r theta $.

يمكننا القول أن $ cvarf (r، theta) $ parametrizes $ dlr $ لـ $ (r، theta) $ في $ dlr ^ * $. يستخدم هذا نفس اللغة التي استخدمناها عند تحديد منحنى. سنستخدمه مرة أخرى عندما نتحدث عن الأسطح ذات المعلمات.

لإلقاء نظرة على كيفية تغيير $ cvarf (r، theta) $ للمنطقة ، يمكننا تقطيع المنطقة $ dlr ^ * $ إلى مستطيلات صغيرة من العرض $ Delta r $ والارتفاع $ Delta theta $. تقوم الوظيفة $ cvarf (r، theta) $ بتعيين كل من هذه المستطيلات الصغيرة في & ldquocurvy Rdquo & rdquo in $ dlr $ ، كما هو موضح أدناه. (كما هو مذكور أعلاه ، تحتاج إلى توسيع المستطيل $ dlr ^ * $ في اللوحة اليسرى إلى الحد الأقصى لحجمه لجعل $ dlr ^ * $ و $ dlr $ من التطبيق الصغير يتوافقان مع المستطيل والقرص في مثالنا .)

تحويل منطقة خريطة الإحداثيات القطبية. التحويل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية $ (x، y) = cvarf (r، theta) = (r cos theta، r sin theta) $ تعيين مستطيل $ dlr ^ * $ في $ (r، theta) $ plane (اللوحة اليسرى) إلى المنطقة $ dlr $ في المستوى $ (x، y) $ (اللوحة اليمنى). كما تقوم أيضًا بتعيين كل مستطيل صغير في $ dlr ^ * $ إلى a & ldquocurvy rectangle & rdquo in $ dlr $. على الرغم من أن المستطيلات الصغيرة في $ dlr ^ * $ هي نفس الحجم ، فإن المستطيلات & ldquocurvy & rdquo تختلف اختلافًا كبيرًا في الحجم. اعتمادًا على الإحداثيات $ (r، theta) $ ، تتقلص الخريطة $ cvarf (r، theta) $ أو توسعها بمقادير مختلفة. يمكنك تصور تعيين المستطيلات الصغيرة عن طريق سحب النقطة الصفراء في أي من اللوحين ، يتم تمييز المستطيل الصغير المقابل في $ dlr ^ * $ وصورته في $ dlr $.يمكنك أيضًا تغيير المناطق $ dlr ^ * $ و $ dlr $ عن طريق سحب النقاط الأرجواني والسماوي في أي من اللوحتين.

مساحة كل مستطيل صغير في $ dlr ^ * $ هي $ Delta r Delta theta $. لكننا لا نهتم بالمساحة في $ dlr ^ * $. $ dA $ في تكامل المعادلة eqref على أساس منطقة في $ dlr $ وليس منطقة في $ dlr ^ * $. لذلك نحتاج إلى تقدير مساحة كل & ldquocurvy rectangle & rdquo بالدولار dlr $ ، والذي سنرمز إليه بـ $ Delta A $.

يمكننا حساب مساحة المستطيل & ldquocurvy & rdquo عن طريق تقريبها كمتوازي أضلاع بأضلاعه $ pdiff < cvarf> Delta r $ و $ pdiff < cvarf> < theta> Delta theta $. مساحة متوازي الأضلاع هي حجم الضرب العرضي $ left | pdiff < cvarf> مرات pdiff < cvarf> < theta> right | Delta r Delta theta $ للمتجهين الممتدين على متوازي الأضلاع. بالإضافة إلى ذلك ، نظرًا لأننا في بعدين ، فنحن نكتب المنطقة بشكل أكثر بساطة عن طريق محدد 2 مرات 2 دولار. بعد بعض التبسيط ، تقل مساحة المستطيل & ldquocurvy & rdquo إلى التعبير start دلتا أ تقريبا | det jacm < cvarf> (r، theta) | Delta r Delta theta، end حيث $ jacm < cvarf> $ هو مصفوفة مشتقة من الخريطة $ cvarf $. تمامًا كما يطلق على المصفوفة المشتقة $ jacm < cvarf> $ أحيانًا & ldquoJacobian matrix ، & rdquo يُطلق على محددها $ det jacm < cvarf> $ أحيانًا اسم محدد & ldquoJacobian. & rdquo

لاحظ أن $ D $ في $ jacm < cvarf> (r، theta) $ ليس هو $ D $ مثل المنطقة $ dlr $ للتكامل. نظرًا لأننا نحتاج إلى أخذ القيمة المطلقة للمحدد ، فإننا عادةً ما نستخدم الترميز & ldquodet & rdquo للإشارة إلى المحدد لتجنب الالتباس (انظر المناقشة في نهاية الصفحة حول المصفوفات والمحددات).

بالنسبة إلى $ cvarf $ المعطاة بواسطة المعادلة eqref، يمكنك حساب ذلك $ | det jacm < cvarf> (r، theta) | = r $ بحيث تكون مساحة كل & ldquocurvy Rdquo & rdquo هي $ r Delta r Delta theta $. هذا يتفق مع الصورة أعلاه ، حيث أن & ldquocurvy Rdquo المستطيلات كانت أكبر عندما كان $ r $ أكبر.

النقطة المهمة هي أن $ cvarf $ يمتد أو يتقلص $ dlr ^ * $ عندما يعين $ dlr ^ * $ على $ dlr $. وبالتالي ، عندما نحول من منطقة في $ dlr ^ * $ إلى منطقة في $ dlr $ ، نحتاج إلى الضرب في عامل توسيع المنطقة $ | det jacm < cvarf> (r، theta) | $. يلتقط عامل توسيع المنطقة كيف يتغير حجم & ldquocurvy المستطيلات & rdquo أثناء تحريك النقطة في التطبيق الصغير أعلاه.

نحن الآن نعيد كل شيء معًا. بدأنا بمحاولة دمج الدالة $ g (x، y) = x ^ 2 + y ^ 2 $ فوق المنطقة $ dlr $. إذا استخدمنا $ (x، y) = cvarf (r، theta) $ لتغيير المتغيرات ، يمكننا بدلاً من ذلك دمج الدالة $ g ( cvarf (r، theta)) = r ^ 2 $ على المنطقة $ dlr ^ * $. ومع ذلك ، نحتاج إلى تضمين عامل توسيع المنطقة $ | det jacm < cvarf> (r، theta) | = r $ في $ dA $ لحساب التمدد بمقدار $ cvarf $. يمكننا استبدال $ dA $ بـ $ r ، dr ، d theta $. ننتهي بالصيغة ابدأ iint_ dlr g (x، y) dA = iint_ < dlr ^ *> g ( cvarf (r، theta)) | det jacm < cvarf> (r، theta) | الدكتور ، د ثيتا ، النهاية الذي على سبيل المثال لدينا هو start iint_ dlr (x ^ 2 + y ^ 2) dA = int_0 ^ <2 pi> int_0 ^ 6 r ^ 2 r ، dr ، d theta = int_0 ^ <2 pi> int_0 ^ 6 ص ^ 3 ، د ، د ثيتا. نهاية يمكنك حساب أن هذا التكامل هو $ 6 ^ 4 pi / 2 $ أسهل بكثير باستخدام هذا النموذج مما يمكنك استخدام التكامل الأصلي للمعادلة eqref.

لإجراء تغيير عام في المتغيرات ، نميل إلى استخدام المتغيرات $ cvarfv $ و $ cvarsv $ (بدلاً من $ r $ و $ theta $). في هذه الحالة ، إذا قمنا بتغيير المتغيرات بواسطة $ (x، y) = cvarf ( cvarfv، cvarsv) $ ، فإن التكامل هو start iint_ dlr g (x، y) dA = iint _ > g (cvarf (cvarfv، cvarsv)) | det jacm < cvarf> ( cvarfv، cvarsv) | د cvarfv ، د cvarsv ، التسمية علامة <3> نهاية حيث $ dlr $ هي منطقة في المستوى $ xy $ مُحددة بواسطة $ (x، y) = cvarf ( cvarfv، cvarsv) $ مقابل $ ( cvarfv، cvarsv) $ في المنطقة $ dlr ^ * $.

في بعض الأحيان ، قد نكتب محدد المصفوفة المشتقة مثل $ det jacm < cvarf> ( cvarfv، cvarsv) = pdiff <(x، y)> <( cvarfv، cvarsv)> $ بحيث عامل توسيع المنطقة هو $ | det jacm < cvarf> ( cvarfv، cvarsv) | = left | pdiff <(x، y)> <( cvarfv، cvarsv)> right |. $ إنه مجرد رمز مختلف لنفسه الكائن ، ولكنه يمثل أننا نأخذ مشتق المتغيرات $ (x، y) $ فيما يتعلق بالمتغيرات $ ( cvarfv، cvarsv) $. باستخدام هذا الترميز ، يبدو تغيير صيغة المتغير مثل start iint_ dlr g (x، y) dA = iint _ > g (cvarf (cvarfv، cvarsv)) left | pdiff <(x، y)> <( cvarfv، cvarsv)> right | د cvarfv ، د cvarsv. نهاية

من الواضح أننا قد تخطينا بعض التفاصيل في هذه الصفحة التمهيدية في محاولة لإعطاء الصورة الكبيرة فقط. على وجه الخصوص ، لقد تساءلت عن كيفية حصولنا على المقدار الخاص بعامل تمدد المساحة. يمكنك أن تقرأ كيف نحصل على هذه الصيغة.

يمكنك دراسة بعض الأمثلة على المتغيرات المتغيرة ، بما في ذلك مزيد من التفاصيل حول مثال القرص. لاكتساب المزيد من الحدس حول كيفية تحويل المتغيرات المتغيرة للمناطق ، يمكنك قراءة مثال مصور لتغيير معين في وظيفة المتغير.

تمتد بواسطة الخرائط

عامل توسيع المنطقة لتغيير المتغيرات في التكاملات المزدوجة هو مثال للمحاسبة لتمدد الخريطة ، في هذه الحالة ، الوظيفة $ cvarf $. نواجه مثل هذه العوامل بشكل متكرر في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات والمتجه.

أبسط مثال على عامل التوسع هذا هو $ | dllp '(t) | $ الذي نحصل عليه عند حساب طول القوس أو خط متكامل فوق منحنى محدد بواسطة $ dllp: R to R ^ 2 $ (مرتبك؟). يمكننا أن نسمي هذا أ عامل تمديد الطول. تمامًا مثل $ cvarf: R ^ 2 to R ^ 2 $ من المتغيرات المتغيرة ، فإن عامل التمدد للمنحنيات ذات المعلمات يتضمن حجم بعض التعبيرات التي تتضمن مصفوفة مشتقة من الخريطة.

للخريطة $ cvarf: R ^ 3 to R ^ 3 $ تستخدم لتغيير المتغيرات في التكاملات الثلاثية ، عامل توسيع الحجم $ | det jacm < cvarf> ( cvarfv، cvarsv، cvartv) | $ بشكل أساسي هو نفسه بالنسبة للتكاملات المزدوجة.

أخيرًا ، تخيل أنك أخذت القرص الأزرق $ dlr $ في التطبيق الصغير أعلاه ورفعته خارج المستوى بحيث كان سطحًا يطفو في مساحة ثلاثية الأبعاد. بعد ذلك ، يصبح تعييننا $ cvarf $ هو الوظيفة $ dlsp: R ^ 2 to R ^ 3 $ التي تحدد السطح. يمكننا تكرار حساب عامل توسيع المساحة تقريبًا دون تغيير للحصول على عامل تمدد المساحة لمساحة السطح أو تكاملات السطح. الاختلاف الوحيد الناتج عن الوجود في ثلاثة أبعاد هو أنه لا يمكنك تغيير حاصل الضرب الاتجاهي لمساحة متوازي الأضلاع إلى محدد 2 مرة 2 دولار. ومن ثم ، فإن عامل توسيع المساحة للأسطح ذات المعلمات هو الضرب التبادلي $ left | pdiff < dlsp> < spfv> times pdiff < dlsp> < spsv> right | $.


ج: انقر لرؤية الجواب

ج: بالنظر إلى ذلك ، f (x، y) = - 3xy + 4y2، Po = (-6، -5)، A = -7i - 2j مشتق اتجاه f (x، y) w.

Q: 1. إذا كانت f (x) = x² - 4x ، فإن f (x + h) - f (x) = 2 ، يكون طول مستطيل معين 3 وحدات أكثر من d.

ج: مرحبا! شكرًا لك على السؤال ولكن وفقًا لقواعد الشرف الخاصة بنا ، يمكننا حل السؤال الأول.

س: قيمة التكامل الثلاثي

ج: التكامل هو عملية إيجاد الدالة المضادة للاشتقاق للدالة المعينة. التكامل.

س: طلاب الصف الخامس خضعوا لامتحان. خلال السنتين التاليتين ، كان نفس الطلاب.

ج: انقر لرؤية الجواب

س: الرسوم البيانية لـ y = x² - 5x - 4 و y = 8 + 3x - x² تتقاطع عند نقاط في أي أرباع؟

ج: من المعادلتين المعطاة ، استبدل قيمة y من المعادلة y = x2-5x-4 في المعادلة y.

س: مجال الوظيفة اللوغاريتمية f (x) = log2 (x +2) هو a) (0، + 0) b) (-2، + ∞) c) (-، 2) d) (2.

ج: انقر لرؤية الجواب

س: أوجد معكوس المصفوفة باستخدام طريقة جاوس جوردان؟

ج: انقر لرؤية الجواب

ج: يستخدم مجموع Riemann لتقدير المساحة تحت دالة ، fxi باستخدام n مستطيلات مع العرض.


2 إجابات 2

يجب أن يكون لديك تكاملان منفصلان ، نظرًا لوجود تغيير في حدود التكامل ، كما تم قياسه من الأصل. يمكنك أيضًا تطبيق التناظر حول المحور $ x- $ والكتابة

$ A = 2 left [ int_0 ^ < arccos (1/3)> int_0 ^ <2> r dr d theta + int _ < arccos (1/3)> ^ < pi / 2> int_0 ^ <6 cos theta> r dr d theta right]. $

يمتد "الذراع الشعاعية" إلى الدائرة $ r = 2 $ حتى الزاوية $ theta = arccos ( frac <1> <3>) ، $ ولكن بعد ذلك "التبديل" إلى الدائرة الأخرى حتى $ theta = frac < pi> <2> . هنا رسم بياني للوضع:

النقطة المهمة هي أنه بالنسبة للمنطقة "الواقعة بين" هاتين الدائرتين ، فإن "نصف القطر" الخارج من الأصل لا يحده في أي مكان دائرة مثل "الدائرة الخارجية" والأخرى على أنها "الدائرة الداخلية" يمكنك تغييرها فقط من واحدة ضع دائرة على الثانية.

تعديل: نظرت إلى بيان مشكلتك مرة أخرى ، ثم رسم بياني مرة أخرى ، وأدركت أن العبارة صحيحة غامض. فسرت هذا على أنه "المنطقة بالداخل على حد سواء $ r = 6 cos ثيتا نص r = 2 $ "[الذي ملأته باللون الأزرق]. التكامل الذي كتبته يستطع يتم تطبيقها على "المنطقة داخل $ r = 6 cos theta ، $ ولكن خارج $ r = 2 $" [التي ملأتها الآن باللون البرتقالي]. في هذه الحالة ، نهجك صحيح ، يستثني أن $ r = 6 cos theta $ هو "المنحنى الخارجي" و $ r = 2 $ ، "المنحنى الداخلي" ، لذلك كان يجب أن تكتب

هل كانت هذه في الواقع هي المنطقة التي قصدت تغطيتها؟ (آسف إذا أسأت فهم المشكلة المقصودة.) لقد تم تبديل الحدود في التكامل ، وهو ما يفسر بالتأكيد نفي نتيجة.


التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الأسطوانية

عندما يكون للوظيفة المراد دمجها تناظرًا أسطوانيًا ، فمن المنطقي التكامل باستخدام الإحداثيات الأسطوانية.

أهداف التعلم

احسب التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الأسطوانية

الماخذ الرئيسية

النقاط الرئيسية

  • بالتبديل من الإحداثيات الديكارتية إلى الأسطوانية ، يتم تحويل الوظيفة بالعلاقة التالية [اللاتكس] f (x، y، z) rightarrow f ( rho cos varphi، rho sin varphi، z) [ / لاتكس].
  • عند التبديل إلى الإحداثيات الأسطوانية ، تصبح الفروق [اللاتكس] dx ، dy ، dz [/ latex] في التكامل [لاتكس] rho ، d rho ، d varphi ، dz [/ latex].
  • لذلك ، يمكن تبديل التكامل الذي تم تقييمه في الإحداثيات الديكارتية إلى تكامل في الإحداثيات الأسطوانية مثل [اللاتكس] iiint_D f (x ، y ، z) ، dx ، dy ، dz = iiint_T f ( rho cos varphi ، rho sin varphi ، z) rho ، d rho ، d varphi ، dz [/ اللاتكس].

الشروط الاساسية

  • التفاضليه: تغيير متناهي الصغر في متغير ، أو نتيجة تمايز
  • تنسيق أسطواني: نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد يحدد مواضع النقطة بالمسافة من المحور المرجعي المختار ، والاتجاه من المحور بالنسبة إلى الاتجاه المرجعي المختار ، والمسافة من المستوى المرجعي المختار المتعامد مع المحور

عندما يكون للوظيفة المراد دمجها تناظرًا أسطوانيًا ، فمن المنطقي تغيير المتغيرات إلى إحداثيات أسطوانية ثم إجراء التكامل.

في R 3 ، يمكن إجراء التكامل على المجالات ذات القاعدة الدائرية بالمرور في إحداثيات أسطوانية ، ويتم تحويل الوظيفة بالعلاقة التالية:

[اللاتكس] f (x، y، z) rightarrow f ( rho cos varphi، rho sin varphi، z) [/ latex]

يمكن تحقيق تحويل المجال بيانياً ، لأن شكل القاعدة فقط هو الذي يتغير ، بينما الارتفاع يتبع شكل منطقة البداية. أيضًا عند التبديل إلى الإحداثيات الأسطوانية ، تصبح الفروق [اللاتكس] dx ، dy ، dz [/ latex] في التكامل [لاتكس] rho ، d rho ، d varphi ، dz [/ latex].

إحداثيات أسطوانية: غالبًا ما تُستخدم الإحداثيات الأسطوانية للتكامل في المجالات ذات القاعدة الدائرية.

مثال 1

إذا تم تطبيق التحويل ، يتم الحصول على هذه المنطقة:

بسبب ال ض المكون غير متنوع أثناء التحويل ، تختلف الفروق [اللاتكس] dx ، dy ، dz [/ latex] كما في المقطع في الإحداثيات القطبية: لذلك ، تصبح: [اللاتكس] rho ، d rho ، d varphi ، dz [/ لاتكس]. أخيرًا ، من الممكن تطبيق الصيغة النهائية على الإحداثيات الأسطوانية:

هذه الطريقة مناسبة في حالة المجالات الأسطوانية أو المخروطية أو في المناطق التي يسهل فيها تمييز فاصل [اللاتكس] z [/ اللاتكس] وحتى تحويل القاعدة الدائرية والوظيفة.

مثال 2

الدالة [اللاتكس] f (x، y، z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z [/ latex] هي هذه الأسطوانة كمجال تكامل:

فيما يلي تحويل [اللاتكس] D [/ اللاتكس] في إحداثيات أسطوانية:

بينما تصبح الوظيفة:

[اللاتكس] f ( rho cos varphi ، rho sin varphi ، z) = rho ^ 2 + z [/ latex]

لذلك ، يصبح التكامل:

[اللاتكس] ابدأ displaystyle < iiint_D (x ^ 2 + y ^ 2 + z) ، dx ، dy ، dz> & displaystyle <= iiint_T ( rho ^ 2 + z) rho ، d rho ، d phi ، dz> & = int_ <-5> ^ 5 dz int_0 ^ <2 pi> d phi int_0 ^ 3 ( rho ^ 3 + rho z) ، d rho & = 2 pi int_ <-5> ^ 5 left [ frac < rho ^ 4> <4> + frac < rho ^ 2 z> <2> right] _0 ^ 3 ، dz & = 2 pi int_ <-5> ^ 5 left ( frac <81> <4> + frac <9> <2> z right) ، dz & = 405 pi نهاية[/ اللاتكس]


تكامل مزدوج

قبل أن ننتقل إلى التكامل المزدوج ، إذا كنت بحاجة إلى مراجعة بعض المفاهيم الأساسية للتكامل انقر هنا.

في التكامل العادي ، سنقوم بالتكامل w.r.t. متغير واحد فقط في التكامل المزدوج سنقوم بتنفيذ التكامل w.r.t. متغيرين.

سنقوم هنا بدراسة ثلاثة أنواع من التكامل المزدوج:
اكتب 1 : بحدود ثابتة
النوع 2 : بحدود متغيرة
النوع 3 : بلا حدود ( longrightarrow ) علينا معرفة ذلك من السؤال

النوع 1: بحدود ثابتة :

[ int_0 ^ 4 int_0 ^ <10> xydxdy ] هنا الالتباس هو - أي متغير له حدود ، لذلك أدناه هي القاعدة: [ text longrightarrow text ] [ نص longrightarrow text ] في هذه المشكلة (x ) له حدود من 0 إلى 10 ، ( hspace <5pt> y ) له حدود من 0 إلى 4.
ولا توجد قاعدة لأي متغير يجب أن يتكامل أولاً ، لذا يمكنك أولاً دمج (x ) ثم (y ) أو العكس. دعنا ندمج المشكلة أعلاه في كلا الأمرين:

1) أولاً (س ) ثم (ص )

[ int ^ 4_0 left [ frac <2> right] ^ <10> _0ydy = 50 int ^ 4_0ydy ] [= 50 left [ frac <2> right] ^ 4_0 = 50 times 8 = 400 ]

2) أولاً (ص) ثم (س) :

[ int ^ <10> _0 x left [ frac <2> right] ^ <4> _0dx = 8 int ^ <10> _0xdx ] [= 8 left [ frac <2> right] ^ 4_0 = 8 times 50 = 400 ] كما ترى ، الإجابات في كلتا الحالتين متطابقة.

النوع 2: بحدود متغيرة

[ int ^ 1_0 int ^ x_ xydxdy ] هنا القاعدة التي استخدمتها في النوع الأول غير قابلة للتطبيق. في هذا النوع ، يتكون الحد الواحد من متغير (x ) ، لذا فإن السؤال هو: إلى أي متغير ينتمي؟ الجواب بسيط ، ضع في اعتبارك هذا: هل (x = x ) منطقي بالنسبة لك؟ لا. هل (y = x ) منطقي بالنسبة لك؟ نعم. لماذا ا؟ لأنه في المعادلة الأولى تمت كتابة (س ) من حيث (س ) وهذا ليس له أي معنى وفي المعادلة الثانية ، تمت كتابة (س ) من حيث (ص ) وهو بديهي. لذلك يمكنك استنتاج أنه إذا كان الحد يتكون من متغير (x ) ، فيجب أن ينتمي إلى (y ) وإذا كان الحد يتكون من (y ) متغير ، فيجب أن ينتمي إلى (x) ).
هنا أيضًا أهمية ترتيب التكامل: سيتم دمج النظام ذي الحدود المتغيرة أولاً. لذلك دعونا نحل المشكلة أعلاه:

[ int_0 ^ 1 اليسار [ frac <2> right] ^ x_ xdx ] [= int ^ 1_0 left [ frac <2> - frac <2> right] xdx ] [= frac <1> <2> int ^ 1_0 left (x ^ 3 - x ^ 5 right) dx ] [= frac <1> <2 > اليسار [ frac <4> - فارك <6> right] ^ 1_0 ] [= frac <1> <2> left ( frac <1> <4> - frac <1> <6> right) = frac <1> <24> ]

النوع 3: بلا حدود

في هذا النوع من المسائل ، لن نحصل على حدود ، وبدلاً من ذلك سنحصل على معادلات للخطوط أو المنحنيات التي سنستخدمها لتحديد المنطقة في المستوى الديكارتي التي سنتكامل عليها مع التكامل المحدد. دعنا نرى مثالا:

مشكلة العينة 1

تقييم ( hspace <5pt> iint xydxdy hspace <5pt> ) على الربع الموجب للدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 )

حل

في هذا النوع من المشاكل ، نتبع الخطوات التالية:
1) تتبع المنحنى باستخدام معادلات المنحنيات الواردة في السؤال
2) حدد المنطقة التي سنتكامل عليها
3) أوجد الحدود
4) دمج
الخطوة 1 : تتبع المنحنى [x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 ] وهو عبارة عن دائرة نصف قطرها (a ) وحدات ومركز (0،0).

الخطوة 2 : التعرف على المنطقة
هنا يتم إعطاء الربع الموجب لذلك ،

الخطوه 3 : أوجد الحدود
الآن يأتي الجزء الرئيسي. هناك طريقتان لإيجاد الحدود ، الشريط الأفقي أو الشريط العمودي. الآن ضع في اعتبارك هذا ، التكامل هو كل شيء عن إيجاد منطقة ، فكيف تجد منطقة في هذه المنطقة؟ بسيط ، خذ شريطًا واسحبه لتغطية المنطقة بأكملها.هنا لديك طريقتان: الشريط الأفقي أو الشريط الرأسي.

إذا أخذت شريطًا أفقيًا ، فسيكون موازيًا للمحور x وسيكون الشريط العمودي موازيًا للمحور y. سيكون طرفي الشريط هما الحدود ، أي معادلة المنحنيات التي يلمسانها: إذا كان الشريط الأفقي ، فستنتمي الحدود إلى (س ) ، إذا كان الشريط الرأسي ، فإن الحدود ستنتمي إلى (ص ) . لذلك دعونا نحلها بالطريقتين:

قطاع أفقي : لحدود (س ):
أحد طرفيه يقع على المحور y وبالتالي فإن المعادلة هي (x = 0 )
يقع الطرف الآخر على الدائرة فتصبح المعادلة: [x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 ] [x ^ 2 = a ^ 2 - y ^ 2 ] [x = pm sqrt ] بما أنه الربع الموجب ، لذلك [ محاصر> ] شيء واحد يجب مراعاته أثناء كتابة الحدود بشكل متكامل: في الشريط الأفقي ، ننتقل من اليسار إلى اليمين وفي الشريط الرأسي ، من الأسفل إلى الأعلى
الخطوة 4 : يتم الآن تقييم التكامل [ int_0 ^ a int_0 ^ < sqrt> xydxdy ] [= int_0 ^ a left [ frac <2> right] _0 ^ < sqrt> ydy ] [= int_0 ^ a left [ frac <2> right] ydy ] [= frac <1> <2> int_0 ^ a left (a ^ 2y - y ^ 3 right) dy ] [= frac <1> <2 > اليسار [ frac <2> - frac <4> right] _0 ^ a ] [= frac <1> <2> left [ frac <2> - frac <4> right] ] [= محاصر < frac<8>> ] قطاع عمودي : لحدود (ص ):
أحد طرفيه يقع على المحور x وبالتالي فإن المعادلة هي (y = 0 )
يقع الطرف الآخر على الدائرة فتصبح المعادلة: [x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 ] [y ^ 2 = a ^ 2 - x ^ 2 ] [y = pm sqrt ] بما أنه الربع الموجب ، لذلك [ محاصر> ] يتم الآن تقييم التكامل [ int_0 ^ a int_0 ^ < sqrt> xydxdy ] [= int_0 ^ a left [ frac <2> right] _0 ^ < sqrt> xdx ] [= int_0 ^ a left [ frac <2> right] xdx ] [= frac <1> <2> int_0 ^ a left (a ^ 2x - x ^ 3 right) dx ] [= frac <1> <2 > اليسار [ frac <2> - frac <4> right] _0 ^ a ] [= frac <1> <2> left [ frac <2> - frac <4> right] ] [= boxed < frac<8>> ]

مشكلة العينة 2

قم بتقييم ( hspace <5pt> iint xy (x + y) dxdy hspace <5pt> ) فوق المنطقة المحصورة بين المنحنيات (y = x ) و (y = x ^ 2 ).

حل

تتبع المنحنى أولاً ، ثم حدد المنطقة.
[y = x ^ 2 ] [y = x ] سنجد نقاط تقاطع بين منحنيات الحدود [x ^ 2 = x Rightarrow x ^ 2 - x = 0 ] [x ( س - 1) = 0 ] [ Rightarrow x = 0 ، x = 1 ] [ text س = 0 ، ص = 0 ] [ نص x = 1، y = 1 ] لذا فإن نقاط التقاطع هي (0،0) و (1،1)

لنفعل هذا بالشريط العمودي: [ int ^ 1_0 int ^ x_ xy (x + y) dxdy ] [= int ^ 1_0 int ^ x_ (x ^ 2y + xy ^ 2) dxdy ] [= int_0 ^ 1 left [ frac <2> + frac <3> right] ^ x_ ] [= int ^ 1_0 اليسار [ frac <2> + frac <3> - فارك <2> - frac <3> right] dx ] [= left [ frac <10> - فارك <14> + frac <15> - فارك <24> right] ^ 1_0 ] [= frac <1> <8> - frac <1> <14> + frac <1> <15> - frac <1> <24> ] [= محاصر < فارك <3> <56>> ]


4.2: التكاملات المزدوجة على المناطق المستطيلة - الرياضيات

ماجستير 26100 صيف 2020
محاضرات الفيديو وملاحظات المحاضرات

الأثنين 15/6 - مقدمة عن الدورة: فيديو ، شرائح
الإثنين ، 15/6 - الدرس 1 (13.1-13.4: مراجعة النواقل): فيديو ، ملاحظات

الثلاثاء ، 6/16 - الدرس 2 (13.5 ، 13.6 الجزء 1: الخطوط والمستويات والأسطح الرباعية): فيديو ، ملاحظات
الخميس ، 6/18 - الدرس 3 (13.6 ، الجزء 2 ، 14.1 الأسطح الرباعية ، الوظائف ذات القيمة المتجهية): فيديو ، ملاحظات
الجمعة ، 6/19 - الدرس 4 (14.2 ، 14.3 الجزء 1: حساب الدوال ذات القيم المتجهية ، الحركة في الفضاء): فيديو ، ملاحظات
الإثنين ، 6/22 - الدرس 5 (14.3 الجزء 2 ، 14.4 ، 14.5: الحركة في الفضاء ، طول المنحنيات ، الانحناء): فيديو ، ملاحظات
الثلاثاء ، 23/6 - الدرس 6 (15.1 ، 15.2: دوال متغيرات متعددة ، حدود واستمرارية): فيديو ، ملاحظات
الخميس ، 25/6 - الدرس 7 (15.3، 15.4: المشتقات الجزئية ، قاعدة السلسلة): فيديو ، ملاحظات
الجمعة ، 6/26 - الدرس 8 (15.5 ، 15.6: المشتق الاتجاهي والتدرج ، المستوى المماس والتقريب الخطي): فيديو ، ملاحظات
الإثنين ، 6/29 - الدرس 9 (15.7 كلا الجزأين: الحد الأقصى والحد الأدنى من المشاكل): فيديو ، ملاحظات
الاثنين ، 6/29 - مراجعة الامتحان 1: فيديو ، ملاحظات
الخميس ، 2/7 - الدرس 10 (15.8: مضاعفات لاجرانج): فيديو ، ملاحظات
الإثنين ، 6/7 - الدرس 11 (16.1: التكاملات المزدوجة على المناطق المستطيلة): فيديو ، ملاحظات
الثلاثاء ، 7/7 - الدرس 12 (16.2: تكاملات مزدوجة فوق المناطق العامة): فيديو ، ملاحظات
الخميس ، 7/9 - الدرس 13 (16.3: التكاملات المزدوجة في الإحداثيات القطبية): فيديو ، ملاحظات
الجمعة ، 10/7 - الدرس 14 (16.4: التكاملات الثلاثية): فيديو ، ملاحظات
الإثنين ، 7/13 - الدرس 15 (16.5 كلا الجزأين: التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الأسطوانية والكروية): فيديو ، ملاحظات
الثلاثاء ، 14/7 - الدرس 16 (16.6: التكاملات في حسابات الكتلة ، 17.1: حقول المتجهات): فيديو ، ملاحظات
الخميس ، 7/16 - الدرس 17 (17.2 كلا الجزأين: تكاملات الأسطر للوظائف وحقول المتجهات): فيديو ، ملاحظات
الجمعة ، 17/7 - الدرس 18 (17.3: حقول المتجهات المحافظة والنظرية الأساسية لتكامل الخطوط): فيديو ، ملاحظات
الجمعة ، 17/7 - مراجعة الامتحان 2: فيديو ، ملاحظات
الثلاثاء ، 21/7 - الدرس 19 (17.4: نظرية جرين ، 17.5: الضفيرة والتباعد): فيديو ، ملاحظات
الخميس 23/7 - الدرس 20 (17.6 الجزء 1: تكاملات السطح): فيديو ، ملاحظات
الجمعة ، 24/7 - الدرس 21 (17.6 الجزء 2: تكاملات السطح): فيديو ، ملاحظات
الإثنين 27/7 - الدرس 22 (17.6 الجزء 3: تكاملات السطح): فيديو ، ملاحظات

الثلاثاء ، 28/7 - الدرس 23 (17.7 الجزء 1: نظرية ستوكس): فيديو ، ملاحظات
الخميس ، 7/30 - الدرس 24 (17.7 الجزء 2: نظرية ستوكس): فيديو ، ملاحظات
الجمعة ، 7/31 - الدرس 25 (17.8 جزء 1: نظرية الاختلاف): فيديو ، ملاحظات
الإثنين 8/3 - الدرس 26 (17.8 جزء 2: نظرية الاختلاف): فيديو ، ملاحظات


تكامل مزدوج في أساليب MATLAB & # 8211 ومعالجة الانقطاعات والتفردات والمزيد

في مقالنا الأخير ، تحدثنا أنا و Mike Hosea عن تعديل كل من التفاوتات المطلقة والنسبية للحصول على نتائج أكثر دقة عند حساب تكامل مزدوج. نود اليوم التحدث عن اختيار طريقة التكامل وكذلك الترتيب الذي نختاره للبعد الأول (الاتجاه) للتكامل.

محتويات

هيئ المسرح

متكامل 2 لديها ، في الوقت الحاضر ، طريقتان مختلفتان للتكامل ، "بلاطة" و "مكرر"، دون احتساب 'تلقاءي' الطريقة التي تختار بينهما.

تستخدم كل طريقة تكامل نوعًا من نهج "فرق تسد" لمضاعفة التكامل ولكن بطرق مختلفة جدًا. ال "بلاطة" الطريقة على أساس رباعينهج تقسيم المنطقة إلى أرباع وتقريب التكامل على كل ربع بقاعدة تربيعية ثنائية الأبعاد. إذا لم يتم استيفاء شرط الخطأ على المستطيل ، فسيتم تقسيم المستطيل إلى أرباع وهكذا. ال "مكرر" الطريقة ، كما يوحي الاسم ، تؤدي التكامل على أنها تكاملات أحادية البعد متكررة ، لذا فإن إستراتيجيتها "فرق تسد" هي معالجة أحد الأبعاد أولاً ثم الانتقال إلى الآخر.

إذن ، لماذا لدينا طريقتان؟ لكل منها نقاط قوة مختلفة. عادةً ما يكون أسلوب التجانب هو الأسرع من الاثنين ، لكن له نقاط ضعف. كمثال على ذلك ، ضع في اعتبارك الطريقة التي تم بها التكامل على المناطق غير المستطيلة سابقًا في MATLAB. لأن dblquad سوف يتكامل فقط على المستطيلات ، ويمكن للمرء أن "يخفي" وظيفة الإدخال لجعلها صفراً داخل منطقة مستطيلة. على سبيل المثال ، للتكامل F فوق مثلث به رءوسه (0،0) و (1،0) و (1،1) ، ستكتب

الآن يمكنك الكتابة بدلا من ذلك

هذا أكثر من مجرد راحة. إن إخبار المُتكامل بالمكان الذي توجد فيه الحدود يمنحه ميزة هائلة. على العكس من ذلك ، فإن إخفاء التكامل له آثار مدمرة على الأداء والدقة. تعطي القاعدة التربيعية الأساسية أفضل النتائج عندما تكون التكاملية سلسة ، والانقطاع حيث ينخفض ​​التكاملاند بشكل سريع إلى الصفر سيؤدي إلى تقسيم خوارزمية التربيع التكيفي وتقسيمًا فرعيًا إضافيًا في تلك المنطقة حتى تصبح تقديرات الخطأ عبر عدم الاستمرارية صغيرة بما فيه الكفاية.

هذا هو بشكل خاص إشكالية ل رباعي و متكامل 2 مع ال "بلاطة" طريقة. مع ال "مكرر" الطريقة ، يتم تغطية أي انقطاع منحني الخطوط بفاصل زمني واحد في أي تكامل معين ، ولكن في بعدين ، يقسم كل بلاطة إلى 4 قطع ، ينتهي التكامل بتغطية مسار منحني مع عدد كبير من المستطيلات الصغيرة. عادةً ما يتم الوصول إلى الحد الأقصى لعدد تقييمات الوظائف قبل أن يتمكن من صقلها جميعًا.

يمكننا تصور هذا باستخدام رباعيFailurePlot الخيار واستخدام MaxFunEvals خيار للتحكم في مقدار العمل الذي يتم إنجازه قبل التخلي عن الرمز. افترض

لا يوجد شيء مميز بخصوص المستطيل الأكبر في الأسفل. رباعي يهاجم بشكل تفضيلي المستطيلات بأكبر خطأ ، لذلك عندما يفشل مستطيل أكبر بالكاد في اختبار الخطأ ، فإنه يتوقف إذا كان للمتكامل مشاكل أكبر في مكان آخر. هذه المشاكل الأكبر تدل عليها المستطيلات الأصغر. الآن ، إذا قمنا بزيادة عدد تقييمات الدالة المسموح بها ، فإننا نرى ذلك رباعي لا يزال يكافح مع الحدود.

حيث متكامل 2"بلاطة" الطريقة على أساس رباعيخوارزمية ، لديها نفس المشكلة.

على الرغم من أن الأمر يستغرق بعض الوقت للقيام بذلك ، فإن ملف "مكرر" طريقة للتعامل مع المشكلة.

إذا وجدت أن ملف "مكرر" تبدو الطريقة بطيئة ، ففكر في تخفيف التفاوتات. متكامل 2 يستخدم نفس التفاوتات لجميع عمليات التكامل الفرعية ، واتضح أن هذا يمكن أن يكون شيئًا محافظًا جدًا للقيام به. باستخدام التفاوتات الافتراضية ، استغرق المثال السابق أكثر من 4 ثوانٍ على الجهاز الذي ننشر منه المدونة.

وقد استغرق ذلك أقل من عُشر من الثانية على نفس الجهاز.

تغيير ترتيب التكامل

قد تتسلل الانقطاعات عبر منطقة التكامل ، ولكنها في بعض الأحيان قد تكون خطية وموازية لمحور واحد أو آخر. في هذه الحالة ، يكون ترتيب التكامل مهمًا عند استخدام امتداد "مكرر" طريقة. نظرًا لأن كل تكامل خارجي يؤدي العديد من عمليات الدمج الداخلية ، فإنه يميل إلى أن يكون أكثر فائدة لجعل عمليات التكامل الخارجية أكثر فاعلية إن أمكن ، وهذا يعني السماح للتكاملات الداخلية بالاهتمام بانقطاعات القفزة. في هذا المثال ، تتناوب وظيفة التكامل بين ض = 0 و ض = ذ الاعتماد على الطقس الطابق (x) زوجي أو فردي.

نجح ذلك ، ولكن التكامل "الداخلي" موجود في ذ-الاتجاه ، وللمعطى x هذا يعني أن الوظيفة إما صفرية متطابقة أو خط مستقيم. من السهل جدًا دمج أي منهما. ومع ذلك ، هذا يعني أن التكامل الخارجي للتكامل الخارجي به انقطاعات قفزة من 0 إلى 0.5 اعتمادًا على ما إذا كان الطابق (x) زوجي أو فردي. نفضل أن تتعامل التكاملات الداخلية مع أي (أو على الأقل معظم) الانقطاعات. من السهل تغيير ترتيب التكامل.

التفردات

على عكس dblquad, متكامل 2 يمكن أن تدمج التفردات على الحدود إذا لم تكن شديدة جدًا. إذا كان لمشكلتك تفرد في الجزء الداخلي من منطقة التكامل ، فيجب عليك تقسيم التكامل إلى أجزاء بحيث تتواجد كل التفردات على حدود مناطق التكامل. على سبيل المثال،

إذا دمجنا هذا على المربع -1 & lt = x & lt = 1, -1 & lt = y & lt = 1، لدينا مشكلة لأن f مفرد على طول كليهما x و ذ المحاور. بوضوح F متماثل بالنسبة إلى كلا المحورين ، لذلك نحتاج فقط إلى التكامل 0 & lt = x & lt = 1, 0 & lt = y & lt = 1 واضرب في 4 ، لكن دعنا نضع هذا جانبًا ونحاول القيام بذلك مباشرة.

ال "مكرر" الطريقة لا تنقذنا هذه المرة.

ومع ذلك ، إذا قمنا بتقسيم التكامل إلى أربع قطع ، ووضعنا التفرد على الحدود ، فستكون المشكلة روتينية تمامًا.

هل يمكنك الاستفادة من إجراءات الدمج الجديدة هذه؟

ما أنواع الوظائف التي تحتاجها لدمجها؟ سوف المرونة من متكامل 2 ومن رفقاء آخرين مساعدتك؟ دعنا نعرف هنا.


أوجد مساحة المنطقة داخل ليما & # 231on

ارسم صورة. نستخدم الصيغة القياسية للمنطقة في الإحداثيات القطبية. من حيث المبدأ ، قد تكون هناك مشكلة في الفترة الزمنية للتكامل ، ولكن هنا لا توجد مشكلة ، لأن $ 3 + sin theta $ يكون دائمًا موجبًا. إذن منطقتنا هي $ int_0 ^ <2 pi> frac <1> <2> (3+ sin theta) ^ 2 ، d theta. $ للحصول على التفاصيل ، قم بتوسيع. تكامل $ frac <9> <2> $ سهل. بالنسبة للمصطلح "المتوسط" ، يكون التكامل بسهولة $. أخيرًا ، نحتاج إلى التعامل مع $ int_0 ^ <2 pi> frac <1> <2> sin ^ 2 theta ، d theta $. هناك طرق عديدة للقيام بذلك. أحدهما هو استخدام $ cos2 theta = 1-2 sin ^ 2 theta $. هناك طريقة أخرى وهي استخدام التناظر ، ولاحظ أن التكامل على الفاصل الزمني $ cos ^ 2 theta $ هو نفسه تكامل $ sin ^ 2 theta $. لكن مجموع هذه التكاملات هو تكامل $ 1 $.

تذكر صيغة إيجاد منطقة متكاملة في الإحداثيات القطبية معطاة بواسطة $ frac <1> <2> int _ < alpha> ^ < beta> r ( theta) ^ 2 d theta $ تم تتبع المنحنى من $ alpha = 0 $ إلى $ beta = 2 pi $. ثم لدينا $ A = frac <1> <2> int_ <0> ^ <2 pi> left (3 + sin ( theta) right) ^ 2 d theta $ هذا التكامل صحيح تمامًا قياسي لذا أتركك لإنهائه.

إذا رأيت تكاملات متعددة ، فإن حساب هذه المنطقة بسيط نسبيًا ولا يتطلب حفظ صيغة واحدة متكاملة. ما عليك سوى دمج $ int _ < theta_> ^ < theta_> int_<>>^<>> rdrd theta $ مع كون حدود التكامل هي حدود وظيفتك. عند إعداد هذا ، نحصل على $ int_ <0> ^ <2 pi> int_ <0> ^ <3 + sin ( theta)> rdrd theta $ أولاً نتكامل بالنسبة إلى $ r $ ، ونحصل على $ int_ <0> ^ <2 pi> frac <(3 + sin ( theta)) ^ 2> <2> d theta $ الآن نقوم بسحب $ frac <1> <2> $ والتوسيع للحصول على $ frac <1> <2> int_0 ^ <2 pi> 9 + 6sin ( theta) + sin ( theta) ^ 2d theta $ باستخدام تقنيات التكامل ، نحن ببساطة هذا التكامل ونجد أن $ A = فارك <19 بي> <2> دولار


شاهد الفيديو: التكامل الثنائي للمناطق المستطيله والغير مستطيله (كانون الثاني 2022).