مقالات

3.0: مقدمة للوظائف متعددة الحدود والعقلانية - الرياضيات


غيّر التصوير الرقمي بشكل كبير طبيعة التصوير الفوتوغرافي. بدلاً من ذلك ، فإن كل جانب تقريبًا من جوانب تسجيل الصور ومعالجتها يخضع الآن للرياضيات. تصبح الصورة عبارة عن سلسلة من الأرقام ، تمثل خصائص الضوء الذي يضرب مستشعر الصورة. عندما نفتح ملف صورة ، فإن البرنامج الموجود على الكاميرا أو الكمبيوتر يفسر الأرقام ويحولها إلى صورة مرئية. يستخدم برنامج تحرير الصور العديد من الحدود المعقدة لتحويل الصور ، مما يسمح لنا بمعالجة الصورة من أجل اقتصاص التفاصيل وتغيير لوحة الألوان وإضافة تأثيرات خاصة. تتيح الوظائف العكسية التحويل من تنسيق ملف إلى آخر. في هذا الفصل ، سوف نتعرف على هذه المفاهيم ونكتشف كيف يمكن استخدام الرياضيات في مثل هذه التطبيقات.



الشكل ( PageIndex {1} ): أصبح الفيلم مقاس 35 ملم ، الذي كان في يوم من الأيام معيارًا لالتقاط الصور الفوتوغرافية ، قديمًا إلى حد كبير عن طريق التصوير الفوتوغرافي الرقمي. (الائتمان "فيلم": تعديل العمل بواسطة هوريا فارلان ؛ بطاقات الائتمان "بطاقات الذاكرة": تعديل العمل لبول هدسون)


إنشاء كثيرات الحدود والوظائف المنطقية بعدد عشوائي من المعاملات. يمكن أن تكون المعاملات من أي نوع رقمي (التحويل إلى معقد هو اختبار النوع الرقمي).

دعم العمليات الحسابية المعتادة (+ ، - ، * ، / ، **). تدعم كثيرات الحدود أيضًا٪ و divmod.

اجمع بين كثيرات الحدود والدوال الكسرية والأرقام العادية معًا في التعبيرات الحسابية.

يعالج تلقائيًا معاملات النقطة العائمة الدقيقة والممتدة. يتضمن ذلك تحويل الأعداد الصحيحة إلى أعداد منطقية عند إجراء القسمة.

قم بتقييم دالة كثيرة الحدود أو عقلانية من خلال تسميتها.

ابحث عن جذور كثير الحدود وفقًا للدقة المرغوبة. باستخدام التسامح الافتراضي ، تتقارب الطريقة تمامًا حتى مع كثير حدود ويلكنسون غير الشرط بدرجة 100.


حدد مجال التعبير المنطقي

إحدى الطرق المؤكدة لكسر الرياضيات هي القسمة على صفر. ضع في اعتبارك التعبير المنطقي التالي الذي تم تقييمه عند x = 2:

قم بتقييم [latex] displaystyle frac[/ اللاتكس] لـ [اللاتكس] x = 2 [/ اللاتكس]

هذا يعني أنه بالنسبة للتعبير [اللاتكس] displaystyle frac[/ latex] ، لا يمكن أن تكون x 2 لأنها ستؤدي إلى نسبة غير محددة. بشكل عام ، يُطلق على إيجاد قيم متغير لا ينتج عنه قسمة على صفر إيجاد المجال. سيساعدك العثور على مجال التعبير المنطقي أو الوظيفة على عدم كسر الرياضيات.

مجال التعبير المنطقي أو المعادلة

مجال التعبير المنطقي أو المعادلة عبارة عن مجموعة من قيم المتغير التي لن تؤدي إلى عملية رياضية غير محددة مثل القسمة على الصفر. بالنسبة إلى أي رقم حقيقي ، لا يمكننا تدوين المجال بالطريقة التالية:

x هي جميع الأرقام الحقيقية حيث [اللاتكس] x neq [/ latex]

سبب عدم قدرتك على قسمة أي رقم ج بالصفر [اللاتكس] displaystyle left ( frac<0> ، ، = ، ،؟ right) [/ latex] هو أنه يجب عليك العثور على رقم عندما تضربه في 0 ، ستحصل على [اللاتكس] c left (؟ ، ، cdot ، ، 0 ، ، = ، ، ج يمين) [/ لاتكس]. لا توجد أرقام يمكنها القيام بذلك ، لذلك نقول "القسمة على صفر غير محددة". عند تبسيط التعابير المنطقية ، عليك الانتباه إلى قيم المتغير (المتغيرات) في التعبير التي تجعل المقام يساوي صفرًا. لا يمكن تضمين هذه القيم في المجال ، لذلك تسمى & # 8217re القيم المستبعدة. تجاهلهم في البداية ، قبل أن تذهب أبعد من ذلك.

(لاحظ أنه على الرغم من أن ملف المقام - صفة مشتركة - حالة لا يمكن أن تكون معادلة لـ 0 ، فإن البسط can - لهذا السبب تبحث فقط عن القيم المستبعدة في مقام التعبير المنطقي.)

بالنسبة للتعبيرات المنطقية ، سيستبعد المجال القيم التي تكون فيها قيمة المقام 0. يوضح المثال التالي إيجاد مجال التعبير. لاحظ أن هذا هو بالضبط نفس الجبر المستخدم للعثور على مجال الوظيفة.

مثال

حدد مجال التعبير. [اللاتكس] displaystyle frac<<^ <2>> + 8x-9> [/ لاتكس]

ابحث عن أي قيم لـ x هذا من شأنه أن يجعل المقام يساوي 0 عن طريق جعل المقام مساويًا لـ 0 وحل المعادلة.

حل المعادلة بالتحليل إلى عوامل. الحلول هي القيم المستبعدة من المجال.

إجابه

المجال هو جميع الأرقام الحقيقية باستثناء [لاتكس] −9 [/ لاتكس] و [لاتكس] 1 [/ لاتكس].


للاطلاع على إجابات المراجعة ، افتح ملف PDF هذا وابحث عن القسم 2.5.

مصطلح تعريف
متقطع تكون الوظيفة غير متصلة إذا كانت الوظيفة تعرض فواصل أو ثقوب عند رسمها بيانيًا.
حد الحد هو القيمة التي يقترب منها ناتج الدالة عندما يقترب مدخلات الوظيفة من قيمة معينة.
الدالة متعددة الحدود دالة كثيرة الحدود هي دالة محددة بتعبير ذي مصطلح جبري واحد على الأقل.
وظيفة عقلانية الدالة الكسرية هي أي دالة يمكن كتابتها في صورة نسبة دالتين كثيرتي الحدود.

المتباينات العقلانية

يمكن حل التفاوتات المنطقية مثل كثيرات الحدود.

أهداف التعلم

حل من أجل الأصفار والخطوط المقاربة لمتباينة عقلانية لإيجاد حلها

الماخذ الرئيسية

النقاط الرئيسية

  • أولًا عامل البسط والمقام كثير الحدود لإظهار الأصفار في كل منهما.
  • عوّض [latex] x [/ latex] بصفر (جذر) لتحديد ما إذا كانت الدالة الكسرية موجبة أو سالبة على يمين تلك النقطة. كرر لجميع الأصفار.
  • الفواصل الزمنية التي تحقق رمز عدم المساواة ستكون هي الإجابة. لاحظ أنه بالنسبة لأي [latex] geq [/ latex] أو [latex] leq [/ latex] ، سيتم إغلاق الفاصل الزمني فقط لتضمين الصفر إذا تم العثور على الصفر في البسط. إذا تم العثور على الصفر في المقام ، فهذه النقطة غير معرفة ولا يمكن تضمينها في الحل.

الشروط الاساسية

  • صفر: المعروف أيضًا باسم الجذر ، والصفر هو قيمة [اللاتكس] x [/ اللاتكس] حيث تكون وظيفة [اللاتكس] x [/ اللاتكس] مساوية للصفر.
  • عدم المساواة: بيان بأن كميتين تكون إحداهما أقل أو أكبر من الأخرى على وجه التحديد. الرموز: [latex] & lt [/ latex] أو [latex] leq [/ latex] أو [latex] & gt [/ latex] أو [latex] geq [/ latex] ، حسب الاقتضاء.

كما هو الحال مع حل المتباينات متعددة الحدود ، فإن الخطوة الأولى لحل المتباينات المنطقية هي إيجاد الأصفار. نظرًا لأن التعبير المنطقي يتكون من نسبة متعددة الحدود ، فستكون هناك حاجة إلى الأصفار لكل من كثيرات الحدود.

الأصفار في البسط هي [اللاتكس] x [/ اللاتكس] - القيم التي عندها تعبر المتباينة المنطقية من سالب إلى موجب أو من موجب إلى سالب. الأصفار في المقام هي [اللاتكس] x [/ اللاتكس] - القيم التي عندها تكون المتباينة المنطقية غير محددة ، نتيجة القسمة على صفر.

مثال

ضع في اعتبارك عدم المساواة العقلانية:

يمكن تحليل هذه المعادلة لإعطاء:

نظرًا لأن [اللاتكس] x [/ اللاتكس] يعبر إلى اليمين الماضي [اللاتكس] -3 [/ اللاتكس] ، يصبح [اللاتكس] (x + 3) [/ اللاتكس] إيجابيًا. في نفس النقطة ، [اللاتكس] (x-1) [/ اللاتكس] ، [اللاتكس] (x + 2) [/ اللاتكس] ، و [اللاتكس] (x-2) [/ اللاتكس] كلها سلبية. حاصل ضرب موجب وثلاثة سلبيات هو سلبي ، لذا فإن التعبير المنطقي يصبح سالبًا لأنه يتقاطع مع [اللاتكس] x = -3 [/ اللاتكس] في الاتجاه الأيمن.

يمكن استخدام نفس العملية لتحديد أن التعبير المنطقي يكون موجبًا بعد تجاوز الصفر عند [اللاتكس] x = -2 [/ اللاتكس] ، وهو سلبي بعد اجتياز [اللاتكس] x = 1 [/ اللاتكس] ، ويكون موجبًا بعد تمرير [اللاتكس] x = 2 [/ اللاتكس].

وبالتالي يمكننا أن نستنتج أنه بالنسبة لقيم [اللاتكس] x [/ اللاتكس] في الفترة المفتوحة من [اللاتكس] - infty [/ اللاتكس] إلى [اللاتكس] -3 [/ اللاتكس] ، يكون التعبير المنطقي سالبًا. من [لاتكس] -3 [/ لاتكس] إلى [لاتكس] -2 [/ لاتكس] ، تكون موجبة من [لاتكس] -2 [/ لاتكس] إلى [لاتكس] 1 [/ لاتكس] إنها سالبة من [لاتكس] 1 [/ لاتكس] إلى [لاتكس] 2 [/ لاتكس] هو إيجابي ، ومن [لاتكس] 2 [/ لاتكس] إلى [لاتكس] إنفتي [/ لاتكس] فهو سلبي.

نظرًا لأن عدم المساواة مكتوبة على أنها [latex] geq0 [/ latex] بدلاً من [latex] & gt0 [/ latex] ، سنحتاج إلى تقييم قيم [latex] x [/ latex] عند الأصفار لتحديد ما إذا كانت الوظيفة معرف.

في حالة [latex] x = -2 [/ latex] و [latex] x = 2 [/ latex] ، يكون للدالة المنطقية مقام يساوي صفرًا وتصبح غير محددة.

في حالة [latex] x = -3 [/ latex] و [latex] x = 1 [/ latex] ، يكون للدالة المنطقية بسط يساوي صفرًا ، مما يجعل الدالة بشكل عام مساوية للصفر ، مما يجعلها شاملة في الحل.


حل المتباينات العقلانية

متباينة عقلانية بيان رياضي يربط تعبيرًا عقلانيًا على أنه إما أصغر من الآخر أو أكبر منه. هي عبارة رياضية تتعلق بالتعبير العقلاني على أنه إما أصغر من الآخر أو أكبر منه. نظرًا لأن الوظائف العقلانية لها قيود على المجال ، يجب علينا الاهتمام عند حل المتباينات المنطقية. بالإضافة إلى الأصفار ، سنقوم بتضمين قيود مجال الوظيفة في مجموعة الأرقام الحرجة.

مثال 4

حل: (x - 4) (x + 2) (x - 1) ≥ 0.

تحدث أصفار الدالة المنطقية عندما يكون البسط صفرًا وتكون القيم التي تنتج صفرًا في المقام هي القيود. في هذه الحالة،

الجذور (البسط) القيود (المقام) x - 4 = 0 o r x + 2 = 0 x = 4 x = - 2 x - 1 = 0 x = 1

لذلك ، فإن الأرقام الحرجة هي −2 و 1 و 4. بسبب عدم المساواة الشاملة (≥) ، استخدم نقطة مغلقة للجذور <2 ، 4> ودائمًا استخدم نقطة مفتوحة للقيود <1>. لا يتم تضمين القيود أبدًا في مجموعة الحلول.

استخدم قيم الاختبار x = - 4 ، 0 ، 2 ، 6.

و (- 4) = (- 4 - 4) (- 4 + 2) (- 4-1) = (-) (-) (-) = - و (0) = (0-4) (0 + 2 ) (0-1) = (-) (+) (-) = + و (2) = (2-4) (2 + 2) (2-1) = (-) (+) (+) = - و (6) = (6-4) (6 + 2) (6-1) = (+) (+) (+) = +

ثم أكمل مخطط اللافتة.

يطلب منا السؤال إيجاد القيم التي لها f (x) ≥ 0 ، بمعنى آخر ، موجبة أو صفر. الظل في المناطق المناسبة وتقديم مجموعة الحل في تدوين الفاصل.

إن رسم مثل هذه الوظائف العقلانية مثل تلك الموجودة في المثال السابق هو خارج نطاق هذا الكتاب المدرسي. ومع ذلك ، يتم توفير الرسم البياني لهذه الوظيفة أدناه. قارن الرسم البياني مع مخطط الإشارة المقابل له.

لاحظ أن القيد x = 1 يتوافق مع خط مقارب عمودي يحد المناطق حيث تتغير الوظيفة من موجب إلى سالب. بينما لم يتم تضمينه في مجموعة الحلول ، فإن التقييد هو رقم مهم. قبل إنشاء مخطط إشارة ، يجب أن نتأكد من أن المتباينة بها صفر في جانب واحد. تم توضيح الخطوات العامة لحل عدم المساواة العقلانية في المثال التالي.

مثال 5

الخطوة 1: ابدأ بالحصول على صفر في الجانب الأيمن.

الخطوة 2: تحديد الأعداد الحرجة. الأرقام الحرجة هي الأصفار والقيود. ابدأ بالتبسيط إلى كسر جبري واحد.

7 x + 3 - 2 1 & lt 0 7 - 2 (x + 3) x + 3 & lt 0 7 - 2 x - 6 x + 3 & lt 0 - 2 x + 1 x + 3 & lt 0

بعد ذلك أوجد الأعداد الحرجة. ساوي البسط والمقام بصفر وحل.

تقييد الجذر - 2 x + 1 = 0-2 x = - 1 x = 1 2 x + 3 = 0 x = - 3

في هذه الحالة ، تشير المتباينة الصارمة إلى أنه يجب علينا استخدام نقطة مفتوحة للجذر.

الخطوه 3: إنشاء مخطط تسجيل. اختر قيم الاختبار −4 و 0 و 1.

و (- 4) = - 2 (- 4) + 1-4 + 3 = + - = - و (0) = - 2 (0) + 1 0 + 3 = + + = + و (1) = - 2 (1) + 1 1 + 3 = - + = -

الخطوة 4: استخدم مخطط اللافتة للإجابة على السؤال. في هذا المثال ، نبحث عن القيم التي تكون الوظيفة سالبة لها ، f (x) & lt 0. ظلل القيم المناسبة ثم قدم إجابتك باستخدام تدوين الفاصل الزمني.

مثال 6

ابدأ بالحصول على صفر في الجانب الأيمن.

١ × ٢ - ٤ ١ ٢ - × ١ × ٢ - ٤ - ١ ٢ - × ≤ ٠

بعد ذلك ، بسّط الطرف الأيسر إلى كسر جبري واحد.

1 × 2 - 4 - 1 2 - س ≤ 0 1 (س + 2) (س - 2) - 1 - (س - 2) ≤ 0 1 (س + 2) (س - 2) + 1 (س + 2 ) (س - 2) (س + 2) ≤ 0 1 + س + 2 (س + 2) (س - 2) ≤ 0 س + 3 (س + 2) (س - 2) ≤ 0

الأرقام الحرجة هي −3 و 2 و 2. لاحظ أن ± 2 هي قيود ، وبالتالي سنستخدم النقاط المفتوحة عند رسمها على خط الأعداد. بسبب عدم المساواة الشاملة سنستخدم نقطة مغلقة عند الجذر −3.

اختر قيم الاختبار −4 و - 2 1 2 = - 5 2 و 0 و 3.

و (- 4) = - 4 + 3 (- 4 + 2) (- 4-2) = (-) (-) (-) = - و (- 5 2) = - 5 2 + 3 (- 5 2 + 2) (- 5 2 - 2) = (+) (-) (-) = + و (0) = 0 + 3 (0 + 2) (0-2) = (+) (+) (-) = - و (3) = 3 + 3 (3 + 2) (3-2) = (+) (+) (+) = +


مثال كامل

مثال: رسم (س & ناقص 1) / (س 2 وسالب 9)

بادئ ذي بدء ، يمكننا تحليل كثير الحدود السفلي (هو الفرق بين مربعين):

جذور كثير الحدود العلوي هي: +1 (هذا هو المكان يعبر المحور السيني)

جذور كثير الحدود السفلية هي: & ناقص 3 و +3 (هؤلاء هم الخطوط المقاربة الرأسية)

هو - هي يعبر المحور ص عندما تكون x = 0 ، فلنقم بتعيين x على 0:

يتقاطع مع المحور ص عند: 0 & ناقص 1(0 + 3) (0 ناقص 3) = & ناقص 1& ناقص 9 = 19

ونعلم أيضًا أن درجة القمة أقل من درجة القاع ، لذلك يوجد أ خط مقارب أفقي عند 0


مقدمة نشطة لحساب التفاضل والتكامل

لماذا تنشأ كثيرات الحدود بشكل طبيعي في دراسة المشكلات التي تنطوي على حجم ومساحة سطح الحاويات ثلاثية الأبعاد مثل الصناديق والأسطوانات؟

كيف يمكن استخدام دوال كثيرة الحدود لتقريب المنحنيات والوظائف غير متعددة الحدود؟

الدوال متعددة الحدود هي أبسط وظائف في الرياضيات جزئيًا لأنها تتضمن الضرب والجمع فقط. في أي إعداد تطبيقي حيث يمكننا صياغة الأفكار الرئيسية باستخدام تلك العمليات الحسابية فقط ، من الطبيعي أن تقوم دوال كثيرة الحدود بنمذجة الظواهر المقابلة. على سبيل المثال ، في النشاط 1.2.2 ، رأينا أنه بالنسبة لخزان كروي نصف قطره (4 ) م مملوء بالماء ، فإن حجم الماء في الخزان في لحظة معينة ، (V text <،> ) هي دالة للعمق ، (ح نص <،> ) الماء في الخزان في نفس اللحظة وفقًا للصيغة

الدالة (f ) هي كثير الحدود من الدرجة (3 ) مع صفر متكرر عند (ح = 0 ) وصفر إضافي عند (ح = 12 نص <.> ) لأن الخزان لديه نصف قطر (4 نص <،> ) ارتفاعه الإجمالي هو (ح نص <،> ) وبالتالي النموذج (V = f (h) = frac < pi> <3> h ^ 2 (12-h) ) صالح فقط على المجال (0 le h le 8 text <.> ) تخبرنا هذه الدالة متعددة الحدود كيف يتغير حجم الماء في الخزان على النحو (ح ) ) التغييرات.

في حالات أخرى مماثلة حيث نفكر في حجم صندوق أو خزان أو حاوية أخرى ثلاثية الأبعاد ، تظهر وظائف كثيرة الحدود بشكل متكرر. لتطوير دالة نموذجية تمثل موقفًا ماديًا ، نبدأ دائمًا برسم رسم تخطيطي واحد أو أكثر للموقف ثم نقدم متغيرًا واحدًا أو أكثر لتمثيل الكميات المتغيرة. من هناك ، نستكشف العلاقات الموجودة ونعمل على التعبير عن إحدى الكميات من حيث الأخرى (الكميات).

معاينة النشاط 5.3.1.

قطعة من الورق المقوى (12 مرة 18 ) (تقاس كل منها بالبوصة) يتم تصنيعها في صندوق بدون قمة. للقيام بذلك ، يتم قطع المربعات من كل ركن من أركان الورق المقوى ويتم طي الجوانب المتبقية لأعلى.

دع (x ) هو طول جانب المربعات المقطوعة من زوايا الورق المقوى. ارسم مخططًا معنونًا يوضح المعلومات المعطاة والمتغير المستخدم.

حدد صيغة للدالة (V ) التي يكون ناتجها هو حجم الصندوق الذي ينتج عن مربع الحجم (x times x ) يتم قطعه من كل ركن من أركان الورق المقوى.

ما هو نوع الوظيفة المألوف (V text <؟> )

ما هو أكبر حجم لمربع يمكن قطعه من الورق المقوى ولا يزال به صندوق ناتج؟

ما هي أصفار (V text <؟> ) ما هو مجال النموذج (V ) في سياق المربع المستطيل؟

القسم الفرعي 5.3.1 الحجم ومساحة السطح والقيود

في نشاط المعاينة 5.3.1 ، عملنا مع صندوق مستطيل يتم بناؤه بواسطة طي الورق المقوى. كان أحد المبادئ الأساسية التي احتجنا لاستخدامها هو حقيقة أن حجم الصندوق المستطيل الطول (l text <،> ) width (w text <،> ) and height (h ) is

إحدى الطرق لتذكر صيغة حجم الصندوق المستطيل هي "مساحة القاعدة مضروبة في الارتفاع". يمتد هذا المبدأ إلى الأشكال ثلاثية الأبعاد الأخرى التي لها مساحة مقطع عرضي ثابتة. على سبيل المثال ، حجم أسطوانة دائرية نصف قطر (r ) وارتفاع (ح ) هو

حيث أن مساحة القاعدة هي ( pi r ^ 2 text <.> )

سننظر أيضًا في كثير من الأحيان في مساحة سطح الحاوية ثلاثية الأبعاد. بالنسبة للمربع المستطيل ذي الأطوال الجانبية (l text <،> ) (w text <،> ) و (h text <،> ) تتكون مساحة سطحه من (3 ) أزواج من المستطيلات: الجزء العلوي والسفلي ، كل منطقة (lw text <،> ) الجانبان الموجودان في الأمام والخلف عندما ننظر يمينًا إلى المربع ، كل منطقة (lh text <،> ) والجانبين المتبقيين من المساحة (wh text <.> ) وبالتالي فإن مساحة السطح الإجمالية للمربع هي

بالنسبة للأسطوانة الدائرية ، فإن مساحة سطحها هي مجموع مساحات الجزء العلوي والسفلي ( ( pi r ^ 2 ) لكل منهما) ، بالإضافة إلى مساحة "الجوانب". إذا فكرنا في قطع الأسطوانة عموديًا وفتحها ، فإن الشكل الناتج يكون مستطيلًا أبعاده هي ارتفاع الأسطوانة ، (h text <،> ) بمحيط القاعدة ، (2 pi r text <.> ) مساحة المستطيل هي (2 pi r cdot h text <،> ) وبالتالي فإن مساحة السطح الكلية للأسطوانة هي

كل من معادلات الحجم والمساحة (المعادلة (5.3.1) ، المعادلة (5.3.2) ، المعادلة (5.3.3) ، والمعادلة (5.3.4)) تتضمن فقط الضرب والإضافة ، وبالتالي لديها القدرة على ينتج عنه وظائف كثيرة الحدود. ومع ذلك ، في الوقت الحاضر ، تتضمن كل من هذه المعادلات متغيرين على الأقل. يمكن أن يمكّننا إدراج قيود إضافية من استخدام هذه الصيغ لإنشاء وظائف متعددة الحدود لمتغير واحد.

النشاط 5.3.2.

وفقًا للوائح شركة الشحن ، لا يجوز أن يتجاوز مقاس الطرد بالإضافة إلى طول الطرد الذي ينقلونه بأدنى معدل (120 ) بوصة ، حيث مقاس نعني محيط أصغر نهاية.

لنفترض أننا نريد شحن طرد به نهاية مربعة للعرض (س ) وطول إجمالي (ص نص <،> ) مقاسان بالبوصة.

قم بتسمية الصورة المقدمة ، باستخدام (س ) لطول كل جانب من نهاية المربع ، و (ص ) للحافة الأخرى للحزمة.

كيف ينتج الطول زائد محيط (120 ) بوصة في معادلة (تسمى غالبًا a قيد المعادلة) التي تتعلق (x ) و (y text <؟> ) اشرح ، واذكر المعادلة.

حل المعادلة التي وجدتها في (ب) لأحد المتغيرات الموجودة.

ومن ثم حدد حجم الحزمة ، (V text <،> ) كدالة لمتغير واحد.

ما هو مجال الوظيفة (V ) في سياق الإعداد المادي لهذه المشكلة؟ (تلميح: ما هي القيمة القصوى لـ (x text <؟> ) الحد الأقصى لقيمة (y text <؟> ))

النشاط 5.3.3.

افترض أننا نريد إنشاء علبة أسطوانية باستخدام (60 ) بوصة مربعة من مادة لسطح العلبة. في هذا السياق ، كيف يعتمد حجم العلبة على نصف القطر الذي نختاره؟

دع الأسطوانة يمكن أن يكون لها نصف قطر قاعدة (r ) وارتفاع (ح نص <.> )

استخدم الصيغة الخاصة بمساحة سطح الأسطوانة والقيود المعطاة بأن مساحة سطح العلبة هي (60 ) بوصة مربعة لكتابة معادلة تربط نصف القطر (r ) والارتفاع (ح نص <.> )

حل المعادلة التي وجدتها في (أ) من أجل (ح ) بدلالة (r نص <.> )

تذكر أن حجم الأسطوانة هو (V = pi r ^ 2 h text <.> ) استخدم عملك في (b) لكتابة (V ) كدالة لـ (r ) فقط و تبسيط الصيغة قدر الإمكان.

ومن ثم حدد حجم الحزمة ، (V text <،> ) كدالة لمتغير واحد.

ما هو مجال الوظيفة (V ) في سياق الإعداد المادي لهذه المشكلة؟ (تلميح: كيف يوفر القيد على مساحة السطح أكبر قيمة ممكنة لـ (r text <؟> ) فكر في الحد الأقصى للمساحة التي يمكن تخصيصها لأعلى وأسفل العلبة.)

القسم الفرعي 5.3.2 تطبيقات أخرى لوظائف كثيرة الحدود

ينشأ استخدام مختلف لوظائف كثيرة الحدود مع منحنيات بيزير. النوع الأكثر شيوعًا من منحنى بيزير المستخدم في التطبيقات هو منحنى بيزير المكعب ، وهو منحنى يُعطى بشكل حدودي بواسطة صيغة من النموذج ((x (t)، y (t)) text <،> ) حيث

يمر المنحنى بالنقطتين (A = (x_0، y_0) ) و (B = (x_3، y_3) ) والنقاط (C = (x_1، y_1) ) و (D = (x_2) ، y_2) ) نقاط المراقبة. في http://gvsu.edu/s/0zC ، يمكنك استكشاف تأثيرات تحريك نقاط التحكم (باللون الرمادي) والنقاط الموجودة على المنحنى (باللون الأسود) لإنشاء منحنيات مختلفة في المستوى ، مماثلة لتلك المعروضة في الشكل 5.3.4.

القضية الرئيسية التي يجب إدراكها هي أن شكل المنحنى يعتمد على عائلة خاصة من كثيرات الحدود التكعيبية:

تلعب العديدات الحدود المكعبة الأربعة دورًا رئيسيًا في تصميم الرسوم وتُستخدم في جميع أنواع الطرق المهمة ، بما في ذلك تصميم الخط ، كما هو موضح في الشكل 5.3.5.

تم العثور على تطبيق مهم آخر لوظائف كثيرة الحدود في كيفية استخدامها لتقريب وظائف الجيب وجيب التمام.

النشاط 5.3.4.

نحن نفهم القاعدة النظرية وراء الوظيفة (f (t) = sin (t) text <:> ) بإعطاء زاوية (t ) بالتقدير الدائري ، ( sin (t) ) يقيس القيمة من (y ) - تنسيق النقطة المقابلة على دائرة الوحدة. للقيم الخاصة لـ (t text <،> ) حددنا القيمة الدقيقة لـ ( sin (t) text <.> ) على سبيل المثال ، ( sin ( frac < pi> < 3>) = frac < sqrt <3>> <2> text <.> ) لكن لاحظ أنه ليس لدينا معادلة لـ ( sin (t) text <.> ) بدلاً من ذلك ، نستخدم زرًا في الآلة الحاسبة أو أمرًا على جهاز الكمبيوتر الخاص بنا للعثور على قيم مثل " ( sin (1.35) text <.> )" تبين أن مجموعة من دوال حساب التفاضل والتكامل ودوال كثيرة الحدود تشرح كيف تحدد أجهزة الكمبيوتر قيم دالة الجيب.

في http://gvsu.edu/s/0zA ، ستجد ملف ديسموس ورقة العمل التي تحتوي على وظيفة الجيب المحددة بالفعل ، جنبًا إلى جنب مع سلسلة من كثيرات الحدود المسمى (T_1 (x) text <،> ) (T_3 (x) text <،> ) (T_5 (x) text <،> ) (T_7 (x) text <،> ) ( ldots text <.> ) يمكنك رؤية الرسوم البيانية لهذه الوظائف من خلال النقر على الرموز الخاصة بكل منها.

ما هي قيم (x ) هل يبدو أن ( sin (x) almost T_1 (x) text <؟> )

ما هي قيم (x ) هل يبدو أن ( sin (x) almost T_3 (x) text <؟> )

ما هي قيم (x ) هل يبدو أن ( sin (x) almost T_5 (x) text <؟> )

ما الاتجاه العام الذي تلاحظه؟ ما مدى جودة التقريب الناتج عن (T_ <19> (x) text <؟> )

بشكل جديد ديسموس ورقة العمل ، ارسم الدالة (y = cos (x) ) جنبًا إلى جنب مع الوظائف التالية: (P_2 (x) = 1 - frac<2!> ) و (P_4 (x) = 1 - frac <2!> + frac<4!> text <.> ) استنادًا إلى الأنماط ذات المعاملات في كثيرات الحدود التي تقارب ( sin (x) ) ومتعدد الحدود (P_2 ) و (P_4 ) هنا ، صيغ التخمين لـ (P_6 text <،> ) (P_8 text <،> ) و (P_ <18> ) ورسمهم. إلى أي مدى يمكننا تقريب (y = cos (x) ) باستخدام كثيرات الحدود؟

ملخص القسم الفرعي 5.3.3

تنشأ كثيرات الحدود بشكل طبيعي في دراسة المشكلات التي تنطوي على حجم ومساحة الحاويات ثلاثية الأبعاد مثل الصناديق والأسطوانات لأن هذه الصيغ تتضمن بشكل أساسي مبالغ ومنتجات من المتغيرات. على سبيل المثال ، حجم الأسطوانة هو (V = pi r ^ 2 h text <.> ) في وجود قيود مساحة السطح التي تخبرنا أن (h = frac <100-2 pi r ^ 2> <2 pi r> text <،> ) يتبع ذلك

وهو متعدد الحدود مكعب.

تُستخدم الدوال متعددة الحدود لتقريب المنحنيات والوظائف غير متعددة الحدود بعدة طرق مختلفة. تم العثور على أحد الأمثلة في منحنيات Bezier المكعبة التي تستخدم مجموعة من نقاط المراقبة لتمكين المستخدم من معالجة المنحنيات لتمرير نقاط محددة بطريقة ينتقل فيها المنحنى أولاً في اتجاه معين. مثال آخر هو التقريب الملحوظ للوظائف غير متعددة الحدود مثل دالة الجيب ، على النحو المعطى من قبل

حيث يكون التقريب جيدًا من أجل (x ) - القيم القريبة من (x = 0 text <.> )

تمارين 5.3.4 تمارين

يتم إنشاء حوض مثلثي مفتوح ، كما هو موضح في الشكل 5.3.6 ، من الألومنيوم. القاع هو أن يكون له نهايات مثلثة متساوية الأضلاع بطول الضلع (s ) وطول (l text <.> ) نريد أن يستخدم الحوض الصغير (100 ) قدم مربع من الألومنيوم.

ما مساحة أحد المثلثات متساوية الأضلاع ينتهي بدالة (s text <؟> )

تذكر أنه بالنسبة لجسم ذي مساحة مقطع عرضي ثابتة ، فإن حجمه هو مساحة أحد هذه المقاطع العرضية مضروبًا في ارتفاعه (أو طوله). ومن ثم تحديد صيغة لحجم الحوض الصغير التي تعتمد على (s ) و (l نص <.> )

ابحث عن صيغة تتضمن (s ) و (l ) لمساحة سطح الحوض الصغير.

استخدم القيد الذي لدينا (100 ) قدم مربع من الألمنيوم المتاح لإنشاء معادلة تربط (ق ) و (ل ) وبالتالي حل ل (ل ) من حيث (ق ) <.> )

استخدم عملك في (د) و (ب) للتعبير عن حجم الحوض الصغير ، (V text <،> ) كدالة (l ) فقط.

ما هو مجال الوظيفة (V ) في سياق الموقف الذي يتم نمذجته؟ لماذا ا؟

يتم إنشاء صندوق مستطيل بحيث يكون طول قاعدته ضعف عرضه. بالإضافة إلى ذلك ، تكلف قاعدة وأعلى الصندوق $ (2 ) للقدم المربع بينما تكلف الجوانب $ (1.50 ) للقدم المربع. إذا أردنا فقط إنفاق (10 ​​) دولارات على مواد الصندوق ، فكيف يمكننا كتابة حجم الصندوق كدالة لمتغير واحد؟ ما هو مجال وظيفة الحجم هذه؟ (تلميح: أولاً أوجد مساحة سطح الصندوق بدلالة متغيرين ، ثم ابحث عن تعبير لتكلفة المربع من حيث نفس المتغيرات. استخدم حقيقة أن التكلفة مقيدة لحل متغير واحد من حيث متغير آخر. )

افترض أننا نريد برميلًا أسطوانيًا يتسع لـ (8 ) قدم مكعب من الحجم. دع البرميل له نصف قطر (r ) وارتفاع (h text <،> ) يقاس كل منهما بالقدم. كيف يمكننا كتابة مساحة السطح ، (A text <،> ) للبرميل فقط كدالة (r text <؟> )

ارسم عدة صور محتملة لكيفية ظهور البرميل. على سبيل المثال ، ماذا لو كان نصف القطر صغيرًا جدًا؟ كيف سيظهر الارتفاع بالمقارنة؟ وبالمثل ، ماذا يحدث إذا كان الارتفاع صغيرًا جدًا؟

استخدم حقيقة أن الحجم ثابت عند (8 ) قدم مكعب لتوضيح معادلة قيد وحل هذه المعادلة لـ (ح ) بدلالة (r نص <.> )

تذكر أن مساحة سطح الأسطوانة هي (A = 2 pi r ^ 2 + 2 pi rh text <.> ) استخدم عملك في (c) لكتابة (A ) كدالة فقط (r نص <.> )


2.0: مقدمة لنماذج الوظيفة

يحلل هذا الفصل نماذج دالة النقل للأنظمة الفيزيائية التي تم تطويرها في الفصل 1. يتم الحصول على وظيفة النقل من خلال تطبيق تحويل لابلاس على وصف المعادلة التفاضلية الخطية للنظام. وظيفة النقل ، المشار إليها بواسطة (G left (s right) ) ، هي دالة منطقية لمتغير تردد معقد ، (s ). بالنظر إلى وظيفة النقل والإدخال ، (u left (s right) ) ، يمكن حساب استجابة النظام على النحو التالي:

دالة النقل هي نسبة اثنين من كثيرات الحدود هي s. يتم تمثيل أصفار دالة النقل ، أي تلك الترددات التي تثير صفر استجابة للنظام ، بجذور البسط متعدد الحدود. أقطاب وظيفة النقل ، أي تلك الترددات التي تكون فيها استجابة النظام غير محددة ، يتم تمثيلها بجذور كثير الحدود للمقام.

تحتوي استجابة نبضة النظام ، أي استجابتها لمدخلات نبضة الوحدة ، على الأنماط الطبيعية لاستجابة النظام. تتضمن الاستجابة الطبيعية مصطلحات من النموذج (e ^) ، حيث (p_i ) هو عمود وظيفة النقل. الاستجابة الطبيعية للنظام المستقر تتلاشى مع مرور الوقت.

تشتمل استجابة خطوة النظام ، أي استجابتها لمدخل خطوة الوحدة ، على كل من الاستجابات الطبيعية والقسرية ، حيث تكون الاستجابة القسرية قيمة ثابتة. بمجرد اختفاء الاستجابة الطبيعية للنظام ، يصل الناتج إلى حالة مستقرة. يشير كسب التيار المستمر للنظام إلى كسبه لمدخل ثابت.

يشير استقرار النظام إلى أن النظام حسن التصرف ويمكن التنبؤ به في ظل ظروف تشغيل مختلفة. يشير استقرار الإدخال المحدود للمخرجات (BIBO) إلى بقاء استجابة النظام محدودة لكل إدخال محدود ، على سبيل المثال ، (| y (t) | & ltN & lt infty ) if (| u (t) | & ltM & lt infty ). يتطلب استقرار BIBO أن تكون أقطاب وظيفة نقل النظام موجودة في النصف الأيسر المفتوح من المستوى المركب (s ) -.

وظيفة استجابة التردد للنظام ، التي تم الحصول عليها عن طريق استبدال (s = j omega ) في وظيفة النقل ، تميز استجابتها للمدخلات الجيبية في الحالة المستقرة ، والتي هي جيبية عند تردد الإدخال. علاوة على ذلك ، يتم قياس حجم الاستجابة من خلال كسب وظيفة نقل النظام التي يتم تقييمها عند تردد الإدخال ، ولها مساهمة طور من وظيفة نقل النظام. يمكن تصور وظيفة استجابة التردد على مخطط Bode.


MathHelp.com

الخطوة الأولى في إيجاد حلول (أي ، x - تداخلات ، بالإضافة إلى أي جذور معقدة القيمة لـ) دالة كثيرة حدود معينة هي تطبيق اختبار الجذور المنطقية على المعامل الرئيسي والمصطلح الثابت لكثير الحدود ، من أجل الحصول على قائمة بالقيم التي ربما من المحتمل تكون حلولًا لمعادلة كثيرة الحدود ذات الصلة. من المتوقع أن يحتوي عملك اليدوي على هذه القائمة ، لذا اكتب ذلك بدقة.

يمكنك متابعة هذا من خلال تطبيق قاعدة علامات ديكارت ، إذا كنت ترغب في ذلك ، لتضييق نطاق الأصفار المحتملة التي قد يكون من الأفضل التحقق منها. من ناحية أخرى ، إذا كان لديك آلة حاسبة بيانية يمكنك استخدامها ، فمن السهل عمل رسم بياني. ال x - تداخلات الرسم البياني هي نفسها أصفار المعادلة (ذات القيمة الحقيقية). رؤية المكان الذي يبدو فيه الخط كما لو أنه يتقاطع مع x -يمكن للمحور أن يضيق نطاق قائمة الأصفار المحتملة التي تريد التحقق منها أولاً.

بمجرد العثور على ملف x - القيمة التي تريد اختبارها ، ثم تستخدم القسمة التركيبية لمعرفة ما إذا كان يمكنك الحصول على الباقي من الصفر. إذا حصلت على الباقي صفر ، فلن تجد فقط صفرًا من كثير الحدود الأصلي ، ولكنك أيضًا قللت كثير الحدود بدرجة واحدة ، عن طريق إزالة عامل واحد بشكل فعال.

تذكر أن القسمة التركيبية هي ، من بين أشياء أخرى ، شكل من أشكال القسمة متعددة الحدود ، لذا تحقق مما إذا كان x = أ هو حل لـ & quot (متعدد الحدود) يساوي (صفر) & quot هو نفس قسمة العامل الخطي x & - أ خارج دالة كثيرة الحدود ذات الصلة & quot ( ذ ) يساوي (متعدد الحدود) & quot.

هذا يعني أيضًا أنه بعد التقسيم الناجح ، فقد نجحت أيضًا في إخراج أحد العوامل. يجب ألا تعود بعد ذلك إلى كثير الحدود الأصلي لحساب التالي لإيجاد الأصفار الأخرى. يجب عليك بدلاً من ذلك العمل مع ناتج القسمة التركيبية. إنه أصغر حجمًا ، لذا من الأسهل العمل معه.

(سيتم توضيح هذه الطريقة في الأمثلة أدناه.)

لا ينبغي أن تتفاجأ برؤية بعض الحلول المعقدة لكثيرات الحدود (أي الحلول التي تحتوي على جذور تربيعية أو أعداد مركبة ، أو كليهما) ستأتي هذه الأصفار من تطبيق الصيغة التربيعية (ما هو عادةً) العامل النهائي (التربيعي) لـ كثير الحدود الخاص بك. يجب أن تتوقع أن تكون الإجابات فوضوية.

إليك كيفية تنفيذ العملية عمليًا:

ابحث عن جميع أصفار: ذ = 2x 5 + 3x 4 و - 30x 3 و - 57x 2 و - 2x + 24

أولاً ، سأقوم بتطبيق اختبار الجذور العقلانية & [مدش]

انتظر. في الواقع ، أول شيء سأفعله هو تطبيق خدعة تعلمتها. أولاً ، سأتحقق لمعرفة ما إذا كان أحدهما x = 1 أو x = & ndash1 جذر.

(هذه هي أبسط الجذور التي يجب اختبارها. هذه ليست الخطوة الأولى & quot الرسمية & quot ، ولكنها غالبًا ما تكون موفرة للوقت ، لأنه (أ) من المذهل عدد المرات التي يكون فيها أحد هذه الجذور صفرًا ، و (ب) يمكنك فقط البحث عند القوى والأرقام لمعرفة ما إذا كان أي منهما يعمل ، نظرًا لكيفية تبسيط 1 و & ndash1.)

متي x = 1 ، يتم تقييم كثير الحدود على النحو التالي:

This isn't equal to zero, so x = 1 isn't a root. لكن عندما x = &ndash1 , I get:

This time, it did equal zero, so now I know that x = &ndash1 is a root, and I can take "prove" this (in my hand-in work) by using synthetic division:

The last line of this division shows me with the new, smaller polynomial equation I'm working with now:

(I'd started with a degree-five polynomial. Since I've effectively divided out the factor x + 1 , I've reduced the degree of the polynomial by 1 . That's how I know the last line of the division represents a degree-four polynomial.)

I've taken care of checking the two easiest zeroes. Now I'll apply the Rational Roots Test to what's left in order to get a list of potential zeroes to try:

From experience (mostly by having worked extra homework problems), I've learned that most of these exercises have their zeroes somewhere near the middle of the list, rather than at the extremes. This isn't always true, of course, but it's usually better to stay away from the larger numbers, at least when I'm getting started.

So, in this case, I won't start off by trying stuff like x = &ndash24 or x = 12 . Instead, I'll start out with smaller values like x = 2 .

And I can narrow down my options further by "cheating" and looking at the graph:

This is a fourth-degree polynomial, so it has, at most, four x -intercepts, and I can see all four of them on the graph. This means that I won't have any complex-valued zeroes.

It looks like one of the zeroes is around &ndash3.5 , but isn't on the list that the Rational Roots Test gave me, so this must be an irrational root. I'll leave it until the end, when I'll be applying the Quadratic Formula.

It also looks like there may be zeroes near &ndash1.5 and 0.5 . But the clearest solution looks to be at x = 4 and since whole numbers are easier to work with than fractions, x = 4 would probably be a good next value to try:

The zero remainder (at the far right of the bottom row) tells me that x = 4 is indeed a root. And the bottom row of the synthetic division tells me that I'm now left with solving the following:

Looking at the constant term " 6 " in the polynomial above, and with the Rational Roots Test in mind, I can see that the following values:

. from my original application of the Rational Roots Test won't work for the current polynomial. Even if I didn't already know this from having checked the graph, I can see that they won't fit with the new polynomial's leading coefficient and constant term. So I can cross these values off of my list now.

(Always check the list of possible zeroes as you go. The Rational Roots Test will sometimes give a very long list of possibilities, and it can be helpful to notice that some of those values can be ignored, especially if you don't have a graphing calculator to "cheat" with.)

Comparing the remaining values from the list with the intercepts on the graph, I'll try :

The remainder isn't zero, so that test root didn't work. This means that the zero close to on the graph must be irrational. I'll find it when I apply the Quadratic Formula later on.

The division came out evenly (that is, it had a zero remainder), so is another of the zeroes. And after this division, I'm now left with the following polynomial equation still to solve:


Preface to the Instructor xv

Preface to the Student xxiii

Chapter 0 The Real Numbers 1

Construction of the Real Line 2

Is Every Real Number Rational? 3

0.2 Algebra of the Real Numbers 6

Commutativity and Associativity 6

The Order of Algebraic Operations 7

The Distributive Property 8

Additive Inverses and Subtraction 9

Multiplicative Inverses and the Algebra of Fractions 10

Exercises, Problems, and Worked-out Solutions 15

0.3 Inequalities, Intervals, and Absolute Value 20

Positive and Negative Numbers 20

Exercises, Problems, and Worked-out Solutions 29

Chapter Summary and Chapter Review Questions 35

Chapter 1 Functions and Their Graphs 37

Definition and Examples 38

The Domain of a Function 41

The Range of a Function 42

Exercises, Problems, and Worked-out Solutions 45

1.2 The Coordinate Plane and Graphs 50

The Graph of a Function 52

Determining the Domain and Range from a Graph 54

Which Sets are Graphs of Functions? 56

Exercises, Problems, and Worked-out Solutions 56

1.3 Function Transformations and Graphs 63

Vertical Transformations: Shifting, Stretching, and Flipping 63

Horizontal Transformations: Shifting, Stretching, Flipping 66

Combinations of Vertical Function Transformations 68

Exercises, Problems, and Worked-out Solutions 73

1.4 Composition of Functions 81

Combining Two Functions 81

Definition of Composition 82

Composing More than Two Functions 85

Function Transformations as Compositions 86

Exercises, Problems, and Worked-out Solutions 88

The Definition of an Inverse Function 95

The Domain and Range of an Inverse Function 97

The Composition of a Function and Its Inverse 98

Comments About Notation 99

Exercises, Problems, and Worked-out Solutions 101

1.6 A Graphical Approach to Inverse Functions 106

The Graph of an Inverse Function 106

Graphical Interpretation of One-to-One 107

Increasing and Decreasing Functions 108

Inverse Functions via Tables 110

Exercises, Problems, and Worked-out Solutions 111

Chapter Summary and Chapter Review Questions 115

Chapter 2 Linear, Quadratic, Polynomial, and Rational Functions 119


شاهد الفيديو: درس في مادة الرياضيات جبر تحليل كثيرات الحدود في C لطلاب الثالث الثانوي العلمي للأستاذ عبدالله (كانون الثاني 2022).